高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直同步练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直同步练习题，共13页。试卷主要包含了60°　8.45°　45°，解　如图所示，连接CM，等内容，欢迎下载使用。
1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AC1与CD所成角的余弦值为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(6),3)
2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1，AB的中点，则异面直线EF与C1D所成角的大小是( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,4) C.eq \f(π,3) D.eq \f(π,2)
3．已知圆锥SO的底面半径为r，当圆锥的体积为eq \f(\r(2),6)πr3时，该圆锥的母线与底面所成角的正弦值为( )
A.eq \f(\r(3),3) B.eq \f(\r(2),3) C.eq \f(3,2) D.eq \f(\r(2),2)
4．若斜线段AB的长是它在平面α上的射影长的2倍，则AB与平面α所成的角是( )
A．60° B．45° C．30° D．120°
5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1和平面ACD1所成角的余弦值为( )
A.eq \f(\r(2),3) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(2,3) D.eq \f(\r(6),3)
6. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，则平面AD1E与平面ABCD的交线与直线C1D1所成角的正切值为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(2,3) C.eq \f(3,2) D．2
7. 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D为A1B1的中点，AB＝BC＝2，BB1＝1，AC＝2eq \r(2)，则异面直线BD与AC所成的角为________．
8. 如图所示，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成角的大小为________；点Q在PB的延长线上，则直线QB与平面ABC所成角的大小为________．
9. 如图，S是正三角形ABC所在平面外的一点，SA＝SB＝SC，且∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝eq \f(π,2)，M，N分别是AB和SC的中点．求异面直线SM与BN所成角的余弦值．
10. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．求直线BE和平面ABB1A1所成角的正弦值．
11．(多选)如图，在四面体A－BCD中，AC＝BD＝a，对棱AC与BD所成的角为60°，M，N分别为AB，CD的中点，则线段MN的长为( )
A.eq \f(a,3) B.eq \f(a,2)
C.eq \f(\r(3)a,2) D.eq \f(3a,2)
12.如图，圆柱的轴截面ABCD为正方形，E为eq \(BC,\s\up9(︵))的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为( )
A.eq \f(\r(3),3) B.eq \f(\r(5),5) C.eq \f(\r(30),6) D.eq \f(\r(6),6)
13. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E为CC1的中点，那么异面直线OE与AD1所成角的余弦值等于( )
A.eq \f(\r(6),2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(\r(6),3)
14. 如图，正四棱锥P－ABCD的体积为2，底面积为6，E为侧棱PC的中点，则直线BE和平面PAC所成的角为________．
15.(多选)《九章算术》卷五《商功》中描述几何体“阳马”为底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥，如图，在直角梯形ABCS中，∠ABC＝∠BCS＝90°，SC＝2BC＝2AB＝2，过点A作AD⊥SC交SC于点D，以AD为折痕把△SAD折起，当几何体S－ABCD为阳马时，下列四个命题正确的是( )
A．AC⊥SB
B．AB∥平面SCD
C．SA与平面SBD所成角的大小等于45°
D．AB与SC所成角的大小等于30°
16. 如图，点P为平面ABC外一点，AP，AB，AC两两互相垂直，过AC的中点D作ED⊥平面ABC，且ED＝1，PA＝2，AC＝2，连接BP，BE，BD，多面体B－PADE的体积是eq \f(\r(3),3).
(1)画出平面PBE与平面ABC的交线，并说明理由；
(2)求BE和平面PADE所成角的正切值．
习题课 异面直线所成的角及直线与平面所成的角的解法
1．B 2.D 3.A 4.A
5．D [如图，不妨设正方体的棱长为1，上、下底面的中心分别为O1，O，则OO1∥BB1，O1O和平面ACD1所成的角就是BB1和平面ACD1所成的角，即∠O1OD1，
则cs∠O1OD1＝eq \f(O1O,OD1)＝eq \f(1,\f(\r(6),2))＝eq \f(\r(6),3).]
6．A [如图，延长D1E与直线DC的延长线相交于F，连接AF，
则平面AD1E与平面ABCD的交线为AF，而C1D1∥CD，
∴∠AFD为平面AD1E与平面ABCD的交线与直线C1D1所成的角，
∵E是棱CC1的中点，且DD1∥CC1，∴CD＝CF，
∴tan∠AFD＝eq \f(AD,DF)＝eq \f(1,2).]
7．60° 8.45° 45°
9．解 如图所示，连接CM，
设Q为CM的中点，连接QN，
则QN∥SM.
∴∠QNB或其补角是异面直线SM与BN所成的角．
连接BQ，设SC＝a，在△BQN中，
BN＝eq \f(\r(5),2)a，NQ＝eq \f(1,2)SM＝eq \f(\r(2),4)a，BQ＝eq \f(\r(14),4)a，
∴cs∠QNB＝eq \f(BN2＋NQ2－BQ2,2BN·NQ)
＝eq \f(\f(5,4)a2＋\f(1,8)a2－\f(7,8)a2,2×\f(\r(5),2)a×\f(\r(2),4)a)＝eq \f(\r(10),5).
即异面直线SM与BN所成角的余弦值为eq \f(\r(10),5).
10．解 如图，取AA1的中点M，连接EM，BM.
因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，
所以EM∥AD.
又在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
AD⊥平面ABB1A1，所以EM⊥平面ABB1A1，
从而直线BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，
∠EBM即为直线BE和平面ABB1A1所成的角．
设正方体的棱长为2a，
则EM＝AD＝2a，
BE＝eq \r(2a2＋2a2＋a2)＝3a.
于是在Rt△BEM中，
sin∠EBM＝eq \f(EM,BE)＝eq \f(2,3)，
即直线BE和平面ABB1A1所成角的正弦值为eq \f(2,3).
11．BC [取BC的中点E，连接EN，EM，如图所示．
因为M为AB的中点，
所以ME∥AC，且ME＝eq \f(1,2)AC＝eq \f(a,2)，
同理得EN∥BD，且EN＝eq \f(a,2)，
所以∠MEN或其补角为异面直线AC与BD所成的角，
在△MEN中，EM＝EN，若∠MEN＝60°，
则△MEN为等边三角形，
所以MN＝eq \f(a,2).
若∠MEN＝120°，可得MN＝eq \f(\r(3)a,2).]
12．D [如图，取BC的中点H，连接EH，AH，则∠EHA＝90°.设AB＝2，则BH＝HE＝1，AH＝eq \r(5)，所以AE＝eq \r(6).连接ED，则ED＝eq \r(6).因为BC∥AD，所以异面直线AE与BC所成的角即为∠EAD(或其补角)．在△EAD中，cs∠EAD＝eq \f(AE2＋AD2－DE2,2AE·AD)
＝eq \f(6＋4－6,2×2×\r(6))＝eq \f(\r(6),6).]
13．D [如图所示，取BC的中点F，连接EF，OF，BC1.
因为E为CC1的中点，
所以EF∥BC1∥AD1，
故∠OEF或其补角即为异面直线OE与AD1所成的角，
设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，
则在△OEF中，EF＝eq \r(2)，OE＝eq \r(3)，OF＝1，
故∠OFE＝90°，故cs∠OEF＝eq \f(EF,OE)＝eq \f(\r(2),\r(3))＝eq \f(\r(6),3).]
14．60°
解析 如图，在正四棱锥P－ABCD中，连接BD，交AC于点O，连接PO，
则PO⊥平面ABCD，在正四棱锥中，BO⊥平面PAC.
连接OE，DE，则∠BEO是直线BE和平面PAC所成的角．
∵正四棱锥P－ABCD的体积为2，底面积为6，
∴V＝eq \f(1,3)×6×PO＝2，则PO＝1，
BC＝eq \r(6)，则OC＝OB＝eq \r(3)，
∵E为侧棱PC的中点，
∴取OC的中点H，连接EH，
则EH⊥OC，
EH＝eq \f(1,2)PO＝eq \f(1,2)，OH＝eq \f(1,2)OC＝eq \f(\r(3),2)，
则OE＝eq \r(EH2＋OH2)
＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)))2)＝1.
在Rt△BOE中，
tan∠BEO＝eq \f(OB,OE)＝eq \f(\r(3),1)＝eq \r(3)，
则∠BEO＝60°.
15．AB [如图，当几何体S－ABCD为阳马时，SD⊥平面ABCD，
对于A，SD⊥平面ABCD，所以AC⊥SD，又AC⊥BD，SD∩BD＝D，
故AC⊥平面SBD，所以AC⊥SB，故A正确；
对于B，因为AB∥CD，且AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，故AB∥平面SCD，故B正确；
对于C，由A知，AC⊥平面SBD，连接SO，则∠ASO是SA与平面SBD所成的角，
因为SA＝eq \r(2)，OA＝eq \f(\r(2),2)，
所以∠ASO＝30°，故C不正确；
对于D，因为AB∥CD，所以∠SCD是AB与SC所成的角，因为SD＝CD＝1，所以∠SCD＝45°，故D不正确．]
16．解 (1)如图，延长PE交AC于点F，连接BF，
∵AP，AB，AC两两互相垂直，
∴PA⊥平面ABC.
∵DE⊥平面ABC，
∴DE∥PA，
∴eq \f(DF,AF)＝eq \f(DE,PA)＝eq \f(1,2)，
∴F与C重合．
∵C∈PE，C∈AC，PE⊂平面PBE，AC⊂平面ABC，
∴C是平面PBE与平面ABC的公共点．
又B是平面PBE与平面ABC的公共点，
∴BC是平面PBE与平面ABC的交线．
(2)如图，连接AE.
∵AP，AB，AC两两互相垂直，
∴AB⊥平面PAC，
∴∠BEA为BE和平面PADE所成的角．
∵VB－PADE＝eq \f(1,3)S梯形ADEP·AB
＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×(1＋2)×1×AB＝eq \f(\r(3),3)，
∴AB＝eq \f(2\r(3),3).
又∵AE＝eq \r(AD2＋DE2)＝eq \r(2)，
∴tan∠BEA＝eq \f(AB,AE)＝eq \f(\f(2\r(3),3),\r(2))＝eq \f(\r(6),3)，
所以BE和平面PADE所成角的正切值为eq \f(\r(6),3).