考点03 直线的方程-2023-2024学年高二数学专题高分突破(人教A版选择性必修第一册)

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1、求直线的倾斜角的方法及两点注意
(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．
(2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°.
②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.
2、利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项
(1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的；
(2)斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置．
3、在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记.
4、斜率与倾斜角的关系
1．由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝tan α(α≠90°)解决．
2．由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k＝eq \f(y2－y1,x2－x1)(x1≠x2)求解．
5、求直线的点斜式方程的方法步骤
(1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)；
(2)点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外．
6、直线的斜截式方程的求解策略
(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．
(2)用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特别注意截距和距离的区别；
(3)直线的斜截式方程y＝kx＋b不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图象就一目了然．因此，在解决一次函数的图象问题时，常通过把一次函数解析式化为直线的斜截式方程，利用k，b的几何意义进行判断．
7、求直线的两点式方程的策略以及注意点
(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程．
(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．
8、截距式方程应用的注意事项
(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可．
(2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直．
(3)要注意截距式直线方程的逆向应用．
9、求直线一般式方程的策略
(1)当A≠0时，方程可化为x＋eq \f(B,A)y＋eq \f(C,A)＝0，只需求eq \f(B,A)，eq \f(C,A)的值；若B≠0，则方程化为eq \f(A,B)x＋y＋eq \f(C,B)＝0，只需确定eq \f(A,B)，eq \f(C,B)的值．因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程．
(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式．
10、含参直线方程的研究策略
(1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则需满足A，B不同时为0.
(2)令x＝0可得在y轴上的截距．令y＝0可得在x轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式．
(3)解分式方程要注意验根．
11、利用直线的斜截式方程解决直线平行与垂直问题的策略
已知直线l1：y＝k1x＋b1与直线l2：y＝k2x＋b2，
(1)若l1∥l2，则k1＝k2，此时两直线与y轴的交点不同，即b1≠b2；反之k1＝k2，且b1≠b2时，l1∥l2.所以有l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2.
(2)若l1⊥l2，则k1·k2＝－1；反之k1·k2＝－1时，l1⊥l2.所以有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
注：若已知含参数的两条直线平行或垂直，求参数的值时，要注意讨论斜率是否存在，若是平行关系注意考虑b1≠b2这个条件．
12、利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
(1)若l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．
(2)若l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
13、与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法
（1）由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写方程．
（2）①可利用如下待定系数法：与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)，再由直线所过的点确定C1；
②与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0，再由直线所过的点确定C2.
14、利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤
15、两条直线相交的判定方法
方法一：联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交．
方法二：两直线斜率都存在且斜率不等．
16、过两条直线交点的直线方程的求法
(1)常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．
(2)特殊解法(直线系法)：运用过两直线交点的直线系方程：若两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0有交点，则过l1与l2交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为待定常数，不包括直线l2)，设出方程后再利用其他条件求解．
17、计算两点间距离的方法
(1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解．
18、解决过定点问题常用的三种方法
(1)特殊值法，给方程中的参数取两个特殊值，可得关于x，y的两个方程，从中解出的x，y的值即为所求定点的坐标．
(2)点斜式法，将含参数的直线方程写成点斜式y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)．
(3)分离参数法，将含参数的直线方程整理为过交点的直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0的形式，则该方程表示的直线必过直线A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0的交点，而此交点就是定点．比较这三种方法可知，方法一计算较烦琐，方法二变形较困难，方法三最简便因而也最常用．
19、应用点到直线的距离公式应注意的三个问题
(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式．
(2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．
(3)直线方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．
20、求两条平行直线间距离的两种方法
(1)转化法：将两条平行直线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求．
(2)公式法：设直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则两条平行直线间的距离d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).
21、中心对称问题的两种类型及求解方法
(1)点关于点对称：
若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2a－x1，,y＝2b－y1，))进而求解．
(2)直线关于点的对称，主要求解方法是：
①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；
②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．
22、轴对称问题的两种类型及求解方法
(1)点关于直线的对称：
①若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，由方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))＋B\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y1＋y2,2)))＋C＝0，,\f(y2－y1,x2－x1)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(A,B)))＝－1，))可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)．
（关键词：垂直、平分）
设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)，
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y′－y0,x′－x0)·k＝－1，,\f(y′＋y0,2)＝k·\f(x′＋x0,2)＋b，))可求出x′，y′.
②若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则，故可设的方程为，代入，即可求出m，联立直线和的方程，求出两条直线的交点，即为中点，进一步利用中点坐标公式求的坐标
(2)直线关于直线的对称：
①若直线与对称轴平行，则在直线上取一点，求出该点关于轴的对称点，然后用点斜式求解．
②若直线与对称轴相交，则先求出交点，然后再取直线上一点，求该点关于轴的对称点，最后由两点式求解．
考点一 直线的倾斜角与斜率
1．（2023秋·江苏连云港·高二期末）经过两点，的直线的倾斜角是钝角，则实数m的范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】直线的倾斜角是钝角，则斜率小于0，列不等式解实数m的范围
【详解】直线的倾斜角是钝角，则直线斜率，解得或．
故选：D．
2．（2023秋·上海普陀·高二曹杨二中校考期末）已知直线，，则直线的倾斜角的取值范围是______.
【答案】
【分析】由题意可得直线的斜率，设直线的倾斜角为，则有，，再根据正切函数的性质即可求得答案.
【详解】解：因为直线，，
所以直线的斜率，
所以，
设直线的倾斜角为，
则有，
又因为，
所以.
故答案为：
3．（2022秋·江苏泰州·高二统考期中）设直线的倾斜角分别为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先根据直线方程分别求解每条直线斜率，然后根据斜率判断倾斜角的范围，根据范围比较大小即可.
【详解】，，即，；
，，即，；
为垂直于轴的直线，.
综上所述可得：.
故选：D
4．（2022秋·黑龙江绥化·高二校考期末）直线的倾斜角是直线的倾斜角的倍，与两坐标轴围成的三角形的面积等于，试求和的值．
【答案】或．
【分析】利用斜率和倾斜角的关系得到，再利用三角形的面积公式求出，求解即可．
【详解】解：设直线的倾斜角为，则，
直线的倾斜角是，
，即，
令，则，
令，则，
直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于，
，即 ，
由解得或．
5．（2022春·上海松江·高二统考期末）若直线与直线的夹角为，则实数的值为_________.
【答案】或
【分析】结合倾斜角与斜率、两角和与差的正切公式求得正确答案.
【详解】设直线的倾斜角为、直线的倾斜角为，
由于的斜率为，即，
所以，
由于直线与直线的夹角为，
所以直线的倾斜角不是，斜率存在，且斜率为.
所以，解得，
或，解得.
所以实数的值为或.
故答案为：或
6．（2022秋·广西桂林·高二校考期中）图中的直线的斜率分别为，则有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据直线斜率的概念，结合图象，可直接得出结果.
【详解】由图象可得，，
故选：C
7．（2022秋·辽宁鞍山·高二鞍山一中校考期中）直线的倾斜角为，斜率为．若的取值范围是，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据斜率与倾斜角的范围，结合已知确定的范围.
【详解】由题设且，故.
故选：D
8．（2022秋·江苏连云港·高二校考期末）设，为实数，已知直线的斜率，且，，是这条直线上的三个点，则（ ）
A．4B．3C．D．1
【答案】D
【分析】由已知，，是斜率直线上的三个点，进而结合斜率公式，由，得到关于，的方程，解方程即可得答案.
【详解】因为，，是斜率直线上的三个点，
则，
所以，解得，．则1．
故选：D.
9．（2022秋·江苏常州·高二常州市第三中学校考期末）已知点.若直线与线段相交，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】求出直线恒过定点，然后画图观察直线的变化时斜率的变化，再求的斜率，所以得答案.
【详解】即，又因为，
所以直线恒过定点，画图得直线要想与线段有交点，就需要绕着点，从直线开始逆时针旋转到直线，则，
所以直线斜率
故选：A
考点二 两条直线的平行和垂直
10．【多选】（2022秋·吉林·高二统考期中）已知两条不重合的直线，，下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】ABD
【分析】根据直线的位置关系与斜率关系即可判断.
【详解】对A，若，则，故A正确；
对B，若，又两直线不重合，则，故B正确；
对C，若，则与不垂直，故C错误；
对D，若，则，故D正确.
故选：ABD.
11．（2022秋·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考期中）已知直线，的斜率是方程的两个根，则（ ）
A．B．
C．与相交但不垂直D．与的位置关系不确定
【答案】C
【分析】设直线的斜率为，直线的斜率为，根据判别式以及韦达定理可得到结果.
【详解】设直线的斜率分别为，因为，所以方程有两个不相等的实数根，
所以与相交．又，所以与不垂直．
故选：C
12．（2022秋·福建福州·高二校考期中）设，直线：，直线，若，则（ ）
A．B．C．D．或
【答案】B
【分析】根据直线平行或重合的条件列方程求，检验排除重合的情形，可得的值.
【详解】若直线：与直线平行或重合则，解方程可得或，
当时，的方程为，的方程为，直线重合，所以不满足条件，
当时，的方程为，的方程为，直线平行，所以满足条件，
故选：B．
13．（2022·全国·高二期末）已知直线，．请从以下三个条件中选出两个求实数，的值．
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)选(1)和(2)，；
(2)选(1)和(3)，或；
(3)选(2)和(3)，a、b无解.
【分析】根据两直线的位置关系可知，若两直线垂直则两直线的斜率之积为-1；若两直线平行则两直线的斜率相等且不重合.
（1）
若选条件(1)和(2)，和，
由，得，即，
当时，，，与不垂直，
当时，，，与不垂直；
故且，得，
又，，
所以，解得，则；
（2）
若选条件(1)和(3)，和，
由，得，
当时，，，与不平行；
当时，，，与不平行；
故且，则，解得或，
故或，
即或；
（3）
若选条件(2)和(3)，和，
根据两条直线的位置关系，
可得和不可能同时成立，
此时无解.
14．（2022秋·新疆伊犁·高二校考期中）已知两条直线：，：，．
(1)若，求的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据已知条件，结合直线平行的性质，即可求解．
（2）根据已知条件，结合直线垂直的性质，即可求解．
【详解】（1）因为两条直线：，：平行，
则，解得或，
当时，直线重合，不符合题意，舍去，
当时，直线不重合，符合题意，
故．
（2）∵
∴，解得
15．（2022秋·湖北十堰·高二校联考期中）已知四边形的顶点，则四边形的形状为___________.
【答案】矩形
【分析】分别求出直线的斜率，根据斜率判断对应直线得位置关系，即可得出结论.
【详解】解：，且不在直线上，.
又，且不在直线上，，四边形为平行四边形.又.
平行四边形为矩形.
故答案为：矩形.
考点三 直线的方程
16．（2022秋·北京·高二北大附中校考期末）已知直线，下列说法中正确的是（ ）
A．直线的倾斜角为B．是直线的一个方向向量
C．直线的斜率为D．是直线的一个法向量
【答案】A
【分析】先根据方程得斜率，进而得到直线的倾斜角，以及方向向量和方法向量，从而判断各选项.
【详解】因为直线，所以斜率，倾斜角为，故A正确，C不正确；
因为直线经过点，，所以直线的一个方向向量为，
因向量与不共线，故不是直线的一个方向向量，故B不正确；
又因为，所以不是直线的一个法向量，故D不正确.
故选：A.
17．（2022秋·上海普陀·高二曹杨二中校考期末）若直线的一个法向量为，则过原点的直线的方程为______.
【答案】
【分析】根据直线法向量，可设出直线方程，由直线过原点，求出未知系数.
【详解】若直线的一个法向量为，可设直线方程为，
由直线过原点，∴，
故所求直线方程为，即.
故答案为：
18．（2022秋·河北衡水·高二河北武强中学校考期中）如果， ，那么直线不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】直线变换为，确定，，得到直线不经过的象限.
【详解】由可得，，
因为，，故，.
故直线不经过第四象限.
故选：D
19．（2022秋·陕西咸阳·高一统考期末）已知直线：，点.
(1)求过点且与平行的直线方程；
(2)求过点且与垂直的直线方程.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）（2）根据直线平行垂直的性质，求出相应的斜率，运用点斜式直线方程求解.
【详解】（1）易知直线的斜率为，
设过点且与平行的直线的斜率为，则，
直线的方程为，即；
（2）易知直线的斜率为，
设过点且与垂直的直线的斜率为，
则，，
直线的方程为，即；
20．（2022秋·福建南平·高二校考期中）已知，，，在中：
(1)求BC边所在直线的方程；
(2)求BC边上的中线､高线所在直线的方程.
【答案】(1)
(2)BC边上的中线方程为，高线方程为
【分析】（1）根据两点式求解即可；
（2）根据中点坐标公式可得的中点，再根据两点式可得边上的中线方程；根据直线垂直斜率的关系，结合点斜式可得BC边上的高线方程.
【详解】（1）边过两点，，
由两点式，得直线方程为，即，
故边所在的直线方程为
（2）设的中点为，
则，，故，
又边的中线过点，
所以，即，
所以边上的中线所在直线的方程为.
又斜率为，故边上高线的斜率为，又高线过，故边上高线方程为，即.
故边上的高线方程为
21．（2022秋·广东江门·高二台山市第一中学校考期中）已知的三个顶点分别为，，．
(1)求边的垂直平分线的方程；
(2)求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）计算，的中点为，边的垂直平分线的斜率，得到直线方程.
（2）计算，到直线的距离为，得到面积.
【详解】（1），故边的垂直平分线的斜率，的中点为，
故垂直平分线为，即.
（2），
所在的方程为，即，
到直线的距离为，.
考点四 截距式及截距应用
22．（2022秋·广东广州·高二校考期中）直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，则______，______．
【答案】
【分析】根据已知条件及截距的定义即可求解.
【详解】令，得，解得，
所以直线在轴上的截距为，即；
令，得，解得，
所以直线在轴上的截距为，即；
故答案为：；.
23．（2022秋·四川成都·高二成都外国语学校校考期中）已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数（ ）
A．2或1B．或C．D．
【答案】A
【分析】由题意，分截距为零和不为零两种情况，建立方程，可得答案.
【详解】由题意，当截距为零时，则，解得；
当截距不为零时，整理截距式方程为，则，由，则解得.
故选：A.
24．（2022秋·四川成都·高二成都七中校考期中）过点且横、纵截距的绝对值相等的直线其条数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分别讨论直线过坐标原点、横纵截距相等且不为零、横纵截距互为相反数且不为零的情况，结合直线截距式和所过点坐标求得直线方程，由此可得结果.
【详解】当过点的直线过坐标原点时，直线方程为，满足题意；
当过点的直线的横、纵截距相等且不为零时，设其方程为：，
则，直线方程为；
当过点的直线的横、纵截距互为相反数且不为零时，设其方程为：，
则，直线方程为.
综上所述：满足题意的直线条数为.
故选：C.
25．（2022秋·四川遂宁·高二遂宁中学校考期中）已知直线两坐标轴上的截距互为相反数，则实数a＝（ ）
A．1B．－1
C．2或1D．2或-1
【答案】D
【分析】直接利用直线的截距互为相反数求出参数的值．
【详解】解：当时，直线为，故直线无横截距，不符合题意；
当时，直线的横截距为，纵截距为
由于直线两坐标轴上的截距互为相反数，故，解得或．
故选：D．
26．【多选】（2022秋·黑龙江·高二统考期中）已知直线l过点，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，则直线l的方程可以为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】分两种情况，当截距为时，设直线的方程为：，将点代入求得的值，当截距不等于时，设直线的方程为：，将点代入求得的值即可求解.
【详解】当截距为时，设直线的方程为：，
将点代入可得，可得，
所以，即，
当截距不等于时，设直线的方程为：，
将点代入可得：，解得：，
所以直线的方程为：，即，
所以直线的方程为：或，
故选：AD.
27．（2022秋·河南信阳·高二统考期中）过点作直线l分别交x，y轴于A，B两点，当（O为坐标原点）的面积等于12时，这样的直线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】C
【分析】设直线的截距式方程，结合三角形面积列方程组，方程组解的个数即为直线的条数.
【详解】设直线，则，
即①或②
方程①有两解，方程②有唯一解.故这样的直线有3条.
故选：C.
考点五 动直线恒过定点问题及其应用
动直线恒过定点
28．（2022秋·安徽合肥·高二统考期末）不论为何实数，直线恒过定点_________.
【答案】
【分析】直线方程转化为，再根据直线系方程求解即可.
【详解】解：将直线方程转化为，
所以直线过直线与的交点，
所以，联立方程，解得
所以，直线恒过定点
故答案为：
29．（2022秋·河北张家口·高二校联考期中）已知直线．
(1)求证：直线l恒过定点；
(2)已知两点，，过点A的直线l与线段有公共点，求直线l的倾斜角的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）直线方程整理为关于的方程，由恒等式知识可得定点坐标；
（2）求出直线的倾斜角，直线介于直线之间，由此可得结论．
【详解】（1）证明：由，得．
由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点．
（2）由题意可知，，
由题意可知直线l的倾斜角介于直线与的倾斜角之间，
又的倾斜角是，的倾斜角是，点横坐标在两点横坐标之间，因此直线可能与轴垂直，倾斜角可以是，
∴的取值范围是．
30．（2022秋·河北张家口·高二校联考期中）已知直线恒过定点Q，Q点在直线l上，则l的方程可以是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据直线过定点的求法求得，利用代入验证法确定正确答案.
【详解】由题意知可化为，
则直线l恒过定点，
验证选项得直线l的方程可以为．
故选：B
31．（2022秋·浙江杭州·高二学军中学校考期中）已知直线的方程为：.
(1)求证：不论为何值，直线必过定点；
(2)过点引直线，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求的方程.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）列出方程，分别令，可求出定点；
（2）令令，表达出三角形面积后，利用基本不等式求解即可.
【详解】（1）证明：原方程整理得：．
由，可得，
不论为何值，直线必过定点.
（2）设直线的方程为．
令令．
．
当且仅当，即时，三角形面积最小．
则的方程为．
32．（2022秋·北京·高二人大附中校考期末）已知直线：经过定点P，直线经过点P，且的方向向量，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】直线方程变为，可得定点.根据的方向向量，可得斜率为，代入点斜式方程，化简为一般式即可.
【详解】可变形为，
解得，即点坐标为.
因为，所以直线的斜率为，又过点，
代入点斜式方程可得，整理可得.
故选：A.
动直线与距离最值问题
33．（2022·高二单元测试）当实数k变化时，直线到直线的距离的最大值是______.
【答案】
【分析】先求出两直线分别所过定点，再由平行关系可知，当两直线垂直于两定点连线时，距离最大.
【详解】由可得过定点，由可得过定点.
又两直线斜率相等，可知两直线平行且垂直于时，距离最大，最大值即为两点间的距离.
故答案为：.
34．（2022秋·山东枣庄·高二统考期中）若直线与直线交于点，则到坐标原点距离的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】两直线均过定点且垂直，则交点P在以两定点为直径的圆上，由数形结合可求最值.
【详解】两直线满足，所以两直线垂直，
由得，过定点，
由得，过定点，
故交点P在以AB为直径的圆C上，其中，如图所示，
则线段OP的最大值为.
故选：B.
35．（2022秋·山东·高二沂水县第一中学期末）已知直线与、轴的交点分别为、，且直线与直线相交于点，则面积的最大值是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】求出点、的坐标，可得出的值，求出直线、所过定点的坐标，根据可求得点的轨迹方程，根据圆的几何性质可求得点在直线距离的最大值，再利用三角形的面积公式可求得面积的最大值.
【详解】在直线的方程中，令可得，令可得，
即点、，故，
将直线的方程变形可得，由可得，
所以，直线过定点，
将直线的方程变形为，由可得，
所以，直线过定点，
，则，设点.
①若点不与或重合，则，且，，
，整理可得；
②当点与或重合，则点、的坐标满足方程.
所以，点的轨迹方程为.
圆圆心到直线的距离为，
所以，点到直线的最大距离为，
因此，面积的最大值是.
故选：A.
36．（2022秋·山东菏泽·高二校考期中）直线过定点___________，原点到直线l的距离的最大值为___________.
【答案】
【分析】将化为可得直线所过定点；
由第一空答案结合图形，可得原点到直线l的距离的最大值.
【详解】由可得，则，
得，故l过定点；如图，设定点为A，当时，原点到直线l的距离的最大.理由如下：设为过A点的除l外的一条直线，其到原点距离如图为，
因为直角三角形，则.故当且仅当时，原点到直线l的距离的最大.此时最大距离为.
故答案为：；.
37．（2022秋·浙江·高二校联考期中）点到直线的距离的最大值为（ ）
A．B．C．3D．
【答案】D
【分析】由题意，求得直线所过定点，由两点之间距离公式，可得答案.
【详解】由直线，整理可得，
令，解得，
点到直线距离的最大值为点到定点的距离，则，
故选：D.
考点六 直线的交点坐标和距离问题
求两直线的交点问题
38．（2022秋·广西·高二广西师范大学附属中学校考期中）已知直线，点
(1)求线段的中垂线与直线的交点坐标；
(2)若点在直线上运动求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)先由点斜式求线段的中垂线方程，联立方程组求其与直线的交点坐标；
(2)求点关于直线的对称点的坐标，再求的长度即可.
【详解】（1）因为，所以的中点坐标为，
直线的方程为，所以线段的中垂线的斜率为2，
则线段的中垂线方程为，化简得，
联立，解得，
所以线段的中垂线与直线的交点坐标为；
（2）设A点关于直线对称的点为，
则的中点坐标为，因为点在直线上，故：
①，又直线的斜率为2，故：②，
联立①②解得：，因为，
所以的最小值为．
39．（2022秋·北京·高二人大附中校考期末）已知光线经过已知直线和的交点M，且射到x轴上一点后被x轴反射．
(1)求反射光线所在的直线的方程．
(2)求与距离为的直线方程．
【答案】(1)；
(2)或.
【分析】（1）由题可得，进而可得，然后结合条件及直线的点斜式即得；
（2）根据平行线间距离公式即得.
【详解】（1）由，可得，
即，又，
所以，
所以反射光线所在的直线的斜率为，
故反射光线所在的直线的方程，即；
（2）由题可设所求直线方程为，则
，解得或，
所以与距离为的直线方程为或.
40．（2022秋·广东江门·高二台山市第一中学校考期中）已知正方形的中心为直线，的交点，正方形一边所在的直线方程为，则它邻边所在的直线方程为___________．
【答案】
【分析】先求出中心坐标为，再根据邻边所在直线与垂直设方程为，进而结合点到这两条直线距离相等且为即可求解.
【详解】解：，解得，
∴中心坐标为，
点M到直线的距离
设与垂直两线分别为，则点到这两条直线距离相等且为，
设方程为
∴，解得或 ，
∴它邻边所在的直线方程为．
故答案为：
41．（2022秋·浙江杭州·高二杭师大附中校考期中）平行四边形的四边所在的直线分别是：，，
(1)求直线交点的坐标；
(2)求平行四边形的面积．
【答案】(1)；
(2)9.
【分析】（1）联立直线方程求出交点的坐标;
（2）由顶点坐标求出一条边的长度，再根据两平行直线之间的距离公式可求平行四边形的高，从而求得平行四边形的面积．
【详解】（1）设和的交点为A，
由，解得；
（2）如图，
易知∥，∥，设和的交点为B，
由，解得， 由（1）知，
∴．
与的距离，
∴平行四边形的面积为．
42．【多选】（2022秋·河北张家口·高二校联考期中）若直线，，不能构成三角形，则m的取值可能为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】由已知可得出不能构成三角形的条件，分个讨论即可得到.
【详解】因为直线，，不能构成三角形，
所以存在，，过与的交点三种情况.
显然，.则直线的斜率分别为，，.
当时，有，即，解得；
当时，有，即，解得；
当过与的交点时.先联立，解得，则与的交点为，
代入，得，解得．
综上：或或．
故选：ABD．
两点间的距离问题
43．（2022秋·新疆巴音郭楞·高二校考期中）已知点A、B是直线与坐标轴的交点，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】A
【分析】先求得两点的坐标，进而求得.
【详解】由，
令，得，设；
令，得，设.
所以.
故选：A
44．（2022秋·吉林长春·高二校考期中）已知直线l与x轴和y轴分别交于A，B两个点，点是直线上的动点，则的最小值是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先求出直线l的方程根据两点的距离公式可得表示原点与点两点间的距离，再根据点到直线的距离公式即可得出答案.
【详解】解：直线l的方程为，即，
表示原点与点两点间的距离，
则的最小值即为原点到直线的距离，为.
故选：D.
45．（2022秋·江苏苏州·高二苏州中学校考期末）在平行四边形ABCD中，，，，点E是线段BC的中点．
(1)求直线CD的方程；
(2)求四边形ABED的面积．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）求出，由，由点斜式即可写出直线CD的方程；
（2）四边形ABED为梯形，E是线段BC的中点，求出E坐标、直线AD的方程，即可求出E到直线AD的距离，再求出，即可求梯形面积.
【详解】（1）由，，∴直线CD的方程为，即；
（2）四边形ABED为梯形，E是线段BC的中点，则，即，
直线AD的方程为，即，则E到直线AD的距离为，.
故四边形ABED的面积为.
点到直线的距离问题
46．（2022秋·新疆巴音郭楞·高二校考期中）求点（2,）到直线的距离为______
【答案】
【分析】由点到直线的距离公式即可求得.
【详解】由点到直线的距离公式可得.
故答案为：
47．【多选】（2022秋·广东佛山·高二佛山一中校考期中）已知三边所在直线分别为，则（ ）
A．AB边上的高所在直线方程为B．AB边上的高为
C．的面积为D．是直角三角形
【答案】ABC
【分析】先联立方程求出顶点坐标，求出AB边上的高所在直线斜率即可得出方程，利用点到直线距离公式可求出高，利用两点间距离公式求出，即可求出三角形面积，根据斜率关系可判断D.
【详解】由得；由得；由得；
因为，所以AB边上的高所在直线斜率为，则方程为，即，故A正确；
AB边上的高为点到直线的距离，故B正确；
因为，所以的面积为，故C正确：
由斜率关系可知，是的任意两边均不垂直，D错误.
故选：ABC.
48．（2022秋·福建南平·高二校考期中）点到直线的距离是，那么m的值是（ ）
A．4B．C．4或D．或4
【答案】D
【分析】根据点到线的距离公式求解即可.
【详解】由题意，，故，即，解得.
故选：D
49．（2022秋·浙江金华·高二统考期末）已知两点到直线的距离相等，则（ ）
A．2B．C．2或D．2或
【答案】D
【分析】分在的同侧和异侧分类讨论求解.
【详解】（1）若在的同侧，
则，所以，，
（2）若在的异侧，
则的中点在直线上，
所以解得,
故选:D.
50．（2022秋·江苏连云港·高二期末）过点的直线被两平行直线与所截线段的中点恰在直线上，则直线的方程是________．
【答案】
【分析】首先根据线段的中点在直线上，可设，利用到与的距离相等求得的值，进而求出点的坐标，然后根据两点式求解直线方程即可.
【详解】设线段的中点为,因为点到与的距离相等,
故，解得,则点．
直线的方程为,即．
故答案为：
两平行线间的距离问题
51．（2022秋·天津南开·高二崇化中学校考期末）两条平行直线与间的距离为_______．
【答案】
【分析】根据两平行直线间的距离公式求得正确答案.
【详解】依题意可知，两直线的距离为.
故答案为：
52．（2022秋·江苏泰州·高二统考期中）已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ）
A．B．2C．D．
【答案】B
【分析】先根据线线平行公式可得，再根据平行线间的距离公式求解即可.
【详解】直线与直线平行，
∴，解得，故直线为直线，化简得，
∴它们之间的距离为．
故选：B．
53．【多选】（2022秋·湖北武汉·高二武汉市第十七中学校联考期中）若直线m被两平行直线与所截得的线段长为，则直线m的倾斜角可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】设直线m与两平行直线所夹的锐角或直角为，再结合两平行直线的距离公式，以及直线斜率和倾斜角之间的关系，即可求解.
【详解】设直线m与两平行直线所夹的锐角或直角为，
两平行直线与的距离为：
，
因为直线m被两平行直线与所截得的线段长为
所以
所以
因为直线的斜率为：，倾斜角为
所以直线m的倾斜角可以是或
如图所示：
故选：BD.
54．（2022·高二单元测试）若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为( )
A．3B．2C．3D．4
【答案】A
【解析】先求出点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0，再求出m的值和原点到直线l的距离即得解.
【详解】依题意知AB的中点M的集合为与直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0距离都相等的直线，
则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．
设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0，
根据平行线间的距离公式得
所以|m＋7|＝|m＋5|，所以m＝－6，
即l：x＋y－6＝0.
根据点到直线的距离公式得M到原点的距离的最小值为.
故选：A.
55．【多选】（2022秋·山东青岛·高二统考期中）已知直线：，：，则下列选项正确的为（ ）
A．直线过定点B．当时，或
C．当时，和相交D．当时，两直线，之间的距离为1
【答案】AB
【分析】直线方程整理为关于的方程，由恒等式知识可求得定点坐标，判断A，由垂直的条件求得参数范围，判断B，由两直线平行的条件求得的值可得相交的条件，判断C，由两直线平行，然后求得值，代入后得两平行线的方程，由距离公式计算．
【详解】直线方程整理为，
由，解得，因此直线过定点，A正确；
，则，解得或，B正确；
由得或，
所以且时，和相交，C错；
时，两直线方程分别为，，两直线平行，它们的距离为，
时，两直线方程分别为和，即和，两直线平行，距离为，
D错．
故选：AB．
考点七 直线的对称问题
56．（2022秋·河北张家口·高二校联考期中）点关于直线的对称点Q的坐标为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用中点和斜率来求得点坐标.
【详解】设点关于直线的对称点的坐标为，
则，解得．
所以点Q的坐标为.
故选：A
57．（2022秋·福建福州·高二校考期中）已知点，直线：，则点到直线的距离为______，直线关于点对称的直线方程为______．
【答案】
【分析】利用点到直线距离公式求点到直线的距离，设直线上任一点关于点的对称点，确定的坐标关系，利用代点法求对称直线方程．
【详解】点，直线：，
则点到直线的距离为，
设直线关于点的对称直线为，
则直线上任一点关于点的对称点一定在直线上，
，解得，
将代入直线的方程可得，．
所以直线关于点对称的直线方程为.
故答案为：；.
58．（2022秋·重庆沙坪坝·高二重庆市第七中学校校考期中）直线关于点对称的直线方程为（ ）
A．4x＋3y－4＝0B．4x＋3y－12＝0
C．4x－3y－4＝0D．4x－3y－12＝0
【答案】B
【分析】首先设对称直线上任意一点，得到关于对称点为，再代入直线即可得到答案。
【详解】设直线关于点对称的直线上任意一点，
则关于对称点为，
又因为在上，
所以，即。
故选：B
59．（2022秋·四川成都·高二成都七中校考期中）已知直线的方程为，点的坐标为​.
(1)若直线与关于点对称，求的方程;
(2)若点与关于直线对称，求的坐标.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由直线与直线互相平行，且点到两直线距离相等，列方程即可求解；
（2）由直线垂直平分线段，列方程组即可求解.
【详解】（1）易知直线与直线互相平行，
设的方程为，点到两直线距离相等，
有​，
即​，或​(舍去)，
故的方程为​.
（2）设点的坐标为​，
直线，且的中点在直线上，
而直线的斜率为，，
故有​，解得 ，
​故的坐标为.
60．（2022·高二单元测试）已知直线，，．
（1）求直线关于直线的对称直线的方程；
（2）求直线关于直线的对称直线的方程．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）由于，所以，可设的方程为，在直线上取点，求出点关于直线的对称点，代入方程，即得解；
（2）与的交点坐标为也在上，另取上不同于的一点，求出关于的对称点为，利用两个点坐标求出直线方程，即得解
【详解】（1）因为，所以．
设直线的方程为（，且）．
在直线上取点，设点关于直线的对称点为，
则，解得，
即点的坐标为．
把点的坐标代入直线的方程，得，解得，
所以直线的方程为．
（2）由，得，
所以与的交点坐标为．
另取上不同于A的一点，
设关于的对称点为，
则，得，
即点的坐标为．
所以过与的直线的方程为，
即．
61．（2022秋·四川成都·高二校联考期中）已知两点A（2，3），B（3，2），点C在x轴上，则的最小值为（ ）
A．B．5C．2D．
【答案】B
【分析】点关于轴的对称点为，则求出最小值即可得出答案.
【详解】点关于轴的对称点为，则，
所以，
的最小值为.
故选：B.
62．（2022秋·甘肃张掖·高二高台县第一中学校考期中）直线和两点，若直线上存在点M使得最小，求点M的坐标_____.
【答案】
【分析】如图，作出点关于直线的对称点，连接，交直线于，求出点的坐标，再求出直线的方程，再与直线的方程联立可求出点的坐标.
【详解】如图，作出点关于直线的对称点，连接，交直线于，则
则，
所以，当三点共线时取等号，
即三点共线时，最小，
设，则，解得，即，
因为，所以直线为，
由，得，即，
故答案为：
63．（2022秋·江苏苏州·高二统考期中）已知点在直线上，点，则取得最小值时点坐标为________．
【答案】
【分析】作图分析，结合对称性将转化为，则点与在同一直线时，最小，求得此时点坐标即可.
【详解】解：如图，
设关于直线的对称点为，因为
所以，解得，则
所以，结合图形则当三点共线时，此时取得最小值，即在点位置时，
则，直线为
于是，解得，即，故取得最小值时点坐标为.
故答案为：.
考点八 直线的综合问题
64．【多选】（2022秋·山东·高二沂水县第一中学期末）已知直线l在x轴，y轴上的截距分别为1，，O是坐标原点，则下列结论中正确的是（ ）
A．直线l的方程为
B．过点O且与直线l平行的直线方程为
C．若点到直线l的距离为，则
D．点O关于直线l对称的点为
【答案】ABD
【分析】对A，由截距式可求；
对B，由点斜式可求；
对C，由点线距离公式可求；
对D，两对称点连线与直线l垂直，且两对称点中点过直线l.
【详解】对A，直线l在x轴，y轴上的截距分别为1，，直线l的方程为，即，A对；
对B，直线l斜率为1，故过点O且与直线l平行的直线方程为，即，B对；
对C，点到直线l的距离为，故或0，C错；
对D，点O关于直线l对称的点满足，解得，故该点为，D对.
故选：ABD
65．（2022秋·河北张家口·高二统考期末）已知，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设点为直线上的动点，题意可转化成求与的距离和与的距离之和的最小值，求出关于直线的对称点，故，即可求出答案
【详解】设点为直线上的动点，
由可看作与的距离和与的距离之和，
设点则点为点关于直线的对称点，
故，且，
所以，
当且仅当三点共线时，取等号，
所以的最小值为.
故选：C
66．（2022秋·北京·高二人大附中校考期末）已知､分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为___________.
【答案】
【分析】利用线段的等量关系进行转化，找到最小值即为所求.
【详解】由直线与间的距离为得，过作直线垂直于，如图，
则直线的方程为：，将沿着直线往上平移个单位到点，有，
连接交直线于点P，过P作于Q，连接BQ，有，即四边形为平行四边形，
则，即有，显然是直线上的点与点距离和的最小值，
因此的最小值，即的最小值，而，
所以的最小值为=
故答案为：
67．（2022秋·湖北·高二宜城市第一中学校联考期中）已知直线
(1)若直线的倾斜角，求实数m的取值范围；
(2)若直线l分别与x轴，y轴的正半轴交于A，B两点，O是坐标原点，求面积的最小值及此时直线l的方程．
【答案】(1)
(2)最小值为2，直线l方程为：．
【分析】（1）由直线的斜率和倾斜角的范围可得的不等式，解不等式可得；
（2）由题意可得点和点，可得，由基本不等式求最值可得．
【详解】（1）解：由题意可知当时，倾斜角为，符合题意
当时，直线l的斜率
∵倾斜角，∴．
故m的范围：．
（2）解：在直线l中：令x＝0时，即，令y＝0时x＝m，即
由题意可知：得
即
当且仅当时取等号，
故最小值为2，此时直线l方程为：．
68．（2022·高二单元测试）已知直线和点
（1）直线l上是否存在点C，使得为直角三角形，若存在，请求出C点的坐标；若不存在，请说明理由；
（2）在直线l上找一点P，使得最大，求出P点的坐标.
【答案】(1) 存在，；(2) P.
【分析】(1)先计算线段长，再设点，对斜边分类讨论计算a值即可；
(2)先根据题意，过A，B的圆与直线l相切于P时，最大，再利用圆的性质计算即可.
【详解】解：(1) 点，故，若直线l上存在点C，使得为直角三角形，设，则讨论以下三种情况：
①若AB是斜边，则，即，
，则，方程无解；
②若AC是斜边，则，即，
，符合题意，此时；
③若BC是斜边，则，即，
；
综上，若直线l上存在点，使得为直角三角形，AC是斜边；
(2)根据题意，过A，B的圆与直线l相切于P时，最大.
因为，，所以延长线与直线l相交于点,
根据圆的性质，而，
故切点P的坐标为，此时最大，为.
倾斜角α
0°
30°
45°
60°
120°
135°
150°
斜率k
0
eq \f(\r(3),3)
1
eq \r(3)
－eq \r(3)
－1
－eq \f(\r(3),3)