考点07 椭圆离心率14种常见考法归类-2023-2024学年高二数学专题高分突破(人教A版选择性必修第一册)

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离心率是刻画椭圆的扁平程度和双曲线的开口大小的一个量。求离心率的大小和范围问题是高考的热点和难点。离心率问题既可以考查圆锥曲线的定义和性质，又可以综合考查平面几何、三角函数、平面向量等内容，还可以考查考生的逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力，更可以考查数形结合、转化与化归、函数与方程等数学思想方法。因此，备受命题者青睐。
一、求离心率的方法．
求圆锥曲线的离心率主要围绕寻找参数的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可），方法通常有两个方向：
1、 利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与有关，另一条边为焦距，从而可求解；
（1）特殊三角形与离心率
这类题目通常利用特殊三角形的性质来找参数关系，用到的性质一般有边角相等、三角形相似、面积公式、正余弦定理、角平分线性质、高的性质、中线的性质等，解题方法可用代数法也可用几何法，通常数形结合，用几何法计算量较小，运算相对简单.
平行四边形与离心率
与平行四边形结合的离心率问题一般有两类，一类是题目中存在四边形；另一类是利用圆锥曲线的对称性构造四边形.用到的性质通常有：对边平行相等；两条对角线长度的平方和等于两倍的两个邻边的平方和等.解题时可用代数法也可用几何法.
圆与离心率
借助于圆的性质求离心率问题的题目相对较多，考查点通常是圆的性质和圆锥曲线性质的结合，比如弦的中点与圆心的连线与弦垂直，直径所对的圆周角是90°，半径相等，圆与圆的位置关系等.
2、利用坐标运算：如果从题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用进行表示，再利用条件列出等式求解．（要习惯将看作常数）
3、通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．
二、离心率的范围问题．
在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：
（1）借助题目中给出的不等信息
题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求．如果问题围绕着“曲线上存在一点”，则可考虑将该点坐标用表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口；
基本步骤：
①找出试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围，存在点或直线使方程成立，的范围等；
②列出不等式，化简得到离心率的不等关系式，从而求解.
（2）借助函数的值域求解范围
若题目中有一个核心变量，则可以考虑将离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可；
基本步骤：
①根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；
②通过确定函数的定义域；
③利用函数求值域的方法求解离心率的范围.
借助平面几何图形中的不等关系
基本步骤：
①根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值等得到不等关系，
②将这些量结合曲线的几何性质用进行表示，进而得到不等式，
③解不等式，确定离心率的范围.
另外，不能忽略了圆锥曲线离心率的自身限制条件(椭圆、双曲线离心率的取值范围不一致)，否则很容易产生增根或者扩大所求离心率的取值范围．
考点一 利用几何性质
1．（2023秋·陕西渭南·高二统考期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为A.若为正三角形，则该椭圆的离心率为______.
2．（2023·河南郑州·高二校联考阶段练习）直线与椭圆交于两点，是椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022秋·吉林四平·高二四平市第一高级中学校考阶段练习）已知椭圆的左､右顶点分别为，且以线段为直径的圆与直线相切，则椭圆的离心率为__________.
4．（2022春·辽宁丹东·高二凤城市第一中学阶段练习）已知椭圆的右焦点为，短轴的一个端点为，直线与椭圆相交于 ，两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．,B．,
C．,D．,
考点二 利用坐标法
5．（2022秋·江苏无锡·高二统考期中）如图所示，分别是椭圆的右、上顶点，是的三等分点（靠近点），为椭圆的右焦点，的延长线交椭圆于点，且，则椭圆的离心率为______．
6．（2022秋·吉林·高二统考期中）过椭圆的左顶点A且斜率为的直线交椭圆于另一点，且点在轴上的射影恰为右焦点,若，则椭圆的离心率的取值范围是_____________.
考点三 椭圆第一定义
7．（2022秋·福建三明·高二阶段练习）设、分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使，且，则椭圆离心率为
A．B．C．D．
8．（2022秋·安徽·高二统考期中）、分别是椭圆的左、右焦点，过作直线交椭圆于、两点，已知，，则椭圆的离心率为
A．B．C．D．
9．（2022秋·湖南株洲·高二阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上一点，连接交轴于点，若为等边三角形，则椭圆的离心率为
A．B．C．D．
10．（2022秋·山西·高二校联考期末）已知椭圆C的左右焦点分别为F1、F2，过点F2的直线与椭圆C交于点A，B，若|AF1|＝|AB|＝5，|F1B|＝6，则椭圆C的离心率为_____.
11．（2022秋·福建厦门·高二福建省厦门集美中学校考阶段练习）已知椭圆的两个焦点分别为，点为椭圆上一点，且，，则椭圆的离心率为 __．
考点四 焦半径和椭圆第二定义
12．（2022秋·天津河东·高二统考期末）已知椭圆，过右焦点且斜率为的直线与椭圆相交于,两点，若，则椭圆的离心率为____.
13．（2022春·江苏淮安·高二淮阴中学校考阶段练习）已知椭圆C：()，存在过左焦点F的直线与椭圆C交于A､B两点，满足，则椭圆C离心率的最小值是______.
14．（2022·高二单元测试）设分别为椭圆的左､右焦点，若在直线（c为半焦距）上存在点P，使的长度恰好为椭圆的焦距，则椭圆离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
考点五 中点弦和椭圆第三定义
15．（2022·高二单元测试）若椭圆与直线交于，两点，过原点与线段中点的连线的斜率为，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
16．（2022秋·安徽蚌埠·高二校考期中）过点作斜率为的直线与椭圆：相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，求椭圆的离心率.
17．（2022秋·湖北襄阳·高二襄阳市第一中学校考阶段练习）已知椭圆（）的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
18．（2022·全国·高二假期作业）已知椭圆上存在两点关于直线对称，且线段中点的纵坐标为，则椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
考点六 与斜率乘积相关
19．（2022·湖北）过原点的直线与椭圆，交于两点，是椭圆上异于的任一点.若直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为______.
20．（2022秋·浙江台州·高二台州市书生中学校考阶段练习）已知椭圆上关于原点对称的两点为A，B，点M为椭圆C上异于A，B的一点，直线AM和直线BM的斜率之积为，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
21．（2022春·新疆乌鲁木齐·高二新疆实验校考开学考试）若A，B分别是椭圆E：（m＞1）短轴上的两个顶点，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，若直线AP与直线BP的斜率之积为，则椭圆E的离心率为_____．
22．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期末）椭圆的左顶点为，点均在上，且关于轴对称．若直线的斜率之积为，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
23．（2023秋·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）已知点A，B是椭圆长轴上的两个顶点，点P在椭圆上（异于A，B两点），若直线斜率之积为，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
考点七 已知焦点三角形顶角
24．（2022秋·江苏连云港·高二校考阶段练习）已知，是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使，则椭圆的离心率的取值范围是______
25．（2022秋·浙江嘉兴·高二校考阶段练习）已知椭圆的两个焦点为，，若椭圆上存在一点满足，则椭圆离心率的最小值为________．
26．（2022·高二课时练习）已知椭圆的两个焦点分别为，，若椭圆上存在点使得是钝角，则椭圆离心率的取值范围是
A．B．C．D．
27．（2022秋·浙江杭州·高二杭师大附中校考期中）设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，椭圆C上的两点A，B关于原点对称，且满足·＝0，|FB|≤|FA|≤2|FB|，则椭圆C的离心率的取值范围是_______________.
28．（2022秋·河北邯郸·高二阶段练习）椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上一点，且，则该椭圆的离心率的取值范围为
A．B．
C．D．
29．（2022秋·天津南开·高二天津二十五中校考期中）设，分别是椭圆的左、右焦点，若在直线上存在点，使线段的中垂线过点，则椭圆的离心率的取值范围是__________．
考点八 已知焦点三角形的两个底角
30．（2022秋·山西晋城·高二晋城市第一中学校校考阶段练习）设P为椭圆上一点，且，其中为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率e的值等于（ ）
A．B．
C．D．
31．（2022春·浙江·高二学业考试）设为椭圆（）上一点，，为焦点，如果，，那么椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
32．（2022秋·上海浦东新·高二上海市进才中学校考期末）设、椭圆的左、右焦点，椭圆上存在点M，，，使得离心率，则e取值范围为（ ）
A．（0，1）B．
C．D．
考点九 焦点三角形双余弦定理模型
33．（2023秋·山西吕梁·高二统考期末）椭圆的左右焦点分别为为椭圆上位于x轴上方的两点，且满足，若构成公比为2的等比数列，则C的离心率为__________．
34．（2022·广东）已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点，若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
35．（2022春·全国·高二专题练习）已知椭圆的焦点为，，过点的直线与椭圆交于，两点.若，，则椭圆的离心率为______.
考点十 焦点弦与定比分点
36．（2022秋·辽宁·高二校联考阶段练习）已知椭圆C：的左右焦点分别为，，过点作倾斜角为的直线与椭圆相交于A，B两点，若，则椭圆C的离心率e为（ ）
A．B．C．D．
37．（2022秋·江苏南通·高二统考阶段练习）椭圆：的左焦点，上顶点A，直线与椭圆的另一交点为M，，则椭圆E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
38．（2022秋·山西运城·高二山西省运城中学校校联考期中）已知椭圆的右焦点为F，上顶点为A，直线与E相交的另一点为M，点M在x轴上的射影为点N，O为坐标原点，若，则E的离心率是（ ）
A．B．C．D．
考点十一 椭圆与四心
39．（2023秋·福建厦门·高二厦门外国语学校校考期末）已知椭圆的左、右焦点分别为和，为上一点，且的内心为，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
40．（2022秋·辽宁大连·高二统考期末）已知为椭圆的两个焦点，P为椭圆C上一点（P不在y轴上），的重心为G，内心为M，且，则椭圆C的离心率为___________．
41．（2023秋·湖北武汉·高二统考期末）已知椭圆的两个焦点分别为、，经过的直线交椭圆于，两点，的内切圆的圆心为，若，则该椭圆的离心率是______．
42．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆的左右焦点为F1、F2，点P为椭圆上一点，的重心、内心分别为G、I，若，则椭圆的离心率e等于（ ）
A．B．C．D．
43．（2022·全国·高二专题练习）已知，分别为椭圆的左、右焦点，点P在第一象限内，，G为重心，且满足，线段交椭圆C于点M，若，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
考点十二 焦点圆
44．（2022秋·四川成都·高二校考阶段练习）已知P为椭圆上一点，，是椭圆的左、右焦点，若使为直角三角形的点P有且只有4个，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
45．（2022秋·河北沧州·高二校考阶段练习）已知圆与轴的交点分别为，，点是直线：上的任意一点，椭圆以，为焦点且过点，则椭圆的离心率的取值范围为____________.
考点十三 椭圆与圆
46．（2022秋·江苏南京·高二南京师大附中校联考阶段练习）已知点P在椭圆上，点Q在圆，其中c为椭圆C的半焦距，若的最大值恰好等于椭圆C的长轴长，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
47．（2022秋·重庆南岸·高二重庆市第十一中学校校考阶段练习）已知椭圆的左右焦点分别为，，点P在C上且位于第一象限，圆与线段的延长线、线段以及x轴均相切，的内切圆为圆，若圆与圆外切，且圆与圆的面积之比为，则C的离心率为__________．
48．（2023秋·湖北襄阳·高二襄阳四中校考期末）已知点是椭圆上任意一点，的离心率为，若圆上存在点，使得，则的最大值为______．
49．（2022秋·天津津南·高二天津市咸水沽第一中学校考期末）已知椭圆的下焦点，M点在椭圆C上，线段MF与圆相切于点N，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
50．（2022秋·黑龙江鹤岗·高二鹤岗一中校考阶段练习）已知椭圆：，定点，，有一动点满足，若点轨迹与椭圆恰有4个不同的交点，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
考点十四 椭圆与双曲线共焦点
51．（2022秋·江苏南京·高二南京外国语学校校考阶段练习）已知是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
52．（2022秋·河北沧州·高二统考期末）已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（ ）
A．8B．6C．4D．2
53．（2023秋·河北石家庄·高二校联考期末）设，分别为具有公共焦点与的椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，且满足，则的最小值为（ ）
A．3B．C．4D．
54．（2023秋·湖北武汉·高二武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）已知中心在坐标原点的椭圆C1与双曲线C2有公共焦点，且左，右焦点分别为F1，F2，C1与C2在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若|PF1|＝10，C1与C2的离心率分别为e1，e2，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
55．【多选】（2022秋·河北唐山·高二校考期末）如图，，是双曲线：与椭圆的公共焦点，点是，在第一象限内的公共点，设方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．的内切圆与轴相切于点
C．若，则的离心率为
D．若，则的方程为