考点18 数列求和6种常见考法归类-2023-2024学年高二数学专题高分突破(人教A版选择性必修第二册)

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策略1 公式法
公式法：如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前项和的公式来求和.对于一些特殊的数列（正整数数列、正整数的平方和立方数列等）也可以直接使用公式求和.
①等差数列的前n项和公式：Sn＝eq \f(na1＋an,2)＝na1＋eq \f(nn－1,2)d.
②等比数列的前n项和公式：
Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)＝\f(a11－qn,1－q)，q≠1.))
③数列前项和重要公式：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）等差数列中，；
（6）等比数列中，.
策略2 分组转化法
有一类数列 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT ，它既不是等差数列，也不是等比数列，但是数列 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 是等差数列或等比数列或常见特殊数列，则可以将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的特殊数列，然后分别求和，再将其合并即可.
分组转化法求和的常见类型
(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组转化法求{an}的前n项和．
注：①形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减
②形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减
③形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减
(2)通项公式为an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(bn，n为奇数，,cn，n为偶数))的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组转化法求和．
注：（1）分奇偶各自新数列求和（2）要注意处理好奇偶数列对应的项：
①可构建新数列；②可“跳项”求和
(3)正负相间求和：
①奇偶项正负相间型求和，可以两项结合构成“常数数列”。
②如果需要讨论奇偶，一般情况下，先求偶，再求奇。求奇时候，直接代入偶数项公式，再加上最后的奇数项通项。
注：在一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．
形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.
策略3 倒序相加法
如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法，等差数列前n项和公式的推导便使用了此法. 用倒序相加法解题的关键，就是要能够找出首项和末项之间的关系，因为有时这种关系比较隐蔽.
注：倒序求和，多是具有中心对称的
策略4 裂项相消法
裂项相消法求和的实质是将数列中的通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，其解题的关键就是准确裂项和消项．
(1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．
(2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项
在利用裂项相消求和时应注意：善于识别裂项类型
（1）在把通项裂开后，是否恰好能利用相应的两项之差，相应的项抵消后是否只剩下第一项和最后一项，或者只剩下前边两项和后边两项，有时抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面剩两项,或者前面剩几项,后面也剩几项;
（2）对于不能由等差数列，等比数列的前n项和公式直接求和问题，一般需要将数列的结构进行合理的拆分，将通项裂项后,有时需要调整前面的系数,使裂开的两项之差或系数之积与原通项相等.转化成某个新的等差或者等比数列进行求和。应用公式时，要保证公式的准确性，区分是等差还是等比数列的通项还是前n项和公式。
（3）使用裂项法求和时，要注意正负相消时消去了哪些项保留了哪些项，切不可漏写末被消去的项，末被消去的项前后对称的特点，漏掉的系数裂项过程中易出现丢项或者多项的错误，造成计算结果上的错误，实质上也是造成正负相消是此法的根源目的。
(4)常见的裂项技巧
①等差型
（1）
（2）
（3）
（4）
②根式型
（1）
（2）
（3）
③指数型
（1）
（2）
（3）
（4）
④对数型
⑤幂型
（1）
（2）
（3）
策略5 错位相减法
错位相减求和方法
(1)适用条件：若{an}是公差为d(d≠0)的等差数列，{bn}是公比为q(q≠1)的等比数列，求数列{anbn}的前n项和Sn；
(2)基本步骤
(3)注意事项：①在写出Sn与qSn的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出Sn－qSn；
②作差后，等式右边有第一项、中间n－1项的和式、最后一项三部分组成；
③运算时，经常把b2＋b3＋…＋bn这n－1项和看成n项和，把－anbn＋1写成＋anbn＋1导致错误．
考点一 公式法求和
考点二 分组转化法求和
（一）等差+等比
（二）等差（等比）+裂项
（三）奇偶型求和
（四）正负相间型求和
考点三 倒序相加法求和
考点四 错位相减法求和
（一）等差等比
（二）等差/等比
考点五 裂项相消法求和
等差型
无理型
指数型
（三）对数型
（四）幂型
考点六 数列求和的实际应用
（一）分期付款
（二）产值增长
（三）其他模型
考点一 公式法求和
1．（2022秋·广东广州·高二校考期中）已知数列的前项和为，且，递增的等比数列满足：，．
(1)求数列、的通项公式；
(2)设的前项和分别为，求．
2．（2022秋·河北张家口·高二统考期末）已知为等差数列的前项和，若．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前50项和．
3．（2022秋·河南信阳·高二潢川一中校考期末）已知等差数列和正项等比数列满足．
(1)求，的通项公式；
(2)求数列的前n项和时的最小值．
考点二 分组转化法求和
（一）等差+等比
4．（2023秋·广东梅州·高二统考期末）已知数列是等比数列，且，.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
5．（2023秋·湖南郴州·高二校考期末）在数列中，，（，）.
(1)求证：是等比数列；
(2)求数列的前项和.
6．（2023秋·河北唐山·高二开滦第一中学校考期末）设数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
（二）等差（等比）+裂项
7．（2023秋·山西吕梁·高二统考期末）已知正项等差数列，，且，，成等比数列，数列的前n项和为，，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，数列的前n项和为，求证：．
8．（2022秋·天津静海·高二静海一中校考期末）已知数列的前项和，设
(1)求证：是等比数列；
(2)设，求数列的前项和．
（三）奇偶型求和
9．（2023·高二课时练习）已知数列的通项公式为求此数列的前项和．
10．（2023秋·天津河西·高二北京师范大学天津附属中学校考期末）已知等差数列前项和为，数列是等比数列，，，，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，设数列的前项和为，求.
11．（2022秋·吉林长春·高二长春十一高校考期末）已知数列，，是数列的前n项和，已知对于任意，都有，数列是等差数列，，且，，成等比数列．
(1)求数列和的通项公式．
(2)记，求数列的前n项和．
12．（2023秋·河北保定·高二统考期末）已知数列的前项和为，，．
(1)求数列的通项公式和前项和；
(2)设,数列的前项和记为，证明：
（四）正负相间型求和
13．【多选】（2023秋·湖北·高二统考期末）已知数列满足，，且，则（ ）
A．B．数列是等比数列
C．数列是等差数列D．数列的前项和为
14．（2023秋·山东菏泽·高二统考期末）已知等差数列的前n项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和.
15．（2023秋·山东临沂·高二校考期末）已知是数列的前项和，已知目，
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
16．（2023·全国·高二专题练习）已知正项数列的前项和满足：，数列满足，且．
(1)求的值及数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，求．
考点三 倒序相加法求和
17．（2023·全国·高二专题练习）已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试用推导等差数列前?项和的方法探求：若，则（ ）
A．2018B．4036C．2019D．4038
18．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，则______．
19．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·高二齐齐哈尔市第八中学校校考期末）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子.在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成;因此，此方法也称之为高斯算法.现有函数，则等于（ ）
A．B．C．D．
20．（2023·全国·高二专题练习）已知函数满足，若数列满足，则数列的前20项的和为（ ）
A．230B．115C．110D．100
考点四 错位相减法求和
（一）等差等比
21．（2023秋·浙江温州·高二校考期末）已知数列，，，设，数列，的前项和分别为，.
(1)求；
(2)求.
22．（2023秋·河北邢台·高二邢台一中校考期末）已知为正项数列的前项的乘积，且
(1)求数列的通项公式
(2)令，求数列的前项和.
23．（2023秋·湖北襄阳·高二襄阳四中校考期末）已知数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)求的前n项和．
24．（2023秋·河北保定·高二统考期末）已知等差数列的前项和为，且，，设数列的前项和为．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，数列的前项和为．
（二）等差/等比
25．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆市第七中学校校考期末）已知数列满足，数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)求.
26．（2023秋·重庆北碚·高二统考期末）已知数列的首项，且满足．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)设，求数列的前n项和．
27．（2023秋·山东济宁·高二嘉祥县第一中学校考期末）若数列的前n项和为，且，等差数列满足，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
考点五 裂项相消法求和
（一）等差型
28．（2023秋·河北邢台·高二邢台一中校考期末）数列满足，对任意的都有，则（ ）
A．B．C．D．
29．（2023春·广东深圳·高二深圳市高级中学校考开学考试）等比数列中，，且成等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列，求数列前项的和.
30．（2023秋·吉林长春·高二校考期末）已知等差数列满足：，，数列的前项和是．
(1)求及；
(2)令，求数列的前项和的取值范围．
31．（2023秋·江苏苏州·高二统考期末）在①；②，且成等比数列；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答该问题.
记等差数列的公差为，前项和为，已知__________.
(1)求的通项公式；
(2)令，求数列的前项和.
32．（2023秋·河北保定·高二统考期末）设是公差不为0的等差数列，为的等比中项．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
33．（2023秋·天津宁河·高二天津市宁河区芦台第一中学校考期末）已知数列和数列，满足，且，．
(1)证明数列为等差数列，并求的通项公式；
(2)证明：．
（二）无理型
34．（2023·全国·高二专题练习）若数列满足，则___________.
35．（2023秋·山东·高二山东师范大学附中校考期末）如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的.已知为直角顶点，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为，令为数列的前项和，则（ ）
A．8B．9C．10D．11
（三）指数型
36．（2023秋·山东临沂·高二山东省临沂第一中学校考期末）已知数列满足且，且.
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列的前项和为，求证：.
37．（2023秋·吉林通化·高二梅河口市第五中学校考期末）已知在数列中，，且是公比为3的等比数列，则使的正整数的值为___________.
38．（2023秋·天津和平·高二天津一中校考期末）已知数列，，满足，，且.
(1)求数列，的通项公式；
(2)记，求证：．
39．（2023秋·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考期末）数列的前项和是，且，则__________.
40．（2023秋·广东深圳·高二统考期末）已知数列满足，，则数列的通项公式为_____________，若数列的前项和，则满足不等式的的最小值为_____________．
（四）对数型
41．（2023·全国·高二专题练习）已知数列满足
(1)证明：数列为等差数列：
(2)设数列满足，求数列的前项和.
42．（2023秋·山东菏泽·高二山东省郓城第一中学校考期末）已知数列满足，且.
(1)证明：是等比数列，并求的通项公式；
(2)在①；②；③这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并加以解答.已知数列满足__________，求的前项和.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
（五）幂型
43．（2023秋·山东临沂·高二校考期末）在①，，②数列的前3项和为6，③且，，成等比数列这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解.
已知是等差数列的前n项和，，___________.
(1)求；
(2)设，求数列的前n项和.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
44．（2023秋·河北邢台·高二邢台一中校考期末）已知等差数列的前项的和为，成等差数列，且成等比数列
(1)求的通项公式；
(2)若，数列的前项的和为，求证：
45．（2023春·山东威海·高二乳山市第一中学校考开学考试）正项数列的前n项和Sn满足：
(1)求数列的通项公式；
(2)令，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的n∈N*，都有Tn＜ .
46．（2023春·湖南常德·高二临澧县第一中学校考开学考试）已知数列满足…，设数列满足：,数列的前项和为，若恒成立，则的取值范围是
A．B．C．D．
考点六 数列求和的实际应用
（一）分期付款
47．（2023秋·山东青岛·高二山东省青岛第五十八中学校考期末）小李向银行贷款14760元，并与银行约定：每年还一次款，分4次还清所有的欠款，且每年还款的钱数都相等，贷款的年利率为0.25，则小李每年所要还款的钱数是___________元.
48．（2023秋·广东梅州·高二统考期末）市民小张计划贷款75万元用于购买一套商品住房，银行给小张提供了两种贷款方式：①等额本金：在还款期内把贷款数总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余贷款在该月所产生的利息，因此，每月的还款额呈递减趋势，且从第二个还款月开始，每月还款额与上月还款额的差均相同；②等额本息：银行从每月月供款中，先收剩余本金利息，后收本金；利息在月供款中的比例会随剩余本金的减少而降低，本金在月供款中的比例因增加而升高，但月供总额保持不变.银行规定，在贷款到账日的次月当天开始首次还款（如2021年7月8日贷款到账，则2021年8月8日首次还款）.已知该笔贷款年限为25年，月利率为.
(1)若小张采取等额本金的还款方式，已知第一个还款月应还5500元，最后一个还款月应还2510元，试计算该笔贷款的总利息.
(2)若小张采取等额本息的还款方式，银行规定，每月还款额不得超过家庭平均月收入的一半.已知小张家庭平均月收入为1万元，判断小张申请该笔贷款是否能够获批（不考虑其他因素）.参考数据：.
(3)对比两种还款方式，你会建议小张选择哪种还款方式，并说明你的理由.
（二）产值增长
49．（2022·高二课时练习）资料表明，2000年我国工业废弃垃圾达，每吨占地.环保部门每回收或处理1t废旧物资，相当于消灭4t工业废弃垃圾.如果某环保部门2002年共回收处理了废旧物资，且以后每年的回收量递增20％.
(1)2018年能回收多少吨废旧物资？（结果用科学记数法表示，保留一位小数）
(2)从2002年到2018年底，可节约土地多少平方米？（结果用科学记数法表示，保留一位小数）
50．（2022秋·甘肃定西·高二甘肃省临洮中学校考阶段练习）甲、乙、丙、丁四人合资注册一家公司，每人出资50万元作为启动资金投入生产，到当年年底，资金增长了50%．预计以后每年资金年增长率与第一年相同．四人决定公司从第一年开始，每年年底拿出60万元分红，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底公司分红后的剩余资金为万元．
(1)求，，并写出与的关系式；
(2)至少经过多少年，公司分红后的剩余资金不低于1200万元？
（年数取整数，参考数据：，）
51．（2022秋·安徽宣城·高二统考期末）“绿水青山就是金山银山”，中国一直践行创新、协调、绿色、开放、共享的发展理念，着力促进经济实现高质量发展，决心走绿色、低碳、可持续发展之路．新能源汽车环保、节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向工业部表示，到2025年我国新能源汽车销量占总销量将达20%以上.2021年，某集团以20亿元收购某品牌新能源汽车制造企业，并计划投资30亿元来发展该品牌.2021年该品牌汽车的销售量为10万辆，每辆车的平均销售利润为3000元．据专家预测，以后每年销售量比上一年增加10万辆，每辆车的平均销售利润比上一年减少10%．
(1)若把2021年看作第一年，则第n年的销售利润为多少亿元？
(2)到2027年年底，该集团能否通过该品牌汽车实现盈利？
（实现盈利即销售利润超过总投资，参考数据：，，）
（三）其他模型
52．（2022·高二课时练习）某单位制作了一个热气球用于广告宣传.已知热气球在第一分钟内能上升30米，以后每分钟上升的高度都是前一分钟的，则该气球上升到70米至少要经过（ ）
A．3分钟B．4分钟C．5分钟D．6分钟
53．（2022春·河北廊坊·高二统考期末）某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费，每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列，已知第五实验室比第二实验室的改建费用高42万元，第七实验室比第四实验室的改建费用高168万元，并要求每个实验室改建费用不能超过1700万元.则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要
A．3233万元B．4706万元C．4709万元D．4808万元