考点19 数列大题10种常见考法归类-2023-2024学年高二数学专题高分突破(人教A版选择性必修第二册)

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策略1 数列的前n项和Sn与an的关系
1.把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即
Sn＝a1＋a2＋…＋an.
2．数列的前项和和通项的关系：则
特别地，若a1满足an＝Sn－Sn－1(n≥2)，则不需要分段．
策略2 解决等差数列运算问题的思想方法
(1)方程思想：等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题.
(2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解．
(3)利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程．等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝eq \f(na1＋an,2)结合使用．
(4)特殊设法:三个数成等差数列，一般设为；四个数成等差数列，一般设为.这对已知和,求数列各项,运算很方便.
策略3 解决等比数列运算问题的思想方法
(1)等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量，已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”)，通过列方程(组)便可迎刃而解；
(2)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如qn，eq \f(a1,1－q)都可看作一个整体．
(3)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)＝eq \f(a1－anq,1－q)，当q>1时，用公式Sn＝eq \f(a1,q－1)(qn－1)代入计算，当q<1时，用公式Sn＝eq \f(a1,1－q)(1－qn)代入计算，可避免出现符号错误．
策略4 等差数列的四种判断方法
(1) 定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列；
(2) 等差中项：对于数列，若，则数列是等差数列;
(3)通项公式：(为常数,)⇔ 是等差数列;
(4)前项和公式：(为常数, )⇔ 是等差数列;
(5)是等差数列⇔是等差数列.
提醒：判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a2－a1＝d这一关键条件.
策略5 等比数列的四种判断方法
策略6 数列求和的常用方法
1、公式法
公式法：如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前项和的公式来求和.对于一些特殊的数列（正整数数列、正整数的平方和立方数列等）也可以直接使用公式求和.
2、分组转化法
有一类数列 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT ，它既不是等差数列，也不是等比数列，但是数列 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 是等差数列或等比数列或常见特殊数列，则可以将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的特殊数列，然后分别求和，再将其合并即可.
3 倒序相加法
如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法，等差数列前n项和公式的推导便使用了此法. 用倒序相加法解题的关键，就是要能够找出首项和末项之间的关系，因为有时这种关系比较隐蔽.
注：倒序求和，多是具有中心对称的
4 裂项相消法
裂项相消法求和的实质是将数列中的通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，其解题的关键就是准确裂项和消项．
(1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．
(2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项
在利用裂项相消求和时应注意：善于识别裂项类型
（1）在把通项裂开后，是否恰好能利用相应的两项之差，相应的项抵消后是否只剩下第一项和最后一项，或者只剩下前边两项和后边两项，有时抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面剩两项,或者前面剩几项,后面也剩几项;
（2）对于不能由等差数列，等比数列的前n项和公式直接求和问题，一般需要将数列的结构进行合理的拆分，将通项裂项后,有时需要调整前面的系数,使裂开的两项之差或系数之积与原通项相等.转化成某个新的等差或者等比数列进行求和。应用公式时，要保证公式的准确性，区分是等差还是等比数列的通项还是前n项和公式。
（3）使用裂项法求和时，要注意正负相消时消去了哪些项保留了哪些项，切不可漏写末被消去的项，末被消去的项前后对称的特点，漏掉的系数裂项过程中易出现丢项或者多项的错误，造成计算结果上的错误，实质上也是造成正负相消是此法的根源目的。
5 错位相减法
错位相减求和方法
(1)适用条件：若{an}是公差为d(d≠0)的等差数列，{bn}是公比为q(q≠1)的等比数列，求数列{anbn}的前n项和Sn；
(2)基本步骤
(3)注意事项：①在写出Sn与qSn的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出Sn－qSn；
②作差后，等式右边有第一项、中间n－1项的和式、最后一项三部分组成；
③运算时，经常把b2＋b3＋…＋bn这n－1项和看成n项和，把－anbn＋1写成＋anbn＋1导致错误．
策略7 数列的实际应用
1．解应用问题的核心是建立数学模型．
2．一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型．
3．注意问题是求什么(n，an，Sn)．
注：(1)解答数列应用题要注意步骤的规范性：设数列，判断数列，解题完毕要作答．
(2)在归纳或求通项公式时，一定要将项数n计算准确．
(3)在数列类型不易分辨时，要注意归纳递推关系．
(4)在近似计算时，要注意应用对数方法，且要看清题中对近似程度的要求．
考点一 等差数列基本量的计算
考点二 等差数列的证明
考点三 等比数列基本量的计算
考点四 等比数列的证明
考点五 由an和Sn的关系求通项
考点六 分组转化法求和
等差（等比）+可求和型
（二）含绝对值的求和
（三）奇偶型求和
（四）正负相间求和
考点七 裂项相消法求和
考点八 错位相减法求和
考点九 数列与不等式问题
考点十 数列的实际应用
考点一 等差数列基本量的计算
1．（2023秋·湖南益阳·高二统考期末）已知等差数列的前n项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和．
2．（2023秋·江苏无锡·高三统考期末）已知等差数列的前n项和为，公差，是，的等比中项，．
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，，求．
3．（2023秋·陕西汉中·高二统考期末）已知数列为等差数列，，数列的前项和为，且满足.
(1)求和的通项公式：
(2)若，求数列的前项和为.
考点二 等差数列的证明
4．（2023秋·浙江宁波·高二统考期末）已知正项数列的前n项和为．若（且）．
(1)求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
(2)若，求前n项和．
5．（2023秋·湖南益阳·高二统考期末）已知数列满足，且．
(1)求证：数列等差数列，并求出数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
6．（2023春·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试）已知数列的前n项和为，，．
(1)求证：数列为等差数列；
(2)设，求数列的前n项和．
7．（2023秋·山西临汾·高二统考期末）已知各项均为正数的数列，若该数列对于任意，都有.
(1)证明数列为等差数列；
(2)设，求数列的前项和.
考点三 等比数列基本量的计算
8．（2023秋·陕西宝鸡·高二统考期末）设等比数列满足，．
(1)求的通项公式；
(2)记为数列的前项和．若，求的值．
9．（2023秋·辽宁辽阳·高三统考期末）设正项等比数列的前n项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)记的前n项积为，求使得取得最大值的n的值．
10．（2023春·浙江绍兴·高三统考开学考试）设等比数列的前项和为，已知.
(1)求数列通项公式；
(2)记，证明：.
考点四 等比数列的证明
11．（2022秋·上海虹口·高二校考期末）已知数列满足，且.
(1)令，求证：是等比数列；
(2)求数列的通项公式及数列的前项和.
12．（2023秋·江苏连云港·高二统考期末）若数列满足：，对任意的正整数，都有.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式.
13．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考开学考试）已知为数列的前项和，．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)记，求数列的前项和．
14．（2023春·河南·高三洛阳市第三中学校联考开学考试）已知数列的前项和为，且满足，，.
(1)证明：数列是等比数列，并求；
(2)设，求数列的前项和.
考点五 由an和Sn的关系求通项
15．（2023秋·山西临汾·高二统考期末）数列的前项和为，且.
(1)求；
(2)若，求数列的前项和.
16．（2023·河南郑州·统考一模）已知数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列前项和．
17．（2023·湖南·模拟预测）已知数列的前项和为，，当时，．
(1)求
(2)设，求数列的前项和为．
考点六 分组转化法求和
（一）等差（等比）+可求和型
18．（2023·广东惠州·统考模拟预测）数列中，，．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)若，求数列的前项和．
19．（2023秋·上海奉贤·高二校考期末）在等差数列中，
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前项和．
20．（2023秋·广东广州·高二统考期末）已知数列{}为等差数列，是其前n项和，且，．数列{}中，，．
(1)分别求数列{}，{}的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
（二）含绝对值的求和
21．（2023春·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试）已知数列的首项，前n项和为，且数列是公差为的等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
22．（2023·全国·模拟预测）在数列中，，．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
23．（2023秋·广东深圳·高二统考期末）已知数列，满足，，且．
(1)求的通项公式；
(2)设，为数列的前n项和，求．
（三）奇偶型求和
24．（2023秋·浙江湖州·高三安吉县高级中学校考期末）已知数列满足.
(1)若数列满足，求及的通顼公式；
(2)数列的前项和.
25．（2023春·山东济南·高二统考期末）已知数列的前n项和，且，数列满足，其中．
(1)求和的通项公式；
(2)设，求数列的前20项和．
26．（2023春·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知数列满足，，.
(1)证明：是等比数列
(2)求数列的前2n项和.
27．（2023·高二单元测试）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，．
(1)求，的通项公式；
(2)若数列，求前项和．
28．（2023·高二课时练习）已知数列中，且点在函数的图像上．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和．
（四）正负相间求和
29．（2023春·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试）已知公比大于1的等比数列满足，．
(1)求的通项公式；
(2)求．
30．（2023秋·浙江绍兴·高三期末）已知为数列的前n项的和，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
31．（2023春·广东·高三统考开学考试）已知数列和满足，，，．
(1)求的通项公式；
(2)令，求数列的前项和
32．（2023春·浙江·高三开学考试）已知等比数列的前n项和为，且满足，数列满足：，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)设数列的通项，求数列的前n项和．
考点七 裂项相消法求和
33．（2023秋·陕西汉中·高二统考期末）等比数列的各项均为正数，且，设.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列，求证：数列的前项和.
34．（2023秋·山东泰安·高三统考期末）已知数列的前n项和为，，且（）．
(1)求的通项公式；
(2)若，数列的前n项和为，求证：．
35．（2023秋·江苏南京·高二南京市大厂高级中学校考期末）设为等差数列的前项和，已知，．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，为数列的前项和，求的取值范围．
36．（2023秋·浙江宁波·高二统考期末）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．
问题：已知等差数列为其前n项和，若______________．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求证：数列的前n项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
37．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）已知正项数列的前项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
38．（2023秋·湖南株洲·高二校考期末）已知数列中，，，（，）.
(1)求数列的通项公式；
(2)为数列的前n项和，设，是数列的前n项和，求证：.
考点八 错位相减法求和
39．（2023·四川南充·校考模拟预测）在①，②这两个条件中选一个合适的补充在下面的横线上，使得问题可以解答，并写出完整的解答过程
问题：在各项均为整数的等差数列中，，公差为，且__________
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和
40．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考一模）已知数列的前n项之积为．
(1)求数列的通项公式；
(2)设公差不为0的等差数列中，， ，求数列的前n项和．请从①；②这两个条件中选择一个条件，补充在上面的问题中并作答注：如果选择多个条件分别作答，则按照第一个解答计分．
41．（2023秋·河北邢台·高二统考期末）已知递增数列满足，．
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前n项和．
考点九 数列与不等式问题
42．（2023秋·湖南长沙·高二雅礼中学统考期末）记为数列的前n项和，已知的公差为的等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)证明：.
43．（2023·全国·模拟预测）已知数列满足，，，当时， ，为数列前n项的和.
(1)证明：；
(2)若，求数列的前n项和.
44．（2023秋·湖南郴州·高二统考期末）已知数列的前n项和为，且满足，是3与的等差中项．
(1)设，证明数列是等比数列；
(2)是否存在实数，使得不等式，对任意正整数n都成立？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由．
45．（2023秋·山东烟台·高二统考期末）已知数列满足.
(1)证明：是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)设数列满足，记的前项和为，若对恒成立，求实数的取值范围.
46．（2023秋·浙江舟山·高二统考期末）已知正项数列满足，，且.
(1)求的通项公式；
(2)设数列满足，记的前项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.
考点十 数列的实际应用
47．（2023秋·上海杨浦·高二复旦附中校考期末）某地区森林原有木材存量为，且每年增长率为，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为，设为年后该地区森林木材的存量.
(1)求的表达式；
(2)如果，为保护生态环境，经过多少年后，木材存储量能翻一番？
参考数据：，.
48．（2023秋·陕西汉中·高二统考期末）汉中地处秦巴之间､汉水之源，绿水青山，物产丰富，自古就有“汉家发祥地､中华聚宝盆”之美称.通过招商引资，某公司在我市投资36万元用于新能源项目，第一年该项目维护费用为6万元，以后每年增加2万元，该项目每年可给公司带来25万元的收入.假设第n年底，该项目的纯利润为.（纯利润=累计收入－累计维护费－投资成本）
(1)写出的表达式，并求该项目从第几年起开始盈利？
(2)经过几年该项目年平均利润达到最大？最大是多少万元？
49．（福建省龙岩市2022-2023学年高二上学期期末教学质量检查数学试题）“绿水青山就是金山银山”，治理垃圾是改善环境的重要举措之一．去年某地区产生的垃圾排放量为300万吨，通过扩大宣传、环保处理等一系列治理措施，预计从今年开始，连续6年，每年的垃圾排放量比上一年减少10万吨，从第7年开始，每年的垃圾排放量为上一年的90%．
(1)求该地区从今年开始的年垃圾排放量关于治理年数的函数解析式；
(2)该地区要实现“年垃圾排放量不高于150万吨”这一目标，那么至少要经过多少年?
(3)设为从今年开始n年内的年平均垃圾排放量．如果年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势，则认为现有的治理措施是有显著效果的；否则，认为无显著效果，试判断现有的治理措施是否有显著效果，并说明理由．
（参考数据：）
定义法
若eq \f(an＋1,an)＝q(q为非零常数，n∈N*)或eq \f(an,an－1)＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列
中项
公式法
若数列{an}中，an≠0且aeq \\al(2,n＋1)＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列
通项
公式法
若数列{an}的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数列
前n项和
公式法
若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为非零常数，q≠0,1)，则{an}是等比数列