人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用习题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用习题，共34页。试卷主要包含了已知平面α的法向量为=等内容，欢迎下载使用。
【考点梳理】
考点一：空间中点、直线和平面的向量表示
1.空间中点的位置向量
如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量eq \(OP,\s\up6(→))来表示．我们把向量eq \(OP,\s\up6(→))称为点P的位置向量．
2.空间中直线的向量表示式
直线l的方向向量为a ，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使
eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋ta，①
把eq \(AB,\s\up6(→))＝a代入①式得
eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋teq \(AB,\s\up6(→))，②
①式和②式都称为空间直线的向量表示式．
3.空间中平面的向量表示式
平面ABC的向量表示式：空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→)).我们称为空间平面ABC的向量表示式．

考点二 空间中平面的法向量
平面的法向量
如图，若直线 l⊥α ，取直线 l 的方向向量a ，我们称a为平面α的法向量；过点A且以 a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 {P|a·eq \(AP,\s\up6(→))＝0}．



考点三： 空间中直线、平面的平行
1.线线平行的向量表示
设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则
l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2.
2.线面平行的向量表示
设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则
l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0.
面面平行的向量表示
设n1 ，n2 分别是平面α，β的法向量，则
α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2 .
考点四：空间中直线、平面的垂直
1.线线垂直的向量表示
设 u1，u2 分别是直线 l1 , l2 的方向向量，则
l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.
2. 线面垂直的向量表示
设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量， l⊄α，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn.
知识点三 面面垂直的向量表示
设n1，n2 分别是平面α，β的法向量，则
α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0.









【题型归纳】
题型一：平面的法向量的求法
1．若直线l的方向向量为（1,0,2），平面的法向量为，则（ ）
A．B．C．或D．l与斜交
2．如图，在正方体ABCD­中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为B的中点，F为的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是
A．(1，－2，4)B．(－4,1，－2)
C．(2，－2，1)D．(1，2，－2)
3．如图，在单位正方体中，以为原点，，，为坐标向量建立空间直角坐标系，则平面的法向量是（ ）
A．，1，B．，1，C．，，D．，1，



题型二：空间中点、直线和平面的向量表示
4．已知平面内两向量，，若为平面的法向量且，则，的值分别为（ ）
A．，B．，C．，D．，
5．已知在正方体中，，为空间任意两点，如果，那么点必（ ）
A．在平面内B．在平面内
C．在平面内D．在平面内
6．已知光线沿向量（，，）照射，遇到直线后反射，其中是直线的一个方向向量，是直线的一个法向量，则反射光线的方向向量一定可以表示为
A．B．
C．D．

题型三：空间中直线、平面的平行
7．已知＝(2，4，5)，＝(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量．若l1∥l2，则（ ）
A．x＝6，y＝15B．x＝3，y＝
C．x＝3，y＝15D．x＝6，y＝
8．设平面的一个法向量为＝(1，2，－2)，平面的一个法向量为＝(－2，－4，k)，若，则k＝（ ）
A．-5B．-4C．－2D．4
9．如图，在正方体AC1中，PQ与直线A1D和AC都垂直，则直线PQ与BD1的关系是（ ）
A．异面直线
B．平行直线
C．垂直不相交
D．垂直且相交

题型四：空间中直线、平面的垂直
10．已知平面α的法向量为=（1，2，-2），平面β的法向量为=（-2，-4，k），若α⊥β，则k等于（ ）
A．4B．-4C．5D．-5
11．已知两不重合直线l1和l2的方向向量分别为a＝(3λ＋1，0，2λ)，b＝(1，λ－1，λ)，若l1⊥l2，则λ的值为（ ）
A．1或－B．1或
C．－1或D．－1或－
12．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，，，则PA与底面ABCD的关系是（ ）
A．相交B．垂直
C．不垂直D．成60°角


【双基达标】
一、单选题
13．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（ ）．
A．B．C．D．与相交
14．已知向量是平面α的两个不相等的非零向量，非零向量是直线的一个方向向量，则且是l⊥α的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
15．若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则能使l∥α的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，

16．直线的方向向量，平面α的法向量为，若直线平面，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
17．已知正方体，是棱的中点，则在棱上存在点，使得（ ）
A．B．
C．平面D．平面
18．平面的一个法向量是,,，平面的一个法向量是,6,，则平面与平面的关系是（ ）
A．平行B．重合C．平行或重合D．垂直
19．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是（ ）
A．相交B．平行
C．垂直D．MN在平面BB1C1C内
20．下列命题中，正确命题的个数为（ ）
①若分别是平面α，β的法向量，则⇔α∥β；
②若分别是平面α，β的法向量，则α⊥β ⇔；
③若是平面α的法向量，是直线l的方向向量，若l与平面α平行，则；
④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直．
A．1B．2C．3D．4






21．如图，在正方体中，点，，分别是线段，，的中点，则直线与，的位置关系是（ ）
A．与，均垂直
B．与垂直，与不垂直
C．与不垂直，与垂直
D．与，均不垂直
22．如图所示，正方体中，分别在上，且，则（ ）
A．至多与之一垂直B．
C．与相交D．与异面






【高分突破】
一：单选题
23．已知向量 ， ，分别是直线 、 的方向向量，若 ，则
A． ，B． ，C． ，D． ，
24．已知A,B,C三点不共线,对于平面ABC外的任一点O,下列条件中能确定点M与点A,B,C一定共面的是
A．B．
C．D．
25．已知向量，平面的一个法向量，若，则
A．，B．，C．D．
26．已知为直线l的方向向量，，分别为平面，的法向量不重合那么下列说法中：
；；；正确的有
A．1个B．2个C．3个D．4个
27．在如图所示的坐标系中,为正方体,给出下列结论:
①直线 的一个方向向量为(0,0,1);
②直线的一个方向向量为(0,1,1);
③平面的一个法向量为(0,1,0);
④平面的一个法向量为(1,1,1).
其中正确的个数为( )
A．1B．2C．3D．4



28．设空间四点O、A、B、P满足=m+n，其中m+n=1，则
A．点P一定在直线AB上
B．点P一定不在直线AB上
C．点P不一定在直线AB上
D．以上都不对
29．在三棱锥中，、、两两垂直，，，如图，建立空间直角坐标系，则下列向量中是平面的法向量的是（ ）
A．B．
C．D．
30．如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE.则M点的坐标为（ ）
A．(1，1，1)B．C．D．





二、多选题
31．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）
A．B．
C．向量与的夹角是60°D．与AC所成角的余弦值为
32．如图，正方体的棱长为1，是的中点，则（ ）
A．直线平面B．
C．三棱锥的体积为D．异面直线与所成的角为
33．（多选）下列命题是真命题的有（ ）.
A．直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直
B．直线的方向向量为，平面的法向量为，则
C．平面，的法向量分别为，，则
D．平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则



34．已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（ ）
A．与是共线向量B．与同向的单位向量是
C．和夹角的余弦值是D．平面的一个法向量是
35．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果，，，下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．是平面ABCD的一个法向量D．
36．已知矩形，，，将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折，翻折过程中（ ）
A．存在某个位置，使得
B．存在某个位置，使得
C．存在某个位置，使得
D．存在某个位置，使得，、均不等于零


三、填空题
37．已知平面α经过点O（0，0，0），且＝（1，2，－3）是α的一个法向量，M（x，y，z）是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是________________.
38．已知α，β为两个不重合的平面，设平面与向量＝(－1，2，－4)垂直，平面β与向量＝(－2，4，－8)垂直，则平面与β的位置关系是________．
39．若＝是平面α的一个法向量，且＝(－1，2，1)，＝均与平面α平行，则向量＝________.
40．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，，P为C1D1的中点，M为BC的中点，则AM与PM的位置关系是________.
41．在△ABC中，A(1，－2，－1)，B(0，－3，1)，C(2，－2，1)．若向量与平面ABC垂直，且，则的坐标为________________．
42．在如图所示的坐标系中，ABCD－A1B1C1D1表示棱长为1的正方体，给出下列结论：
①直线DD1的一个方向向量为(0，0，1)；②直线BC1的一个方向向量为(0，1，1)；③平面ABB1A1的一个法向量为(0，1，0)；④平面B1CD的一个法向量为(1，1，1)．
其中正确的是________．(填序号)

四、解答题
43．如图，已知P是平面四边形ABCD所在平面外一点，连接PA､PB､PD.点E､F､G､H分别为PAB､PBC､PCD､PDA的重心.，求证：
（1）E､F､G､H四点共面；
（2）平面EFGH平面ABCD.







44．如图,在等腰梯形中,,,,平面,,且,,Q分别是线段,AB的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）求证：PQ平面．


45．如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB＝120°，且OA＝OB＝OC＝1，设P为AC的中点，Q在AB上且AB＝3AQ，证明：PQ⊥OA．






46．如图，在底面是矩形的四棱锥中，底面，、分别是、的中点，，.求证：
（1）平面；
（2）平面平面.





47．如图所示，平面CDEF平面ABCD，且四边形ABCD为平行四边形，∠DAB＝45°，四边形CDEF为直角梯形，EF∥DC，EDCD，AB＝3EF＝3，ED＝a，AD．
（1）求证：ADBF；
（2）若线段CF上存在一点M，满足AE∥平面BDM，求的值；

【答案详解】
1．C
∵ ，，
∴ ，即或.
故选：C.
2．B
设正方体棱长为2，则A（2，0，0），E（2，2，1），F（1，0，2），
∴=（0，2，1），=（﹣1，0，2）
设向量=（x，y，z）是平面AEF的一个法向量
则，取y=1，得x=﹣4，z=﹣2
∴=（﹣4，1，﹣2）是平面AEF的一个法向量
因此可得：只有B选项的向量是平面AEF的法向量
故选B．
3．A
在单位正方体中，
以为原点，，，为坐标向量建立空间直角坐标系，
，0，，，1，，，1，，
，1，，，0，，
设平面的法向量是，，，
则，取，得，1，，
平面的法向量是，1，.
故选：.
4．A
因为，，
所以
，
因为为平面的法向量，
所以，即，
解得：，所以，的值分别为，，
故选：A.
5．C
因为
，所以，，，四点共面
6．B
不妨设入射光线与反射光线的方向向量模相等，即如图中，则向量时，向量.故选B.
7．D
由l1∥l2得，，解得x＝6，y＝.
8．D
因为，所以，则 ，解之得，
故选：D
9．B
设正方体的棱长为1，取D点为坐标原点建系后如图所示：
则，，， ，，
＝(1，0，1)，＝(－1，1，0)，
设＝(a，b，c)，
则
取＝(1，1，－1)，
∵＝(0，0，1)－(1，1，0)＝(－1，－1，1)＝－，
∴∥，
∴PQ∥BD1.
故选：B
10．D
解：由平面α的法向量为，平面β的法向量为，
∵α⊥β，∴，
∴.
∴.
故选：D.
11．D
【详解】
由题意知，a⊥b，
∴3λ＋1＋2λ2＝0，
∴λ＝－1或－.
12．B
解：因为，所以；
因为，所以，
又，
所以平面ABCD．
故选：B．
13．B
，
由已知可得，则，因此，.
故选：B.
14．B
【详解】
当不共线时，由且，可推出l⊥α；当为共线向量时，由且，不能够推出，所以且是l⊥α的不充分条件；
若，则一定有且，所以且是l⊥α的必要条件.
故选：.
15．D
【详解】
由题意得，若使l∥α，那么就要使，即.
对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：D.
16．D
因为直线的方向向量，平面α的法向量为，
直线平面，
所以，即，解得：
故选：D.
17．B
建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则，，，设（，
则，，
因为，所以不可能平行，即不可能平行，
又，，因此可以垂直，即与可能垂直．
，，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，
与不可能平行，因此与平面不可能垂直，
，因此与不可能垂直，因此与平面不可能平行，
故选：B．
18．C
平面的一个法向量是,,，平面的一个法向量是,6,，
，
平面与平面的关系是平行或重合．
故选：C．
19．B
以点C1为坐标原点，分别以C1B1，C1D1，C1C所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由于A1M＝AN＝，则
又C1D1⊥平面BB1C1C，所以＝(0，a，0)为平面BB1C1C的一个法向量．
因为，所以，又平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C.
故选：B
20．C
①中平面α，β可能平行，也可能重合，结合平面法向量的概念，可知②③④正确
故选：C
21．A
如图，以D为原点，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则，，，，，
则，，
，即
，即
所以直线与，均垂直，
故选：A
22．B
如图，以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.
设正方体的棱长为3，则，，，，，，，.
，，，
，，，，∴A错误，B正确；
，，，
，即，∴C，D错误.
故选：B.
23．D
【详解】
∵∥，
∴ ∥ ，
∴，
∴．选D．
24．D
设，若点与点共面,,则，只有选项D满足，.故选D.
25．A
因为，所以，由，得，.
故选A
【点睛】
本题考查了空间法向量的定义，空间向量共线的坐标表示，属于基础题．
26．B
∵平面，不重合；
平面，的法向量平行垂直等价于平面，平行垂直；
正确；
直线l的方向向量平行垂直于平面的法向量等价于直线l垂直平行于平面；
都错误．
故选B．
27．C
DD1∥AA1,=(0,0,1)，故①正确；
BC1∥AD1,=(0,1,1), 故②正确；
直线AD⊥平面ABB1A1,=(0,1,0). 故③正确；
点C1的坐标为(1,1,1),与平面B1CD不垂直,故④错.
28．A
由可得：，结合题意可知：
，
即：，，
据此可知：APB三点共线，点P一定在直线AB上.
29．A
，，设平面的一个法向量为，
由则，解得，．
又，因此，平面的一个法向量为.
故选：A.
30．C
设交于点，连结，因为正方形与矩形所在的平面互相垂直，，点在上，且平面，所以，又，所以是平行四边形，所以是的中点，因为，所以，故选C．
31．AB
以顶点A为端点的三条棱长都相等, 它们彼此的夹角都是60°，
可设棱长为1,则

而
， 所以A正确.
=0,所以B正确.
向量,
显然 为等边三角形，则.
所以向量与的夹角是 ,向量与的夹角是,则C不正确
又，
则，

所以，所以D不正确.
故选：AB
32．ABD
解：如图建立空间直角坐标系，，，，，，，，，，
，，，
所以，即，所以，故B正确；
，，，
设异面直线与所成的角为，则，又，所以，故D正确；
设平面的法向量为，则，即，取，
则，即，又直线平面，所以直线平面，故A正确；
，故C错误；
故选：ABD
33．AD
∵，，
∴，则，
∴直线与垂直，故A正确；
，，则，
则，∴或，故B错误；
∵，，∴与不共线，
∴不成立，故C错误；
∵点，，，
∴，.
∵向量是平面的法向量，∴，
即，解得，故D正确.
故选：AD
34．BD
对于A，，，可知，与不共线，A错误；
对于B，，，，即与同向的单位向量是，B正确；
对于C，，，
即和夹角的余弦值为，C错误；
对于D，设平面的法向量，
则，令，解得：，，，
即平面的一个法向量为，D正确.
故选：BD.
35．ABC
因为，所以，A正确；
因为，所以，B正确；
由,，可得是平面ABCD的一个法向量，C正确；
BD在平面ABCD内，可得，D错误．
故选：ABC．
36．AD
在矩形中，分别过点、作、，垂足分别为点、.
由已知条件，，.

对于A选项，若存在某个位置，使得，
，，平面，平面，则，
在中，斜边，存在，故A正确；
对于B选项，若存在某个位置，使得，
，，平面，平面，则，
在中，斜边，矛盾，故B错误；
对于C选项，若存在某个位置，使得，
，，平面，平面，，
，在平面内，过点能作两条直线与垂直，矛盾，故C错误；
对于D选项，取平面平面，
，平面平面，平面，平面，
以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、，
，，则，
，，则，
，，则，D选项正确.
故选：AD.
37．x＋2y－3z＝0
解：由题意得⊥，，
则，
所以x，y，z满足的关系式是x＋2y－3z＝0.
故答案为：x＋2y－3z＝0.
38．平行
，，，
所以，又分别是平面的法向量，
所以.
故答案为：平行
39．
解析 由题意，知
即解得
所以.
故答案为：
40．PM⊥AM
【详解】
解：以点为原点，、、为轴、轴、轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系
可得，．
，，
由此可得，
即，可得．
故答案为：
41．(－2，4，1)或(2，－4，－1)
【详解】
据题意，得＝(－1，－1，2)，＝(1，0，2)．
设(x，y，z)，∵与平面ABC垂直，
即 可得
，，
解得或．
当时，，；当时，，．
∴的坐标为(－2，4，1)或(2，－4，－1)．
故答案为：(－2，4，1)或(2，－4，－1)
①②③
解析 ＝＝(0，0，1)，故①正确；＝＝(0，1，1)，故②正确；直线AD⊥平面ABB1A1，＝(0，1，0)，故③正确；向量的坐标为(1，1，1)，与平面B1CD不垂直，∴④错．
43．
（1）∵E､F､G､H分别是所在三角形的重心.
∴M、N、Q、R为所在边的中点，顺次连接M、N、Q、R所得四边形为平行四边形，
且有，，，.
∵四边形MNQR为平行四边形，
则
.
∴由共面向量定理得E､F､G､H四点共面；
（2）由（1）知，∴MQEG，
由平面ABCD，平面ABCD，从而EG平面ABCD，
又，∴MNEF，
由平面ABCD，平面ABCD，从而EF平面ABCD，
又∵EG∩EF=E，平面EFGH,
∴平面EFGH平面ABCD.
44．
（1）平面，平面，则，在中，由余弦定理：，在中，由正弦定理：
，解得，又，则，于是，即，又，故平面，又平面，则平面平面.
（2）由第一问知，是平面的法向量，于是只要证明即可，即证，由向量的运算：，，两式相加得：，于是，
即，显然点平面，点平面，则直线平面，于是PQ平面.
45．

,

.
∴PQ⊥OA．
46．
以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则、、、、，所以、，
，，，，，，.
（1）因为，所以，即.
又平面，平面，所以平面;
（2）因为，所以，同理可得，
即，.
又，所以平面.
平面，所以平面平面.
47．
（1）∵面CDEF面ABCD，EDCD，面，面面，
∴ED面ABCD，面，即，
过作于，过作交于，
∵CDEF为直角梯形，AB＝3EF＝3，
∴，即，则，且，
∴，得，即，
∴，而，即面，又面，
∴，故.
（2）以D为原点，过点D垂直于DC的直线为x轴，DC所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如下图示：
∴，若，则，
设，则，
设平面BDM的法向量为，则，取x1＝2，则，
若AE∥平面BDM，则，解得，
∴线段CF上存在一点M，满足AE∥平面BDM，此时．