苏教版 (2019)12.2 复数的运算同步练习题

这是一份苏教版 (2019)12.2 复数的运算同步练习题，共38页。

考点一 复数加法与减法的运算法则
1.设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则
(1)z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i；(2)z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.
2.对任意z1，z2，z3∈C，有
(1)z1＋z2＝z2＋z1；(2)(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).
考点二 复数加减法的几何意义
如图，设复数z1，z2对应向量分别为eq \(OZ1,\s\up6(→))，eq \(OZ2,\s\up6(→))，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，向量eq \(OZ,\s\up6(→))与复数z1＋z2对应，向量eq \(Z2Z1,\s\up6(→))与复数z1－z2对应.
考点三 复数乘法的运算法则和运算律
1.复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
2.复数乘法的运算律
对任意复数z1，z2，z3∈C，有
考点四 复数除法的法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)是任意两个复数，
则eq \f(z1,z2)＝eq \f(a＋bi,c＋di)＝eq \f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq \f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0).
【题型归纳】
题型一：复数的加减法的代数运算
1．（2023·福建·莆田第七中学高一期中）若复数，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
2．（2023·全国·高一）计算：
(1)(2)
(3)(4)
(5)(6)
3．（2022·全国·高一）计算：
（1）；（2）已知，，求，．
题型二：复数加减法的几何意义
4．（2023·全国·高一单元测试）如图在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为（ ）．
A．B．C．D．
5．（2020·全国·高一课时练习）如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应复数0，3＋2i，－2＋4i．求：
（1）向量对应的复数；
（2）向量对应的复数；
（3）向量对应的复数．
6．（2020·全国·高一课时练习）如图所示,平行四边形的顶点O,A,C对应的复数分别为0,,,其中i为虚数单位由复数的几何意义,知与对应的复数分别为,.

(1)求对应的复数.
(2)求对应的复数.
(3)求对应的复数.
题型三：复数代数形式的乘法除法运算
7．（2023·全国·高一课时练习）已知，.求：
(1)；(2)；
(3)（n为正整数）；(4).
8．（2023·全国·高一课时练习）计算：
(1)(2)
(3)(4)
(5)(6)
9．（2023·广东东莞·高一期中）已知复数（，），（，）．
（1）当，，，时，求，，；
（2）根据（1）的计算结果猜想与的关系，并证明该关系的一般性．
题型四：复数范围内解方程
10．（2022·山东·高一阶段练习）设是实系数一元二次方程的两个根，若是虚数，是实数，则（ ）
A．0B．C．D．1
11．（2022·全国·高一课时练习）若是关于的实系数方程的一个复数根，则（ ）
A．B．
C．D．
12．（2023·山东省实验中学高一期中）已知复数3–2i是关于x的方程的一个根，则实数m，n的值分别为（ ）
A．6，5B．12，10C．12，26D．24，26
题型五：复数的平方根和立方根
13．（2023·陕西·西安市第八十九中学高二阶段练习（文））设复数（i是虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．
14．（2023·上海·高一单元测试）下列命题：①是的一个平方根；②是一个负数；③如果，则.其中正确的命题的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
15．（2023·全国·高一专题练习）下列关于复数的命题中（其中 为虚数单位），说法正确的是（ ）
A．若关于x的方程有实根，则
B．复数z满足，则z在复平面对应的点位于第二象限
C．，（为虚数单位，），若，则
D．是关于x的方程的一个根，其中p､q为实数，则
题型六：复数的综合运算
16．（2023·甘肃·静宁县第一中学高二阶段练习（理））已知，为虚数单位，若，则等于（ ）
A．－9B．5
C．13D．9
（2023·江苏·高二）
（1）；（2）
（3）；（4）；
（5）；（6）.
18．（2023·江苏·高二单元测试）已知复数，其中a是实数.
（1）若在复平面内表示复数的点位于第二象限，求a的取值范围；
（2）若是纯虚数，a是正实数.
① 求a；
② 求.
【双基达标】
一、单选题
19．（2022·江苏省响水中学高一期中）设（为虚数单位），则复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
20．（2022·福建省龙岩第一中学高一阶段练习）已知复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
21．（2022·河北邢台·高一阶段练习）若复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
22．（2022·河北邢台·高一阶段练习）已知是关于x的方程的一个根，其中，则（ ）
A．18B．16C．9D．8
23．（2022·全国·高一单元测试）若复数满足，则复数的实部为（ ）
A．B．C．D．
24．（2022·湖南·高一课时练习）在复平面内，把复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数是
A．B．C．D．
25．（2023·山东省淄博实验中学高一期中）设i为虚数单位，则复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
26．（2022·全国·高一课时练习）若，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
27．（2022·全国·高一课时练习）已知复数，则（ ）
A．B．C．D．
28．（2022·河北邢台·高一阶段练习）已知复数，其中．
(1)若为实数，求的值；
(2)若为纯虚数，求的虚部．
29．（2022·全国·高一单元测试）设是虚数，且满足.
(1)求的值及的实部的取值范围；
(2)设，求证：为纯虚数；
(3)求的最小值.
【高分突破】
一：单选题
30．（2022·全国·高一课时练习）已知复数，则z的共轭复数=（ ）
A．B．C．D．
31．（2023·全国·高一课时练习）已知z是复数，且p:z=i；q:z+∈R.则p是q的（）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
32．（2022·全国·高一单元测试）已知是虚数单位，复数的共轭复数为，下列说法正确的是（ ）
A．如果，则，互为共轭复数
B．如果复数，满足，则
C．如果，则
D．
33．（2022·全国·高一课时练习）若，则（ ）
A．B．C．D．
34．（2023·重庆实验外国语学校高一阶段练习）设复数，满足，，，则（ ）
A．4B．C．D．2
35．（2023·福建省漳州第一中学高一期中）已知为虚数单位，且复数，则复数的虚部是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
36．（2022·福建·厦门市松柏中学高一阶段练习）已知i为虚数单位，复数z满足，则下列说法正确的是（ ）
A．复数z的模为
B．复数z的共轭复数为
C．复数z的虚部为
D．复数z在复平面内对应的点在第一象限
37．（2022·湖南·南县第一中学高一阶段练习）已知为虚数单位，复数，，，则（ ）
A．B．与互为共轭复数
C．为纯虚数D．
38．（2022·全国·高一单元测试）已知是复数，下列结论中不正确的是（ ）
A．若，则B．
C．D．
39．（2022·湖南·临澧县第一中学高一阶段练习）设，，为复数，.下列命题中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
40．（2023·黑龙江·哈师大附中高一期中）设为复数，则下列命题中正确的是（ ）
A．B．
C．若，则D．若，则
41．（2022·全国·高一单元测试）下列命题为真命题的是（ ）
A．若互为共轭复数，则为实数
B．若为虚数单位，为正整数，则
C．复数（为虚数单位，为实数）为纯虚数，则
D．若为实数，为虚数单位，则“”是“复数在复平面内对应的点位于第四象限”的充要条件
三、填空题
42．（2022·重庆市育才中学高一阶段练习）已知复数，则复数的虚部为__________.
43．（2022·重庆十八中高一阶段练习）设复数，满足，，，则________．
44．（2022·山西·高一阶段练习）设，其中a，b是实数，则____________．
45．（2022·全国·高一单元测试）已知是虚数单位，则________.
46．（2022·全国·高一）若关于x的实系数一元二次方程有两个共轭虚数根，则m的取值范围是________．
47．（2022·全国·高一课时练习）已知为虚数单位，则集合中元素的个数为___________.
四、解答题(共0分)
48．（2022·全国·高一单元测试）已知复数.
(1)求复数的实部、虚部、模长及表示复平面上的点的坐标；
(2)若，试求实数、的值.
49．（2022·全国·高一单元测试）计算：
(1)；(2)；
(3)；(4).
50．（2022·湖南·高一）计算：
(1)；(2)；
(3)；(4)．
交换律
z1z2＝z2z1
结合律
(z1z2)z3＝z1(z2z3)
乘法对加法的分配律
z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3
【答案详解】
1．C
【详解】
由可得，
所以，
故选：C.
2．(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【解析】
【分析】
利用复数的四则运算即可求解.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
.
3．（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）根据复数的加减法法则，实部与实部对应加减，虚部与虚部对应加减，即可运算得到结果；
（2）根据复数的加法、减法法则运算即可.
【详解】
（1）；
（2），，
，
4．D
【解析】
利用复数的几何意义、向量的平行四边形法则即可得出．
【详解】
∵ ，
∴ 对应的复数为：，
∴点对应的复数为．
故选D．
【点睛】
本题考查了复数的几何意义、向量的平行四边形法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5．（1）－3－2i；（2）5－2i；（3）1＋6i．
【解析】
【分析】
结合复数的几何意义和向量的线性运算即可求解.
【详解】
（1）因为，所以向量对应的复数为－3－2i；
（2）因为＝－，所以向量对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i；
（3）因为＝＋，所以向量对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i．
【点睛】
本题考复数的几何意义，向量的线性运算，属于基础题
6．(1).(2).(3)
【解析】
根据复数的几何意义及复数的加减运算法则计算可得.
【详解】
解：(1)因为,所以表示的复数为.
(2)因为,所以表示的复数为.
(3),所以对应的复数为.
【点睛】
本题考查复数的几何意义，复数的加减运算，属于基础题.
7．(1)
(2)
(3)
(4)i
【解析】
【分析】
（1）根据复数的加减法和乘法运算规则计算得出结果；
（2）根据复数的四则运算规则计算得出结果；
（3）根据复数的乘方及四则运算规则计算得出结果；
（4）根据复数的乘方及四则运算规则计算得出结果.
(1)
根据复数的加减法和乘法运算规则得，.
(2)
根据复数的四则运算规则得，.
(3)
根据复数的乘方及四则运算规则得，
(4)
根据复数的乘方及四则运算规则得，
8．(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【解析】
【分析】
（1）根据复数的乘法运算和乘方运算，即可求出结果；
（2）将原式转化为，再根据复数的乘方运算，即可求出结果；
（3）根据复数的除法运算即可求出结果；
（4）根据复数的乘方运算和除法运算法则即可求出结果；
（5）根据复数的除法运算即可求出结果；
（6）将原式转化为，再根据复数的乘方运算和除法运算即可求出结果.
(1)
解：.
(2)
解：.
(3)
解：.
(4)
解：
.
(5)
解：.
(6)
解:：
.
9．（1），，；（2），证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）直接根据模的计算，即可得到答案；
（2）由（1）猜测，．再进行一般性证明；
【详解】
（1）当，，，时，
，
，
；
（2）由（1）猜测，．
证明如下：（，），（，）．
，，
；
，
．
．
10．D
【解析】
【分析】
由实系数一元二次方程的的虚数根成对出现，它们互为共轭复数的性质，设，则，然后由是实数，得出的关系，再计算后可得．
【详解】
因为是实系数一元二次方程的两个根，且是虚数，则也是虚数，且是的共轭复数，设，则，
则，
又是实数，所以，又，所以，，
，
由于，，
所以，
所以．
故选：D．
11．D
【解析】
【分析】
把代入方程，整理后由复数相等的定义列方程组求解.
【详解】
由题意1i是关于的实系数方程
∴，即
∴，解得.
故选：D．
12．C
【解析】
【分析】
利用实系数一元二次方程的虚根成对原理、根与系数的关系即可得出．
【详解】
解：复数是关于的方程的一个根，
则复数也是关于的方程的一个根，
，．
，．
故选：．
13．C
【解析】
由，可求出，，，，，,代入原式计算即可.
【详解】
解：由题意知，，，，，
∴原式
.
故选：C
【点睛】
本题主要考查复数的基本运算，属于基础题.
14．B
【解析】
【分析】
根据复数的性质有可知①的正误，，负数是实数的概念可知②的正误，复数相等时注意参数可判断③的正误.
【详解】
①由，则是的一个平方根，正确；
②是一个虚部为的纯虚数，实数分正数、0、负数，错误；
③如果，当时，当时不一定，错误；
故正确命题为1个.
故选：B
15．D
【解析】
【分析】
直角利用复数的运算，复数的几何意义，一元二次方程根与系数的关系，逐项判定，即可求解.
【详解】
对于A中，设方程的实数根为，代入方程可得，
所以，解得，所以A不正确；
对于B中，复数，可得，
则复数在复平面内对应的点为，位于第四象限，所以B不正确；
对于C中，复数，，
当时，可知当时 ，因为虚数不能比较大小，所以C不正确；
对于D中，是关于x的方程的一个根，
根据复数方程的性质，可得也是方程的根，
可得，解得，所以D正确.
故选：D.
16．A
【解析】
利用复数的四则运算进行化简，再利用复数相等求解.
【详解】
由得，，
即，即 ，
则，解得，
故.
故选：A.
17．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.
【解析】
【分析】
根据复数四则运算法则计算、化简即可求得结果.
【详解】
（1），又，，，
；
（2）；
（3）；
（4），，
；
（5）；
（6）
.
18．（1）；（2）①2；②0.
【解析】
【分析】
（1），根据表示复数的点位于第二象限，解不等式即可
（2）①若是纯虚数，a是正实数，求出，②化简，最后求和、化简即可.
【详解】
解：（1）由题可得：，
因为复数的点位于第二象限，
所以，解得
a的取值范围为：.
（2）①依题意得：
因为是纯虚数，则：，
即，
又因为是正实数，则.
②当时，，
.
【点睛】
考查纯虚数的概念、复数的几何意义以及复数的运算，中档题.
19．B
【解析】
【分析】
设，则，利用复数运算以及复数相等可求得、的值，即可得解.
【详解】
设，则，
由可得，所以，，解得，
因此，复数的虚部为.
故选：B.
20．B
【解析】
【分析】
根据复数的四则运算直接求解.
【详解】
由，
则，
故选：B.
21．B
【解析】
【分析】
根据的幂运算的周期性、复数的除法运算法则计算可得结果.
【详解】
由得：.
故选：B.
22．A
【解析】
【分析】
将复数代入原方程计算
【详解】
由题意得，化简得，
所以解得所以．
故选：A
23．C
【解析】
【分析】
设（），代入化简计算可求出，从而可求得答案
【详解】
设（），则，
化简得，
根据对应相等得，
解得，，
故选：C.
24．B
【解析】
【分析】
由题意知复数对应的向量按顺时针方向旋转，需要把已知向量对应的复数乘以复数的沿顺时针旋转后的复数，相乘得到结果．
【详解】
解：由题意知复数对应的向量按顺时针方向旋转，
旋转后的向量为．
故选：B．
25．A
【解析】
【分析】
先求出模长，进而利用复数除法运算法则进行计算，求出虚部.
【详解】
，故虚部为.
故选：A
26．D
【解析】
【分析】
根据，结合共轭复数，利用复数的除法和乘方运算求解.
【详解】
因为，
所以，
所以，
故其虚部为-1，
故选：D
27．A
【解析】
【分析】
由题可求出，再根据共轭复数的概念计算可得.
【详解】
，
所以.
故选：A．
28．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由实数定义可构造方程求得；
（2）由纯虚数定义可求得，进而得到；由复数除法运算可化简得，由虚部定义可得结果.
(1)
由实数定义可知：，解得：；
(2)
由纯虚数定义知：，解得：，；
，的虚部为.
29．(1)，
(2)证明见解析
(3)1
【解析】
【分析】
（1）根据复数的除法可得，根据其为实数可得，从而的实部的取值范围；
（2）根据复数的除法可得，从而可证为纯虚数；
（3）根据基本不等式可求最小值.
(1)
设，，，
则，
∵，∴是实数，又，∴，即，
∴，，，∴的实部的取值范围是；
(2)
，
∵，，∴为纯虚数；
(3)
，
∵，∴，故，
当，即时，取得最小值.
30．C
【解析】
【分析】
先利用复数的乘方化简复数z，再求其共轭复数.
【详解】
因为，，
所以，
则，
故选：C．
31．A
【解析】
【分析】
根据充分不必要条件的定义，先判断能不能推，再判断能不能推，即可得到答案；
【详解】
显然,当时,,
但当时,若令,
则,
所以有或,不一定有，
故是的充分不必要条件,
故选：
32．D
【解析】
【分析】
对于A，举反例，可判断；对于B，设，代入验证可判断；对于C，举反例可判断；对于D，设，，代入可验证.
【详解】
对于A，设，，，但，不互为共轭复数，故错误；
对于B，设（，），（，）．
由，得，
则，而不一定等于，故错误；
对于C，当时，有，故错误；
对于D，设，，则，正确
故选：
33．D
【解析】
【分析】
根据，将，转化为，结合复数的运算性质求解.
【详解】
，
，
，
，
且，
.
故选：.
34．C
【解析】
【分析】
先设出复数的代数形式，然后结合已知利用复数的四则运算及复数的模长公式可求得结果
【详解】
设，
因为复数，满足，，，
所以，，，
所以，
所以，
所以
，
故选：C
35．D
【解析】
【分析】
首先化简求得，由此求得的虚部.
【详解】
，
，
所以的虚部是.
故选：D
36．CD
【解析】
【分析】
由复数的四则运算得出，再由共轭复数、虚部、复数z在复平面内对应点的坐标定义判断即可.
【详解】
解：，则，∴，故A错，
复数z的共轭复数为，故B错；
复数z的虚部为，故C正确；
复数z在复平面内对应的点为，在第一象限，故D正确.
故选：CD
37．AC
【解析】
【分析】
根据给定条件，求复数的模判断A；利用共轭复数的意义判断B；利用复数的运算计算判断C，D作答.
【详解】
依题意，复数，，，
对于A，，，A正确；
对于B，复数的共轭复数为，B不正确；
对于C，，C正确；
对于D，因，则，D不正确.
故选：AC
38．ABC
【解析】
【分析】
举反例，可判断选项A、B，举反例，可判断选项C，设，，分别计算、即可判断选项D，进而可得正确选项.
【详解】
对于选项A：取，，，，
满足，但与是两个复数，不能比较大小，故选项A不正确；
对于选项B：取，，，
而无意义，故选项B不正确；
对于选项C：取，，则，但是，，故选项C不正确；
对于选项D：设，，则
，
，，所以，所以，故选项D正确.
故选：ABC.
39．BC
【解析】
【分析】
对于A：取特殊值判断A不成立；
对于B、C、D：直接利用复数的四则运算计算可得.
【详解】
对于A：取，满足，但是不成立，故A错误；
对于B：当时,有，又，所以,故B正确;
对于C：当时,则,所以,故C正确;
对于D：当时,则,可得.
因为，所以.故D错误
故选：BC
40．BD
【解析】
【分析】
设，根据复数求模公式、乘法法则、几何意义等知识，逐一分析选项，即可得答案.
【详解】
设，则 ，
对于A：，，故A错误；
对于B：，，
故，故B正确；
对于C：若，在复平面对应的点为，则，故C错误；
对于D：，表示z对应的点Z在以（1,0）为圆心，1为半径的圆上，
则表示点Z与原点（0,0）的距离，
当点Z在原点时，最小为0，
当点时，最大为2，
所以，故D正确.
故选：BD
41．ACD
【解析】
【分析】
根据共轭复数、复数运算、纯虚数、复数对应象限、充要条件等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】
A选项，互为共轭复数，则，即为实数，A选项正确.
B选项，，B选项错误.
C选项，为纯虚数，所以，C正确.
D选项，在第四象限，所以，所以D选项正确.
故选：ACD
42．
【解析】
【分析】
根据复数的乘除法运算可得，结合共轭复数与虚部的概念即可得出结果.
【详解】
.
所以，其虚部为.
故答案为：.
43．
【解析】
【分析】
由已知可得，进而由可得，从而有，故而可得答案.
【详解】
解：因为，所以，
又，，
所以，
所以，
所以，
所以，
故答案为：.
44．
【解析】
【分析】
由复数相等，结合复数的乘法可得，即可求a、b，进而求.
【详解】
由，即，可得，
所以.
故答案为：
45．
【解析】
【分析】
利用复数的除法及虚数单位的性质可求得代数式的值.
【详解】
，
故答案为：
46．
【解析】
【分析】
根据关于x的实系数一元二次方程有两个共轭虚数根，由求解.
【详解】
因为关于x的实系数一元二次方程有两个共轭虚数根，
所以，
即，即 ，
解得 ，
所以m的取值范围是，
故答案为：
47．
【解析】
【分析】
根据，分类讨论即可求出．
【详解】
当时，；
当时，；
当时，；
当时，，所以集合中元素的个数为．
故答案为：．
48．(1)复数的实部为、虚部为、模长为，坐标为
(2)
【解析】
【分析】
（1）先化简复数.直接求出实部、虚部、模长及表示复平面上的点的坐标；
（2）将代入方程，利用复数相等的条件即可求解.
(1)
因为.
则复数的实部为，虚部为，模长为，
表示复平面上的点的坐标为.
(2)
将代入方程得：，
∴，∴.
49．(1)
(2)
(3)
(4)
【解析】
【分析】
根据复数的运算律直接计算.
(1)
解：；
(2)
解：；
(3)
解：；
(4)
解：.
50．(1)
(2)
(3)
(4)
【解析】
【分析】
利用复数的运算法则，直接计算求解即可
(1)
(2)
(3)
(4)