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【中考真题汇编】2019-2023年 5年真题分项汇编 初中数学 专题04 一元一次方程与二元一次方程组（教师版+学生版）.zip
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考点1 一元一次方程与二元一次方程组
一、单选题
1．（2021·辽宁锦州·统考中考真题）二元一次方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】方程组利用代入消元法求出解即可．
【详解】解：，
把②代入①得：4y＋y＝10，
解得：y＝2，
把y＝2代入②得：x＝4，
则方程组的解为．
故选：C．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
2．（2023年辽宁省营口市中考数学真题）2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时共收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机同时工作5小时共收割小麦8公顷．1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x公顷和y公顷，根据题意，可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据” 2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时共收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机同时工作5小时共收割小麦8公顷”列方程组即可．
【详解】解：设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x公顷和y公顷，
根据2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时共收割小麦3.6公顷，得
根据3台大收割机和2台小收割机同时工作5小时共收割小麦8公顷，得，
可列
故选：C．
【点睛】此题考查了列二元一次方程组，正确理解题意是解题的关键．
3．（2020·重庆·统考中考真题）解一元一次方程时，去分母正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据等式的基本性质将方程两边都乘以6可得答案．
【详解】解：方程两边都乘以6，得：
3（x+1）＝6﹣2x，
故选：D．
【点睛】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤和等式的基本性质．
4．（2021·江苏淮安·统考中考真题）《九章算术》是古代中国第一部自成体系的数学专著，其中《卷第八方程》记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”译文是：今有甲、乙两人持钱不知道各有多少，甲若得到乙所有钱的，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的，则乙也有50钱．问甲、乙各持钱多少？设甲持钱数为x钱，乙持钱数为y钱，列出关于x、y的二元一次方程组是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设甲、乙的持钱数分别为x，y，根据“甲若得到乙所有钱的，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的，则乙也有50钱”，列出二元一次方程组解答即可．
【详解】解：设甲、乙的持钱数分别为x，y，
根据题意可得：，
故选B．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键在于能够准确找到等量关系列出方程.
5．（2021·四川德阳·统考中考真题）关于x，y的方程组的解为，若点P（a，b）总在直线y＝x上方，那么k的取值范围是（ ）
A．k＞1B．k＞﹣1C．k＜1D．k＜﹣1
【答案】B
【分析】将k看作常数，解方程组得到x，y的值，根据P在直线上方可得到b＞a，列出不等式求解即可．
【详解】解：解方程组可得，
，
∵点P（a，b）总在直线y=x上方，
∴b＞a，
∴，
解得k＞-1，
故选：B．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，一次函数上点的坐标特征，解本题的关键是将k看作常数，根据点在一次函数上方列出不等式求解．
6．（2022年辽宁省营口市中考数学真题）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》一书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天可以追上慢马？若设快马x天可以追上慢马，则下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】设快马x天可以追上慢马，根据路程=速度×时间，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：设快马x天可以追上慢马，
依题意，得： 240x-150x=150×12．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
7．（2023年浙江省温州市中考数学真题）一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g．设蛋白质、脂肪的含量分别为，，可列出方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g列方程．
【详解】解：设蛋白质、脂肪的含量分别为，，则碳水化合物含量为，
则：，即，
故选A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程．
8．（2023年浙江省宁波市中考数学真题）茶叶作为浙江省农业十大主导产业之一，是助力乡村振兴的民生产业．某村有土地60公顷，计划将其中的土地种植蔬菜，其余的土地开辟为茶园和种植粮食，已知茶园的面积比种粮食面积的2倍少3公顷，问茶园和种粮食的面积各多少公顷？设茶园的面积为x公顷，种粮食的面积为y公顷，可列方程组为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据某村有土地60公顷，计划将其中的土地种植蔬菜，得到种植茶园和种植粮食的面积为，结合茶园的面积比种粮食面积的2倍少3公顷，列出方程组即可．
【详解】解：设茶园的面积为x公顷，种粮食的面积为y公顷，
由题意，得：，
即：
故选B．
【点睛】本题考查根据实际问题列方程组．找准等量关系，正确的列出方程组，是解题的关键．
9．（2023年江苏省无锡市中考数学真题）下列4组数中，不是二元一次方程的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将选项中的的值分别代入方程的左边，进而即可求解．
【详解】解：A、当时，，则是二元一次方程的解，不合题意；
B、当时，，则是二元一次方程的解 ，不合题意；
C、 当时，，则是二元一次方程的解，不合题意；
D、当时，，则不是二元一次方程的解，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解的定义，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键．
10．（2019·吉林长春·统考中考真题）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为，买鸡的钱数为，可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】直接利用每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱，分别得出方程求出答案．
【详解】解：设人数为，买鸡的钱数为，可列方程组为：
故选D
【点睛】考核知识点：二元一次方程组应用.理解题意列出方程是关键.
11．（2021·广东深圳·统考中考真题）《九章算术》中有问题：1亩好田是300元，7亩坏田是500元，一人买了好田坏田一共是100亩，花费了10000元，问他买了多少亩好田和坏田？设一亩好田为x元，一亩坏田为y元，根据题意列方程组得（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设一亩好田为x元，一亩坏田为y元，根据7亩坏田是500元可得每亩坏田的价格，根据好田坏田一共是100亩，花费了10000元列方程组即可得答案．
【详解】设一亩好田为x元，一亩坏田为y元，
∵7亩坏田是500元，
∴每亩坏田元，
∵买了好田坏田一共是100亩，花费了10000元，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，读懂题意，找出等量关系是解题关键．
二、填空题
12．（2021·浙江金华·统考中考真题）已知是方程的一个解，则m的值是 ．
【答案】2
【分析】把解代入方程,得6+2m=10，转化为关于m的一元一次方程，求解即可．
【详解】∵是方程的一个解，
∴6+2m=10，
解得m=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，一元一次方程的解法，灵活运用方程的解的定义，转化为一元一次方程求解是解题的关键．
13．（2021·四川甘孜·统考中考真题）我国古代数学著作孙子算经中有“鸡兔同笼”问题，“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”若设鸡有只，兔有只，则列出的方程组为 （列出方程组即可，不求解）．
【答案】
【分析】一只鸡有一个头和二条腿，一只兔有一个头和四条腿，根据上有三十五头，下有九十四足，即可列出方程组．
【详解】解：由题意，可列出的方程组为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是仔细审题，正确找出等量关系，难度一般．
14．（2019·辽宁铁岭·统考中考真题）若x，y满足方程组，则 ．
【答案】7
【分析】方程组利用加减消元法求出解得到x与y的值，代入原式计算即可求出值．
【详解】解：，
得：，
解得：，
把代入②得：，
则，
故答案为7
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元的方法是解本题的关键．
15．（2019·四川眉山·统考中考真题）已知关于x、y的方程组的解满足x+y=5，则k的值为 ．
【答案】2
【分析】把两个方程相加，得x+y=2k+1，结合x+y=5，即可求解．
【详解】解：，
①+②，得x+y=2k+1，
又∵x+y=5，
∴2k+1=5，
解得：k=2，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查解含参数的二元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键．
16．（2021·贵州遵义·统考中考真题）已知x，y满足的方程组是，则x+y的值为 ．
【答案】5．
【分析】将方程组中的两个方程直接相减即可求解．
【详解】解：
用②﹣①得：x+y＝5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法，通过观察方程组中两个方程的特点，灵活计算是解题的关键．
17．（2021·贵州黔西·中考真题）有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货，则3辆大货车与2辆小货车一次可以运货 ．
【答案】17
【分析】设每辆大货车一次可以运货x吨，每辆小货车一次可以运货y吨，由题意：2辆大货车与3辆小货车一次可以运货15.5t，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35t，列出方程组，解方程组，即可求解．
【详解】解：设每辆大货车一次可以运货吨，每辆小货车一次可以运货吨，
由题意，得：，
解得：，
则，
即3辆大货车与2辆小货车一次可以运货，
故答案为：17．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．
18．（2022·浙江绍兴·统考中考真题）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．” 其题意为：“良马每天行里，劣马每天行里，劣马先行天，良马要几天追上劣马？”答：良马追上劣马需要的天数是 ．
【答案】20
【分析】设良马x天追上劣马，根据良马追上劣马所走路程相同可得：240x＝150（x＋12），即可解得良马20天追上劣马．
【详解】解：设良马x天追上劣马，
根据题意得：240x＝150（x＋12），
解得x＝20，
答：良马20天追上劣马；
故答案为：20．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程．
19．（2023年河南省中考数学真题）方程组的解为 ．
【答案】
【分析】利用加减消元法求解即可．
【详解】解：
由得，，解得，
把代入①中得，解得，
故原方程组的解是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的常用解法：代入消元法和加减消元法，观察题目选择合适的方法是解题关键．
20．（2019·上海·中考真题）《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，1大桶加1小桶共盛＝ 斛米.（注：斛是古代一种容量单位）
【答案】
【分析】设一个大桶盛酒x斛，一个小桶盛酒y斛，根据“5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛”即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y值，将其相加即可得出结论．
【详解】设一个大桶盛酒x斛，一个小桶盛酒y斛，
根据题意得： ，
解得： .
∴x+y=.
故答案为
【点睛】此题考查二元一次方程组的应用，解题关键在于列出方程
21．（2019·山东泰安·统考中考真题）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相同，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各种多少两？设黄金重两，每枚白银重两，根据题意可列方程组为 .
【答案】
【分析】根据题意甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相同.故可得 ，再根据两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两，可得,因此可得二元一次方程组.
【详解】根据题意可得甲袋中的黄金9枚和乙袋中的白银11枚质量相等，可得，
再根据两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两.故可得.
因此
所以答案为
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，关键在于理解题意，这是中考的必考题,必须熟练掌握.
22．（2019·四川内江·统考中考真题）若为实数，且，则代数式的最大值是 ．
【答案】26．
【分析】先利用加减消元法求出y,x的值，再把x,y代入代数式，求出z的值，即可解答
【详解】，
(1）﹣（2）得，，
把代入（1）得，，
则，
当时，的最大值是26，
故答案为26．
【点睛】此题考查解三元一次方程，解题关键在于掌握运算法则
三、解答题
23．（2020·辽宁大连·中考真题）某化肥厂第一次运输360吨化肥，装载了6节火车车厢和15辆汽车；第二次运输440吨化肥，装载了8节火车车厢和10辆汽车．每节火车车厢与每辆汽车平均各装多少吨化肥？
【答案】每节火车车厢平均装50吨化肥，每辆汽车平均装4吨化肥．
【分析】设每节火车车厢平均装x吨化肥，每辆汽车平均装y吨化肥，根据运输360吨化肥，装载了6节火车车厢和15辆汽车；运输440吨化肥，装载了8节火车车厢和10辆汽车，列方程组求解．
【详解】解：设每节火车车厢平均装x吨化肥，每辆汽车平均装y吨化肥， 由题意得，
，
整理得：
解得：．
答：每节火车车厢平均装50吨化肥，每辆汽车平均装4吨化肥．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．
24．（2021·广西桂林·统考中考真题）解一元一次方程：4x﹣1＝2x+5．
【答案】x =3．
【分析】先把方程化移项，合并同类项，系数化1法即可．
【详解】解：4 x﹣1＝2x+5，
移项得：4 x﹣2x＝5+1
合并同类项得：2 x=6，
∴系数化1得：x =3．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解法移项、合并同类项、系数化1．掌握解一元一次方程常用的方法要根据方程的特点灵活选用合适的方法
25．（2020·黑龙江鹤岗·统考中考真题）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克元，售价每千克18元．
（1）该超市购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜5千克需要170元；购进甲种蔬菜6千克和乙种蔬菜10千克需要200元．求，的值．
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜千克，求有哪几种购买方案．
（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出元，乙种蔬菜每千克捐出元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于20%，求的最大值．
【答案】（1）的值为10，的值为14；（2）有3种购买方案，方案1：购买甲种蔬菜58千克，乙种蔬菜42千克；方案2：购买甲种蔬菜59千克，乙种蔬菜41千克；方案3：购买甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克；（3）的最大值为1.8．
【分析】（1）根据“购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元”，即可得出关于m、n的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据总价＝单价×数量结合投入资金不多于1168元且甲种蔬菜不多于60千克，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为正整数即可得出各购买方案；
（3）求出（2）中各购买方案的总利润，比较后可得出获得最大利润时售出甲、乙两种蔬菜的重量，再根据总利润＝每千克利润×销售数量结合捐款后的利润率不低于20%，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【详解】（1）依题意，得：，
解得：.
答：的值为10，的值为14.
（2）设购买甲种蔬菜千克，则购买乙种蔬菜千克，
依题意，得：，
解得：.
∵为正整数，
∴，
∴有3种购买方案，
方案1：购买甲种蔬菜58千克，乙种蔬菜42千克；
方案2：购买甲种蔬菜59千克，乙种蔬菜41千克；
方案3：购买甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克.
（3）设超市获得的利润为元，
则.
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，取得最大值，最大值为.
依题意，得：，
解得：.
答：的最大值为1.8．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
26．（2020·广西·中考真题）解二元一次方程组：．
【答案】
【分析】利用加减消元法对二元一次方程组进行求解即可．
【详解】解：①+②得：6x＝6，
解得：x＝1，
把x＝1代入①得：，
则方程组的解为．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握加减消元法是解决本题的关键．
27．（2020·四川广安·中考真题）某小区为了绿化环境，计划分两次购进A，B两种树苗，第一次购进A种树苗30棵，B种树苗15棵，共花费1350元；第二次购进A种树苗24棵，B种树苗10棵，共花费1060元．（两次购进的A，B两种树苗各自的单价均不变）
（1）A，B两种树苗每棵的价格分别是多少元？
（2）若购买A，B两种树苗共42棵，总费用为W元，购买A种树苗t棵，B种树苗的数量不超过A种树苗数量的2倍．求W与t的函数关系式．请设计出最省钱的购买方案，并求出此方案的总费用．
【答案】（1）A种树苗每棵的价格为40元，B种树苗每棵的价格为10元；（2）W= 30t＋420，当购买A种树苗14棵，B种树苗28棵时，总费用最少，最少为840元
【分析】（1）设A种树苗每棵的价格为x元，B种树苗每棵的价格为y元，根据题意，列出二元一次方程组即可求出结论；
（2）根据题意，即可求出W与t的函数关系式，然后根据题意，求出t的取值范围，利用一次函数的增减性即可求出结论．
【详解】解：（1）设A种树苗每棵的价格为x元，B种树苗每棵的价格为y元，
由题意可得：
解得：
答：A种树苗每棵的价格为40元，B种树苗每棵的价格为10元．
（2）由题意可得：W=40t＋10（42－t）=30t＋420
解得：14≤t＜42
∵W= 30t＋420中，30＞0
∴W随t的增大而增大
∴当t=14时，W最小，最小值为30×14＋420=840
此时B种树苗42－14=28棵
答：当购买A种树苗14棵，B种树苗28棵时，总费用最少，最少为840元．
【点睛】此题考查的是二元一次方程组的应用和一次函数的应用，掌握实际问题中的等量关系和利用一次函数的增减性求最值是解题关键．
28．（2022·辽宁朝阳·统考中考真题）某中学要为体育社团购买一些篮球和排球，若购买3个篮球和2个排球，共需560元；若购买2个篮球和4个排球，共需640元．
(1)求每个篮球和每个排球的价格分别是多少元；
(2)该中学决定购买篮球和排球共10个，总费用不超过1100元，那么最多可以购买多少个篮球？
【答案】(1)每个篮球的价格是120元，每个排球的价格是100元
(2)5
【分析】（1）设每个篮球的价格是x元，每个排球的价格是y元，根据“购买3个篮球和2个排球，共需560元；若购买2个篮球和4个排球，共需640元．”列出方程组，即可求解；
（2）设购买m个篮球，则购买排球（10-m）根据“总费用不超过1100元，”列出不等式，即可求解．
【详解】（1）解：设每个篮球的价格是x元，每个排球的价格是y元，根据题意得：
，解得：，
答：每个篮球的价格是120元，每个排球的价格是100元；
（2）解：设购买m个篮球，则购买排球（10-m）根据题意得：
120m+100（10-m）≤1100，
解得m≤5，
答：最多可以购买5个篮球．
【点睛】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解题的关键是读憧题意，列出方程组和不等式．
29．（2022·江苏淮安·统考中考真题）端午节前夕，某超市从厂家分两次购进、两种品牌的粽子，两次进货时，两种品牌粽子的进价不变．第一次购进品牌粽子100袋和品牌粽子150袋，总费用为7000元；第二次购进品牌粽子180袋和品牌粽子120袋，总费用为8100元．
(1)求、两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；
(2)当品牌粽子销售价为每袋54元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对品牌粽子进行降价销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当品牌粽子每袋的销售价降低多少元时，每天售出品牌粽子所获得的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)种品牌粽子每袋的进价是25元，种品牌粽子每袋的进价是30元
(2)当品牌粽子每袋的销售价降低10元时，每天售出品牌粽子所获得的利润最大，最大利润是980元
【分析】（1）根据已知数量关系列二元一次方程组，即可求解；
（2）设品牌粽子每袋的销售价降低元，利润为元，列出关于的函数关系式，求出函数的最值即可．
【详解】（1）解：设种品牌粽子每袋的进价是元，种品牌粽子每袋的进价是元，
根据题意得，，
解得，
故种品牌粽子每袋的进价是25元，种品牌粽子每袋的进价是30元；
（2）解：设品牌粽子每袋的销售价降低元，利润为元，
根据题意得，
，
∵，
∴当品牌粽子每袋的销售价降低10元时，每天售出品牌粽子所获得的利润最大，最大利润是980元．
【点睛】本题考查二次函数和二元一次方程的实际应用，根据已知数量关系列出函数解析式和二元一次方程组是解题的关键．
30．（2019·四川绵阳·统考中考真题）辰星旅游度假村有甲种风格客房15间，乙种风格客房20间．按现有定价：若全部入住，一天营业额为8500元；若甲、乙两种风格客房均有10间入住，一天营业额为5000元．
(1)求甲、乙两种客房每间现有定价分别是多少元？
(2)度假村以乙种风格客房为例，市场情况调研发现：若每个房间每天按现有定价，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加20元时，就会有两个房间空闲．如果游客居住房间，度假村需对每个房间每天支出80元的各种费用．当每间房间定价为多少元时，乙种风格客房每天的利润最大，最大利润是多少元？
【答案】(1)甲、乙两种客房每间现有定价分别是300元、200元；(2)每间房间定价为240元时，乙种风格客房每天的利润最大，最大利润是2560元．
【分析】(1)根据题意“若全部入住，一天营业额为8500元；若甲、乙两种风格客房均有10间入住，一天营业额为5000元”设未知数列出相应的二元一次方程组，解方程组即可解答本题；
(2)根据题意列出关于乙种房价的函数关系式，然后根据二次函数的性质即可解答本题．
【详解】解：设甲、乙两种客房每间现有定价分别是元、元，
根据题意，得：，
解得，
答：甲、乙两种客房每间现有定价分别是300元、200元；
(2)设每天的定价增加了个20元，则有个房间空闲，
根据题意得：，
∵，
∴当时，取得最大值，最大值为2560，此时房间的定价为元．
答：当每间房间定价为240元时，乙种风格客房每天的利润最大，最大利润是2560元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，正确列出方程组和二次函数关系式，利用二次函数的性质解答．
31．（2020·福建·统考中考真题）某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨．
（1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？
（2）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润．
【答案】（1）甲特产15吨，乙特产85吨；（2）26万元．
【分析】（1）设这个月该公司销售甲特产吨，则销售乙特产吨，根据题意列方程解答；
（2）设一个月销售甲特产吨，则销售乙特产吨，且，根据题意列函数关系式，再根据函数的性质解答.
【详解】解：（1）设这个月该公司销售甲特产吨，则销售乙特产吨，
依题意，得，
解得，则，
经检验符合题意，
所以，这个月该公司销售甲特产15吨，乙特产85吨；
（2）设一个月销售甲特产吨，则销售乙特产吨，且，
公司获得的总利润，
因为，所以随着的增大而增大，
又因为，
所以当时，公司获得的总利润的最大值为26万元，
故该公司一个月销售这两种特产能获得的最大总利润为26万元.
【点睛】此题考查一元一次方程的实际应用、一次函数的性质等基础知识，考查运算能力、应用意识，考查函数与方程思想，正确理解题意，根据问题列方程或是函数关系式解答问题.
32．（2020·广西玉林·统考中考真题）解方程组：
【答案】．
【分析】利用加减消元法解二元一次方程组即可．
【详解】
①②得
解得
将代入②得
解得
则方程组的解为．
【点睛】本题考查了利用加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题关键．
33．（2021·广西桂林·统考中考真题）为了美化环境，建设生态桂林，某社区需要进行绿化改造，现有甲、乙两个绿化工程队可供选择，已知甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多200平方米，甲队与乙队合作一天能完成800平方米的绿化改造面积．
（1）甲、乙两工程队每天各能完成多少平方米的绿化改造面积？
（2）该社区需要进行绿化改造的区域共有12000平方米，甲队每天的施工费用为600元，乙队每天的施工费用为400元，比较以下三种方案：①甲队单独完成；②乙队单独完成；③甲、乙两队全程合作完成．哪一种方案的施工费用最少？
【答案】（1）甲队每天能完成绿化的面积是500平方米，乙队每天能完成绿化的面积是300平方米；（2）选择方案①完成施工费用最少
【分析】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x平方米，根据甲队与乙队合作一天能完成800平方米的绿化改造面积，列出方程，求解即可；
（2）利用施工费用=每天的施工费用×施工时间，即可求出选择各方案所需施工费用,再比较后即可得出结论．
【详解】解：（1）设乙队每天能完成绿化的面积是x平方米，则甲队每天能完成绿化的面积是（x+200）米，
依题意得：x+x+200=800
解得：x=300，
x+200=500
∴甲队每天能完成绿化的面积是500平方米，乙队每天能完成绿化的面积是300平方米．
（2）选择方案①甲队单独完成所需费用=（元）；
选择方案②乙队单独完成所需费用=（元）；
选择方案③甲、乙两队全程合作完成所需费用=（元）；
∴选择方案①完成施工费用最少．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出方程；（2）利用总费用=每天支出的费用×工作时间，分别求出选择各方案所需费用．
34．（2021·西藏·统考中考真题）列方程（组）解应用题
为振兴农村经济，某县决定购买A，B两种药材幼苗发给农民栽种，已知购买2棵A种药材幼苗和3棵B种药材幼苗共需41元．购买8棵A种药材幼苗和9棵B种药材幼苗共需137元．问每棵A种药材幼苗和每棵B种药材幼苗的价格分别是多少元？
【答案】每棵A种药材幼苗的价格是7元，每棵B种药材幼苗的价格是9元．
【分析】设每棵A种药材幼苗的价格是x元，每棵B种药材幼苗的价格是y元，根据“购买2棵A种药材幼苗和3棵B种药材幼苗共需41元．购买8棵A种药材幼苗和9棵B种药材幼苗共需137元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设每棵A种药材幼苗的价格是x元，每棵B种药材幼苗的价格是y元，
依题意得：，
解得：，
答：每棵A种药材幼苗的价格是7元，每棵B种药材幼苗的价格是9元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
35．（2022·湖南常德·统考中考真题）小强的爸爸平常开车从家中到小强奶奶家，匀速行驶需要4小时，某天，他们以平常的速度行驶了的路程时遇到了暴雨，立即将车速减少了20千米／小时，到达奶奶家时共用了5小时，问小强家到他奶奶家的距离是多少千米？
【答案】240千米
【分析】平常速度行驶了的路程用时为2小时，后续减速后用了3小时，用遇到暴雨前行驶路程加上遇到暴雨后行驶路程等于总路程这个等量关系列出方程求解即可．
【详解】解：设小强家到他奶奶家的距离是千米，则平时每小时行驶千米，减速后每小时行驶千米，由题可知：遇到暴雨前用时2小时，遇到暴雨后用时5-2=3小时，
则可得：，
解得：，
答：小强家到他奶奶家的距离是240千米．
【点睛】本题考查了一元一次方程应用中的行程问题，直接设未知数法，找到准确的等量关系，列出方程正确求解是解题的关键．
36．（2022·四川泸州·统考中考真题）某经销商计划购进，两种农产品．已知购进种农产品2件，种农产品3件，共需690元；购进种农产品1件，种农产品4件，共需720元．
(1)，两种农产品每件的价格分别是多少元？
(2)该经销商计划用不超过5400元购进，两种农产品共40件，且种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照种每件160元，种每件200元的价格全部售出，那么购进，两种农产品各多少件时获利最多？
【答案】(1)A每件进价120元，B每件进价150元；
(2)A农产品进20件，B农产品进20件，最大利润是1800元．
【分析】（1）根据“购进种农产品2件，种农产品3件，共需690元；购进种农产品1件，种农产品4件，共需720元”可以列出相应的方程组，从而可以求得A、B两种农产品每件的价格分别是多少元；
（2）根据题意可以得到利润与购买甲种商品的函数关系式，从而可以解答本题．
【详解】（1）设A每件进价x元，B每件进价y元，
由题意得，
解得：，
答：A每件进价120元，B每件进价150元；
（2）设A农产品进a件，B农产品（40-a）件，由题意得，
解得，
设利润为y元，则，
∵y随a的增大而减小，
∴当a=20时，y最大， 最大值y=2000-10×20=1800，
答：A农产品进20件，B农产品进20件，最大利润是1800元．
【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
37．（2022·浙江绍兴·统考中考真题）计算
(1)计算：6tan30°+（+1）0-.
(2)解方程组
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）根据特殊角的三角函数值，零指数幂，二次根式的性质化简，然后进行计算即可；
（2）利用加减消元法解二元一次方程组即可．
【详解】（1）解：原式＝；
（2），
①＋②得3x＝6，
∴x＝2，
把x＝2代入②，得y＝0，
∴原方程组的解是．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，零指数幂，二次根式的性质，解二元一次方程组，解决本题的关键是掌握以上知识熟练运算．
38．（2022·辽宁·统考中考真题）多功能家庭早餐机可以制作多种口味的美食，深受消费者的喜爱，在新品上市促销活动中，已知8台A型早餐机和3台B型早餐机需要1000元，6台A型早餐机和1台B型早餐机需要600元．
(1)每台A型早餐机和每台B型早餐机的价格分别是多少元？
(2)某商家欲购进A，B两种型号早餐机共20台，但总费用不超过2200元，那么至少要购进A型早餐机多少台？
【答案】(1)每台A型早餐机80元，每台B型早餐机120元；
(2)至少要购进A型早餐机5台．
【分析】（1）设A型早餐机每台x元，B型早餐机每台y元，根据等量关系列方程组求解即可；
（2）设购进A型早餐机n台，根据总费用不超过2200元列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：设A型早餐机每台x元，B型早餐机每台y元，依题意得：
，
解得：，
答：每台A型早餐机80元，每台B型早餐机120元；
（2）解：设购进A型早餐机n台，依题意得：
80n+120（20﹣n）≤2200，
解得：n≥5，
答：至少要购进A型早餐机5台．
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，解题的关键的是理解题意找出等量关系列出方程，以及根据条件列出不等式求解．
39．（2022·山东德州·统考中考真题）如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35m，15m．现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地．
(1)若扩充后的矩形绿地面积为，求新的矩形绿地的长与宽；
(2)扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为．求新的矩形绿地面积．
【答案】(1)新的矩形绿地的长为，宽为
(2)新的矩形绿地面积为．
【分析】（1）设将绿地的长、宽增加，则新的矩形绿地的长为，宽为，根据扩充后的矩形绿地面积为，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，将其正值分别代入及中，即可得出结论；
（2）设将绿地的长、宽增加，则新的矩形绿地的长为，宽为，根据实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5：3，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出y值，再利用矩形的面积计算公式，即可求出新的矩形绿地面积．
【详解】（1）解：（1）设将绿地的长、宽增加，则新的矩形绿地的长为，宽为，
根据题意得：，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），
．
答：新的矩形绿地的长为40m，宽为20m．
（2）设将绿地的长、宽增加，则新的矩形绿地的长为，宽为，
根据题意得：，
即，
解得：，
．
答：新的矩形绿地面积为．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程与一元一次方程．
40．（2023年江苏省徐州市中考数学真题）（1）解方程组
（2）解不等式组
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用代入法解二元一次方程组即可；
（2）求出每个不等式的解集，取每个不等式解集的公共部分即可．
【详解】解：（1）
把①代入②得，，
解得，
把代入①得，，
∴ ；
（2）
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组的解集是．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解法和一元一次不等式组的解法，熟练掌握相关解法是解题的关键．
41．（2023·广东广州·统考一模）《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，求1个大桶和1个小桶分别可以盛多少斛米？设1个大桶盛斛米，1个小桶盛斛米．可列方程组（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设1个大桶可以盛米x斛，1个小桶可以盛米y斛，根据“5个大桶加上1个小桶可以盛米3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛米2斛”即可得出关于x、y的二元一次方程组．
【详解】解：设1个大桶可以盛米x斛，1个小桶可以盛米y斛，
根据题意得：，
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据数量关系列出关于x、y的二元一次方程组是解题的关键．
42．（2023·河南郑州·郑州外国语中学校考三模）九章算术是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设雀每只两，燕每只两，根据“五只雀、六只燕，共重两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重”可列出方程组，从而可得答案．
【详解】设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为：
．
故选：B．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，确定相等关系列方程组是解本题的关键．
43．（2023·浙江杭州·校考三模）若方程组的解也是方程的解，则的值是（ ）
A．6B．10C．9D．
【答案】D
【分析】先解二元一次方程组，再将二元一次方程组的解代入，求解即可得到答案．
【详解】解：，
②①得：，
，
将代入①得：，
，
方程组的解为，
将代入得：，
，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组及二元一次方程组的解，熟练掌握解二元一次方程组的解法是解题的关键．
44．（2023·广东江门·校考二模）已知实数x，y满足方程组，则 ．
【答案】2
【分析】代数式9x2−4y2因式分解得到(3x+2y)(3x-2y)，再整体代入即可求解．
【详解】解：∵实数x，y满足方程组，
∴3x+2y=2，3x-2y=1，
∴9x2−4y2=(3x+2y)(3x-2y)
=2×1
=2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解、代数式的求值和因式分解的应用，熟练掌握因式分解以及整体代入法是解决本题的关键
45．（2023·重庆大渡口·统考模拟预测）为进一步改善生态环境，村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植香樟和红枫．在实际购买时，香樟的价格比预算低，红枫的价格比预算高，香樟购买数量减少了，红枫购买数量与预算保持不变，结果所花费用恰好与预算费用相等，则实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为 ．
【答案】/
【分析】设预算购买香樟量为，单价为；红枫量为，单价为，根据题意列出等式得出，即可求解．
【详解】解：设预算购买香樟量为，单价为；红枫量为，单价为，
由题意得：，
整理得：，
，
实际购买香樟的总费用为，实际购买红枫的总费用为，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了用字母表示数，根据相等关系列方程进行化简等知识，解决问题的关键是设需要的量，列出关系式，进行数据处理．
46．（2023·广东广州·统考一模）坚定文化自信，为乡村振兴塑形铸魂．为发展旅游经济，某乡村企业制作一批“美丽乡村”主题文化衫进行销售．第一批文化衫的制作成本是3000元，面市后文化衫供不应求，又用6600元制作了第二批同款文化衫，制作的数量是第一批数量的2倍，但由于原材料涨价，第二批文化衫每件的成本增加了3元．
(1)该企业制作的第一批文化衫每件的成本是多少元？
(2)两批文化衫标价相同，在季末清仓时，最后30件按6折全部售出．问每件文化衫标价为多少元时，才能使两批文化衫的销售盈利率等于？
注：盈利率＝（销售金额－成本）÷成本
【答案】(1)第一批文化衫每件的成本是30元
(2)每件文化衫标价为50元
【分析】（1）设第一批文化衫每件的成本是x元，则第二批文化衫每件的成本是元，根据所给数量关系列分式方程，即可求解；
（2）设每件文化衫标价为y元，根据盈利率（销售金额－成本）成本，列一元一次方程，解方程即可．
【详解】（1）解：设第一批文化衫每件的成本是x元，
由题意知，，
化为整式方程为：，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，
因此第一批文化衫每件的成本是30元；
（2）解：设每件文化衫标价为y元，
由题意知，
解得，
即每件文化衫标价为50元时，才能使两批文化衫的销售盈利率等于．
【点睛】本题考查分式方程、一元一次方程的实际应用，解题的关键是根据所给等量关系正确列出方程．
47．（2022·山东德州·统考中考真题）（1）化简：；
（2）解方程组：．
【答案】（1）；（2）方程组的解为
【分析】（1）根据分式混合运算法则进行计算即可；
（2）用加减消元法解二元一次方程组即可．
【详解】解：（1）
；
（2），
得，
解得，
将代入①得，
解得，
∴方程组的解为．
【点睛】本题主要考查了分式混合运算，解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则和解二元一次方程的方法，准确计算．
48．（2023·广东广州·广州大学附属中学校考一模）解方程组：
【答案】
【分析】根据加减消元法可求解方程组．
【详解】解：
得：，
把代入①得：，
解得：，
∴原方程组的解为．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
49．（2023·浙江·一模）（1）计算：．
（2）解方程组
【答案】（1）1；（2）
【分析】（1）先根据特殊角的三角函数值，算术平方根，零指数幂进行计算，再算乘法，最后算加减即可；
（2）②①得出，求出，再把代入①求出即可．
【详解】解：（1）
；
（2），
②①，得，
解得：，
把代入①，得，
解得：，
所以方程组的解．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，零指数幂，实数的混合运算，解二元一次方程组等知识点，能正确根据实数的运算法则进行计算是解（1）的关键，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解（2）的关键．
50．（2023·湖北孝感·校考三模）在“抗击疫情”期间，某学校工会号召广大教师积极开展了“献爱心捐款”活动，学校拟用这笔捐款购买A、B两种防疫物品．如果购买A种物品30件，B种物品20件，共需680元；如果购买A种物品50件，B种物品40件，共需1240元．
(1)求A、B两种防疫物品每件各多少元；
(2)现要购买A、B两种防疫物品共300件，总费用不超过4000元，那么A种防疫物品最少购买多少件？
【答案】(1)A种防疫物品每件12元，B种防疫物品每件16元
(2)A种防疫物品最少购买200件
【分析】（1）设A种防疫物品每件x元，B种防疫物品每件y元，根据“如果购买A种物品30件，B种物品20件，共需680元；如果购买A种物品50件，B种物品40件，共需1240元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买A种防疫物品m件，则购买B种防疫物品件，根据总价、单价、数量的关系，结合总费用不超过4000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中最小的整数即可得出结论．
【详解】（1）解：设A种防疫物品每件x元，B种防疫物品每件y元，
依题意，得，
解得．
答：A种防疫物品每件12元，B种防疫物品每件16元；
（2）解：设购买A种防疫物品m件，则购买B种防疫物品件，
依题意，得：，
解得：，
∴m的最小值为200．
答：A种防疫物品最少购买200件．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量间的关系，列出关于m的一元一次不等式．
51．（2023·广东河源·校联考一模）开学前夕，某书店计划购进 A、B 两种笔记本共 350 本．已知 A 种笔记本的进价为 12 元/本，B 种笔记本的进价为 15 元/本，共计 4800 元．
(1)请问购进了A种笔记本多少本？
(2)在销售过程中，A、B两种笔记本的标价分别为20元/本、25元/本．受疫情影响，两种笔记本按标价各卖出m本以后，该店进行促销活动，剩余的A种笔记本按标价的七折全部售出，剩余的B种笔记本按成本价清货，若两种笔记本的总利润不少于2348元，请求出m的最小值．
【答案】(1)购进了A种笔记本150本；
(2)m的最小值128．
【分析】（1）设购进了A种笔记本x本，则B种笔记本本，根据题意列方程求解即可；
（2）由（1）可得，购进了B种笔记本本，根据题意，列出不等式，然后求解即可．
【详解】（1）解：设购进了A种笔记本x本，则B种笔记本本，
由题意可得：
解得，
答：购进了A种笔记本150本；
（2）解：由（1）可得，购进了B种笔记本本，
由题意可得：，
解得，
答：m的最小值128．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，设出未知数，找到等量关系和不等量关系，正确列出方程和不等式．
52．（2023·广东广州·统考一模）“桃之夭夭，灼灼其华”，每年月份，我区某湿地公园内的桃花陆续绽放，引来众多市民前往踏青观赏，纷纷拍照留念，记录生活美好时光，小王抓住这一商机，计划从市场购进、两种型号的手机自拍杆进行销售，据调查，购进件型号和件型号自拍杆共需元，其中件型号自拍杆价格是件型号自拍杆价格的倍．
(1)求件型号和件型号自拍杆的进价各是多少元？
(2)若小王计划购进、两种型号自拍杆共件，并将这两款手机自拍杆分别以元，元的价钱进行售卖，为了保证全部售卖完后的总利润不低于元，求最多购进型号自拍杆多少件？
【答案】(1)件型号自拍杆的进价为元，件型号自拍杆的进价为元
(2)最多购进型号自拍杆件
【分析】（1）件型号自拍杆的进价为元，件型号自拍杆的进价为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设购进型号自拍杆件，则购进型号自拍杆件，根据题意列出不等式，解不等式，求最大整数解即可求解．
【详解】（1）解：件型号自拍杆的进价为元，件型号自拍杆的进价为元，根据题意得，
解得：
答：件型号自拍杆的进价为元，件型号自拍杆的进价为元
（2）解：设购进型号自拍杆件，则购进型号自拍杆件，根据题意得，
解得：，
取最大整数解，
答：最多购进型号自拍杆件．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程组和不等式是解题的关键．
53．（2023·广东佛山·统考一模）我国古代数学著作《九章算术》中记载有这样一个问题：“今有甲、乙二人，持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲大半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”题目大意是：今有甲、乙二人，各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50，问甲、乙二人各带了多少钱？
(1)求甲、乙两人各带的钱数；
(2)若小明、小颖去文具店购买作业本，两人带的钱数（单位：元）恰好等于甲、乙两人各带的钱数，已知作业本的单价为2.5元/本．由于开学之际，文具店搞促销活动，凡消费50元可以打八折，那么他们合起来购买可以比单独购买多多少本作业本？
【答案】(1)甲带钱，乙持钱
(2)他们合起来购买可以比单独购买多6本作业本
【分析】（1）设甲带钱x，乙持钱y，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）分别计算出分开买和合起来买的数量，再比较即可作答．
【详解】（1）解：设甲带钱x，乙持钱y，
根据题意得：
，
解得：，
答：甲带钱，乙持钱；
（2）分开买：（本）；
合起来买：（本），
即：（本），
即：他们合起来购买可以比单独购买多6本作业本．
【点睛】本题主要考查了使用二元一次方程组解答古代问题的知识，明确题意，列出方程组是解答本题的关键．
54．（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考三模）八年级学生到距学校150km的景区游览．景区提供了快车和慢车两种车型前往学校接学生到景区，所有车辆均沿同一路线往返．
(1)由于快车有其他接送任务，八年级（1）班学生乘慢车从学校出发时，快车才从景区出发前往学校接八年级（2）班学生，1.2小时后快车在前往学校的途中与慢车相遇．若快车每小时比慢车多行驶25km，求慢车的平均速度；
(2)有四名学生负责准备活动道具，在八年级（2）班学生乘快车出发0.5小时后，他们四人才完成准备工作，学校立即安排一辆小车送他们前往景区．为安全起见，快车接上学生返回景区时速度减慢，结果和小车同时抵达景区，若小车速度是快车返回景区的速度的1.25倍，求快车返回景区的平均速度．
【答案】(1)慢车的平均速度为
(2)快车返回景区的平均速度为
【分析】（1）设慢车的平均速度为，则快车的平均速度为，然后可列方程进行求解；
（2）设快车返回景区的平均速度为，则小车的速度为，然后根据题意可列方程进行求解．
【详解】（1）解：设慢车的平均速度为，则快车的平均速度为，由题意得：
，
解得：；
答：慢车的平均速度为；
（2）解：设快车返回景区的平均速度为，则小车的速度为，由题意得：
，
解得：，
经检验：是原方程的解；
答：快车返回景区的平均速度为．
【点睛】本题主要考查一元一次方程及分式方程的应用，解题的关键是理解题意，找出等量关系式．
55．（2023·黑龙江哈尔滨·统考一模）海华商店为庆祝开业要购入一批花篮，若购入2个A型花篮和1个B型花篮需要680元；若购入1个A型花篮和3个B型花篮需要840元．
(1)求每个A型花篮和每个B型花篮各需多少元；
(2)该商店计划购入两种花篮共20个，总费用不超过4400元，那么至少购进B型花篮多少个？
【答案】(1)240元；200元
(2)10
【分析】（1）设每个A型花篮x元，每个B型花篮y元，根据题意列二元一次方程组求解即可；
（2）设至少购进B型花篮a个，则购进A型花篮个，根据题意列不等式求解即可．
【详解】（1）解：设每个A型花篮x元，每个B型花篮y元，由题意可得：
，解得：，
∴每个A型花篮240元，每个B型花篮200元，
答：每个A型花篮240元，每个B型花篮200元．
（2）解：设至少购进B型花篮a个，则购进A型花篮个，由题意得：
，
解得：，
∴a的最小值为：10，
答：至少购进B型花篮10个．
【点睛】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用，明确题意列方程组和不等式是解题的关键．
56．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）（1）解方程组：；
（2）解不等式：
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）用加减消元法解方程组即可；
（2）按照去分母、去括号、移项合并、化系数为1的步骤解不等式即可；
【详解】（1）解：，
，得，
解得：
把代入①，得
所以原方程组的解是：
（2）解不等式：
解：去分母得：，
去括号得：，
移项、合并得：，
系数化为1得：．
【点睛】本题考查了加减消元法解二元一次方程组、求一元一次不等式的解集；解题的关键是熟练掌握解题方法、正确求解．
57．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）为了丰富学生课后服务活动，某中学准备购买足球、排球两种体育用品，已知购买1个足球和4个排球的费用为190元，购买3个足球和2个排球的费用为220元．
(1)求每个足球和每个排球各多少元？
(2)该学校若购买足球和排球共60个，且支出不超过2600元，那么足球最多能买多少个？
【答案】(1)一个足球50元，一个排球35元
(2)33个
【分析】（1）设一个足球元，一个排球元．根据题意，列出方程组求解即可．
（2）设购买足球个，根据题意，列出不等式，求整数解即可．
【详解】（1）解：设一个足球元，一个排球元．根据题意，得：
解得：
答：一个足球50元，一个排球35元．
（2）设购买足球个，根据题意，得：
解得：
∵是整数
∴的最大值是33，
答：足球最多购买33个．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，不等式的应用，根据数量关系列出方程组和不等式是解题的关键．
58．（2023·广东广州·统考一模）解方程组：
【答案】
【分析】利用加减消元法解二元一次方程组即可.
【详解】，
①+②得：
3x=6，
x=2，
把x=2代入①得：
2﹣y=1，
y=1．
则原方程组的解为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，灵活选取二元一次方程组的解法是解题的关键.
59．（2023·河南驻马店·校联考二模）2022年北京冬奥会点燃了人们对冰雪运动的热情，各种有关冬奥会的纪念品也一度脱销．某实体店购进了甲、乙两种纪念品各20个，共花费720元．已知乙种纪念品每个进价比甲种纪念品贵4元．
(1)甲、乙两种纪念品每个进价各是多少元？
(2)这批纪念品上架之后很快售罄．该实体店计划按原进价再次购进这两种纪念品共100件，销售官网要求新购进甲种纪念品数量不低于乙种纪念品数量的（不计其他成本）．已知甲、乙纪念品售价分别为24元/个，30元/个．请问实体店应怎样安排此次进货方案，才能使销售完这批纪念品获得的利润最大？
【答案】(1)甲种纪念品每件进价是16元，乙种纪念品每件进价为20元
(2)购进甲种纪念品25件，乙种纪念品75件时利润最大
【分析】（1）设甲种纪念品每件进价是元，乙种纪念品每件进价为元，找出等量关系，根据题意列出方程组即可求解；
（2）设新购甲种纪念品件，则乙种纪念品为件，设销售完这批纪念品获得的利润为元，根据题意即可得到与之间的函数关系式；再根据的取值与一次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：设甲种纪念品每件进价是元，乙种纪念品每件进价为元，
由题意得，
解得．
答：甲种纪念品每件进价是16元，乙种纪念品每件进价为20元．
（2）解：设新购甲种纪念品件，则乙种纪念品为件，设销售完这批纪念品获得的利润为元，
由题意可得：，
解得，
，
，
，
随的增大而减小，且，
当时，有最大值，此时．
答：购进甲种纪念品25件，乙种纪念品75件时利润最大．
【点睛】本题主要考查了列方程组解决实际问题、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是找到数量关系列出方程组或函数关系式．
60．（2023·湖北黄石·校考模拟预测）如果方程有两个实数根，，那么，，请根据以上结论，解决下列问题：
(1)已知，是方程的二根，则
(2)已知、、满足，，求正数的最小值．
(3)结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知和是关于，的方程组的两个不相等的实数解．问：是否存在实数，使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【分析】（1）根据，是方程的二根，求出，的值，即可求出的值；
（2）根据，，得出，，、是方程的解，再根据，即可求出的最小值；
（3）运用根与系数的关系求出，，再解，即可求出的值．
【详解】（1）解：∵，是方程的二根，
∴，，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，，
∴、是方程的解，
∴，
∴，
∵是正数，
∴，
∴，
∴，
∴正数的最小值是；
（3）存在，当时，．理由如下：
∵，
由①得：，
由②得：，
∴，即，
由题意思可知，，是方程的两个不相等的实数根，
∴，
则，
∵和是关于，的方程组的两个不相等的实数解，
∴，
∴，
∴，
∴，
整理得：，
解得：，（舍去），
∴的值为．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，，将根与系数的关系与代数式变形相结合是解题的关键．也考查了一元二次方程根的判别式，不等式、二元一次方程组及一元二次方程的解法．
考点1 一元一次方程与二元一次方程组
一、单选题
1．（2021·辽宁锦州·统考中考真题）二元一次方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】方程组利用代入消元法求出解即可．
【详解】解：，
把②代入①得：4y＋y＝10，
解得：y＝2，
把y＝2代入②得：x＝4，
则方程组的解为．
故选：C．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
2．（2023年辽宁省营口市中考数学真题）2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时共收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机同时工作5小时共收割小麦8公顷．1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x公顷和y公顷，根据题意，可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据” 2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时共收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机同时工作5小时共收割小麦8公顷”列方程组即可．
【详解】解：设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x公顷和y公顷，
根据2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时共收割小麦3.6公顷，得
根据3台大收割机和2台小收割机同时工作5小时共收割小麦8公顷，得，
可列
故选：C．
【点睛】此题考查了列二元一次方程组，正确理解题意是解题的关键．
3．（2020·重庆·统考中考真题）解一元一次方程时，去分母正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据等式的基本性质将方程两边都乘以6可得答案．
【详解】解：方程两边都乘以6，得：
3（x+1）＝6﹣2x，
故选：D．
【点睛】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤和等式的基本性质．
4．（2021·江苏淮安·统考中考真题）《九章算术》是古代中国第一部自成体系的数学专著，其中《卷第八方程》记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”译文是：今有甲、乙两人持钱不知道各有多少，甲若得到乙所有钱的，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的，则乙也有50钱．问甲、乙各持钱多少？设甲持钱数为x钱，乙持钱数为y钱，列出关于x、y的二元一次方程组是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设甲、乙的持钱数分别为x，y，根据“甲若得到乙所有钱的，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的，则乙也有50钱”，列出二元一次方程组解答即可．
【详解】解：设甲、乙的持钱数分别为x，y，
根据题意可得：，
故选B．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键在于能够准确找到等量关系列出方程.
5．（2021·四川德阳·统考中考真题）关于x，y的方程组的解为，若点P（a，b）总在直线y＝x上方，那么k的取值范围是（ ）
A．k＞1B．k＞﹣1C．k＜1D．k＜﹣1
【答案】B
【分析】将k看作常数，解方程组得到x，y的值，根据P在直线上方可得到b＞a，列出不等式求解即可．
【详解】解：解方程组可得，
，
∵点P（a，b）总在直线y=x上方，
∴b＞a，
∴，
解得k＞-1，
故选：B．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，一次函数上点的坐标特征，解本题的关键是将k看作常数，根据点在一次函数上方列出不等式求解．
6．（2022年辽宁省营口市中考数学真题）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》一书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天可以追上慢马？若设快马x天可以追上慢马，则下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】设快马x天可以追上慢马，根据路程=速度×时间，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：设快马x天可以追上慢马，
依题意，得： 240x-150x=150×12．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
7．（2023年浙江省温州市中考数学真题）一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g．设蛋白质、脂肪的含量分别为，，可列出方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g列方程．
【详解】解：设蛋白质、脂肪的含量分别为，，则碳水化合物含量为，
则：，即，
故选A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程．
8．（2023年浙江省宁波市中考数学真题）茶叶作为浙江省农业十大主导产业之一，是助力乡村振兴的民生产业．某村有土地60公顷，计划将其中的土地种植蔬菜，其余的土地开辟为茶园和种植粮食，已知茶园的面积比种粮食面积的2倍少3公顷，问茶园和种粮食的面积各多少公顷？设茶园的面积为x公顷，种粮食的面积为y公顷，可列方程组为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据某村有土地60公顷，计划将其中的土地种植蔬菜，得到种植茶园和种植粮食的面积为，结合茶园的面积比种粮食面积的2倍少3公顷，列出方程组即可．
【详解】解：设茶园的面积为x公顷，种粮食的面积为y公顷，
由题意，得：，
即：
故选B．
【点睛】本题考查根据实际问题列方程组．找准等量关系，正确的列出方程组，是解题的关键．
9．（2023年江苏省无锡市中考数学真题）下列4组数中，不是二元一次方程的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将选项中的的值分别代入方程的左边，进而即可求解．
【详解】解：A、当时，，则是二元一次方程的解，不合题意；
B、当时，，则是二元一次方程的解 ，不合题意；
C、 当时，，则是二元一次方程的解，不合题意；
D、当时，，则不是二元一次方程的解，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解的定义，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键．
10．（2019·吉林长春·统考中考真题）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为，买鸡的钱数为，可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】直接利用每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱，分别得出方程求出答案．
【详解】解：设人数为，买鸡的钱数为，可列方程组为：
故选D
【点睛】考核知识点：二元一次方程组应用.理解题意列出方程是关键.
11．（2021·广东深圳·统考中考真题）《九章算术》中有问题：1亩好田是300元，7亩坏田是500元，一人买了好田坏田一共是100亩，花费了10000元，问他买了多少亩好田和坏田？设一亩好田为x元，一亩坏田为y元，根据题意列方程组得（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设一亩好田为x元，一亩坏田为y元，根据7亩坏田是500元可得每亩坏田的价格，根据好田坏田一共是100亩，花费了10000元列方程组即可得答案．
【详解】设一亩好田为x元，一亩坏田为y元，
∵7亩坏田是500元，
∴每亩坏田元，
∵买了好田坏田一共是100亩，花费了10000元，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，读懂题意，找出等量关系是解题关键．
二、填空题
12．（2021·浙江金华·统考中考真题）已知是方程的一个解，则m的值是 ．
【答案】2
【分析】把解代入方程,得6+2m=10，转化为关于m的一元一次方程，求解即可．
【详解】∵是方程的一个解，
∴6+2m=10，
解得m=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，一元一次方程的解法，灵活运用方程的解的定义，转化为一元一次方程求解是解题的关键．
13．（2021·四川甘孜·统考中考真题）我国古代数学著作孙子算经中有“鸡兔同笼”问题，“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”若设鸡有只，兔有只，则列出的方程组为 （列出方程组即可，不求解）．
【答案】
【分析】一只鸡有一个头和二条腿，一只兔有一个头和四条腿，根据上有三十五头，下有九十四足，即可列出方程组．
【详解】解：由题意，可列出的方程组为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是仔细审题，正确找出等量关系，难度一般．
14．（2019·辽宁铁岭·统考中考真题）若x，y满足方程组，则 ．
【答案】7
【分析】方程组利用加减消元法求出解得到x与y的值，代入原式计算即可求出值．
【详解】解：，
得：，
解得：，
把代入②得：，
则，
故答案为7
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元的方法是解本题的关键．
15．（2019·四川眉山·统考中考真题）已知关于x、y的方程组的解满足x+y=5，则k的值为 ．
【答案】2
【分析】把两个方程相加，得x+y=2k+1，结合x+y=5，即可求解．
【详解】解：，
①+②，得x+y=2k+1，
又∵x+y=5，
∴2k+1=5，
解得：k=2，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查解含参数的二元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键．
16．（2021·贵州遵义·统考中考真题）已知x，y满足的方程组是，则x+y的值为 ．
【答案】5．
【分析】将方程组中的两个方程直接相减即可求解．
【详解】解：
用②﹣①得：x+y＝5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法，通过观察方程组中两个方程的特点，灵活计算是解题的关键．
17．（2021·贵州黔西·中考真题）有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货，则3辆大货车与2辆小货车一次可以运货 ．
【答案】17
【分析】设每辆大货车一次可以运货x吨，每辆小货车一次可以运货y吨，由题意：2辆大货车与3辆小货车一次可以运货15.5t，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35t，列出方程组，解方程组，即可求解．
【详解】解：设每辆大货车一次可以运货吨，每辆小货车一次可以运货吨，
由题意，得：，
解得：，
则，
即3辆大货车与2辆小货车一次可以运货，
故答案为：17．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．
18．（2022·浙江绍兴·统考中考真题）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．” 其题意为：“良马每天行里，劣马每天行里，劣马先行天，良马要几天追上劣马？”答：良马追上劣马需要的天数是 ．
【答案】20
【分析】设良马x天追上劣马，根据良马追上劣马所走路程相同可得：240x＝150（x＋12），即可解得良马20天追上劣马．
【详解】解：设良马x天追上劣马，
根据题意得：240x＝150（x＋12），
解得x＝20，
答：良马20天追上劣马；
故答案为：20．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程．
19．（2023年河南省中考数学真题）方程组的解为 ．
【答案】
【分析】利用加减消元法求解即可．
【详解】解：
由得，，解得，
把代入①中得，解得，
故原方程组的解是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的常用解法：代入消元法和加减消元法，观察题目选择合适的方法是解题关键．
20．（2019·上海·中考真题）《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，1大桶加1小桶共盛＝ 斛米.（注：斛是古代一种容量单位）
【答案】
【分析】设一个大桶盛酒x斛，一个小桶盛酒y斛，根据“5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛”即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y值，将其相加即可得出结论．
【详解】设一个大桶盛酒x斛，一个小桶盛酒y斛，
根据题意得： ，
解得： .
∴x+y=.
故答案为
【点睛】此题考查二元一次方程组的应用，解题关键在于列出方程
21．（2019·山东泰安·统考中考真题）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相同，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各种多少两？设黄金重两，每枚白银重两，根据题意可列方程组为 .
【答案】
【分析】根据题意甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相同.故可得 ，再根据两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两，可得,因此可得二元一次方程组.
【详解】根据题意可得甲袋中的黄金9枚和乙袋中的白银11枚质量相等，可得，
再根据两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两.故可得.
因此
所以答案为
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，关键在于理解题意，这是中考的必考题,必须熟练掌握.
22．（2019·四川内江·统考中考真题）若为实数，且，则代数式的最大值是 ．
【答案】26．
【分析】先利用加减消元法求出y,x的值，再把x,y代入代数式，求出z的值，即可解答
【详解】，
(1）﹣（2）得，，
把代入（1）得，，
则，
当时，的最大值是26，
故答案为26．
【点睛】此题考查解三元一次方程，解题关键在于掌握运算法则
三、解答题
23．（2020·辽宁大连·中考真题）某化肥厂第一次运输360吨化肥，装载了6节火车车厢和15辆汽车；第二次运输440吨化肥，装载了8节火车车厢和10辆汽车．每节火车车厢与每辆汽车平均各装多少吨化肥？
【答案】每节火车车厢平均装50吨化肥，每辆汽车平均装4吨化肥．
【分析】设每节火车车厢平均装x吨化肥，每辆汽车平均装y吨化肥，根据运输360吨化肥，装载了6节火车车厢和15辆汽车；运输440吨化肥，装载了8节火车车厢和10辆汽车，列方程组求解．
【详解】解：设每节火车车厢平均装x吨化肥，每辆汽车平均装y吨化肥， 由题意得，
，
整理得：
解得：．
答：每节火车车厢平均装50吨化肥，每辆汽车平均装4吨化肥．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．
24．（2021·广西桂林·统考中考真题）解一元一次方程：4x﹣1＝2x+5．
【答案】x =3．
【分析】先把方程化移项，合并同类项，系数化1法即可．
【详解】解：4 x﹣1＝2x+5，
移项得：4 x﹣2x＝5+1
合并同类项得：2 x=6，
∴系数化1得：x =3．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解法移项、合并同类项、系数化1．掌握解一元一次方程常用的方法要根据方程的特点灵活选用合适的方法
25．（2020·黑龙江鹤岗·统考中考真题）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克元，售价每千克18元．
（1）该超市购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜5千克需要170元；购进甲种蔬菜6千克和乙种蔬菜10千克需要200元．求，的值．
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜千克，求有哪几种购买方案．
（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出元，乙种蔬菜每千克捐出元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于20%，求的最大值．
【答案】（1）的值为10，的值为14；（2）有3种购买方案，方案1：购买甲种蔬菜58千克，乙种蔬菜42千克；方案2：购买甲种蔬菜59千克，乙种蔬菜41千克；方案3：购买甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克；（3）的最大值为1.8．
【分析】（1）根据“购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元”，即可得出关于m、n的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据总价＝单价×数量结合投入资金不多于1168元且甲种蔬菜不多于60千克，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为正整数即可得出各购买方案；
（3）求出（2）中各购买方案的总利润，比较后可得出获得最大利润时售出甲、乙两种蔬菜的重量，再根据总利润＝每千克利润×销售数量结合捐款后的利润率不低于20%，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【详解】（1）依题意，得：，
解得：.
答：的值为10，的值为14.
（2）设购买甲种蔬菜千克，则购买乙种蔬菜千克，
依题意，得：，
解得：.
∵为正整数，
∴，
∴有3种购买方案，
方案1：购买甲种蔬菜58千克，乙种蔬菜42千克；
方案2：购买甲种蔬菜59千克，乙种蔬菜41千克；
方案3：购买甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克.
（3）设超市获得的利润为元，
则.
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，取得最大值，最大值为.
依题意，得：，
解得：.
答：的最大值为1.8．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
26．（2020·广西·中考真题）解二元一次方程组：．
【答案】
【分析】利用加减消元法对二元一次方程组进行求解即可．
【详解】解：①+②得：6x＝6，
解得：x＝1，
把x＝1代入①得：，
则方程组的解为．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握加减消元法是解决本题的关键．
27．（2020·四川广安·中考真题）某小区为了绿化环境，计划分两次购进A，B两种树苗，第一次购进A种树苗30棵，B种树苗15棵，共花费1350元；第二次购进A种树苗24棵，B种树苗10棵，共花费1060元．（两次购进的A，B两种树苗各自的单价均不变）
（1）A，B两种树苗每棵的价格分别是多少元？
（2）若购买A，B两种树苗共42棵，总费用为W元，购买A种树苗t棵，B种树苗的数量不超过A种树苗数量的2倍．求W与t的函数关系式．请设计出最省钱的购买方案，并求出此方案的总费用．
【答案】（1）A种树苗每棵的价格为40元，B种树苗每棵的价格为10元；（2）W= 30t＋420，当购买A种树苗14棵，B种树苗28棵时，总费用最少，最少为840元
【分析】（1）设A种树苗每棵的价格为x元，B种树苗每棵的价格为y元，根据题意，列出二元一次方程组即可求出结论；
（2）根据题意，即可求出W与t的函数关系式，然后根据题意，求出t的取值范围，利用一次函数的增减性即可求出结论．
【详解】解：（1）设A种树苗每棵的价格为x元，B种树苗每棵的价格为y元，
由题意可得：
解得：
答：A种树苗每棵的价格为40元，B种树苗每棵的价格为10元．
（2）由题意可得：W=40t＋10（42－t）=30t＋420
解得：14≤t＜42
∵W= 30t＋420中，30＞0
∴W随t的增大而增大
∴当t=14时，W最小，最小值为30×14＋420=840
此时B种树苗42－14=28棵
答：当购买A种树苗14棵，B种树苗28棵时，总费用最少，最少为840元．
【点睛】此题考查的是二元一次方程组的应用和一次函数的应用，掌握实际问题中的等量关系和利用一次函数的增减性求最值是解题关键．
28．（2022·辽宁朝阳·统考中考真题）某中学要为体育社团购买一些篮球和排球，若购买3个篮球和2个排球，共需560元；若购买2个篮球和4个排球，共需640元．
(1)求每个篮球和每个排球的价格分别是多少元；
(2)该中学决定购买篮球和排球共10个，总费用不超过1100元，那么最多可以购买多少个篮球？
【答案】(1)每个篮球的价格是120元，每个排球的价格是100元
(2)5
【分析】（1）设每个篮球的价格是x元，每个排球的价格是y元，根据“购买3个篮球和2个排球，共需560元；若购买2个篮球和4个排球，共需640元．”列出方程组，即可求解；
（2）设购买m个篮球，则购买排球（10-m）根据“总费用不超过1100元，”列出不等式，即可求解．
【详解】（1）解：设每个篮球的价格是x元，每个排球的价格是y元，根据题意得：
，解得：，
答：每个篮球的价格是120元，每个排球的价格是100元；
（2）解：设购买m个篮球，则购买排球（10-m）根据题意得：
120m+100（10-m）≤1100，
解得m≤5，
答：最多可以购买5个篮球．
【点睛】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解题的关键是读憧题意，列出方程组和不等式．
29．（2022·江苏淮安·统考中考真题）端午节前夕，某超市从厂家分两次购进、两种品牌的粽子，两次进货时，两种品牌粽子的进价不变．第一次购进品牌粽子100袋和品牌粽子150袋，总费用为7000元；第二次购进品牌粽子180袋和品牌粽子120袋，总费用为8100元．
(1)求、两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；
(2)当品牌粽子销售价为每袋54元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对品牌粽子进行降价销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当品牌粽子每袋的销售价降低多少元时，每天售出品牌粽子所获得的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)种品牌粽子每袋的进价是25元，种品牌粽子每袋的进价是30元
(2)当品牌粽子每袋的销售价降低10元时，每天售出品牌粽子所获得的利润最大，最大利润是980元
【分析】（1）根据已知数量关系列二元一次方程组，即可求解；
（2）设品牌粽子每袋的销售价降低元，利润为元，列出关于的函数关系式，求出函数的最值即可．
【详解】（1）解：设种品牌粽子每袋的进价是元，种品牌粽子每袋的进价是元，
根据题意得，，
解得，
故种品牌粽子每袋的进价是25元，种品牌粽子每袋的进价是30元；
（2）解：设品牌粽子每袋的销售价降低元，利润为元，
根据题意得，
，
∵，
∴当品牌粽子每袋的销售价降低10元时，每天售出品牌粽子所获得的利润最大，最大利润是980元．
【点睛】本题考查二次函数和二元一次方程的实际应用，根据已知数量关系列出函数解析式和二元一次方程组是解题的关键．
30．（2019·四川绵阳·统考中考真题）辰星旅游度假村有甲种风格客房15间，乙种风格客房20间．按现有定价：若全部入住，一天营业额为8500元；若甲、乙两种风格客房均有10间入住，一天营业额为5000元．
(1)求甲、乙两种客房每间现有定价分别是多少元？
(2)度假村以乙种风格客房为例，市场情况调研发现：若每个房间每天按现有定价，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加20元时，就会有两个房间空闲．如果游客居住房间，度假村需对每个房间每天支出80元的各种费用．当每间房间定价为多少元时，乙种风格客房每天的利润最大，最大利润是多少元？
【答案】(1)甲、乙两种客房每间现有定价分别是300元、200元；(2)每间房间定价为240元时，乙种风格客房每天的利润最大，最大利润是2560元．
【分析】(1)根据题意“若全部入住，一天营业额为8500元；若甲、乙两种风格客房均有10间入住，一天营业额为5000元”设未知数列出相应的二元一次方程组，解方程组即可解答本题；
(2)根据题意列出关于乙种房价的函数关系式，然后根据二次函数的性质即可解答本题．
【详解】解：设甲、乙两种客房每间现有定价分别是元、元，
根据题意，得：，
解得，
答：甲、乙两种客房每间现有定价分别是300元、200元；
(2)设每天的定价增加了个20元，则有个房间空闲，
根据题意得：，
∵，
∴当时，取得最大值，最大值为2560，此时房间的定价为元．
答：当每间房间定价为240元时，乙种风格客房每天的利润最大，最大利润是2560元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，正确列出方程组和二次函数关系式，利用二次函数的性质解答．
31．（2020·福建·统考中考真题）某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨．
（1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？
（2）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润．
【答案】（1）甲特产15吨，乙特产85吨；（2）26万元．
【分析】（1）设这个月该公司销售甲特产吨，则销售乙特产吨，根据题意列方程解答；
（2）设一个月销售甲特产吨，则销售乙特产吨，且，根据题意列函数关系式，再根据函数的性质解答.
【详解】解：（1）设这个月该公司销售甲特产吨，则销售乙特产吨，
依题意，得，
解得，则，
经检验符合题意，
所以，这个月该公司销售甲特产15吨，乙特产85吨；
（2）设一个月销售甲特产吨，则销售乙特产吨，且，
公司获得的总利润，
因为，所以随着的增大而增大，
又因为，
所以当时，公司获得的总利润的最大值为26万元，
故该公司一个月销售这两种特产能获得的最大总利润为26万元.
【点睛】此题考查一元一次方程的实际应用、一次函数的性质等基础知识，考查运算能力、应用意识，考查函数与方程思想，正确理解题意，根据问题列方程或是函数关系式解答问题.
32．（2020·广西玉林·统考中考真题）解方程组：
【答案】．
【分析】利用加减消元法解二元一次方程组即可．
【详解】
①②得
解得
将代入②得
解得
则方程组的解为．
【点睛】本题考查了利用加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题关键．
33．（2021·广西桂林·统考中考真题）为了美化环境，建设生态桂林，某社区需要进行绿化改造，现有甲、乙两个绿化工程队可供选择，已知甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多200平方米，甲队与乙队合作一天能完成800平方米的绿化改造面积．
（1）甲、乙两工程队每天各能完成多少平方米的绿化改造面积？
（2）该社区需要进行绿化改造的区域共有12000平方米，甲队每天的施工费用为600元，乙队每天的施工费用为400元，比较以下三种方案：①甲队单独完成；②乙队单独完成；③甲、乙两队全程合作完成．哪一种方案的施工费用最少？
【答案】（1）甲队每天能完成绿化的面积是500平方米，乙队每天能完成绿化的面积是300平方米；（2）选择方案①完成施工费用最少
【分析】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x平方米，根据甲队与乙队合作一天能完成800平方米的绿化改造面积，列出方程，求解即可；
（2）利用施工费用=每天的施工费用×施工时间，即可求出选择各方案所需施工费用,再比较后即可得出结论．
【详解】解：（1）设乙队每天能完成绿化的面积是x平方米，则甲队每天能完成绿化的面积是（x+200）米，
依题意得：x+x+200=800
解得：x=300，
x+200=500
∴甲队每天能完成绿化的面积是500平方米，乙队每天能完成绿化的面积是300平方米．
（2）选择方案①甲队单独完成所需费用=（元）；
选择方案②乙队单独完成所需费用=（元）；
选择方案③甲、乙两队全程合作完成所需费用=（元）；
∴选择方案①完成施工费用最少．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出方程；（2）利用总费用=每天支出的费用×工作时间，分别求出选择各方案所需费用．
34．（2021·西藏·统考中考真题）列方程（组）解应用题
为振兴农村经济，某县决定购买A，B两种药材幼苗发给农民栽种，已知购买2棵A种药材幼苗和3棵B种药材幼苗共需41元．购买8棵A种药材幼苗和9棵B种药材幼苗共需137元．问每棵A种药材幼苗和每棵B种药材幼苗的价格分别是多少元？
【答案】每棵A种药材幼苗的价格是7元，每棵B种药材幼苗的价格是9元．
【分析】设每棵A种药材幼苗的价格是x元，每棵B种药材幼苗的价格是y元，根据“购买2棵A种药材幼苗和3棵B种药材幼苗共需41元．购买8棵A种药材幼苗和9棵B种药材幼苗共需137元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设每棵A种药材幼苗的价格是x元，每棵B种药材幼苗的价格是y元，
依题意得：，
解得：，
答：每棵A种药材幼苗的价格是7元，每棵B种药材幼苗的价格是9元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
35．（2022·湖南常德·统考中考真题）小强的爸爸平常开车从家中到小强奶奶家，匀速行驶需要4小时，某天，他们以平常的速度行驶了的路程时遇到了暴雨，立即将车速减少了20千米／小时，到达奶奶家时共用了5小时，问小强家到他奶奶家的距离是多少千米？
【答案】240千米
【分析】平常速度行驶了的路程用时为2小时，后续减速后用了3小时，用遇到暴雨前行驶路程加上遇到暴雨后行驶路程等于总路程这个等量关系列出方程求解即可．
【详解】解：设小强家到他奶奶家的距离是千米，则平时每小时行驶千米，减速后每小时行驶千米，由题可知：遇到暴雨前用时2小时，遇到暴雨后用时5-2=3小时，
则可得：，
解得：，
答：小强家到他奶奶家的距离是240千米．
【点睛】本题考查了一元一次方程应用中的行程问题，直接设未知数法，找到准确的等量关系，列出方程正确求解是解题的关键．
36．（2022·四川泸州·统考中考真题）某经销商计划购进，两种农产品．已知购进种农产品2件，种农产品3件，共需690元；购进种农产品1件，种农产品4件，共需720元．
(1)，两种农产品每件的价格分别是多少元？
(2)该经销商计划用不超过5400元购进，两种农产品共40件，且种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照种每件160元，种每件200元的价格全部售出，那么购进，两种农产品各多少件时获利最多？
【答案】(1)A每件进价120元，B每件进价150元；
(2)A农产品进20件，B农产品进20件，最大利润是1800元．
【分析】（1）根据“购进种农产品2件，种农产品3件，共需690元；购进种农产品1件，种农产品4件，共需720元”可以列出相应的方程组，从而可以求得A、B两种农产品每件的价格分别是多少元；
（2）根据题意可以得到利润与购买甲种商品的函数关系式，从而可以解答本题．
【详解】（1）设A每件进价x元，B每件进价y元，
由题意得，
解得：，
答：A每件进价120元，B每件进价150元；
（2）设A农产品进a件，B农产品（40-a）件，由题意得，
解得，
设利润为y元，则，
∵y随a的增大而减小，
∴当a=20时，y最大， 最大值y=2000-10×20=1800，
答：A农产品进20件，B农产品进20件，最大利润是1800元．
【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
37．（2022·浙江绍兴·统考中考真题）计算
(1)计算：6tan30°+（+1）0-.
(2)解方程组
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）根据特殊角的三角函数值，零指数幂，二次根式的性质化简，然后进行计算即可；
（2）利用加减消元法解二元一次方程组即可．
【详解】（1）解：原式＝；
（2），
①＋②得3x＝6，
∴x＝2，
把x＝2代入②，得y＝0，
∴原方程组的解是．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，零指数幂，二次根式的性质，解二元一次方程组，解决本题的关键是掌握以上知识熟练运算．
38．（2022·辽宁·统考中考真题）多功能家庭早餐机可以制作多种口味的美食，深受消费者的喜爱，在新品上市促销活动中，已知8台A型早餐机和3台B型早餐机需要1000元，6台A型早餐机和1台B型早餐机需要600元．
(1)每台A型早餐机和每台B型早餐机的价格分别是多少元？
(2)某商家欲购进A，B两种型号早餐机共20台，但总费用不超过2200元，那么至少要购进A型早餐机多少台？
【答案】(1)每台A型早餐机80元，每台B型早餐机120元；
(2)至少要购进A型早餐机5台．
【分析】（1）设A型早餐机每台x元，B型早餐机每台y元，根据等量关系列方程组求解即可；
（2）设购进A型早餐机n台，根据总费用不超过2200元列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：设A型早餐机每台x元，B型早餐机每台y元，依题意得：
，
解得：，
答：每台A型早餐机80元，每台B型早餐机120元；
（2）解：设购进A型早餐机n台，依题意得：
80n+120（20﹣n）≤2200，
解得：n≥5，
答：至少要购进A型早餐机5台．
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，解题的关键的是理解题意找出等量关系列出方程，以及根据条件列出不等式求解．
39．（2022·山东德州·统考中考真题）如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35m，15m．现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地．
(1)若扩充后的矩形绿地面积为，求新的矩形绿地的长与宽；
(2)扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为．求新的矩形绿地面积．
【答案】(1)新的矩形绿地的长为，宽为
(2)新的矩形绿地面积为．
【分析】（1）设将绿地的长、宽增加，则新的矩形绿地的长为，宽为，根据扩充后的矩形绿地面积为，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，将其正值分别代入及中，即可得出结论；
（2）设将绿地的长、宽增加，则新的矩形绿地的长为，宽为，根据实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5：3，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出y值，再利用矩形的面积计算公式，即可求出新的矩形绿地面积．
【详解】（1）解：（1）设将绿地的长、宽增加，则新的矩形绿地的长为，宽为，
根据题意得：，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），
．
答：新的矩形绿地的长为40m，宽为20m．
（2）设将绿地的长、宽增加，则新的矩形绿地的长为，宽为，
根据题意得：，
即，
解得：，
．
答：新的矩形绿地面积为．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程与一元一次方程．
40．（2023年江苏省徐州市中考数学真题）（1）解方程组
（2）解不等式组
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用代入法解二元一次方程组即可；
（2）求出每个不等式的解集，取每个不等式解集的公共部分即可．
【详解】解：（1）
把①代入②得，，
解得，
把代入①得，，
∴ ；
（2）
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组的解集是．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解法和一元一次不等式组的解法，熟练掌握相关解法是解题的关键．
41．（2023·广东广州·统考一模）《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，求1个大桶和1个小桶分别可以盛多少斛米？设1个大桶盛斛米，1个小桶盛斛米．可列方程组（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设1个大桶可以盛米x斛，1个小桶可以盛米y斛，根据“5个大桶加上1个小桶可以盛米3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛米2斛”即可得出关于x、y的二元一次方程组．
【详解】解：设1个大桶可以盛米x斛，1个小桶可以盛米y斛，
根据题意得：，
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据数量关系列出关于x、y的二元一次方程组是解题的关键．
42．（2023·河南郑州·郑州外国语中学校考三模）九章算术是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设雀每只两，燕每只两，根据“五只雀、六只燕，共重两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重”可列出方程组，从而可得答案．
【详解】设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为：
．
故选：B．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，确定相等关系列方程组是解本题的关键．
43．（2023·浙江杭州·校考三模）若方程组的解也是方程的解，则的值是（ ）
A．6B．10C．9D．
【答案】D
【分析】先解二元一次方程组，再将二元一次方程组的解代入，求解即可得到答案．
【详解】解：，
②①得：，
，
将代入①得：，
，
方程组的解为，
将代入得：，
，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组及二元一次方程组的解，熟练掌握解二元一次方程组的解法是解题的关键．
44．（2023·广东江门·校考二模）已知实数x，y满足方程组，则 ．
【答案】2
【分析】代数式9x2−4y2因式分解得到(3x+2y)(3x-2y)，再整体代入即可求解．
【详解】解：∵实数x，y满足方程组，
∴3x+2y=2，3x-2y=1，
∴9x2−4y2=(3x+2y)(3x-2y)
=2×1
=2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解、代数式的求值和因式分解的应用，熟练掌握因式分解以及整体代入法是解决本题的关键
45．（2023·重庆大渡口·统考模拟预测）为进一步改善生态环境，村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植香樟和红枫．在实际购买时，香樟的价格比预算低，红枫的价格比预算高，香樟购买数量减少了，红枫购买数量与预算保持不变，结果所花费用恰好与预算费用相等，则实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为 ．
【答案】/
【分析】设预算购买香樟量为，单价为；红枫量为，单价为，根据题意列出等式得出，即可求解．
【详解】解：设预算购买香樟量为，单价为；红枫量为，单价为，
由题意得：，
整理得：，
，
实际购买香樟的总费用为，实际购买红枫的总费用为，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了用字母表示数，根据相等关系列方程进行化简等知识，解决问题的关键是设需要的量，列出关系式，进行数据处理．
46．（2023·广东广州·统考一模）坚定文化自信，为乡村振兴塑形铸魂．为发展旅游经济，某乡村企业制作一批“美丽乡村”主题文化衫进行销售．第一批文化衫的制作成本是3000元，面市后文化衫供不应求，又用6600元制作了第二批同款文化衫，制作的数量是第一批数量的2倍，但由于原材料涨价，第二批文化衫每件的成本增加了3元．
(1)该企业制作的第一批文化衫每件的成本是多少元？
(2)两批文化衫标价相同，在季末清仓时，最后30件按6折全部售出．问每件文化衫标价为多少元时，才能使两批文化衫的销售盈利率等于？
注：盈利率＝（销售金额－成本）÷成本
【答案】(1)第一批文化衫每件的成本是30元
(2)每件文化衫标价为50元
【分析】（1）设第一批文化衫每件的成本是x元，则第二批文化衫每件的成本是元，根据所给数量关系列分式方程，即可求解；
（2）设每件文化衫标价为y元，根据盈利率（销售金额－成本）成本，列一元一次方程，解方程即可．
【详解】（1）解：设第一批文化衫每件的成本是x元，
由题意知，，
化为整式方程为：，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，
因此第一批文化衫每件的成本是30元；
（2）解：设每件文化衫标价为y元，
由题意知，
解得，
即每件文化衫标价为50元时，才能使两批文化衫的销售盈利率等于．
【点睛】本题考查分式方程、一元一次方程的实际应用，解题的关键是根据所给等量关系正确列出方程．
47．（2022·山东德州·统考中考真题）（1）化简：；
（2）解方程组：．
【答案】（1）；（2）方程组的解为
【分析】（1）根据分式混合运算法则进行计算即可；
（2）用加减消元法解二元一次方程组即可．
【详解】解：（1）
；
（2），
得，
解得，
将代入①得，
解得，
∴方程组的解为．
【点睛】本题主要考查了分式混合运算，解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则和解二元一次方程的方法，准确计算．
48．（2023·广东广州·广州大学附属中学校考一模）解方程组：
【答案】
【分析】根据加减消元法可求解方程组．
【详解】解：
得：，
把代入①得：，
解得：，
∴原方程组的解为．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
49．（2023·浙江·一模）（1）计算：．
（2）解方程组
【答案】（1）1；（2）
【分析】（1）先根据特殊角的三角函数值，算术平方根，零指数幂进行计算，再算乘法，最后算加减即可；
（2）②①得出，求出，再把代入①求出即可．
【详解】解：（1）
；
（2），
②①，得，
解得：，
把代入①，得，
解得：，
所以方程组的解．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，零指数幂，实数的混合运算，解二元一次方程组等知识点，能正确根据实数的运算法则进行计算是解（1）的关键，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解（2）的关键．
50．（2023·湖北孝感·校考三模）在“抗击疫情”期间，某学校工会号召广大教师积极开展了“献爱心捐款”活动，学校拟用这笔捐款购买A、B两种防疫物品．如果购买A种物品30件，B种物品20件，共需680元；如果购买A种物品50件，B种物品40件，共需1240元．
(1)求A、B两种防疫物品每件各多少元；
(2)现要购买A、B两种防疫物品共300件，总费用不超过4000元，那么A种防疫物品最少购买多少件？
【答案】(1)A种防疫物品每件12元，B种防疫物品每件16元
(2)A种防疫物品最少购买200件
【分析】（1）设A种防疫物品每件x元，B种防疫物品每件y元，根据“如果购买A种物品30件，B种物品20件，共需680元；如果购买A种物品50件，B种物品40件，共需1240元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买A种防疫物品m件，则购买B种防疫物品件，根据总价、单价、数量的关系，结合总费用不超过4000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中最小的整数即可得出结论．
【详解】（1）解：设A种防疫物品每件x元，B种防疫物品每件y元，
依题意，得，
解得．
答：A种防疫物品每件12元，B种防疫物品每件16元；
（2）解：设购买A种防疫物品m件，则购买B种防疫物品件，
依题意，得：，
解得：，
∴m的最小值为200．
答：A种防疫物品最少购买200件．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量间的关系，列出关于m的一元一次不等式．
51．（2023·广东河源·校联考一模）开学前夕，某书店计划购进 A、B 两种笔记本共 350 本．已知 A 种笔记本的进价为 12 元/本，B 种笔记本的进价为 15 元/本，共计 4800 元．
(1)请问购进了A种笔记本多少本？
(2)在销售过程中，A、B两种笔记本的标价分别为20元/本、25元/本．受疫情影响，两种笔记本按标价各卖出m本以后，该店进行促销活动，剩余的A种笔记本按标价的七折全部售出，剩余的B种笔记本按成本价清货，若两种笔记本的总利润不少于2348元，请求出m的最小值．
【答案】(1)购进了A种笔记本150本；
(2)m的最小值128．
【分析】（1）设购进了A种笔记本x本，则B种笔记本本，根据题意列方程求解即可；
（2）由（1）可得，购进了B种笔记本本，根据题意，列出不等式，然后求解即可．
【详解】（1）解：设购进了A种笔记本x本，则B种笔记本本，
由题意可得：
解得，
答：购进了A种笔记本150本；
（2）解：由（1）可得，购进了B种笔记本本，
由题意可得：，
解得，
答：m的最小值128．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，设出未知数，找到等量关系和不等量关系，正确列出方程和不等式．
52．（2023·广东广州·统考一模）“桃之夭夭，灼灼其华”，每年月份，我区某湿地公园内的桃花陆续绽放，引来众多市民前往踏青观赏，纷纷拍照留念，记录生活美好时光，小王抓住这一商机，计划从市场购进、两种型号的手机自拍杆进行销售，据调查，购进件型号和件型号自拍杆共需元，其中件型号自拍杆价格是件型号自拍杆价格的倍．
(1)求件型号和件型号自拍杆的进价各是多少元？
(2)若小王计划购进、两种型号自拍杆共件，并将这两款手机自拍杆分别以元，元的价钱进行售卖，为了保证全部售卖完后的总利润不低于元，求最多购进型号自拍杆多少件？
【答案】(1)件型号自拍杆的进价为元，件型号自拍杆的进价为元
(2)最多购进型号自拍杆件
【分析】（1）件型号自拍杆的进价为元，件型号自拍杆的进价为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设购进型号自拍杆件，则购进型号自拍杆件，根据题意列出不等式，解不等式，求最大整数解即可求解．
【详解】（1）解：件型号自拍杆的进价为元，件型号自拍杆的进价为元，根据题意得，
解得：
答：件型号自拍杆的进价为元，件型号自拍杆的进价为元
（2）解：设购进型号自拍杆件，则购进型号自拍杆件，根据题意得，
解得：，
取最大整数解，
答：最多购进型号自拍杆件．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程组和不等式是解题的关键．
53．（2023·广东佛山·统考一模）我国古代数学著作《九章算术》中记载有这样一个问题：“今有甲、乙二人，持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲大半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”题目大意是：今有甲、乙二人，各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50，问甲、乙二人各带了多少钱？
(1)求甲、乙两人各带的钱数；
(2)若小明、小颖去文具店购买作业本，两人带的钱数（单位：元）恰好等于甲、乙两人各带的钱数，已知作业本的单价为2.5元/本．由于开学之际，文具店搞促销活动，凡消费50元可以打八折，那么他们合起来购买可以比单独购买多多少本作业本？
【答案】(1)甲带钱，乙持钱
(2)他们合起来购买可以比单独购买多6本作业本
【分析】（1）设甲带钱x，乙持钱y，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）分别计算出分开买和合起来买的数量，再比较即可作答．
【详解】（1）解：设甲带钱x，乙持钱y，
根据题意得：
，
解得：，
答：甲带钱，乙持钱；
（2）分开买：（本）；
合起来买：（本），
即：（本），
即：他们合起来购买可以比单独购买多6本作业本．
【点睛】本题主要考查了使用二元一次方程组解答古代问题的知识，明确题意，列出方程组是解答本题的关键．
54．（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考三模）八年级学生到距学校150km的景区游览．景区提供了快车和慢车两种车型前往学校接学生到景区，所有车辆均沿同一路线往返．
(1)由于快车有其他接送任务，八年级（1）班学生乘慢车从学校出发时，快车才从景区出发前往学校接八年级（2）班学生，1.2小时后快车在前往学校的途中与慢车相遇．若快车每小时比慢车多行驶25km，求慢车的平均速度；
(2)有四名学生负责准备活动道具，在八年级（2）班学生乘快车出发0.5小时后，他们四人才完成准备工作，学校立即安排一辆小车送他们前往景区．为安全起见，快车接上学生返回景区时速度减慢，结果和小车同时抵达景区，若小车速度是快车返回景区的速度的1.25倍，求快车返回景区的平均速度．
【答案】(1)慢车的平均速度为
(2)快车返回景区的平均速度为
【分析】（1）设慢车的平均速度为，则快车的平均速度为，然后可列方程进行求解；
（2）设快车返回景区的平均速度为，则小车的速度为，然后根据题意可列方程进行求解．
【详解】（1）解：设慢车的平均速度为，则快车的平均速度为，由题意得：
，
解得：；
答：慢车的平均速度为；
（2）解：设快车返回景区的平均速度为，则小车的速度为，由题意得：
，
解得：，
经检验：是原方程的解；
答：快车返回景区的平均速度为．
【点睛】本题主要考查一元一次方程及分式方程的应用，解题的关键是理解题意，找出等量关系式．
55．（2023·黑龙江哈尔滨·统考一模）海华商店为庆祝开业要购入一批花篮，若购入2个A型花篮和1个B型花篮需要680元；若购入1个A型花篮和3个B型花篮需要840元．
(1)求每个A型花篮和每个B型花篮各需多少元；
(2)该商店计划购入两种花篮共20个，总费用不超过4400元，那么至少购进B型花篮多少个？
【答案】(1)240元；200元
(2)10
【分析】（1）设每个A型花篮x元，每个B型花篮y元，根据题意列二元一次方程组求解即可；
（2）设至少购进B型花篮a个，则购进A型花篮个，根据题意列不等式求解即可．
【详解】（1）解：设每个A型花篮x元，每个B型花篮y元，由题意可得：
，解得：，
∴每个A型花篮240元，每个B型花篮200元，
答：每个A型花篮240元，每个B型花篮200元．
（2）解：设至少购进B型花篮a个，则购进A型花篮个，由题意得：
，
解得：，
∴a的最小值为：10，
答：至少购进B型花篮10个．
【点睛】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用，明确题意列方程组和不等式是解题的关键．
56．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）（1）解方程组：；
（2）解不等式：
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）用加减消元法解方程组即可；
（2）按照去分母、去括号、移项合并、化系数为1的步骤解不等式即可；
【详解】（1）解：，
，得，
解得：
把代入①，得
所以原方程组的解是：
（2）解不等式：
解：去分母得：，
去括号得：，
移项、合并得：，
系数化为1得：．
【点睛】本题考查了加减消元法解二元一次方程组、求一元一次不等式的解集；解题的关键是熟练掌握解题方法、正确求解．
57．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）为了丰富学生课后服务活动，某中学准备购买足球、排球两种体育用品，已知购买1个足球和4个排球的费用为190元，购买3个足球和2个排球的费用为220元．
(1)求每个足球和每个排球各多少元？
(2)该学校若购买足球和排球共60个，且支出不超过2600元，那么足球最多能买多少个？
【答案】(1)一个足球50元，一个排球35元
(2)33个
【分析】（1）设一个足球元，一个排球元．根据题意，列出方程组求解即可．
（2）设购买足球个，根据题意，列出不等式，求整数解即可．
【详解】（1）解：设一个足球元，一个排球元．根据题意，得：
解得：
答：一个足球50元，一个排球35元．
（2）设购买足球个，根据题意，得：
解得：
∵是整数
∴的最大值是33，
答：足球最多购买33个．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，不等式的应用，根据数量关系列出方程组和不等式是解题的关键．
58．（2023·广东广州·统考一模）解方程组：
【答案】
【分析】利用加减消元法解二元一次方程组即可.
【详解】，
①+②得：
3x=6，
x=2，
把x=2代入①得：
2﹣y=1，
y=1．
则原方程组的解为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，灵活选取二元一次方程组的解法是解题的关键.
59．（2023·河南驻马店·校联考二模）2022年北京冬奥会点燃了人们对冰雪运动的热情，各种有关冬奥会的纪念品也一度脱销．某实体店购进了甲、乙两种纪念品各20个，共花费720元．已知乙种纪念品每个进价比甲种纪念品贵4元．
(1)甲、乙两种纪念品每个进价各是多少元？
(2)这批纪念品上架之后很快售罄．该实体店计划按原进价再次购进这两种纪念品共100件，销售官网要求新购进甲种纪念品数量不低于乙种纪念品数量的（不计其他成本）．已知甲、乙纪念品售价分别为24元/个，30元/个．请问实体店应怎样安排此次进货方案，才能使销售完这批纪念品获得的利润最大？
【答案】(1)甲种纪念品每件进价是16元，乙种纪念品每件进价为20元
(2)购进甲种纪念品25件，乙种纪念品75件时利润最大
【分析】（1）设甲种纪念品每件进价是元，乙种纪念品每件进价为元，找出等量关系，根据题意列出方程组即可求解；
（2）设新购甲种纪念品件，则乙种纪念品为件，设销售完这批纪念品获得的利润为元，根据题意即可得到与之间的函数关系式；再根据的取值与一次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：设甲种纪念品每件进价是元，乙种纪念品每件进价为元，
由题意得，
解得．
答：甲种纪念品每件进价是16元，乙种纪念品每件进价为20元．
（2）解：设新购甲种纪念品件，则乙种纪念品为件，设销售完这批纪念品获得的利润为元，
由题意可得：，
解得，
，
，
，
随的增大而减小，且，
当时，有最大值，此时．
答：购进甲种纪念品25件，乙种纪念品75件时利润最大．
【点睛】本题主要考查了列方程组解决实际问题、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是找到数量关系列出方程组或函数关系式．
60．（2023·湖北黄石·校考模拟预测）如果方程有两个实数根，，那么，，请根据以上结论，解决下列问题：
(1)已知，是方程的二根，则
(2)已知、、满足，，求正数的最小值．
(3)结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知和是关于，的方程组的两个不相等的实数解．问：是否存在实数，使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【分析】（1）根据，是方程的二根，求出，的值，即可求出的值；
（2）根据，，得出，，、是方程的解，再根据，即可求出的最小值；
（3）运用根与系数的关系求出，，再解，即可求出的值．
【详解】（1）解：∵，是方程的二根，
∴，，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，，
∴、是方程的解，
∴，
∴，
∵是正数，
∴，
∴，
∴，
∴正数的最小值是；
（3）存在，当时，．理由如下：
∵，
由①得：，
由②得：，
∴，即，
由题意思可知，，是方程的两个不相等的实数根，
∴，
则，
∵和是关于，的方程组的两个不相等的实数解，
∴，
∴，
∴，
∴，
整理得：，
解得：，（舍去），
∴的值为．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，，将根与系数的关系与代数式变形相结合是解题的关键．也考查了一元二次方程根的判别式，不等式、二元一次方程组及一元二次方程的解法．
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