广东省梅州市2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题（Word版附解析）

这是一份广东省梅州市2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题（Word版附解析），共23页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁， 若，则， 下列函数是偶函数的是等内容，欢迎下载使用。

注意事项：本试卷共6页，22小题，满分150分，考试用时120分钟
1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的学校、班级、考生号、姓名和座号填写在答题卡上.
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3.作答必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. （ ）
A. B. C. D.
3. 寓言故事“龟兔赛跑”说的是：兔子和乌龟比赛跑步.刚开始，兔子在前面飞快地跑着，乌龟拼命地爬着.不一会儿，兔子就拉开了乌龟好大一段距离.兔子认为比赛太轻松了，就决定先睡一会.而乌龟呢，它一刻不停地爬行.当乌龟快到达终点的时候，兔子才醒来，于是它赶紧去追，但结果还是乌龟赢了.下图“路程一时间”的图像中，与“龟兔赛跑”的情节相吻合的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 下列命题中，真命题的是（ ）
A. B.
C. ，使得D. ，使得
5. 设计如图所示的四个电路图，条件p：“灯泡L亮”；条件q：“开关S闭合”，则p是q的必要不充分条件的电路图是（ ）
A. B.
C. D.
6. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知函数，若方程在区间内恰有两个实数根，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知是定义在上且不恒为零的函数，对于任意实数满足，若，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列函数是偶函数的是（ ）
A. B.
C D.
10. 已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
11. 下列关于函数的说法中，正确的有（ ）
A. 函数图像是轴对称图形B. 函数的图像是中心对称图形
C. 函数的值域为D. 函数的单调递增区间是
12. 设集合是实数集的子集，如果满足：，使得，则称为集合的一个聚点.在下列集合中，以0为一个聚点的集合有（ ）
A. B.
C D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 在直径为6的圆中，弧度的圆心角所对的弧长为_____________.
14. 已知函数，则，则_____________.
15. 已知幂函数的图象过点，若，则的取值范围是_____________.
16. 若，则的最大值是_____________.（注：表示中的较小值）
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知集合.
（1）若，求实数的值及集合；
（2）若且，求实数和满足的关系式.
18. 已知，且是第二象限角.
（1）求的值；
（2）求的值.
19. 已知二次函数.
（1）若，求在上的值域；
（2）求在上的最小值.
20. 已知函数.
（1）判断函数在上的奇偶性，并证明之；
（2）判断函数在上的单调性，并用定义法证明；
（3）写出在上的值域（不用书写计算推导过程）.
21. 下表是我国1964年到1971年期间的人口数及增长情况：
（1）根据上表，假设以1964年为起点，以1964年到1971年的人口平均增长率作为恒定增长率，记为经过时间年后的人口数，请你建立我国的人口增长模型（即：人口数与时间之间的关系）；
（2）对照你所建立的模型和马尔萨斯的人口指数增长模型：，指出其中的值；
（3）如果按照以上模型和数据，预测2025年我国的人口数（保留两位小数），并根据预测的数据，谈谈你对前面模型的理解或者有什么需要改进的方面.
（参考数据：；）
22. 已知函数.
（1）当时，求的零点个数，并求出相应的零点；
（2）讨论关于的方程的解的个数.年份
人口数（单位：亿）
增长量（单位：亿）
增长率
1964
705
-
-
1965
7.25
0.20
0.028
1966
7.45
0.20
0.028
1967
7.64
0.19
0.026
1968
785
0.21
0.027
1969
8.08
0.23
0.029
1970
8.30
0.22
0.027
1971
8.52
0.22
0.027
梅州市高中期末考试试卷（2024.1）
高一数学
注意事项：本试卷共6页，22小题，满分150分，考试用时120分钟
1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的学校、班级、考生号、姓名和座号填写在答题卡上.
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3.作答必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出集合中元素范围，进而可求其补集，最后再求交集即可.
【详解】因为，
所以，又，
所以.
故选：D.
2. （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用诱导公式变形计算即可.
【详解】.
故选：A.
3. 寓言故事“龟兔赛跑”说的是：兔子和乌龟比赛跑步.刚开始，兔子在前面飞快地跑着，乌龟拼命地爬着.不一会儿，兔子就拉开了乌龟好大一段距离.兔子认为比赛太轻松了，就决定先睡一会.而乌龟呢，它一刻不停地爬行.当乌龟快到达终点的时候，兔子才醒来，于是它赶紧去追，但结果还是乌龟赢了.下图“路程一时间”的图像中，与“龟兔赛跑”的情节相吻合的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先确定兔子的图象，然后根据开始兔子快，乌龟慢，以及最终乌龟赢了即可得答案.
【详解】由于兔子睡了一下，所以所有选项中有一段不发生变化的折线为兔子的“路程一时间” 的图像
一开始，兔子快，乌龟慢，排除选项C D，
最后乌龟赢了，即乌龟先到达终点，选项B符合.
故选：B.
4. 下列命题中，真命题的是（ ）
A. B.
C. ，使得D. ，使得
【答案】D
【解析】
【分析】通过举例来判断ABD，利用三角函数的有界性判断C.
【详解】对于A：当时，，A错误；
对于B：当时，，B错误；
对于C：根据三角函数的有界性，，故不存在，使，C错误；
对于D：当时，，故，使得，D正确.
故选：D.
5. 设计如图所示的四个电路图，条件p：“灯泡L亮”；条件q：“开关S闭合”，则p是q的必要不充分条件的电路图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据各电路的特点，判断两个命题之间的逻辑关系，即可判断出答案.
【详解】对于A，灯泡L亮，可能是闭合，不一定是S闭合，
当S闭合时，必有灯泡L亮，故p是q的必要不充分条件，A正确；
对于B，由于S和L是串联关系，故灯泡L亮，必有S闭合，
S闭合，灯泡L亮，即p是q的充要条件，B错误；
对于C，灯泡L亮，则开关和S必都闭合，
当开关S闭合打开时，灯泡L不亮，故p是q的充分不必要条件，C错误；
对于D，灯泡L亮，与开关S闭合无关，故p是q的既不充分也不必要条件，D错误，
故选：A
6. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用对数的单调性及运算性质，通过与中间量的大小比较确定答案.
【详解】，
，
，，
所以.
故选：A.
7. 已知函数，若方程在区间内恰有两个实数根，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出方程的由小到大排列的3个正根，再根据题意列出不等式即得.
【详解】函数，由，得，
当时，或或，解得或或，
显然是方程的由小到大排列的3个正根，
因为方程在区间内恰有两个实数根，则有，
所以的取值范围为.
故选：D
8. 已知是定义在上且不恒为零的函数，对于任意实数满足，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】对于赋值，求出，，，，确定奇偶性，通过奇偶性可得答案.
【详解】当时，，
当时，，可得，
当时，，可得，
函数是定义在上且不恒为零的函数，
令，可得，则函数是奇函数，
令，,
得，所以，
所以.
故选：.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列函数是偶函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】利用函数奇偶性的定义逐一分析各选项即可得解.
【详解】由题意，
A项，在中，,，为偶函数；
B项，在中，,，为奇函数；
C项，在中，,，为奇函数；
D项，在中，,，为偶函数；
故选：AD.
10. 已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据二次不等式解集与二次方程的根的关系列式求解.
【详解】因为不等式的解集为，
所以，解得，
所以，选项ABC正确；
又，所以，选项D错误；
故选：ABC.
11. 下列关于函数的说法中，正确的有（ ）
A. 函数的图像是轴对称图形B. 函数的图像是中心对称图形
C. 函数的值域为D. 函数的单调递增区间是
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于AB：先猜想函数的图像是轴对称图形，然后证明即可；
对于C：根据的范围可判断；对于D：利用复合函数的单调性规则来判断.
【详解】对于AB：函数的定义域为，
，即，猜测函数的图像是轴对称图形，
证明：，
，
所有，
即函数的图像关于对称，故A正确，B错误；
对于C：当时，，则的值域为，C正确；
对于D：在上单调递增，在上单调递增，所以函数的单调递增区间是，D正确.
故选：ACD.
12. 设集合是实数集的子集，如果满足：，使得，则称为集合的一个聚点.在下列集合中，以0为一个聚点的集合有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据给出的聚点定义逐项进行判断即可得出答案．
【详解】对于A，集合中的元素除了第一项0之外，其余的都至少比0大，
则当的时候，不存在满足得的x， 0不是集合的聚点，A不是；
对于B，集合中的元素，对于任意的，取，当时，，
则0是集合的聚点，B是；
对于C，，，对于任意的，由，得，
于是对于任意的，取，当时，，
则0是集合的聚点，C是；
对于D，，，因此当时，不存在满足的，
则0不是集合的聚点，D不是.
故选：BC
【点睛】思路点睛：集合新定义问题，命题新颖，且存在知识点交叉，常常会和函数性质结合，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 在直径为6的圆中，弧度的圆心角所对的弧长为_____________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据弧长公式求解即可.
【详解】弧长为.
故答案为：.
14. 已知函数，则，则_____________.
【答案】或
【解析】
【分析】分和两种情况代入解方程即可.
【详解】因为，
当时，，解得，
当时，，解得.
综合得或.
故答案为：或
15. 已知幂函数的图象过点，若，则的取值范围是_____________.
【答案】
【解析】
【分析】先求的值，再利用奇偶性与单调性即可求解取值范围.
【详解】由幂函数的图象过点得，解得，
则，定义域为.
由可得为偶函数，
又幂函数的单调性可知，函数在上单调递减.
于是等价于，解得或.
所以的取值范围是.
故答案为：.
16. 若，则的最大值是_____________.（注：表示中的较小值）
【答案】##0.5
【解析】
【分析】根据给定条件，借助基本不等式求出的最大值即得.
【详解】令，，于是，，
则，当且仅当时取等号，
而，当且仅当，即时取等号，
因此当，且，即时，，
所以的最大值为.
故答案为：
【点睛】思路点睛：令，由此建立不等式，再利用不等式性质变形，借助基本不等式求解.
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知集合.
（1）若，求实数值及集合；
（2）若且，求实数和满足的关系式.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）直接将代入集合计算即可；
（2）求出集合中元素，代入集合计算即可.
【小问1详解】
若，
则，
所以，
解得，
所以，
综上：，；
【小问2详解】
若，则，此时，
又，所以，
即，
所以，
所以实数和满足的关系式为.
18. 已知，且是第二象限角.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用同角三角函数基本关系计算即可；
（2）先将分式变形为关于弦的二次齐次式，然后通过分子分母同时除以转化为用表示的式子，然后代入的值计算即可.
【小问1详解】
，且是第二象限角，
，
；
【小问2详解】
.
19. 已知二次函数.
（1）若，求在上的值域；
（2）求在上的最小值.
【答案】19.
20.
【解析】
【分析】（1）先确定单调性，再根据单调性求值域；
（2）分，，讨论，确定单调性即可得最小值.
【小问1详解】
若，则，对称轴为，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
又，
所以在上的值域为；
【小问2详解】
二次函数，
对称轴为，
当，即时，在上单调递增，，
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，，
当，即时，在上单调递减，，
综上：.
20. 已知函数.
（1）判断函数在上的奇偶性，并证明之；
（2）判断函数在上的单调性，并用定义法证明；
（3）写出在上的值域（不用书写计算推导过程）.
【答案】（1）奇函数，证明见解析
（2）单调递增函数，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）通过计算来证明；
（2）任取，通过计算来证明；
（3）以为基础可得函数值域.
【小问1详解】
函数在上是奇函数.
证明：
，
即函数在上是奇函数；
【小问2详解】
函数在上的单调递增函数.
证明：任取，
则
，
因为，所以，即，
又，
所以
即函数在上的单调递增函数；
【小问3详解】
，
即在上的值域为.
21. 下表是我国1964年到1971年期间的人口数及增长情况：
（1）根据上表，假设以1964年为起点，以1964年到1971年的人口平均增长率作为恒定增长率，记为经过时间年后的人口数，请你建立我国的人口增长模型（即：人口数与时间之间的关系）；
（2）对照你所建立的模型和马尔萨斯的人口指数增长模型：，指出其中的值；
（3）如果按照以上模型和数据，预测2025年我国的人口数（保留两位小数），并根据预测的数据，谈谈你对前面模型的理解或者有什么需要改进的方面.
（参考数据：；）
【答案】（1）；
（2），；
（3）亿，理解见解析.
【解析】
【分析】（1）根据给定信息，结合平均增长率问题列式即得.
（2）对照马尔萨斯的人口指数增长模型，求出.
（3）利用模型计算，与实际人口数比对，即可回答问题.
【小问1详解】
假设以1964年为起点，以1964年到1971年的人口平均增长率作为恒定增长率，
建立我国的人口增长模型为: .
【小问2详解】
对照马尔萨斯的人口指数增长模型,可得，
从而.
【小问3详解】
如果按照以上模型和数据，预测2025年我国的人口数：
（亿），
这个预测的数据远超于实际数据，其中原因主要是增长率恒定这个假设不成立，
实际上人口增长率会受到环境和资源的影响，在一定的资源和环境之下，
增长率会随着人口的增长而下降，不会保持恒定不变.
22. 已知函数.
（1）当时，求的零点个数，并求出相应的零点；
（2）讨论关于的方程的解的个数.
【答案】（1）1个零点，分别为
（2）答案见解析
【解析】
分析】（1）直接解方程即可；
（2）将方程解的个数转化为两个函数的交点个数，研究函数性质，画出函数图象，根据图象分情况讨论求交点个数即可.
【小问1详解】
当时，，
当时，令，无解，
当时，令，解得或（舍去），
所以有1个零点，为；
【小问2详解】
令，且
则，即，
则方程的解的个数即为两个函数的交点个数，
设，
对于函数，其在上单调递减，在上单调递增，最小值，
对于函数，其在上单调递增，且为其零点，
根据以上函数性质画出函数的图象如下：
当时，如图：
函数与函数，
①无交点，②一个交点，③两个交点，④3个交点，
解得①，②，③，④
当时，如图：
函数与函数，
①无交点，②一个交点，③两个交点，④3个交点，
解得①②③无解，④，
当，即时，，有3个交点，
综上所述：当时，方程无解；当时，方程一个解；当时，方程两个解；当时，方程3个解.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是将方程根的个数转化为两个函数图象的交点个数，分析函数图象，注意分段函数定义域对函数图象的影响.年份
人口数（单位：亿）
增长量（单位：亿）
增长率
1964
7.05
-
-
1965
7.25
0.20
0.028
1966
7.45
0.20
0.028
1967
7.64
0.19
0.026
1968
7.85
0.21
0.027
1969
8.08
0.23
0.029
1970
8.30
0.22
0.027
1971
8.52
0.22
0.027