湖南省郴州市2023-2024学年高一上学期期末数学试卷（Word版附解析）

这是一份湖南省郴州市2023-2024学年高一上学期期末数学试卷（Word版附解析），共19页。试卷主要包含了本试卷分试题卷和答题卡， 设，，，则， 定义， 若函数，等内容，欢迎下载使用。

高一数学
（试题卷）
注意事项：
1.本试卷分试题卷和答题卡.试题卷共4页，有四道大题，共22道小题，满分150分.考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的指定位置上，并认真核对答题卡上的姓名、准考证号和科目.
3.考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上答题无效.考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题.
4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.
一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
全称命题的否定是特称命题
【详解】命题“”的否定是“”.
故选：B
2. 已知集合，，若，则的可能取值个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合的并运算,结合集合的元素满足互异性即可求解.
【详解】由于，，，所以或,
故选：B
3. 函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数有意义的条件列出不等式组，解出即可.
【详解】依题知，，
解得，
故函数的定义域为.
故选：A.
4. 函数的零点所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先判断函数的单调性，再根据零点的存在性定理即可得解.
【详解】因为函数都是增函数，
所以函数是增函数，
又，
所以函数的零点所在的区间为.
故选：A.
5. 设，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据幂函数的性质比较，再根据与1的大小关系进行比较即可.
【详解】因为幂函数是上的单调递增函数，
且，所以，
又，故，
故选：B.
6. 要得到函数的图象，只需要将函数的图象上所有的点（ ）．
A. 纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），再向右平移个单位，然后横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）；
B. 纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），再向左平移个单位，然后横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）；
C. 纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），再向右平移个单位，然后横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）；
D. 纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），再向左平移个单位，然后横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）．
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用三角函数的图象变换知识求解.
【详解】将函数的图象上所有的点纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），得到，再把函数的图象上向左平移个单位，得到，再将横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到.
故选：D
【点睛】结论点睛：三角函数图像的平移变换和上下变换：
平移变换：左加右减，上加下减
把函数向左平移个单位，得到函数的图像
把函数向右平移个单位，得到函数的图像
把函数向上平移个单位，得到函数的图像
把函数向下平移个单位，得到函数的图像
伸缩变换：
①把函数图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍得
②把函数图象的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍得
③把函数图象的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的倍得
④把函数图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍得
7. 某省新高考中选考科目采用赋分制，具体转换规则和步骤如下：第一步，按照考生原始分从高到低按成绩比例划定、、、、共五个等级（见下表）.第二步，将至五个等级内的考生原始分，依照等比例转换法则，分别对应转换到100～86、85～71、70～56、55～41和40～30五个分数段，从而将考生的等级转换成了等级分.
赋分公式：，计算出来的经过四舍五人后即为赋分成绩.
某次考试，化学成绩等级的原始最高分为98分，最低分为63分.学生甲化学原始成绩为76分，则该学生的化学赋分分数为（ ）
A. 85B. 88C. 91D. 95
【答案】C
【解析】
【分析】根据赋分公式有，即可求化学赋分分数.
【详解】由题意，该学生的化学赋分分数为，则，
所以分
故选：C
8. 定义：表示不等式的解集中的整数解之和．若，，，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
分析】直接利用定义形函数的性质结合函数大致图象，进一步利用分类讨论思想和不等式的组的解法的应用求出结果．
【详解】解：根据函数的定义可转换为满足的整数解的的和，
当时，做出函数和的大致图象，如图所示：
结合图形可得的解集中整数解的个数有无数个，不符合题意
当时，，由，解得或．
在内有3个整数解，即，所以，符合题意；
当时，做出函数和的大致图象，如图所示：
若，又，且，所以不等式的整数解为．
只需满足，即，解得．
综上，所以时，实数的取值范围为．
故选：D．
二、多项选择题（每小题有多于一个的正确选顶，全答对得5分，部分答对得2分，有错误选项的得0分）
9. 下列函数中最小正周期为，且为偶函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】直接利用奇偶性的定义和周期的公式逐个分析判断即可
【详解】解：对于A，定义域为，因为，所以函数为偶函数，因为的图像是由的图像在轴下方的关于轴对称后与轴上方的图像共同组成，所以的最小正周期为，所以A正确，
对于B，定义域为，因为，所以函数为奇函数，所以B错误，
对于C，定义域为，，最小正周期为，因为，所以函数为偶函数，所以C正确，
对于D，定义域为，最小正周期为，所以D错误，
故选：AC
10. 若函数，（且）恒过一定点，且点在直线，（，）上，则下列命题成立的是（ ）
A. 定点的坐标为
B. 的最小值为4
C. 的最小值为1
D. 的最小值为1
【答案】AC
【解析】
【分析】利用指数函数恒过点确定函数过定点；即可求解A，利用乘“1”法即可求解B，直接利用基本不等式求解C，换元结合基本不等式即可求解D.
【详解】函数，令，，
则函数恒过点，则点的坐标是；故A正确，
若点在直线（，）上，则,
，
当且仅当，即取等号，则最小值为2．B错误，
，故，当且仅当，即取等号，故C正确，
故，
当且仅当，即，因此等号取不到，即，D错误
故选：AC
11. 已知函数（）在区间上有且仅有3个零点，则（ ）
A. 当时，
B. 的最小正周期可能是
C. 的取值范围是
D. 在区间上单调递增
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据整体法，根据三个零点可得，即可判定C，根据周期公式即可判定B，代入结合诱导公式即可求解A，根据整体法求解，而即可判定D.
【详解】因为且，所以，
又因为函数在区间上有且仅有3个零点，
所以满足，即，所以C正确，
当时，，A正确，
若，则，这与矛盾，所以B错误，
因为且，
所以，又因为，即，
所以在区间上单调递增，即D正确．
故选：ACD．
12. 已知函数的定义域为，且对任意，都有及成立，当，且时，都有成立，下列四个结论中正确的是（ ）
A.
B. 直线是函数的一条对称轴
C. 函数在区间上为减函数
D. 方程在区间上有4个不同的实根
【答案】ABD
【解析】
【分析】由，得到函数为偶函数，又由当，且时，都有成立，得到在为减函数，再根据，得出函数为周期为2的函数，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，函数的定义域为，
因为对于任意，都有，可得函数为偶函数，
又因为当，，且时，
都有成立，
可得函数在区间为减函数，
又由，令，可得，
解得，所以，
所以函数是周期为2的周期函数，
可作出函数草图，如图所示，
由上面分析可知，所以A正确；
由上，
所以直线是函数的一条对称轴，所以B正确；
由函数周期性，,
当时，，
函数在区间为减函数，因为函数为偶函数，
所以函数在区间上为增函数，
则函数在区间上为增函数，所以C不正确；
由于，
函数在区间上为增函数，在区间为减函数，
所以，，
结合周期性，方程在区间上有根，
共有4个不同的实数根，所以D正确.
故选：ABD.

思路点睛：先确定函数的定义域，再化简解析式，求出函数的解析式的最简形式，并分析解析式与哪个基本函数相似，根据函数的定义域和解析式画出函数的图象，结合函数的图象再分析函数的性质进行求解.
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知幂函数过点，则______.
【答案】##
【解析】
【分析】把点代入函数解析式，解出即可.
【详解】因为幂函数过点，
所以，则，
故答案为：.
14. ，不等式恒成立，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】将不等式转化为对恒成立，利用基本不等式求解最值即可.
【详解】，不等式恒成立，即，
由于函数，当且仅当，即时等号成立，
故，即，则，
故答案为：
15. 已知，则______.
【答案】##0.8
【解析】
【分析】根据诱导公式化简可得，即可根据二倍角公式以及齐次式求解.
【详解】由可得，
，
故答案为：
16. 我们家里大多数装了空调，空调风机的工作原理就是把室内热空气抽出去，然后把室外新鲜空气通过空调制冷系统，净化后再传回室内.假设某房间体积为，室内热气的质量为，已知某款空调机工作时，单位时间内从室外吸入的空气体积为（），室内热气体的浓度与时刻的函数关系为，其中常数为过滤效率，.若该款新风机的过滤效率为，且时室内热空气的浓度是时的倍，则该款空调单位时间内从室外吸入的空气体积______.
【答案】
【解析】
【分析】由题意表达出，由列出方程，求出，两边取对数，计算出答案．
【详解】由题意得，
， ，
因为，
所以，
由于，整理得，
解得，故，进而解得．
故答案为：
四、解答题（要求写出必要的过程，第17题10分，第18～22题各12分，共70分.）
17. 已知全集，集合，.
（1）求集合，；
（2）若是的充分不必要条件，求的取值范围.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据一元二次不等式的性质求解不等式，即可得集合，；
（2）将充分不必要条件转化为集合间的关系，即可求解.
【小问1详解】
由，解得，
由，，得
所以，
【小问2详解】
因为是的充分不必要条件，所以是的真子集，
即，所以的范围是
18. 已知函数
（1）完成下列表格，并在坐标系中描点画出函数的简图；
（2）根据（1）的结果，若（），试猜想的值，并证明你的结论.
【答案】（1）答案见解析
（2），证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据列表描点连线即可求解函数图象，
（2）根据对数的运算性质即可求解.
【小问1详解】
完成下列表格；
【小问2详解】
猜想，证明如下：
∵，∴，
∴或，
∵，∴，
即，∴，∴.
19. 设函数（）.
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值.
【答案】（1），，（）
（2）最大值为1，最小值为
【解析】
【分析】（1）直接用公式求函数最小正周期，结合换元的思想求函数的单调递增区间；
（2）结合换元思想和基本三角函数的图象和性质求函数在给定区间的值域.
【小问1详解】
由题知，（）
所以函数的最小正周期
令（）
得，（）
所以的单调递增区间为，（）
【小问2详解】
因为，所以
所以当即时，有最大值，最大值为1
当即时，有最小值，最小值为
所以在区间的最大值为1，最小值为
20. 某人自主创业，制作销售一种小工艺品，每天的固定成本为80元，根据一段时间的制作销售发现，每生产件该工艺品，需另投入成本万元，且假设每件工艺品的售价定为200元，且每天生产的工艺品能全部销售完.
（1）求出每天的利润（元）关于日产量（件）的函数关系式（利润＝销售额－成本）；
（2）当日产量为多少件时，这个人每天所获利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）
（2）当日产量为5件时，这个人每天所获利润最大，最大利润是270元.
【解析】
【分析】（1）根据利润等于销售量减去成本即可求解，
（2）根据二次函数的性质以及基本不等式即可求解最值.
【小问1详解】
当时，，
当时，，
所以
【小问2详解】
当时，，
当时，，
若时，则，
当且仅当，即时，等号成立，此时.
因为，所以当日产量为5件时，这个人每天所获利润最大，最大利润是270元.
21. 定义域为的函数是奇函数
（1）求的值并判断函数的单调性；
（2）对任意，使得恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1），在上为减函数
（2）
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的性质，即可求解，进而由指数函数的单调性即可作出判断，
（2）根据函数的奇偶性以及单调性将问题转化为在上恒成立，构造函数，利用三角恒等变换以及三角函数的性质求解最值即可求解.
【小问1详解】
因为是奇函数，所以，即，解得,
时，，满足是奇函数，
故，
，定义域，
由于函数 单调递增，则单调递减，故为单调递减函数，
故在上为减函数，
【小问2详解】
是奇函数，由得：
，又为减函数
所以，即在上恒成立，
设，则
因为，则，所以
所以，，所以，即
22. 对于满足一定条件的连续函数，存在实数，使得，我们就称该函数为“不动点”函数，实数为该函数的不动点.若函数，，若存在，使得，则称为函数的稳定点.
（1）证明：函数不动点一定是函数的稳定点.
（2）已知函数，
（Ⅰ）当时，求函数的不动点和稳定点；
（Ⅱ）若存在，使函数有三个不同的不动点，求的值和实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）（Ⅰ）不动点为1和；稳定点为1和；；（Ⅱ），.
【解析】
【分析】（1）根据不动点的定义可得，即可代入求证稳定点，
（2）（Ⅰ）根据不动点以及稳定点的定义即可求解方程得解，
（Ⅱ）根据不动点的定义以及换元可得，进而将问题进一步转化为，根据二次方程根的分布即可判定的方程必有一根为正根和一个零根，即可根据韦达定理求解.
【小问1详解】
证明：若实数是的一个不动点，则，
所以，故函数不动点一定是函数的稳定点.
【小问2详解】
（Ⅰ）当时，，∴，解得：或
所以函数的不动点为1和；
又
∴
解得：或，或或
所以函数的稳定点为1和；
解法2：所以函数的不动点为1和；
由得
即，由（Ⅰ）可知函数的不动点1和一定是稳定点，
故可令
，
从而由待定系数法可求得，，
所以，
解得或，或或
所以函数的稳定点为1和；
（Ⅱ）若存在，使函数有三个不同的不动点，
当时，令，当且仅当时取等号，
又，由，可化为
，关于的方程有三个不等实根，
令，，
由于非负数，如果有两个不同正根，方程必有四个解即四个不同的不动点，与题设矛盾；
如果有且只有一个正根，只有两个不动点，与题设矛盾；
所以必有一根为正根和一个零根，即或
则，因为，得：，则.
故实数的取值范围是，.
【点睛】方法点睛：求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.
对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解.等级
比例
15%
35%
35%
13%
2%
赋分区间
100-86
85-71
70-56
55-41
40-30
1
2
4
1
2
4
2
1
0
1
2