高中数学人教A版 (2019)必修 第二册10.2 事件的相互独立性课时练习

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册10.2 事件的相互独立性课时练习，共12页。
1．某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为0.8,0.6,0.5，只有通过前一关才能进入下一关，且每关相互独立．一选手参加该节目，则该选手只闯过前两关的概率为( )
A．0.48 B．0.4 C．0.32 D．0.24
2．某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别是eq \f(1,3)，eq \f(1,2)，eq \f(2,3)，则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为( )
A.eq \f(1,9) B.eq \f(1,6) C.eq \f(1,3) D.eq \f(7,18)
3．甲、乙、丙三人射击，甲命中目标的概率是eq \f(3,4)，乙命中目标的概率是eq \f(2,3)，丙命中目标的概率是eq \f(1,2)，若三人同时射击，则目标被击中的概率为( )
A.eq \f(3,4) B.eq \f(2,3) C.eq \f(7,8) D.eq \f(23,24)
4．(多选)将两个质地均匀且四面分别标有1,2,3,4的正四面体各掷一次，记事件A＝“第一个四面体向下的一面为偶数”；事件 B＝“第二个四面体向下的一面为奇数”；事件C＝“两个四面体向下的一面均为奇数或者均为偶数”．则下列结论正确的是( )
A．P(A)＝eq \f(1,2) B．P(AB)＝eq \f(1,4)
C．P(ABC)＝eq \f(1,8) D．P(B)＝eq \f(1,4)
5．某同学进行投篮训练，在甲、乙、丙三个不同的位置投中的概率分别为eq \f(1,4)，eq \f(1,3)，p，该同学站在这三个不同的位置各投篮一次，至少投中一次的概率为eq \f(5,6)，则p的值为( )
A.eq \f(5,6) B.eq \f(2,3) C.eq \f(3,5) D.eq \f(4,5)
6．设两个相互独立事件A和B都不发生的概率为eq \f(1,9)，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)等于( )
A.eq \f(2,9) B.eq \f(1,18) C.eq \f(1,3) D.eq \f(2,3)
7．有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各取一粒，则恰有一粒种子能发芽的概率是________．
8．某机构对国产杀毒软件进行考核，每个软件进行四轮考核，每轮考核中能够准确对病毒进行查杀的进入下一轮考核，否则被淘汰，已知某个软件在四轮考核中能够准确对病毒进行查杀的概率依次是eq \f(5,6)，eq \f(3,5)，eq \f(3,4)，eq \f(1,3)，且各轮考核能否通过互不影响，则该软件至多进入第三轮考核的概率为________．
9．某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计，甲、乙、丙三人100 m跑的成绩在13秒内(称为合格)的概率分别为eq \f(2,5)，eq \f(3,4)，eq \f(1,3).若对这三名短跑运动员的100 m跑的成绩进行一次检测，求：
(1)三人都合格的概率；
(2)恰有两人合格的概率；
(3)至少有一人合格的概率．
10．2022年3月5日，第十三届全国人民代表大会第五次会议在北京人民大会堂开幕，会议报告指出，2021年，国内生产总值和居民人均可支配收入明显增长，某地为了解居民可支配收入情况，随机抽取100人，经统计，这100人去年可支配收入(单位：万元)均在区间[4.5,10.5]内，按[4.5,5.5)，[5.5,6.5)，[6.5，7.5)，[7.5,8.5)，[8.5,9.5)，[9.5,10.5]分成6组，所得频率分布直方图如图所示，若上述居民可支配收入数据的第60百分位数为8.1.
(1)求a，b的值，并估计这100位居民可支配收入的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)用样本的频率估计概率，从该地居民中抽取甲、乙、丙3人，若每次抽取的结果互不影响，求抽取的3人中至少有2人去年可支配收入在[7.5,8.5)内的概率．
11．某大学的“书法”“篮球”“轮滑”三个社团考核挑选新社员，已知某大一新生对这三个社团都很感兴趣，决定三个考核都参加，假设他通过“书法”“篮球”“轮滑”三个社团考核的概率依次为m，eq \f(1,3)，n，且他是否通过每个考核相互独立，若三个社团考核他都能通过的概率为eq \f(1,24)，至少通过一个社团考核的概率为eq \f(3,4)，则m＋n等于( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(3,4) C.eq \f(4,5) D.eq \f(5,6)
12. 在荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一片跳到另一片)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A片荷叶上，则跳三次之后停在A片上的概率是( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(2,9) C.eq \f(4,9) D.eq \f(8,27)
13．如图，已知电路中4个开关每个闭合的概率都是eq \f(1,2)，且是相互独立的，则灯亮的概率为( )
A.eq \f(3,16) B.eq \f(3,4) C.eq \f(13,16) D.eq \f(1,4)
14．某校组织《最强大脑》PK赛，最终A，B两队进入决赛，两队各由3名选手组成，每局两队各派一名选手PK，除第三局胜者得2分外，其余各局胜者均得1分，负者得0分．假设每局比赛A队选手获胜的概率均为eq \f(2,3)，且各局比赛结果相互独立，比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率为( )
A.eq \f(8,27) B.eq \f(4,9) C.eq \f(16,27) D.eq \f(20,27)
15. 如图为类似“杨辉三角”图形的竖直平面内的一些通道，图中线条均表示通道，一钢珠从入口E处自上而下沿通道自由落下，则其落到B处的概率是________．
16．为刺激消费，逐渐形成以国内大循环为主体，国内、国际双循环相互促进的新发展格局，某市给市民发放面额为100元的旅游消费券，由抽样调查预计老、中、青三类市民持有这种消费券到某旅游景点的消费额及其概率如表：
某天恰好有持有这种消费券的老年人、中年人、青年人各一人到该旅游景点．
(1)求这三人恰有两人的消费额不少于300元的概率；
(2)求这三人的消费总额大于或等于1 300元的概率．
§10.2 事件的相互独立性(二)
1．D 2.D 3.D 4.AB 5.B
6．D [由题意知，P(eq \x\t(A))·P(eq \x\t(B))＝eq \f(1,9)，
P(eq \x\t(A))·P(B)＝P(A)·P(eq \x\t(B))．
设P(A)＝x，P(B)＝y，x，y∈(0,1)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x1－y＝\f(1,9)，,1－xy＝x1－y，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x－y＋xy＝\f(1,9)，,x＝y，))
∴x2－2x＋1＝eq \f(1,9)，
解得x＝eq \f(2,3)或x＝eq \f(4,3)(舍去)，
故P(A)＝eq \f(2,3).]
7．0.26
8.eq \f(5,8)
解析 设事件Ai(i＝1,2,3,4)表示“该软件在第i轮能够准确对病毒进行查杀”，由已知得P(A1)＝eq \f(5,6)，P(A2)＝eq \f(3,5)，P(A3)＝eq \f(3,4)，P(A4)＝eq \f(1,3)，设事件C表示“该软件至多进入第三轮”，则P(C)＝P(eq \x\t(A)1＋A1eq \x\t(A)2＋A1A2eq \x\t(A)3)＝P(eq \x\t(A)1)＋P(A1eq \x\t(A)2)＋P(A1A2eq \x\t(A)3)＝eq \f(1,6)＋eq \f(5,6)×eq \f(2,5)＋eq \f(5,6)×eq \f(3,5)×eq \f(1,4)＝eq \f(5,8).
9．解 (1)三人都合格的概率
P1＝eq \f(2,5)×eq \f(3,4)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,10).
(2)恰有两人合格的概率P2＝eq \f(2,5)×eq \f(3,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))＋eq \f(2,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,4)))×eq \f(1,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,5)))×eq \f(3,4)×eq \f(1,3)＝eq \f(23,60).
(3)至少有一人合格的概率
P＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,5)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,4)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))
＝eq \f(9,10).
10．解 (1)由频率分布直方图，可得
0．05＋0.12＋a＋b＋0.2＋0.08＝1，
则a＋b＝0.55，①
因为居民收入数据的第60百分位数为8.1，
所以0.05＋0.12＋a＋(8.1－7.5)×b＝0.6，
则a＋0.6b＝0.43，②
将①与②联立，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝0.25，,b＝0.3.))
所以平均值为0.05×5＋0.12×6＋0.25×7＋0.3×8＋0.2×9＋0.08×10＝7.72.
(2)根据题意，设事件A，B，C分别为甲、乙、丙在[7.5,8.5)内，
则P(A)＝P(B)＝P(C)＝0.3.
①“抽取的3人中有2人在[7.5,8.5)内”为事件ABeq \x\t(C)∪Aeq \x\t(B)C∪eq \x\t(A)BC，且ABeq \x\t(C)与Aeq \x\t(B)C与eq \x\t(A)BC两两互斥，根据概率的加法公式和相互独立的定义，得
P1＝P(ABeq \x\t(C)∪Aeq \x\t(B)C∪eq \x\t(A)BC)
＝0.3×0.3×(1－0.3)＋0.3×(1－0.3)×0.3＋(1－0.3)×0.3×0.3
＝0.189.
②“抽取的3人中有3人在[7.5,8.5)内”为事件ABC，由相互独立的定义，得
P2＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝0.3×0.3×0.3＝0.027.
所以抽取的3人中至少有2人去年可支配收入在[7.5,8.5)内的概率为
P1＋P2＝0.189＋0.027＝0.216.
11．B [因为至少通过一个社团考核的概率为eq \f(3,4)，则三个社团都没有通过的概率为eq \f(1,4)，
依题意得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,3)mn＝\f(1,24)，,1－m\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))1－n＝\f(1,4)，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(mn＝\f(1,8)，,1－m＋n＋mn＝\f(3,8)，))
解得m＋n＝eq \f(3,4)，
所以m＋n＝eq \f(3,4).]
12．A [由题意知逆时针方向跳的概率为eq \f(2,3)，顺时针方向跳的概率为eq \f(1,3)，青蛙跳三次要回到A片荷叶只有两条途径：
第一条：A→B→C→A，
P1＝eq \f(2,3)×eq \f(2,3)×eq \f(2,3)＝eq \f(8,27)；
第二条：A→C→B→A，
P2＝eq \f(1,3)×eq \f(1,3)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,27)，
所以跳三次之后停在A片上的概率P＝P1＋P2＝eq \f(8,27)＋eq \f(1,27)＝eq \f(1,3).]
13．C [灯不亮包括4个开关都断开，或开关C和D都断开且开关A和B中有一个断开，这两种情况是互斥的，每一种情况中的事件是相互独立的，
∴灯不亮的概率为eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(3,16).
∵灯亮与灯不亮是对立事件，
∴灯亮的概率是1－eq \f(3,16)＝eq \f(13,16).]
14．C [比赛结束时A队的得分高于B队的得分包含三种情况．
①A全胜；②第一局A胜，第二局B胜，第三局A胜；③第一局B胜，第二局A胜，第三局A胜．
所以比赛结束时，A队的得分高于B队的得分的概率P＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))3＋eq \f(2,3)×eq \f(1,3)×eq \f(2,3)＋eq \f(1,3)×eq \f(2,3)×eq \f(2,3)＝eq \f(16,27).]
15.eq \f(3,8)
解析 首先分清从E处出发到达B处的具体途径，然后继续求解．
钢珠从E处落下，①有eq \f(1,2)的概率落到EF，经FH后有eq \f(1,2)的概率落到HJ，经JM后有eq \f(1,2)的概率落到MN，最后落到B处，
即P1＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,8)；
②有eq \f(1,2)的概率落到EF，经FH后有eq \f(1,2)的概率落到HK，经KO后有eq \f(1,2)的概率落到ON，最后落到B处，
即P2＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,8)；
③有eq \f(1,2)的概率落到EG，经GI后有eq \f(1,2)的概率落到IK，经KO后有eq \f(1,2)的概率落到ON，最后落到B处，
即P3＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,8).
所以P＝P1＋P2＋P3＝eq \f(3,8).
16．解 (1)设三人中恰有两人的消费额不少于300元的概率为P1，
则P1＝(0.7)2×0.4＋2×0.3×0.7×0.6＝0.448.
(2)消费总额为1 500元的概率是
0．1×0.1×0.2＝0.002，
消费总额为1 400元的概率是
(0.1)2×0.2＋2×(0.2)2×0.1
＝0.01，
消费总额为1 300元的概率是
(0.1)2×0.3＋0.3×0.1×0.2＋0.1×0.4×0.2＋(0.2)3＋2×(0.2)2×
0．1＝0.033，
0．002＋0.01＋0.033＝0.045，
所以消费总额大于或等于1 300元的概率是0.045.
200元
300元
400元
500元
老年
0.4
0.3
0.2
0.1
中年
0.3
0.4
0.2
0.1
青年
0.3
0.3
0.2
0.2