4.4 构造函数常见方法（导与练）-2024年高考数学一轮复习导与练高分突破（新高考）

展开

这是一份4.4 构造函数常见方法（导与练）-2024年高考数学一轮复习导与练高分突破（新高考），文件包含44构造函数常见方法精讲原卷版docx、44构造函数常见方法精讲解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共23页，欢迎下载使用。

常见的构造模型
一．只含→加变乘，减变除
1.对于不等式f′(x)＋g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)＋g(x)
2.对于不等式f′(x)－g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)－g(x)
3.对于不等式f′(x)>k(或4.对于不等式f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)g(x)
5.对于不等式f′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0(或<0)，构造函数(g(x)≠0)．
二．含
1.对于f′(x)＋f(x)>0(或<0)，构造函数g(x)＝exf(x)
2.对于f′(x)＋nf(x)>0(或<0)，构造函数g(x)＝enx·f(x)
3.对于f′(x)－f(x)>0(或<0)，构造函数
4.对于f′(x)－nf(x)>0(或<0)，构造函数
三．含xf′(x)±f(x)
1.对于xf′(x)＋f(x)>0(或<0)，则构造函数g(x)＝xf(x)．
2.对于xf′(x)＋nf(x)>0(或<0)，则构造函数g(x)＝xnf(x)；
3.对于xf′(x)－f(x)>0(或<0)，则构造函数．
4.对于xf′(x)－nf(x)>0(或<0)，则构造函数．
四．f(x)±f′(x)tan x
1.对于f′(x)tan x＋f(x)>0(或<0)，构造函数h(x)＝f(x)sin x；
2.对于f′(x)tan x－f(x)>0(或<0)，构造函数；
3.对于f′(x)－f(x)tan x>0(或<0)，构造函数h(x)＝f(x)cs x；
4.对于f′(x)＋f(x)tan x>0(或<0)，构造函数
5.对于f′(x)sinx＋f(x)csx>0(或<0)，构造函数h(x)＝f(x)sin x；
6.对于f′(x)sinx－f(x)csx>0(或<0)，构造函数；
7.对于f′(x)csx－f(x)sin x>0(或<0)，构造函数h(x)＝f(x)cs x；
8.对于f′(x)csx＋f(x)sin x>0(或<0)，构造函数
考法一常见构造函数模型
【例1-1】（2023春·四川凉山）已知函数满足，且的导函数，则的解集为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设，则，因为，所以，即函数在上单调递减，
则，即，即，
所以，即的解集为.
故选：D
【例1-2】（2023·青海海东·统考模拟预测）已知是奇函数的导函数，且当时，，则（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】当时，，则由，得；
当时，，则由，得．
令，则，
故g（x）在上单调递增，在上单调递减．
又f（x）是奇函数，所以是偶函数，
故，即，，
即．
与和的大小关系不确定．
故选：A．
【一隅三反】
1．（2023春·江苏盐城）已知函数的定义域为R，为的导函数，且，则不等式的解集是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】根据题意，构造函数，则，
所以函数在R上单调递增，又，即，
所以，即，解得.故选：D.
2．（2023·广东佛山·校考模拟预测）已知是函数的导函数，对于任意的都有，且，则不等式的解集是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】法一：构造特殊函数.令，则满足题目条件，把代入得解得，
故选：.
法二：构造辅助函数.令，则，
所以在上单调递增，
又因为，所以，所以，
故选：D.
3．（2023秋·陕西西安）已知函数的定义域为，其导函数是. 有，则关于的不等式的解集为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】构造函数，其中，则，
所以，函数在上单调递减，
因为，则，由可得，
即，所以，，解得，
因此，不等式的解集为.
故选：A.
4．（2023·安徽黄山·统考三模）已知定义域为的函数，其导函数为，且满足，，则（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】，则，
因为在上恒成立，
所以在上恒成立，
故在上单调递减，
所以，，故A不正确；
所以，即，即，故B不正确；
，即，即，故C正确；
，即，即，故D不正确；故选：C.
考法二结构同构
【例2-1】（2023·河南南阳·南阳中学校考三模）设，则（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由，
令函数，可得，
当，可得，单调递增；
当，可得，单调递减，
所以当，函数取得极大值，即为最大值，
函数的图形，如图所示，
对于函数，当且时，.
设且，
则，可得，所以，所以,
所以.
故选：A.
【例2-2】（2023春·安徽）已知，，，则（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，，，
对两边取对数，可得，，，
令，其中，
可得，
令，可得，所以为单调递增函数，
当时，可得，所以,
所以，在单调递增，
所以，即，
所以.故选：A.
【一隅三反】
1．（2022·新疆乌鲁木齐）设，，，则（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，则，
令，则，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
又，，，
又，
所以.
故选：A.
2．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知，，，则（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】令，则，
所以在上单调递增.
又，所以，
又，，，
所以c＞b＞a.
故选:A.
3．（2023·河南郑州·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）设，则（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，
所以令，由，
知当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
因为
所以，即.
故选：D.
4．（2023·全国·模拟预测）已知，，，则（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，，，
故设，
则，
求导得，，
令，则，
所以函数在单调递减，
所以，
所以在上恒成立，
所以函数在上单调递减，
因为，所以，
所以，
故选：B.
考法三结构异构
【例3-1】（2023·吉林·吉林省实验校考模拟预测）已知，则的大小关系是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】令函数，则恒成立，故函数在上单调递增，
所以当时，，则，于是，即；
当时，，则，所以，
而，于是，即；
综上：.
故选：C
【例3-2】（2023·新疆阿勒泰·统考三模）已知，则的大小关系是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设，，所以，
，所以单调递增，
则，
所以，则；
，，
当时，，所以在上单调递增，
所以，
所以，故，故.
故选：C.
【一隅三反】
1．（2023·陕西商洛·统考三模）若，，，则（）．
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】令，则．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
故，
可得，当且仅当时，等号成立，
从而．
因为，所以，故．
故选：A.
2．（2023·全国·高三专题练习）设，，，则（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】方法一：构造法
设，因为
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，故，
设，则
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以．
方法二：比较法
解：，，
①，令，，
则，故在上单调递减，可得，即，所以；
②，令，，
则
令，所以
所以在上单调递增，可得，即
所以在上单调递增，可得，即，所以．
故．
故选：A．
3．（2022·陕西·虢镇中学高三阶段练习（理））已知，则（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为，即，
因为，，
要比较、的大小关系只需比较与的大小关系，
令，，则，
所以在上单调递增，所以，
即，当时，，
又在上单调递增，所以，
即，所以.
故选：C

相关试卷更多