海南省海口市海南华侨中学2023-2024学年高一上学期第二次考试数学试卷(含答案)

这是一份海南省海口市海南华侨中学2023-2024学年高一上学期第二次考试数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．下列函数是偶函数,且在上单调递增的是( )
A.B.C.D.
3．下列结论正确的是( )
A.若,则B.若,则
C.若,则D.若,则
4．函数的零点所在的区间是( )
A.B.C.D.
5．函数的图象是( )
A.B.
C.D.
6．已知,则的值是( )
A.2B.C.D.0
7．若函数在上是增函数,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
8．已知函数,若对任意的,不等式恒成立,则实数t的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．以下y与x的关系中,其中y是关于x的函数的有( )
A.
B.
C.
D.
10．下面选项中所给的不等式正确的是( )
A.B.
C.D.
11．已知正实数a,b满足,则下列结论正确的是( )
A.ab的最小值为36B.的最小值为
C.的最小值为16D.的最大值为
12．函数,,,则下列说法正确的有( )
A.函数至多有一个零点
B.设方程的所有根的乘积为p,则
C.当时,设方程的所有根的乘积为q,则
D.当时,设方程的最大根为,方程的最小根为,则
三、填空题
13．已知函数,则________.
14．若“”是“”的必要不充分条件,则a的最大值为________.
15．艾宾浩斯遗忘曲线描述了人类大脑对新鲜事物遗忘的规律.基于此,某课题小组研究发现,在学习课程后每经过一个星期,会遗忘掉所记忆内容的.为使得所记忆的内容不低于原来的,最多在个星期之后对所学内容进行复习,则________.（,）
16．已知,则________,________.
四、解答题
17．求下列各式的值
（1）
（2）
18．已知一元二次不等式的解集为.
（1）求a,t的值;
（2）c为何值时,的解集为R.
19．已知函数是定义在R的偶函数,当时,.
（1）请画出函数图像,并求的解析式;
（2）,对,用表示,中的最大者,记为,写出函数的解析式,并求的最小值.
20．已知函数.
（1）判断函数的奇偶性,并求函数的值域;
（2）若实数满足,求实数m的取值范围.
21．一种药在病人血液中的含量不低于2g时,它才能起到有效治疗的作用.已知每服用个单位的药剂,药剂在血液中的含量y(单位:g)随着时间x(单位:h)变化的函数关系式近似为,其中.
（1）若病人一次服用2个单位的药剂,求有效治疗的时间;
（2）若病人第一次服用2个单位的药剂,4h后再服用n个单位的药剂,要使接下来的2h中能够持续有效治疗,求n的最小值.
22．若函数满足下列条件:在定义域内存在,使得成立,则称函数具有性质;反之,若不存在,则称函数不具有性质M.
（1）证明:函数具有性质M,并求出相应的;
（2）已知函数具有性质M,求实数a的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：因为,所以,所以,
,
所以.
故选:C
2．答案：C
解析：对A:在上单调递减不满足,故A错误;
对B:定义域为不具有对称性,所以既不是偶函数也不是奇函数,故B错误;
对C:定义域为,,故为偶函数;
又在上单调递减,所以在上单调递增,故C正确;
对D:,故不是偶函数.
故选:C
3．答案：B
解析：对A选项,反例,但,故A错误;
对B选项,由不等式的基本性质,若,则,故B正确;
对C选项,如,,而,故C错误;
对D选项,若,,则,故D错误.
故选:B.
4．答案：C
解析：函数与在其定义域内均为增函数,
函数在单调递增,
,,则,
根据函数零点存在定理可知函数的零点所在的区间是.
故选:C.
5．答案：B
解析：,当或时,,,排除AD,
当时,,,排除C,
故选:B.
6．答案：D
解析：,
故,
,故a与b一正一负,
和二者中一个为1,另一个为,即,
即.
故选:D.
7．答案：C
解析：,
令,故,,
当,即时,在上单调递增,满足要求,
当,即时,在上单调递增,满足要求,
当,即时,由对勾函数性质得到在上单调递增,
故,解得,
综上,实数a的取值范围是.
故选:C
8．答案：B
解析：由,可化为,
又函数,可知在R上单调递增,
不等式在恒成立,
即不等式在恒成立,
即在恒成立,
即在恒成立,
即,解得
故实数t的取值范围是.
故选:B
9．答案：ABD
解析：A.满足函数的定义,故A正确;
B.由对应关系可知,满足函数的定义,故B正确;
C.,不满足函数的定义,故C错误;
D.由对应关系可知,满足函数的定义,故D正确.
故选:ABD
10．答案：AD
解析：,,
因为,所以,故A正确B错误;
因为,所以,故C错误D正确;
故选:AD
11．答案：ABC
解析：由可得,即;
所以,解得,当且仅当,,等号成立;即A正确;
由,当且仅当,,等号成立,即B正确;
由可得,
所以,当且仅当,时等号成立,即C正确;
易知
,
当且仅当时,等号成立,即的最小值为,所以D错误;
故选:ABC
12．答案：ABCD
解析：对于选项A,令,则,
而恒过定点,
当时,,
画出与的图象,如图所示:
则无零点,
当时,恒过定点,则与图象,如图所示:
则有一个零点,故至多有一个零点,A正确;
对于选项B,画出与的图象,如图所示:
其中,,
由图象可知,,且,
即,故,
则,故B正确;
对于选项C,当时,,即,
求出,,故,故C正确;
对于选项D,当时,,
画出与的图象,如图所示:
则,
画出与的图象,如图所示:
的最小根为,则,
由于与互为反函数,则关于对称,
而也关于对称,
故与相加得,
,
即,故D正确.
故选:ABCD
13．答案：
解析：.
故答案为:
14．答案：
解析：,得或,
若“”是“”的必要不充分条件,得,
所以,即a的最大值为.
故答案为:
15．答案：10
解析：根据题意一个星期后,记忆内容剩余;二个星期后,记忆内容剩余;
n个星期后,记忆内容剩余,为使得所记忆的内容不低于原来的,
则有,为增函数,对上式两边取对数有,
,,又因为,所以,
即,,,,
所以最多在10个星期之后对所学内容进行复习.
故答案为:10
16．答案：6;,
,和
解析：,
,
故,
故,,
故答案为:6,,
17．答案：（1）2
（2）
解析：（1）
（2）
18．答案：（1）,
（2）
解析：（1）因为不等式的解集为,
所以,t是方程两个根,且,
可得,解得,;
（2）由（1）知,即的解集为R,
若,则成立;
若,由的解集为R,
可得,解得.
综上所述,时,的解集为R.
即.
19．答案：（1）图像见解析;
（2）;
解析：（1）设,则,则,
又函数是定义在的偶函数,
所以,
则;
函数的图像,如图所示.
（2）因为,
当时,令,解得,
则当时,,
当时,令,解得,
则当时,,
所以,
画出函数的图像,如图所示,
结合图像可知,当时,.
20．答案：（1）证明过程见详解;值域
（2）
解析：（1）因为,则函数的定义域为R,且,
所以,
所以是奇函数,
因为,
因为,所以,则,
所以函数的值域,
（2）因为在定义域R上单调递增且是奇函数,
所以,则,即,
所以,解得,
所以实数m的取值范围:.
21．答案：（1）6小时
（2）n的最小值为0
解析：（1）当时,,
当时,由得,此时,
当时,由得,此时,
综上所述,,
所以若病人一次服用2个单位的药剂,有效治疗的时间为6小时;
（2）由（1）若病人一次服用2个单位的药剂,有效治疗的时间为6小时,
当时,由,
因为对恒成立,
所以对恒成立,等价于,
令,
则函数在上单调递增,
所以时,有最大值,
所以n的最小值为0.
22．答案：（1）
（2）
解析：（1）证明:代入得:,
即,解得,
函数具有性质M,;
（2）由题知的定义域为R,且,
函数具有性质M,
存在,使得成立,
代入得:,
,
,
整理得:有实根,
①当时,解得,;
②当时,得,
即,解得:,
综上可得:.
x
1
2
3
4
y
2
4
3
3