河南省安阳市2022-2023学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份河南省安阳市2022-2023学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．双曲线的离心率为( )
A.B.C.D.
2．已知向量,,且,则向量与夹角的余弦值为( )
A.B.C.D.
3．已知等差数列中,,,则的公差为( )
A.1B.2C.3D.4
4．已知方程表示焦点在y轴上的椭圆,则实数m的取值范围是( )
A.B.C.D.
5．已知原点O与点关于直线l对称,则l在x轴上的截距为( )
A.5B.-5C.D.
6．有一辆高铁列车一共有8节车厢,从第2节车厢开始每节车厢的乘客均比前一节少10人,且前4节目车厢乘客总数是后4节车厢乘客总数的2倍,则这辆列车上的乘客总数为( )
A.400B.440C.480D.520
7．如图,在直三棱柱中,,,,E、F分别是、的中点,则异面直线AE与CF所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
8．若直线与曲线有且仅有一个公共点,则实数b的取值范围是( )
A.B.
C.D.
9．设抛物线的焦点为F,点M在y轴正半轴上,线段FM与抛物线交于点B,若,且点B到抛物线准线的距离为,则点M的纵坐标为( )
A.1B.C.D.
10．已知圆与圆交于A、B两点,且四边形OACB的面积为,则( )
A.B.C.D.
11．设等差数列的前n项和为,已知,,则当取最大值时,( )
A.15B.7C.-7D.-15
12．已知双曲线的左、右焦点分别为,,过且垂直于x轴的直线与E在第一象限交于点P,的平分线与y轴交于点,则( )
A.1B.C.2D.
二、填空题
13．若直线与平行,则直线与之间的距离为____________．
14．已知数列的前几项为,,,,…,则的一个通项公式为__________．
15．抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后反射光线平行于抛物线的对称轴;反之,平行于抛物线对称轴入射光线经抛物线反射后反射光线必经过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为F,一平行于x轴的光线从点射出,经过抛物线上的点A反射后,再经抛物线上的另一点B射出,则_____________．
16．已知椭圆的两个焦点分别为、,离心率为,点P在椭圆上,若,且的面积为,则C的方程为______________．
三、解答题
17．已知点,直线,直线m过点N且与l平行,直线m交圆于两点A、B．
（1）求直线m的方程;
（2）求线段AB的长．
18．已知数列的前n项和为的前n项和为．
（1）求数列的通项公式;
（2）求．
19．已知等差数列的各项均不为0,记为前n项和,且,．
（1）求数列的通项公式;
（2）设（k为非零常数）,若数列为等差数列,求k的值．
20．如图,四棱锥的底面是矩形,平面底面ABCD,平面底面ABCD,,,,M为BC的中点．
（1）求证：;
（2）求平面PAD与平面PAM夹角的正弦值．
21．已知抛物线的焦点为F,点在C上,且．
（1）求C的方程;
（2）若不过点M的直线l与C相交于A,B两点,且直线MA,MB的斜率之积为1,证明：直线l过定点．
22．已知椭圆的离心率为,其右焦点到直线的距离为．
（1）求C的方程．
（2）若点A为椭圆C的上顶点,是否存在斜率为k的直线l,使l与椭圆C交于不同的两点M、N,且？若存在,请求出k的取值范围;若不存在,请说明理由．
参考答案
1．答案：A
解析：由双曲线方程得,焦点在x轴上,
所以,.
所以,双曲线的离心率为
故选：A.
2．答案：C
解析：,,
,,
,
故选：C.
3．答案：B
解析：因为是等差数列, 所以,
所以,所以公差为.
4．答案：D
解析：由题知：表示焦点在y轴上的椭圆,
所以,
解得,
故选：D.
5．答案：B
解析：由题可知,,直线l为线段OP的垂直平分线,
所以,则,又线段OP的中点为,
则l的方程为,
当时,,则l在x轴上的截距为-5 .
故选：B.
6．答案：C
解析：
7．答案：B
解析：
8．答案：A
解析：曲线即表示一个半径为的半圆,如图所示.
当直线 经过点时,求得,
当直线 经过点时,求得,
当直线和半圆相切于点D时,由圆心O到直线 的距离等于半径,
可得 ,求得 ,或(舍去)。
故当直线与曲线恰有一个公共点时b的取值范围是或
故选：A.
9．答案：D
解析：
10．答案：C
解析：如下图
圆C的标准方程为,圆心为,半径为3,
由题意可如,,,,
所以,,所以,,设,则M为AB的中点,
故四边形OACB的而积为,
则,
故,所以,
,又因为,
所以,解得,
因此.
故选：C.
11．答案：D
解析：
12．答案：C
解析：
13．答案：
解析：因为,则 ,解得 ,
所以,直线的方程为,
即,直线的方程为, 即,
所以,直线与之间的距离为.
故答案为：.
14．答案：
解析：通过观察可知, 分子成等差数列,为,分母为,
故通项可以为:,
故答案为：.
15．答案：4
解析：抛物线的焦点为F,一平行于x轴的光线从点射出,
可知,所以AF的方程为: ,
即,
代入抛物线方程可得:,所以,所以,
所以.
故答案为：4.
16．答案：
解析：
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）设直线m的方程为,
将点N的坐标代入直线m的方程可得,解得,
所以,直线m的方程为.
（2）圆C的圆心为,半径长为,圆心C到直线m的距离为,
因此,.
18．答案：（1）
（2）250
解析：（1）因为,
所以当时,,
当时,,
所以,
经检验：满足,
所以.
（2）由（1）可知,令,则,得,
又,所以当时,;
当时,;
所以
.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为是等差数列,,
所以由,得,
解得或（舍去）,
故.
（2）由（1）得,,则,
所以,,,
因为数列为等差数列,
所以,即,解得或（舍去）,
故.
20．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明：因为四边形ABCD为矩形,则,
因为平面底面ABCD,平面平面,平面ABCD,
平面PAD,平面PAD,,同理可证,
因为,AD、平面ABCD,平面ABCD,
又因为,以点D为坐标原点,DA、DC、DP所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系,
则、、、,
,,,故.
（2）设平面PAM的法向量为,,
则,取,可得,
由题意可知,平面PAD的一个法向量为,
所以,,故.
因此,平面PAD与平面PAM夹角的正弦值为.
21．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为抛物线,所以准线方程为,
因为点在C上,所以由抛物线焦半径公式得,,
联立,解得或（由于,舍去）,
所以抛物线C方程为.
（2）依题意,易知,直线l的斜率存在（若不存在,则与抛物线至多只有一个交点）,
设直线l为,,
联立,消去y,得,
则,,
因为直线MA,MB的斜率之积为1,即,
故,
整理得,
所以,得,故直线l为,
所以直线l过定点.
22．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意可知,点到直线的距离为,解得,
又因为,则,所以,,
因此,椭圆C的方程为.
（2）易知点,设直线l的方程为,设点、,
联立可得,
,可得,
由韦达定理可得,,
若,则轴,此时M、N关于y轴对称,则;
若,则,,
所以,线段MN的中点为,
则,所以,,
所以,,解得且
综上所述,实数k的取值范围是.