浙江省湖州市吴兴区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份浙江省湖州市吴兴区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含答案)，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．下列图片中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．在平面直角坐标系中，点P（3，4）所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
4．线段首尾顺次相接组成的三角形，若，，则的长度可以是( )．
A．3B．5C．7D．9
5．对于命题“若，则” 能说明它属于假命题的反例是（ ）．
A．B．
C．D．
6．如图，．下列条件不能证明的是( )．
A．B．C．D．
7．点和都在直线上，且，则与的关系是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，将一个有角的直角三角板的直角顶点放在一张宽为的纸带边上．另一个顶点在纸带的另一边上，测得三角板的较短直角边与纸带边所在的直线成角，则该三角板斜边的长度为（ ）．
A．2B．C．D．3
9．小明早晨从家里出发步行去学校（学校与家的距离是米），4分钟后爸爸发现小明数学书没带，骑电瓶车去追赶，追上小明并将数学书交给他（交接时间忽略不计），交接完成后爸爸放慢速度原路返回，小明到达学校，同时爸爸也正好到家．如图，线段与折线分别表示小明和爸爸离开家的距离（米）关于时间（分钟）的函数图象，下列说法错误的是（ ）．
A．小明步行的速度为每分钟米
B．爸爸出发时，小明距离学校还有米
C．爸爸回家时的速度是追赶小明时速度的一半
D．和时，父子俩均相距米
10．四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形，过各较长直角边的中点作垂线，围成小正方形．已知为较长直角边，问，当正方形的面积是小正方形面积的倍时，两条直角边与的数量关系是（ ）．
A．B．
C．D．
二、填空题
11．等腰三角形的顶角等于，则一个底角的度数为 ．
12．命题：面积相等的两个三角形是全等三角形是 命题（填“真”或“假”）
13．已知关于，的方程组的解为，则一次函数与的图象交点坐标为 ．
14．如图，在中，边的垂直平分线交于点，交于点，且，，则的长为 ．
15．在平面直角坐标系中，将一副三角板按如图所示的方式摆放，、分别与，重合，．动点在边上运动，动点在边上运动，的中点的坐标为，则的最小值是 ．
16．图象法是函数的表示方法之一，下面我们就一类特殊的函数图像展开探究．
画函数的图象，经历列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示：
探究发现：函数的图象是由向右平移个单位得到；
函数的图象是由向上平移个单位得到．
（1）函数的最小值为 ；
（2）函数在中有最小值，则的值是 ．
三、解答题
17．解不等式组．
18．已知是关于的一次函数，且点，在此函数图象上．
(1)求这个一次函数的表达式；
(2)当时，求的取值范围．
19．如图，在中，是上一点，与相交于点，是的中点，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
20．在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是．
(1)在平面直角坐标系中画出；
(2)平移，使点与点重合，分别是的对应点，请写出的坐标；
(3)求的面积．
21．如图，在中，，、、分别是、、的中点，连结、，求证：．
请你结合上述讨论，选择恰当的方法完成证明．
22．阅读素材并解答问题
23．如图所示，在平面直角坐标系中，点，连结，将线段绕点 顺时针旋转到，将点向左平移5个单位长度至点，连接．
(1)求点、点的坐标；
(2)将直线绕点顺时针旋转，交轴于点，求直线的函数表达式；
(3)现有一动点从出发，以每秒个单位长度的速度沿射线运动，运动时间为秒．请探究：当等于多少时， 为等腰三角形．
24．如图1，为等腰直角三角形，，动点从出发沿线段向终点运动，连结，以为直角边向右作等腰直角，斜边与交于点，连结．
(1)求证：；
(2)如图2，过分别作于点于点．请探究：三条线段之间的数量关系；
(3)在(2)的条件下，若，当等于多少时，的面积最大？并求出最大值．
针对这道题，三位同学进行了如下讨论--
小胡：“需要利用全等证明．”
小吴：“要证中线相等，我想到了直角三角形．”
小明：“我觉得你们都对，但还有别的方法．”
背景
亚运会期间，小明所在的班级开展知识竞赛，需要去商店购买A、B两种款式的亚运盲盒作为奖品．
素材1
某商店在无促销活动时，若买个款亚运盲盒、个款亚运盲盒，共需元；若买个款亚运盲盒、个款亚运盲盒，共需元．
素材2
该商店龙年迎新春促销活动：用元购买会员卡成为会员后凭会员卡购买商店内任何商品一律按商品价格的折出售已知小明在此之前不是该商店的会员；
线上淘宝店促销活动：购买商店内任何商品一律按商品价格的折出售且包邮．
问题解决
任务1
某商店在无促销活动时，求款亚运盲盒和款亚运盲盒的销售单价各是多少元？
任务2
小明计划在促销期间购买、两款盲盒共个，其中款盲盒个，
若在线下商店购买，共需要__________元；
若在线上淘宝店购买，共需要__________元．(均用含的代数式表示)
任务3
请你帮小明算一算,在任务2的条件下，购买款盲盒的数量在什么范围内时，线下购买方式更合算?
参考答案：
1．C
【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A，B，D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：C．
2．A
【分析】根据点的坐标特征求解即可．
【详解】解：点P（3，4）所在的象限是：第一象限．
故选A．
【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（＋，＋）；第二象限（−，＋）；第三象限（−，−）；第四象限（＋，−）．
3．C
【分析】根据不等式的性质解不等式即可求解．
【详解】解：，
解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查了求不等式的解集，掌握不等式的性质是解题的关键．
4．B
【分析】本题考查的是三角形的三边关系定理，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出的取值范围即可．
【详解】解：∵线段，，
∴，即．
观察选项，只有选项B符合题意，
故选：B．
5．B
【分析】本题考查举反例判断命题的真假，根据题意找出条件符合题意，但是结论相反的选项，即可求解．
【详解】A选项，，则，，不能说明；
B选项，，则，，可以说明．
C选项，，则，，不能说明；
D选项，，则，，不能说明；
故选：B．
6．D
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定，根据全等三角形的判定定理，逐个进行判断即可．
【详解】解：A、在和中，
，
∴，故A不符合题意；
B、在和中，
，
∴，故B不符合题意；
C、∵，
∴
在和中，
，
∴，故C不符合题意；
D、在和中，，，，不能得出，故D符合题意；
故选：D．
7．D
【分析】先根据直线的可以判断出函数的增减性，再根据A、B两点的横坐标的大小即可进行判断．
【详解】解：直线中，，
y随着x的增大而减小，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，解题关键是熟知一次函数y＝kx＋b（k≠0）的增减性．
8．B
【分析】本题考查了角直角三角形的性质及勾股定理，如图，作，等腰三角形的性质，勾股定理，可得的长，在中，根据含度角的直角三角形的性质，即可求得的长．
【详解】如图，作于点，
在中，，，，
∴，
在中，，则，
∴ ．
故选：B．
9．D
【分析】本题考查了函数图象，根据题意以及函数图象求得小明步行的速度，爸爸回家时的速度和追赶小明时速度，进而逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：依题意，全程根据学校与家的距离是米，
∴小明步行的速度为每分钟米，故A选项正确；
根据函数图象可得爸爸出发时小明走了分钟，
∴爸爸出发时，小明距离学校还有米，故B选项正确；
∵追上小明并将数学书交给他，则小明走了米，爸爸的速度为米每分钟；
回来的时间为分钟，则爸爸回家时的速度为米每分钟，即爸爸回家时的速度是追赶小明时速度的一半，故C选项正确；
依题意，设分钟时父子俩均相距米，
追上之前，，解得：
追上之后，，解得：，
∴点和点分秒时，分钟时父子俩均相距米，故D选项不正确，
故选：D．
10．C
【分析】本题考查了勾股定理；设，．则正方形ABCD的面积，根据正方形的面积是小正方形面积的倍，得出，即可求解．
【详解】解：由题意可知，
∵正方形的面积是小正方形面积的倍，
∴
∴
∴
即
故选：C．
11．
【分析】已知给出了等腰三角形的顶角等于，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理直接刻求得答案．
【详解】解：∵等腰三角形的顶角等于，
又等腰三角形的底角相等，
∴一个底角等于．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理和等腰三角形的性质；题目比较简单，属于基础题．
12．假
【分析】根据全等三角形的判定进行判断．
【详解】解：面积相等的两个不一定三角形全等，是假命题；
故答案为：假．
【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
13．
【分析】本题考查了二元一次方程组和一次函数的关系，根据二元一次方程组和一次函数的关系，二元一次方程组的解是对应两个一次函数图象交点的横坐标和纵坐标，即可进行解答．
【详解】解：∵关于，的方程组的解为，
∴一次函数与的图象交点坐标为，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质即可得到结论．
【详解】解：∵边的垂直平分线交于点，
∴，
又∵，，
∴
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了垂线段最短，勾股定理，含度角的直角三角形的性质，过点作于点，当与重合时，且在上，取得最小值，最小值为的长，进而根据含度角的直角三角形的性质，勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，
∵的中点的坐标为，
∴
∵
∴当与重合时，且在上，取得最小值，最小值为的长，
∵
∴
∴，则
∴，
∴的最小值是，
故答案为：．
16． 或
【分析】本题考查一次函数的图象及性质；
（1）画出的图象，通过观察图象可得
（2）分三种情况讨论求得即可．
【详解】解：（1）如图所示，函数的图象是由向上平移3个单位得到．
根据函数图象可得函数的最小值为，
故答案为：．
（2）若，
当时，有最小值，
，
（舍），或
若，
当时，有最小值，不符合题意，舍去．
若，
当时，有最小值，
，
（舍），或
综上所述，或．
故答案为：或．
17．
【分析】本题考查求不等式组的解集，分别解出两个不等式，根据求不等式组解集的口诀得到解集．
【详解】解：
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：
18．(1)这个函数表达式为：
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，解一元一次不等式；
（1）待定系数法求解析式，即可求解；
（2）依题意，，解不等式，即可求解．
【详解】（1）解：设
把，代入得：
把，代入得：

∴这个函数表达式为：．
（2）
19．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定．
（1）根据平行线的性质可得，进而根据对顶角相等，中点的性质得出，，根据，即可得证；
（2）根据全等三角形的性质，即可得出，进而根据线段的和差即可求解．
【详解】（1）证明：，
，
是的中点，
，
又，
；
（2）解：，
，
．
20．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据坐标描点，连接即可得；
（2）根据点的平移方式确定的平移方式，从而得到点的坐标；
（3）用长方形面积减去小三角形的面积即可得到的面积．
【详解】（1）解：如图所示即为所求
（2）如图所示；
（3）
21．见解析
【分析】小胡的方法：由得，由、、、分别是、、的中点得，所以可以通过证明证明；
小吴的方法：连结，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证明；
小明的方法：连结，，和交于点，证明是的角平分线，得出，则是边的中垂线，即可得证．
【详解】小胡的证明方法：
，
，
、、、分别是、、的中点，
，，，
，
，
．
小吴的证明方法：如图，连结，
，是的中点，
，即和为直角三角形，
、分别是、的中点，
∴，，
．
小明的证明方法：如图，连结，，和交于点，
，是的中点，
是的角平分线，
、分别是、的中点，
，，
，
是边的中垂线，
．
【点睛】此题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、垂直平分线的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
22．任务1：A款盲盒销售单价为元，款单价销售单价为元；任务2：，；任务3：当购买款盲盒的数量超过个且少于个时，线下购买方式更合算
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，列代数式，一元一次不等式的应用；
任务1：设款盲盒销售单价为元，款盲盒销售的单价为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程，即可求解；
任务2：根据题意列出代数式，即可求解；
任务3：根据任务2的结论，结合题意，列出一元一次不等式，解不等式，即可求解．
【详解】任务1：解：设款盲盒销售单价为元，款盲盒销售的单价为元

解得
答：款盲盒销售单价为元，款单价销售单价为元；
任务2：解：依题意，若在线下商店购买，共需要（元）
若在线上淘宝店购买，共需要
故答案为：，；
任务3：由题意可
，
；
答：当购买款盲盒的数量超过个且少于个时，线下购买方式更合算
23．(1)，
(2)
(3)或或
【分析】（1）过、分别作、垂直于轴，垂足分别为，证明，进而可得的坐标，根据平移的性质得出的坐标；
（2）设，分别交轴于点，则是等腰直角三角形，得出，根据点，待定系数法求解析式，即可求解；
（3）根据题意得出，进而分三种情况分析，即可求解．
【详解】（1）解：过、分别作、垂直于轴，垂足分别为，
将线段绕点 顺时针旋转到，
，
，
，
，，
，
由题意得，，
；
（2）解：直线绕点顺时针旋转，
∴，
如图所示，设，分别交轴于点，则是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将点，，代入得：
，
解得： ，
即直线的解析式为；
（3）解：如图所示，
∵以每秒个单位长度的速度沿射线运动，运动时间为秒，则，
①当时，秒；
②当时，
设，
∵，
∴，
解得：或（舍去），
∴，
，
秒；
③当时，则的横坐标为，
代入，得，
∴，
，
秒，
综上所述：或或秒．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，等腰三角形的定义，勾股定理的应用，旋转的性质，因式分解法解一元二次方程，全等三角形的性质与判定，坐标与图形，熟练掌握以上知识是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)，见解析
(3)当时，最大为1．
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理；
（1）先证明，进而根据，即可证明；
（2）先证明，根据，证明，得出，，即可得证；
（3）根据全等三角形的性质可得，又，则要使最大，只要使最小即可，当时，最小，此时，，，．
【详解】（1）解：证明：与均为等腰直角三角形
，，
，
在与中，
；
（2），
，
，
又
，
在与中，
，
；
（3），
，
，
要使最大，只要使最小即可，
当时，最小，
此时，，，，
当时，最大，最大为1．