重庆市南川区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)
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这是一份重庆市南川区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案),共24页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
一、单选题
1.下列图形是中心对称图形的是( )
A.B.C.D.
2.反比例函数的图象一定经过的点是( )
A.B.C.D.
3.如图,点是上的点,连接,若,则的度数为( ).
A.B.C.D.
4.将抛物线向下平移1个单位后所得的抛物线解析式为( )
A.B.C.D.
5.若关于x的一元二次方程有一个根为,则代数式的值为( )
A.B.4C.10D.12
6.二次函数的x与y的部分对应值如下表,则当时,y的值为( )
A.15B.10C.7D.6
7.一次函数的图象与反比例函数的图象在同一坐标系中大致图象是( )
A.B.C.D.
8.如图,是的切线,点C是切点,连接,若,,,则的长度是( )
A.B.C.8D.9
9.如图,在中,,点P是边上任意一点,将绕点C逆时针旋转得到,点P的对应点为点Q,连接,若,则的度数是( )
A.B.C.D.
10.对于n个互不相等的实数,先将每两个数求差,再把这些差的绝对值相加求和,这样的运算称为对这n个实数的“差绝对值运算”,例如,对于2,3,6进行“差绝对值运算”,得到:.下列说法:①对,2,5,6的“差绝对值运算”的结果是24;②对,a,的“差绝对值运算”的结果的最小值是11;③对互不相等的三个数x,y,z的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有8种;其中正确的个数是( )
A.0B.1C.2D.3
二、填空题
11.抛物线y=-(x-2)2+1的顶点坐标是 .
12.点关于原点的对称点N的坐标是 .
13.长安汽车公司月份营业额为亿元,月份营业额为亿元,已知月份的营业额月平均增长率相同,设该公司月到月营业额平均月增长率为,根据题意,可列出的方程是 .
14.一个布袋中装有1个蓝色球和2个红色球,这些球除颜色外其余都相同,随机摸出一个球后放回摇匀,再随机摸出一个球,则两次摸出的球都是红球的概率是 .
15.如图,在平面直角坐标系中,直角三角形的顶点在原点,直角边在轴上,,反比例函数的图象分别交边于点,连接,若,,则的值为 .
16.如图,平行四边形的对角线交于点O,且,,以O为圆心,长为半径画弧分别交对角线于点E,F.若,则图中阴影部分的面积为 .(结果保留)
17.若关于x的一元二次方程有实数根,且关于y的分式方程的解是正数,则所有满足条件的整数a的值之和是 .
18.一个四位自然数M,若它的千位数字与十位数字的差为3,百位数字与个位数字的差为2,则称M为“接二连三数”,则最大的“接二连三数”为 ;已知“接二连三数”M能被9整除,将其千位数字与百位数字之和记为P,十位数字与个位数字之差记为Q,当为整数时,满足条件的M的最小值为 .
三、解答题
19.解下列方程;
(1);
(2).
20.如图,在平行四边形中,连接.
(1)请用尺规完成基本作图:作的垂直平分线,交于点O,交于点M,交于点N(保留作图痕迹,并标上字母,不写作法);
(2)已知:四边形是平行四边形,垂直平分线,交于点O,交于点M,交于点N.求证:.请补全下面的证明过程.
证明:∵四边形是平行四边形,
∴,,
∴ ① .
∵是的垂直平分线,
∴ ② .
在和中,
.
∴,
∴ ④ ,
∴,
∴.
21.如图,二次函数的图象与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C,点P是抛物线的顶点,连接.
(1)求B点的坐标;
(2)求的面积.
22.现有四张正面分别写有,1,2,5的不透明卡片,它们除数字不同外其余均相同,现将这四张卡片背面朝上并洗匀.
(1)若从中随机抽取1张,则抽取的卡片上的数字恰好是2的概率是______;
(2)若先从中随机抽取1张卡片后不放回,再从余下的3张中随机抽取1张,求抽到的2张卡片上的数字之和是偶数的概率.(请用画树状图或列表的方法进行说明).
23.春节贴春联是中国的传统习俗,在春节来临前,某超市购进一种春联,每副春联的进价是元,并且规定每副春联的售价不少于元,不超过元.根据以往的销售经验发现,当每副春联的售价定为元时,日销售量为副,每副春联的售价每提高元,日销售量减少副.
(1)若每天的销售量为副,则每副春联的售价为多少元?
(2)当每副春联的售价定为多少元时,日销售利润最大?最大利润是多少元?
24.如图,矩形中,,.动点P从点A出发,沿着折线方向运动,到达点C时停止运动.设点P运动的路程为x(其中),连接,记的面积为y,请解答下列问题:
图1 图2
(1)直接写出y关于x的函数关系式,并注明自变量x的取值范围;
(2)在给定的平面直角坐标系中,画出该函数的图象,并写出该函数的一条性质;
(3)已知函数的图象如图所示,结合你所画的函数图象,请直接估计当时x的取值:____________(结果保留一位小数,误差范围不超过).
25.如图,在平面直角坐标系中,抛物线经过点,与x轴交于点,B两点,与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P是直线上方抛物线上一动点,过点P作轴交于点D,求的最大值及此时点P的坐标;
(3)将该抛物线沿x轴向右平移个单位长度得到新抛物线,新抛物线的对称轴交x轴于点M,点N是直线上一点,在平面内确定一点K,使得以为顶点的四边形是以为边的菱形,写出所有符合条件的点K的坐标,并写出求解点K坐标的其中一种情况的过程.
26.在中,D为边上一点,连接,E为上一点,连接,.
图1 图2 图3
(1)如图1,若,,,求的面积;
(2)如图2,连接,若,,点G为的中点,连接,求证:;
(3)如图3,若是等边三角形,,D为直线上一点,将绕点A逆时针方向旋转到,连接,为线段上一点,,P为直线上一点,分别连接,,请直接写出的最小值.
x
…
0
1
2
3
…
y
…
15
10
7
6
7
…
参考答案:
1.A
【分析】本题考查的是中心对称图形的概念.根据中心对称图形的概念“中心对称图形是图形沿对称中心旋转后与原图重合”判断即可.
【详解】解:选项B、C、D的图形都不能找到一个点,使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合,所以不是中心对称图形,不符合题意;
选项A的图形能找到一个点,使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合,所以是中心对称图形,符合题意.
故选:A.
2.D
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点,根据反比例函数的定义,只要点的横纵坐标之积等于k即可判断该点在函数图象上,据此求解.
【详解】解:∵,
∴点在反比例函数的图象上,
故选:D.
3.C
【分析】本题考查了圆周角定理,熟知在同圆或等圆中,同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半是解题关键.
根据圆周角定理解答即可.
【详解】解:∵,
∴.
故选:C.
4.B
【分析】本题考查了抛物线的平移规律知识点,解题的关键是“上加下减,左加右减”,据此即可解答.
【详解】解:将抛物线向下平移1个单位后所得的对应抛物线的解析式为.
故选:B.
5.A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解.把代入,即可求解.
【详解】解:∵方程有一个根为,
∴,
∴.
故选:A.
6.B
【分析】本题考查二次函数的性质,根据表格中的数据可以得到该函数的对称轴,再根据二次函数图象具有对称性,可以求得时的函数值.解答本题的关键是明确题意,利用二次函数的性质解答.
【详解】解:由表格可知,
二次函数的对称轴是直线,
和时对应的函数值相等,
时,,
时,,
故选:B.
7.A
【分析】本题考查了一次函数图象、反比例函数图象与比例系数的关系.熟练掌握一次函数图象、反比例函数图象与比例系数的关系是解题的关键.
根据一次函数图象、反比例函数图象与比例系数的关系进行判断作答即可.
【详解】解:由图象可知,A中一次函数图象,反比例函数图象,故符合要求;
B中一次函数图象不正确,反比例函数图象,故不符合要求;
C中一次函数图象不正确,反比例函数图象,故不符合要求;
D中一次函数图象不正确,反比例函数图象,故不符合要求;
故选:A.
8.B
【分析】本题考查了切线的性质,等角对等边,勾股定理.熟练掌握切线的性质,等角对等边,勾股定理是解题的关键.
如图,连接,则,由,可得,由勾股定理得,,计算求解即可.
【详解】解:如图,连接,
∵是的切线,点C是切点,
∴,
∵,
∴,
∴,
由勾股定理得,,
故选:B.
9.C
【分析】本题考查旋转的性质,等腰三角形的判定和性质.根据旋转得到,等边对等角求出的度数,进一步求出的度数即可.
【详解】解:由旋转的性质可得:,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
故选C.
10.C
【分析】本题考查了新定义运算,化简绝对值符号,整式的加减运算.①根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算,即可判定;②根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算,即可判定;③首先根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算,再分类讨论,化简绝对值符号,即可判定.
【详解】解:,①正确;
,
表示的是数轴上数x对应的点到和的距离之和,
∴的最小值为,
∴,
∴②正确.
对x,y,z的“差绝对值操作”:
,
当,,时,
;
当,,时,
;
当,,时,
;
当,,时,
;
当,,时,
;
当,,时,
;
当,,时,
;
当,,时,
;
化简结果可能存在的不同表达式一共有7种,③不正确;
故选:C
11.(2,1)
【详解】试题解析:∵抛物线解析式为y=-(x-2)2+1,
∴该抛物线的顶点坐标为(2,1).
12.
【分析】本题主要考查了关于原点对称点的坐标,解题的关键是掌握关于原点对称点的坐标特征:横坐标和纵坐标都互为相反数.
根据关于原点对称点的坐标特征:横坐标和纵坐标都互为相反数,即可进行解答.
【详解】点关于原点的对称点N的坐标是.
故答案为:.
13.
【分析】本题考查了一元二次方程的应用增长率问题,设该公司月到月营业额平均月增长率为,根据:增长前的量增长后的量,列出方程即可,理解题意,找到等量关系列出方程是解题的关键.
【详解】解:设该公司月到月营业额平均月增长率为,
根据题意得,,
故答案为:.
14.
【分析】列表将所有等可能的结果列举出来,利用概率公式求解即可.
【详解】解:列表得:
∵共9种等可能的结果,两次都是红色的情况有4种,
∴两次摸出的球都是红球的概率为,
故答案为:.
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率.注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,列表法适合于两步完成的事件;树状图法适合两步或两步以上完成的事件;注意概率=所求情况数与总情况数之比.
15.
【分析】本题考查了反比例函数系数的意义,由得到,又由,,得到,列出方程即可求解,掌握反比例函数系数的意义是解题的关键.
【详解】解:∵,
∴轴,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∴,
故答案为:.
16.
【分析】本题考查平行四边形的性质,扇形的面积,三角形的面积.
根据平行四边形的性质可得,,从而求得的面积,由等腰得到,从而可求得扇形的面积,类似地求得和扇形的面积,根据即可解答.
【详解】∵四边形是平行四边形,
∴,
∴,
∵,
∴
,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴;
∵在中,,,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴.
故答案为:
17.
【分析】本题主要考查了解分式方程、一元二次方程根的判别式,先用a表示方程的解,根据解是正数,且,确定a的值,再根据一元二次方程有实数根,确定a的范围,求得整数解计算即可,熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键.
【详解】∵,
去分母,得
,
去括号,移项、合并同类项,得 ,
系数化为1,得
,
∵分式方程的解是正数,且,
∴且
解得且,
∵方程有实数根,
∴,
解得,
∴且,
∵a是整数,
∴或或或或,
∴符合条件的所有整数a的和为,
故答案为:.
18. 9967 8856
【分析】本题主要考查了整式的加减,“接二连三数”的定义等知识点,通过定义得到对应的数位间的关系是解题的关键.
根据“接二连三数”的定义结合整除的特点进行求解即可.
【详解】解:当千位和百位都取9时,“接二连三数”最大,即为9967;
是“接二连三数”且能被9整除,
∴为整数.
∵,,
∴,
∴或18,
∴或16,
当时,,
,7是奇数,不可能为整数;
当时,,
,
∴,,,,,
解得,,
∴,8856,M最小值为8856.
故答案为:9967,8856.
19.(1),;
(2),.
【分析】()利用公式法解答即可求解;
()移项,利用因式分解法解答即可求解;
本题考查了解一元二次方程,掌握解一元二次方程的方法是解题的关键.
【详解】(1)解:,,,
,
∴,
∴,;
(2)解:移项得,,
因式分解得,,
∴,
∴或,
∴,.
20.(1)见解析
(2)①;②;③;④
【分析】本题考查垂直平分线的基本作图、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质,熟练掌握相关知识点是解答本题的关键.
(1)根据线段垂直平分线的作图方法作图即可.
(2)根据平行线的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质填空即可.
【详解】(1)解:
如图,分别过点B、D两个端点为圆心,以大于为半径画弧,得到两个交点,连接两点,交于点O,交于点M,交于点N.
(2)证明∵四边形是平行四边形,
∴,,
∴.
∵是的垂直平分线,
∴.
在和中,
.
∴,
∴,
∴,
∴.
∴答案为:①;②;③;④
21.(1)
(2)6
【分析】本题主要考查了二次函数综合,求二次函数与x轴的交点坐标,二次函数的性质等等:
(1)求出当时,x的值即可得到答案;
(2)先求出对称轴,进而求出点P的坐标,再根据进行求解即可.
【详解】(1)解:令,则,解得,,
∴,;
(2)解:该抛物线对称轴为,
将代入,得,
∴
在中,当时,,
∴
连接,由(1)可知,,
∴
.
22.(1)
(2)
【分析】本题考查概率公式,画树状图或列表法求概率:
(1)利用概率公式直接求解;
(2)通过列表或画树状图列出所有等可能的情况,从中找出符合条件的情况,再利用概率公式求解.
【详解】(1)解:从写有,1,2,5的4张不透明卡片中随机抽取1张,则抽取的卡片上的数字恰好是2的概率是,
故答案为:;
(2)解:两张卡片分别记为第1张和第2张,可以用下表列举出所有可能出现的结果.
由上表可知,一共有12种结果,并且它们出现的可能相等,其中两张卡片上的数字之和为偶数的有6种,所以,
答:抽到的2张卡片上的数字之和是偶数的概率是.
23.(1)元
(2)当每副的售价定为元时,日销售利润最大,最大利润是元
【分析】本题考查了一元一次方程的应用,二次函数的应用;
(1)设每副的售价为元,由题意列出一元一次方程,解方程,即可求解;
(2)设每副的售价为元,日销售利润为元,根据题意列出二次函数关系式,根据二次函数的性质,即可求解.
【详解】(1)解:设每副的售价为元,由题意得:
解得
答:每副春联的售价为元;
(2)设每副的售价为元,日销售利润为元,
,
∵,,
∴当时,取得最大值,
答:当每副的售价定为元时,日销售利润最大,最大利润是元.
24.(1)
(2)见解析;
(3),
【分析】本题考查的是反比例函数综合运用,涉及到一次函数的图象和性质,确定一次函数的表达式是解题的关键.
(1)当点在上运动时,此时,,即可求解;当点在上运动时,同理可解;
(2)取点绘制图象,再观察函数图象即可求解;
(3)观察函数图象即可求解.
【详解】(1)解:,,
当点在上运动时,此时,
当点在上运动时,此时,,
故答案为:;
(2)解:
该函数在自变量的取值范围内,有最大值,无最小值,当时,函数取得最大值.
(3)解:联立和
解得:,
联立和
解得:,
25.(1)
(2),
(3),,,过程见解析
【分析】本题考查的是二次函数综合运用,涉及到一次函数的基本性质、待定系数法求函数表达式、菱形的性质等;
(1)由待定系数法即可求解;
(2)设,,,则,即可求解;
(3)由菱形的性质得:,即可求解.
综合运用二次函数和一次函数的性质解决问题是解题的关键.
【详解】(1)解:由题意得:
,解得:,
该抛物线的函数表达式为;
(2)在中,
当时,,
,
由点、的坐标得直线的表达式为:,
设,,,
,
,
当时,
有最大值为4,
则点;
(3)满足条件的点坐标为:,,.
由知,对称轴是直线,
则新抛物线的对称轴为,
,
由(2)可知,
设,
,
,
当时,,
解得:,
坐标为,坐标为.
26.(1)
(2)见解析
(3)
【分析】(1)本题根据题意证明,根据,推出,求出,的长度,已知,再根据三角形的面积公式,即可解题.
(2)本题根据题意延长到点F,使,连接,在上截取,连接,证明,由等边三角形的判定,证明是等边三角形,得出,再根据已知,证明,得到,即可解题.
(3)本题根据题意分析点的轨迹是直线,直线分别交、的延长线于点、,作点关于的对称点,过作直线的垂线分别交于点P、交直线于点,此时的值最小为,求出的值,即可解题.
【详解】(1)解: ,
,
又,
,
在中,,
,
,
又,
,
,
.
(2)解:延长到点F,使,连接,在上截取,连接,如图所示:
G为的中点,
,
在和中,
,
,,
,
即,
又,,
是等边三角形,
,,
又,
,
,
在和中,
,
,
.
(3)解:点的轨迹是直线,直线分别交、的延长线于点、,作点关于的对称点,过作直线的垂线分别交于点P、交直线于点,此时的值最小,最小值为.过点B作的垂线垂足为点I,如图所示:
是等边三角形,,
,,
由旋转性质可得,,,,
,
,
,
在中,,
,
,
,
在中,,
,
,,
,
四边形为矩形,
,
,
,
在等边中,,,
,
的最小值是.
【点睛】本题考查了三角形的外角的性质、勾股定理、30度所对的直角边等于斜边的一半、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质,中点的性质、旋转的性质、对称的性质、矩形的判断和性质,解题的关键在于熟练掌握相关性质并灵活运用.
蓝
红
红
蓝
(蓝,蓝)
(红,蓝)
(红,蓝)
红
(蓝,红)
(红,红)
(红,红)
红
(蓝,红)
(红,红)
(红,红)
第2张
第1张
1
2
5
1
2
5
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