核心考点03平面向量的概念和线性运算-高一数学下学期核心考点+重难点讲练与测试（沪教版必修二）

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一．向量的概念与向量的模（共10小题）
二．向量相等与共线（共9小题）
三．向量的加法（共1小题）
四．向量的减法（共1小题）
五．向量的三角形法则（共1小题）
六．向量加减混合运算（共1小题）
七．向量数乘和线性运算（共3小题）
八．平面向量数量积的含义与物理意义（共4小题）
考点考向
一．向量的概念与向量的模
【向量概念】
既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．
【向量的几何表示】
用有向线段表示向量，有向线段的长度表示有向向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．即用表示有向线段的起点、终点的字母表示，例如、，…字母表示，用小写字母、，…表示．有向向量的长度为模，表示为||、||，单位向量表示长度为一个单位的向量；长度为0的向量为零向量．
【向量的模】
的大小，也就是的长度（或称模），记作||．
【零向量】
长度为零的向量叫做零向量，记作，零向量的长度为0，方向不确定．
【单位向量】
长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与共线的单位向量是）．
【相等向量】
长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性．
二．向量的加法
【知识点的知识】
向量的加法运算
求几个向量和的运算叫向量的加法运算，其运算法则有二：
（1）三角形法则：设与不共线，在平面上任取一点A（如图1），依次作＝a，＝b，则向量 叫做与的和，记作，即+＝+＝
特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点．
（2）平行四边形法则：如图2所示，ABCD为平行四边形，由于＝，根据三角形法则得+＝+＝，这说明，在平行四边形ABCD中，所表示的向量就是与的和．
特征：有共同起点的两个向量相加，其和向量等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线．（首尾相接，结果为首尾）
（3）向量的加法性质
①+＝+＝；+（﹣）＝；
②+＝+；
③（+）+＝+（+）．
三．向量的减法
【知识点的知识】
向量的减法及其几何意义：
求两个向量差的运算叫向量的减法运算．
法则：以将向量a与向量b的负向量的和定义为与的差，即﹣＝+（﹣）．
设＝，＝，则．即＝＝．即
特征；有共同起点的两个向量、，其差仍然是一个向量，叫做与的差向量，其起点是减向量的终点，终点是被减向量的终点．（减终指向被减终）
四．向量的三角形法则
【知识点的知识】
三角形法则：设与不共线，在平面上任取一点A（如图1），依次作＝a，＝b，则向量 叫做与的和，记作，即+＝+＝
特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点．
五．向量加减混合运算
【知识点的知识】
1、向量的加法运算
求几个向量和的运算叫向量的加法运算，其运算法则有二：
（1）三角形法则：设与不共线，在平面上任取一点A（如图1），依次作＝a，＝b，则向量 叫做与的和，记作，即+＝+＝
特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点．
（2）平行四边形法则：如图2所示，ABCD为平行四边形，由于＝，根据三角形法则得+＝+＝，这说明，在平行四边形ABCD中，所表示的向量就是与的和．
特征：有共同起点的两个向量相加，其和向量等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线．（首尾相接，结果为首尾）
（3）向量的加法性质
①+＝+＝；+（﹣）＝；
②+＝+；
③（+）+＝+（+）．
2、向量的减法运算．
求两个向量差的运算叫向量的减法运算．
法则：以将向量a与向量b的负向量的和定义为与的差，即﹣＝+（﹣）．
设＝，＝，则．即＝＝．即
特征；有共同起点的两个向量、，其差仍然是一个向量，叫做与的差向量，其起点是减向量的终点，终点是被减向量的终点．（减终指向被减终）
六．向量数乘和线性运算
【知识点的知识】
（1）实数与向量的积是一个向量，记作λ，它的大小为|λ|＝|λ|||，其方向与λ的正负有关．若|λ|≠0，当λ＞0时，λ的方向与的方向相同，当λ＜0时，λ的方向与的方向相反．
当λ＝0时，λ与平行．
对于非零向量a、b，当λ≠0时，有∥⇔＝λ
（2）向量数乘运算的法则
①1＝；（﹣1）＝；
②（λμ）＝λ（μ）＝μ（λ）；
③（λ+μ）＝λ+μ；
④λ（+）＝λ+λ．
一般地，λ+μ叫做，的一个线性组合（其中，λ、μ均为系数）．如果＝λ+μ，则称可以用，线性表示．
七．平面向量数量积的含义与物理意义
【知识点的知识】
1、向量的夹角概念：
对于两个非零向量，如果以O为起点，作＝，＝，那么射线OA，OB的夹角θ叫做向量与向量的夹角，其中0≤θ≤π．
2、向量的数量积概念及其运算：
（1）定义：如果两个非零向量，的夹角为θ，那么我们把||||csθ叫做与的数量积，记做
即：＝||||csθ．规定：零向量与任意向量的数量积为0，即：•＝0．
注意：
① 表示数量而不表示向量，符号由csθ决定；
②符号“•”在数量积运算中既不能省略也不能用“×”代替；
③在运用数量积公式解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是：0≤θ≤π．
（2）投影：在上的投影是一个数量||csθ，它可以为正，可以为负，也可以为0
（3）坐标计算公式：若＝（x1，y1），＝（x2，y2），则＝x1x2+y1y2，
3、向量的夹角公式：
4、向量的模长：
5、平面向量数量积的几何意义：与的数量积等于的长度||与在的方向上的投影||csθ的积．
考点精讲
一．向量的概念与向量的模（共10小题）
1．（2022春•浦东新区校级期末）与向量（﹣3，﹣4）反向的单位向量是 ．
【分析】根据单位向量的定义以及向量的坐标运算计算即可．
【解答】解：与向量（﹣3，﹣4）反向的单位向量是﹣（﹣3，﹣4）＝（，），
故答案为：（，）．
【点评】本题考查了向量的坐标运算，考查单位向量的定义，是基础题．
2．（2022春•徐汇区校级期末）若非零不共线的向量，满足，则（ ）
A．B．C．D．
【分析】由向量模长不等式可得＝≤||+||，结合题目条件即可求解．
【解答】解：∵＝≤||+||＝2||，
∵，是非零向量，∴必有，上式中等号不成立，
∴2||＞，
故选：C．
【点评】本题主要考查了向量模长的定义，属于基础题．
3．（2022春•徐汇区校级期中）若，则的取值范围是 [4，8] ．
【分析】利用平面向量的线性运算及几何意义求解即可．
【解答】解：∵＝﹣，且，
∴6﹣2≤≤6+2，
即的取值范围是[4，8]；
故答案为：[4，8]．
【点评】本题考查了平面向量的线性运算及几何意义，属于基础题．
4．（2022春•闵行区校级期中）已知m∈R，则是的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
【分析】利用向量相等的定义求解即可．
【解答】解：①当m＝0时，则，但不一定成立，∴充分性不成立，
②当时，则，∴必要性成立，
∴是的必要不充分条件，
故选：B．
【点评】本题考查向量相等的定义，基本知识的考查．
5．（2022春•杨浦区校级期中）已知向量，，则＝（ ）
A．B．C．D．5
【分析】根据向量的线性运算的坐标表示求出+2＝（1，2），再求其模即可．
【解答】解：∵，，
∴+2＝（1，2），
∴＝＝．
故选：A．
【点评】本题考查了向量的线性运算的坐标表示以及向量的模，属于基础题．
6．（2022春•杨浦区校级期末）如图，圆C的半径为3，A，B为圆C上的两点，且的最小值为2，则＝ ．
【分析】过C作CH⊥AB，垂直点为H，则H为AB的中点，设，则点P在直线AB上，从而得＝||＝||＝||≥|CH|＝2，再根据圆中的弦长公式即可求解．
【解答】解：如图，过C作CH⊥AB，垂直点为H，则H为AB的中点，
∵＝||，λ＝﹣t，
设，∴点P在直线AB上，
∴＝||＝||＝||≥|CH|＝2，
又圆C的半径为3，∴|CA|＝3，
∴|AB|＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查向量共线定理，向量减法的几何意义，圆的弦长公式，属基础题．
7．（2022春•奉贤区校级期末）||＝8，||＝2，则BC的取值范围是 [6，10] ．
【分析】利用向量线性运算可解．
【解答】解：∵，
∴||＝||，
∴≤，
当和同向时，取得最小值，当和反向时，取得最大值，
即6≤≤10，
故答案为：[6，10]．
【点评】本题考查向量的模相关知识，属于基础题．
8．（2022春•浦东新区校级期中）直角△ABC中，，AB＝1，AC＝2，点O是△ABC所在平面上任意一点，则向量的模为 ．
【分析】根据条件可得出||＝2，||＝，cs＜＞＝，然后根据向量的加减运算及向量的数量积运算求解．
【解答】解：由题意||＝2，|，cs＜＞＝，
∴||＝||
＝＝
＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查向量减法的几何意义，向量长度的求法，向量数量积的运算及计算公式，考查了计算能力，属于基础题．
9．（2022春•宝山区校级期中）如图，在△ABC中，AC＝2，AB＝4．点D在边BC上，且．
（1），，求；
（2），AD恰为BC边上的高，求角A；
（3）AD＝3，求t的取值范围．
【分析】（1）推导出＝（+），从而＝（+2•，由此能求出．
（2）由，AD恰为BC边上的高，设CD＝x，BD＝4x，在Rt△ACD中，AD2＝4﹣x2，在Rt△ABD中，AD2＝16﹣16x2，列方程求出x2＝，BC2＝25x2＝20，由余弦定理求出∠BAC．
（3）推导出，则•（1﹣t），结合﹣1＜csA＜1且0＜t＜1，能求出t的取值范围．
【解答】解：（1）∵，∴D为BC的中点，∴＝（+），
∵AC＝2，AB＝4，，
∴＝（+2•）＝[16+4+2×4×2×（﹣）]＝3，
∴＝．
（2）由，AD恰为BC边上的高，设CD＝x，BD＝4x，
在Rt△ACD中，AD2＝4﹣x2，
在Rt△ABD中，AD2＝16﹣16x2，
∴4﹣x2＝16﹣16x2，∴x2＝，∴BC2＝25x2＝20，
由余弦定理得cs∠BAC＝＝＝0，
∴∠BAC＝90°．
（3）由题，，
则＝＝＝t，
∵AD＝3，且AC＝2，AB＝4，
∴+（1﹣t）2+2t，
则9＝16t2+4（1﹣2t+t2）+（16t﹣16t2）csA，
∴csA＝，
∵﹣1＜csA＜1，∴﹣1＜，
∵0＜t＜1，∴16t2﹣16t＜0，
解得，∴t的取值范围是（）．
【点评】本题考查向量的模、角的大小、实数的取值范围的求法，考查向量的运算法则、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
10．（2022春•长宁区校级期中）已知O为坐标系原点，，，．
（1）若ABC是以A为直角顶点的直角三角形，求m的值及此时三角形的面积；
（2）若A，B，C三点共线，求m的值及此时线段中点P的坐标．
【分析】（1）由向量的坐标运算化简＝（3，1），＝（2﹣m，1﹣m），结合ABC是以A为直角顶点的直角三角形得•＝0，从而求得m，再求面积即可；
（2）由三点共线知3（1﹣m）﹣1（2﹣m）＝0，从而求m，再求点P的坐标即可．
【解答】解：（1）∵，，，
∴＝﹣＝（3，1），
＝﹣＝（2﹣m，1﹣m），
又∵ABC是以A为直角顶点的直角三角形，
∴•＝3（2﹣m）+（1﹣m）＝0，
解得m＝，
则||＝＝，
＝（，﹣），||＝，
∴S△ABC＝××＝；
（2）∵A，B，C三点共线，
∴3（1﹣m）﹣1（2﹣m）＝0，
解得m＝，
∵，＝（，﹣），
∴A（3，﹣4），C（，﹣），
∴P（，﹣）．
【点评】本题考查了平面向量的运算及平行与垂直的性质应用，属于中档题．
二．向量相等与共线（共9小题）
11．（2022春•杨浦区校级期中）①加速度是向量；
②若且，则；
③若，则直线AB与直线CD平行．
上面说法中正确的有（ ）个
A．0B．1C．2D．3
【分析】①加速度既有大小又有方向，即可判断出正误；
②取＝，与可能不共线，即可判断出正误；
③由，得到直线AB与直线CD平行或重合，即可判断出正误．
【解答】解：①加速度是向量，正确；
②若且，取＝，则与可能不共线，因此不正确；
③若，则直线AB与直线CD平行或重合，因此不正确．
上面说法中正确的有1个，
故选：B．
【点评】本题考查了向量的定义、共线的定义，考查了推理能力，属于基础题．
12．（2022春•奉贤区校级期末）已知、是平面向量的一组基底，设非零向量＝x1+y1，＝x2+y2，给出下列两个命题：①∥⇔x1y2＝x2y1；②⊥⇔x1x2+y1y2＝0．则（ ）
A．①②均正确B．①②均错误C．①对②错D．①错②对
【分析】由＝λ可判断①；由•＝0可判断②．
【解答】解：∵＝x1+y1，＝x2+y2，∥⇔＝λ（λ≠0），
∴λ（x1+y1）＝x2+y2，∵、是平面向量的一组基，
∴，∵λ≠0，∴消去λ得x1y2＝x2y1，∴①对；
⊥⇔•＝0，
∴（x1+y1）•（x2+y2）＝0，
∴x1x2+y1y2+（x1y2+x2y1）•＝0，
∵、的模与夹角不知道，∴不一定得到x1x2+y1y2＝0．∴②错．
故选：C．
【点评】本题考查平面向量平行与垂直，考查数学运算能力及推理能力，属于基础题．
13．（2021春•浦东新区校级月考）已知M（3，﹣2），N（﹣5，﹣1），且，则P点的坐标为 P（﹣1，﹣） ．
【分析】设出点P坐标，表示出，，代入，求出P点的坐标．
【解答】解：设点P（x，y），则
＝（x﹣3，y+2），＝（﹣8，1）；
又，
∴，
∴x＝﹣1，y＝﹣；
∴P（﹣1，﹣）．
故答案为：P（﹣1，﹣）．
【点评】本题考查了平面向量的坐标运算问题，是基础题．
14．（2021春•浦东新区校级月考）下列命题中正确的是 ② ．
①若|，则；
②若，，则；
③的充要条件是|且；
④若，，则．
【分析】由题意，利用共线向量，向量的模，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【解答】解：若|，则与 的方向是任意的，故不能推出，故①错误；
若，，则能推出，故②正确
③的充要条件是|且与 的方向相同，故③错误；
④若，，则当＝时， 与是任意的向量，故④错误，
故答案为：②．
【点评】本题主要考查共线向量，向量的模，属于基础题．
15．（2021春•浦东新区校级月考）已知非零向量、、两两不平行，且，，设，x，y∈R，则x+2y＝ ﹣3 ．
【分析】用向量、表示出向量，求出x、y的值，即可求得x+2y的值．
【解答】解：非零向量、、两两不平行，且，，
所以＝m（+），解得＝﹣；
由＝n（+），解得＝﹣；
令，解得m＝n＝﹣1；
所以＝﹣﹣，
又＝x+y，x，y∈R．
所以x＝y＝﹣1；
所以x+2y＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了平面向量的共线定理应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
16．（2022春•徐汇区校级期中）设向量，不平行，向量λ+与+2平行，则实数λ＝ ．
【分析】利用向量平行的条件直接求解．
【解答】解：∵向量，不平行，向量λ+与+2平行，
∴λ+＝t（+2）＝，
∴，解得实数λ＝．
故答案为：．
【点评】本题考查实数值的解法，考查平面向量平行的条件及应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．
17．（2022春•杨浦区校级期末）△ABC三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量，，若，则角C的大小为 ．
【分析】利用推出向量中b，a，c的关系，利用余弦定理求出C的大小即可．
【解答】解：因为，得
得：b2﹣ab＝c2﹣a2
即a2+b2﹣c2＝ab
由余弦定理csC＝＝
所以C＝
故答案为：
【点评】本题考查平行向量与共线向量，余弦定理的应用，考查计算能力是基础题．
18．（2022春•闵行区校级月考）已知向量，且∥，则tanα＝ ．
【分析】根据题意，有∥，根据向量平行的充要条件，构造方程，解方程即可得到答案．
【解答】解：∵∥，
∴3csα﹣4sin α＝0
即tanα＝
故答案为：
【点评】本题考查的知识点是向量平行的坐标运算：，则⇔x1•y2﹣x2y1＝0
19．（2022春•杨浦区校级期中）教材8.3（1）的探究与实践告诉我们：平面上不共线的三个点O、A、B，对平面上任意一点P，都有实数λ与μ，使得，且A、B、P三点共线的充要条件是λ+μ＝1．
已知△ABC中，过重心G的直线交线段AB于P，交线段AC于Q，设△APQ的面积为S1，△ABC的面积为S2，，．根据阅读材料的内容，解决以下问题：
（1）求证：；
（2）求的取值范围．
【分析】（1）将表示为x的形式，根据题可知当P、G、Q三点共线时，x+y＝1，由此能证明；
（2）利用三角形面积公式推导出＝，由p的范围及二次函数的性质能求出的取值范围．
【解答】解：（1）证明：∵＝p，，∴＝，＝，
∵G是△ABC重心，∴＝•+，
由材料可知，P、G、Q三点共线，
∴＝1，化简得＝1．
（2）由（1）知，，
∴＝＝＝，
∵，可知p＞1，
∴＝，
∴＝＝＝＝＝＝，
∵p＞1，∴0，
则当时，取得最小值，当＝1或0时，取得最大值为，
∵≠1或0，∴的取值范围是[，1）．
【点评】本题考查有关向量知识的运算，考查向量线性运算法则、三角形重心性质、三角形面积、配方法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
三．向量的加法（共1小题）
20．（2022春•闵行区校级月考）在△ABC中，AB＝2，AC＝3，D是边BC的中点，则•＝ ．
【分析】由△ABC中，AB＝2，AC＝3，D是边BC的中点，我们易将中两个向量变形为：，，然后再利用向量数量积的计算公式，代入即可得到答案．
【解答】解：根据向量的加减法法则有：
，
，
此时
＝
＝
＝
故答案为：．
【点评】如果两个非量平面向量平行（共线），则它们的方向相同或相反，此时他们的夹角为0或π．当它们同向时，夹角为0，此时向量的数量积，等于他们模的积；当它们反向时，夹角为π，此时向量的数量积，等于他们模的积的相反数．如果两个向量垂直，则它们的夹角为，此时向量的数量积，等于0．
四．向量的减法（共1小题）
21．（2022春•奉贤区校级期中）已知向量，，则的单位向量的坐标为 （﹣，）或（，﹣） ．
【分析】利用平面向量的线性坐标运算求出＝（﹣3，7），||＝＝，再利用单位向量的定义求解即可．
【解答】解：∵，，
∴＝（﹣3，7），
∴||＝＝，
∴的单位向量的坐标为（﹣，）或（，﹣）．
故答案为：（﹣，）或（，﹣）．
【点评】本题考查了平面向量的线性坐标运算，单位向量的求法，是基础题．
五．向量的三角形法则（共1小题）
22．（2022春•奉贤区校级期中）已知AM是△ABC的BC边上的中线，若、，则等于（ ）
A．（﹣）B．﹣（﹣）C．（+）D．﹣（+）
【分析】先利用因为AM是△ABC的BC边上的中线得到＝，再结合向量的三角形法则，即可求出结论．
【解答】解：因为AM是△ABC的BC边上的中线，∴＝
又∵＝①
②
①+②：2＝
∴＝（+）．
故选：C．
【点评】本题主要考查向量的三角形法则的应用．在平时的学习中，应把本题作为结论来记．
六．向量加减混合运算（共1小题）
23．（2022春•杨浦区校级期中）已知向量，则＝ ．
【分析】利用向量的线性运算即可得出．
【解答】解：＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了向量的线性运算，考查了计算能力，属于基础题．
七．向量数乘和线性运算（共3小题）
24．（2022春•徐汇区校级期中）已知，则实数λ＝ ﹣3 ．
【分析】根据已知条件，结合向量的运算法则，即可求解．
【解答】解：∵，
∴＝，即，
∴λ＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题主要考查向量的运算法则，属于基础题．
25．（2022春•闵行区校级月考）设G是△ABC的重心，且，则∠B＝ ．
【分析】根据重心的性质，以及向量的数乘运算，以及与不共线，可得sinA＝sinB＝sinC得到a＝b＝c，问题得以解决．
【解答】解：∵G是△ABC的重心，
∴++＝．
∴＝﹣（+）．
∵，
∴sinA﹣sinB（+）+sinC＝，
化为（sinA﹣sinB）+（sinC﹣sinB）＝．
∴与不共线，
∴sinA﹣sinB＝sinC﹣sinB＝0，
∴sinA＝sinB＝sinC．
∴a＝b＝c．
∴A＝B＝C＝．
故答案为：
【点评】本题考查了三角形的重心性质、共面向量定理、正弦定理，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
26．（2022春•宝山区校级月考）已知O是锐角△ABC的外心，．若，则实数m＝ ．
【分析】设外接圆的半径为R，从而化简可得（﹣）•+（﹣）•＝2m•，从而可得﹣2sinCcsB+（﹣2sinBcsC）＝﹣2m，从而解得．
【解答】解：设外接圆的半径为R，
∵，
∴（﹣）+（﹣）＝2m，
∵∠AOB＝2∠C，∠AOC＝2∠B，
∴（﹣）•+（﹣）•＝2m•，
即•R2•（cs2C﹣1）+•R2•（cs2B﹣1）＝﹣2mR2，
即﹣2sinCcsB+（﹣2sinBcsC）＝﹣2m，
故sinCcsB+sinBcsC＝m，
故sin（B+C）＝m，
故m＝sinA＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了正弦定理的应用，同时考查了平面向量数量积的应用及三角恒等变换的应用，属于中档题．
八．平面向量数量积的含义与物理意义（共4小题）
27．（2022春•嘉定区校级期末）已知，则在方向上的投影为 ．
【分析】根据向量投影的定义计算即可．
【解答】解：因为，
所以在方向上的投影为||cs＜，＞＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了平面向量投影的定义与应用问题，是基础题．
28．（2022春•浦东新区校级期末）已知，，则向量在向量方向上的投影为 1 ．
【分析】根据向量在向量方向上投影的定义，计算即可．
【解答】解：因为，，
所以向量在向量方向上的投影为：
||cs＜，＞＝＝＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了向量投影的定义与应用问题，是基础题．
29．（2022春•浦东新区校级期中）已知向量，方向相反，且，，则在方向上的数量投影为 ﹣4 ．
【分析】根据投影的定义，应用公式在方向上的数量投影为||csπ，求解即可．
【解答】解：向量，方向相反，且，，根据投影的定义可得：
在方向上的数量投影为||csπ＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．解答关键在于要求熟练应用公式，是基础题．
30．（2022春•浦东新区校级期末）已知向量＝（1，2），＝（3，4），则在方向上的数量投影为 ．
【分析】根据平面向量投影的定义，计算即可．
【解答】解：向量＝（1，2），＝（3，4），
所以•＝1×3+2×4＝11，
所以在方向上的数量投影为||csθ＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了平面向量投影的定义与计算问题，是基础题．
巩固提升
一、单选题
1．（2021春·上海虹口·高一上海市复兴高级中学校考期末）记边长为1的正六边形的六个顶点分别为、、、、、，是该正六边形中心，设点集，向量集且不重合.则这个集合中元素的个数为（ ）
A．18B．24C．36D．42
【答案】A
【分析】根据向量的定义确定，考察向量的方向与长度．
【详解】如图，图形中长度为1的向量一定与，，中的一个相等，再考虑方向相反，这样的向量有6个，
长度为2的向量是与相等或相反的向量，这样的向量有6个，
长度为的向量是相等或相反的向量，这样的向量也有6个．所以共有18个．
故选：A．
2．（2021·上海·高一期末）若点是所在平面内的一点，满足，则（ ）
A．B．4C．D．3
【答案】C
【分析】化简得，即得解.
【详解】
，
，得．
故选：C．
3．（2021·上海·高一期末）（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据向量加法的运算法则可得.
【详解】，
故选：C.
4．（2021·上海·高一期末）的三边BC，CA，AB的中点分别是，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】运用向量加法法则及数乘法的法则计算．
【详解】如图，
的三边，，的中点分别是，，；
.
故选：C.
5．（2021春·上海·高一专题练习）已知，是平面内两个夹角为的单位向量，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【分析】不妨用坐标表示向量，，然后作，，由共线定理得点位置，
而，括号内利用向量模的几何意义求最小值．
【详解】因为，是平面内两个夹角为的单位向量，所以不妨设，，
，作平行四边形即为菱形，过作的平行线交轴于，交的延长线于，
设，则点在直线上，的延长线交于，则，
是菱形对角线的交点，则，，
，，，
设，则是关于直线的对称点，
，则，即，又，
所以，
，当且仅当共线时等号成立，
所以 的最小值是，
的最小值是，
故选：B．
【点睛】关键点点睛：本题考查求向量模的最小值问题，解题关键是平面直角坐标系中作出向量，，然后由向量的线性运算得出各点位置，然后利用向量模的几何意义，结合对称求得最小值．
6．（2022春·上海浦东新·高一校考期末）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【答案】B
【分析】根据是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量，可知点轨迹，据此可求解.
【详解】，
令，
则是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量，
即在的平分线上，
，共线，
故点P的轨迹一定通过△ABC的内心，
故选：B
7．（2022春·上海徐汇·高一上海中学校考期末）若非零不共线的向量满足，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据向量加法的三角形法则，构图即可判断
【详解】
（2）
由非零向量，满足
当，不共线时, 可考虑构造等腰三角形, 如图（1）所示, ,
则. 在图（1）中, ,
不能比较与的大小;
在图（2）中, 由, 得,
所以 为的直角三角形.
易知,
由三角形中大角对大边, 得.
故选：C
二、多选题
8．（2022春·上海宝山·高一上海交大附中校考阶段练习）设点是所在平面内一点，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则点是边的中点
B．若，则点是的重心
C．若，则点在边的延长线上
D．若，且，则是面积的一半
【答案】ABD
【分析】对A，根据中点的性质即可判断；对B，根据重心的性质即可判断；对C，根据向量的运算得到，即可判断；对D，根据三点共线的性质即可求解.
【详解】解：对A，，
即，
即，
即点是边的中点，故A正确；
对B，设的中点为，
，
即点是的重心，故B正确；
对C，，
即，
即，
即点在边的延长线上，故C错误；
对D，，且，
故，且，
设，
则，且，
故三点共线，且，
即是面积的一半，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
9．（2021春·上海·高一专题练习）在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝，则λ＝______．
【答案】
【分析】根据题意画出图形，结合图形，用向量与表示出即可.
【详解】△ABC中，D是AB边上一点，＝2，＝，如图所示，
∴＝＝+①，
＝，∴＝②；
①+②得，3＝+2，∴＝+；∴λ＝．
故答案为：．
10．（2021秋·上海嘉定·高一校考阶段练习）已知△ABC中，点D在边BC上，且，设，，那么等于________（结果用、表示）
【答案】
【分析】根据以及进行线性运算，由此可求得的表示.
【详解】因为，
所以，
故答案为：.
11．（2021春·上海浦东新·高一华师大二附中校考阶段练习）如图，在的矩形中，起点和终点都在小方格顶点，且模与的模相等的向量（除本身）共有_____________个.
【答案】39
【分析】数出与所占同样大小的矩形个数，再根据向量和向量模的定义求解即可.
【详解】图中占图的矩形，在整个的矩形中共能数出10个这么大的矩形，则这些矩形的对角线共有个，向量有方向，每一条对角线有两个方向，则模与的模相等的向量有个。则模与的模相等的向量（除本身）共有个.
故答案为：39个.
12．（2021春·上海浦东新·高一上海市建平中学校考期末）已知，则______．
【答案】
【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得；
【详解】解：由，所以，所以，即，
，所以，．
故答案为：．
13．（2021春·上海·高一期末）__.
【答案】
【分析】根据向量加法法则求解．
【详解】
故答案为：
14．（2021春·上海·高一专题练习）下列结论中，正确的是__．
①零向量只有大小没有方向
②对任一向量，||＞0总是成立的
③||
④与线段BA的长度不相等．
【答案】③
【分析】根据向量的概念，逐项判断即可得解.
【详解】①中，既有大小又有方向的量叫向量，∴大小与方向是向量的两个要素，∴①不正确；
②中，零向量的模为0，∴②不正确；
③中，由于与方向相反大小相等，∴③正确；
④中，与线段BA的长度相等，∴④不正确
故答案为：③．
15．（2021春·上海奉贤·高一统考阶段练习）在中，角的对边分别为，为边上的高，有以下结论：①； ②；③；④.其中所有的正确序号的是__________ .
【答案】①②③④
【分析】根据向量的线性运算和数量积运算一一检验，命题②还要用到余弦定理.
【详解】∵为边上的高，∴，
∴①，正确；
②，正确；
③，正确；
④，正确.
故答案为：①②③④.
【点睛】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量的线性运算，属于中档题.
16．（2021春·上海浦东新·高一上海市进才中学校考期中）下列关于向量的命题，序号正确的是_____.
①零向量平行于任意向量；
②对于非零向量，若，则；
③对于非零向量，若，则；
④对于非零向量，若，则与所在直线一定重合.
【答案】①③
【分析】根据平行向量和共线向量的定义可判断①②④；根据相等向量和相反向量的定义可判断③.
【详解】因为零向量与任一向量平行，所以①正确；
对于非零向量，若，则和是平行向量，而平行向量是方向相同或相反的非零向量，
故不一定等于，故②错误；
对于非零向量，若，则与是相等向量或相反向量，故，故③正确；
对于非零向量，若，则和是平行向量，也是共线向量，但与所在直线不一定重合.
故选：①③
17．（2021春·上海浦东新·高一华师大二附中校考阶段练习）如图，在中，设，，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为P，则用、表示的式子为_____________.
【答案】
【分析】根据平面向量的线性运算，以及AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为P，，可得到，化简整理即可求出结果.
【详解】因为AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为P，
所以
，
所以，即，
故答案为：.
18．（2022春·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考期中）在平面直角坐标系中，起点为坐标原点的向量满足，且， （）．若存在向量、，对于任意实数，不等式成立，则实数的最大值为___________．
【答案】
【分析】由转化为求的最小值，转化为求的最大值，再由梯形中位线转化为求的最大值得解.
【详解】设，，则点、在单位圆上，点、在直线上，的夹角为．如图所示．
根据、的任意性，即求点、到直线距离之和的最小值，
即 （点、分别是点、在直线上的射影点）；
同时根据的存在性，问题转化为求的最大值．
设的中点为，设点、在直线上射影点分别为、，
则，
当且仅当点、、依次在一条直线上时，等号成立．
所以，即所求实数的最大值是．
故答案为：
【点睛】关键点睛：把向量模长最值转化为点到直线的距离.
四、解答题
19．（2021·上海·高一期末）作五边形，求作下列各题中的和向量：
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用平面向量的加法法则求解即可；
（2）利用平面向量的加法法则求解即可．
【详解】（1）；
（2）.
20．（2021春·高一课时练习）已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)．若＝＋λ ()，试求λ为何值时：
（1）点P在第一、三象限的角平分线上；
（2）点P在第三象限内．
【答案】（1）；（2）.
【分析】设点的坐标为，根据向量的坐标表示及运算，得到，，根据，求得.
（1）根据题意得到方程，即可求解；
（2）根据点在第三象限内，得出 不等式，即可求解.
【详解】设点的坐标为，则，
，
因为，且与不共线，
所以，则.
（1）若点在第一、三象限的角平分线上，则，解得.
（2）若点在第三象限内，可得，解得.
21．（2021春·高一课时练习）已知两点A(3，－4)，B(－9，2)，在直线AB上求一点P，使||＝||.
【答案】点P的坐标为或．
【分析】根据，得到或，设出点的坐标，向量之间的关系转化为坐标运算即可，整理出关于所设的向量坐标的方程组，解方程组即可．
【详解】设的坐标为，
若，则由，
得解得
此时点坐标为．
若，则由
得解得
此时点坐标为．
综上所述点的坐标为：或．
【点睛】三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．本题考查向量坐标的运算、数乘向量的几何意义，考查转化与化归思想、分类讨论思想．
22．（2021春·上海·高一专题练习）如图所示，在中，，与相交于点，设，，试用和表示向量.
【答案】
【分析】直接运用向量的共线关系建立方程组求解：
【详解】由A，M，D三点共线，，可得
由C，M，B三点共线，,可得
，解得：
【点睛】思路点睛：本题考查平面向量基本定理，要合理三点共线的充要条件：若点A，B，C共线则 (为实数)，则，考查学生的转化与划归能力，属于基础题.
23．（2022春·上海闵行·高一校考期末）已知的角、、所对的边分别是、、，设向量，
，.
（1）若，求证：为等腰三角形；
（2）若，边长，角，求的面积.
【答案】（1）见解析（2）
【详解】⑴因为，所以，即,其中是的外接圆半径， 所以，所以为等腰三角形.
⑵因为，所以.
由余弦定理可知，，即
解方程得：（舍去）
所以.