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核心考点04向量的数量积-高一数学下学期核心考点+重难点讲练与测试（沪教版必修二）
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这是一份核心考点04向量的数量积-高一数学下学期核心考点+重难点讲练与测试（沪教版必修二），文件包含核心考点04向量的数量积原卷版docx、核心考点04向量的数量积解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共51页， 欢迎下载使用。
一．平面向量数量积的性质及其运算（共16小题）
二．平面向量数量积的坐标表示、模、夹角（共5小题）
三．向量的投影（共5小题）
四．数量积表示两个向量的夹角（共13小题）
五．数量积判断两个平面向量的垂直关系（共9小题）
考点考向
一．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的知识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：
（1）＝＝||csθ；
（2）⇔＝0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当，方向相同时，＝||||；当，方向相反时，＝﹣||||；
特别地：＝||2或||＝（用于计算向量的模）
（4）csθ＝（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）||≤||||
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘向量的结合律：（λ）•＝λ（）＝•（）；
（3）分配律：（）•≠•（）
【平面向量数量积的运算】
平面向量数量积运算的一般定理为①（±）2＝2±2•+2．②（﹣）（+）＝2﹣2．③•（•）≠（•）•，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
二．平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【知识点的知识】
1、向量的夹角概念：
对于两个非零向量，如果以O为起点，作＝，＝，那么射线OA，OB的夹角θ叫做向量与向量的夹角，其中0≤θ≤π．
2、向量的数量积概念及其运算：
（1）定义：如果两个非零向量，的夹角为θ，那么我们把||||csθ叫做与的数量积，记做
即：＝||||csθ．规定：零向量与任意向量的数量积为0，即：•＝0．
注意：
① 表示数量而不表示向量，符号由csθ决定；
②符号“•”在数量积运算中既不能省略也不能用“×”代替；
③在运用数量积公式解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是：0≤θ≤π．
（2）投影：在上的投影是一个数量||csθ，它可以为正，可以为负，也可以为0
（3）坐标计算公式：若＝（x1，y1），＝（x2，y2），则＝x1x2+y1y2，
3、向量的夹角公式：
4、向量的模长：
5、平面向量数量积的几何意义：与的数量积等于的长度||与在的方向上的投影||csθ的积．
三．向量的投影
【知识点的知识】
1、两个向量的数量积及其性质：
（1）•＝||||cs＜，＞；
（2）⊥⇔•＝0（，为非零向量）；
（3）||2＝2，||＝．
2、向量的投影：||csθ＝∈R，称为向量在方向上的投影．
四．数量积表示两个向量的夹角
【知识点的知识】
我们知道向量是有方向的，也知道向量是可以平行的或者共线的，那么，当两条向量与不平行时，那么它们就会有一个夹角θ，并且还有这样的公式：csθ＝．通过这公式，我们就可以求出两向量之间的夹角了．
五．数量积判断两个平面向量的垂直关系
【概念】
向量是有方向的，那么在一个空间内，不同的向量可能是平行，也可能是重合，也有可能是相交．当两条向量的方向互相垂直的时候，我们就说这两条向量垂直．假如＝（1，0，1），＝（2，0，﹣2），那么与垂直，有•＝1×2+1×（﹣2）＝0，即互相垂直的向量它们的乘积为0．
考点精讲
一．平面向量数量积的性质及其运算（共16小题）
1．（2022春•闵行区校级月考）下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若非零向量与满足，则
C．若∥，∥，则∥
D．若，则与夹角为必为锐角
【分析】根据向量的运算法则依次判断即可．
【解答】解：对于A选项：当＝时，不一定等于，A错误．
对于B选项：因为，所以左右两边加平方得到：＝0，又因为与是非零向量，所以，B正确．
对于C选项：若＝，则与不一定平行，C错误．
对于D选项：也可能为0°，D错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查向量的线性运算和运算法则，属于基础题．
2．（2022春•长宁区校级期末）设向量、满足，则＝ 2 ．
【分析】根据平面向量的数量积求模长即可．
【解答】解：因为||＝1，||＝2，＜，＞＝，
所以＝4+4•+＝4×1+4×1×2×cs+4＝4，
所以|2+|＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了平面向量的数量积与模长计算问题，是基础题．
3．（2022春•闵行区校级期末）已知△ABC中，，，求的值 ﹣25 ．
【分析】易求得csA＝，csC＝，再根据平面向量的数量积的运算法则，得解．
【解答】解：由题意知，△ABC为直角三角形，且∠B＝90°，csA＝，csC＝，
所以＝0+||•||cs（π﹣C）+||•||cs（π﹣A）＝4×5×（﹣）+5×3×（﹣）＝﹣25．
故答案为：﹣25．
【点评】本题考查平面向量的数量积，需注意平面向量的夹角的概念，考查运算求解能力，属于基础题．
4．（2022春•浦东新区校级期中）对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（ ）
A．（）2＝||2B．（）（）＝22
C．||≤||•||D．||≤|||﹣|||
【分析】通过向量的数量积，以及向量的运算法则，判断选项的正误即可．
【解答】解：因为，所以（）2＝||2正确，所以A正确；
（）（）＝22，满足向量的运算法则，所以B正确；
||＝||•||cs≤||•||，所以C正确；
如果两个向量是相反向量，||≤|||﹣|||，不正确，所以D不正确；
故选：D．
【点评】本题考查向量的数量积以及向量的运算法则的判断，是基本知识的考查．
5．（2022春•长宁区校级期末）下列命题中，真命题的个数是（ ）
（1）若数列{an}是等比数列，则数列{an+an+1}也是等比数列．
（2）若，则或．
（3）．
A．0B．1C．2D．3
【分析】举反例即可判断各个命题．
【解答】解：当数列{an}的通项公式为：an＝（﹣1）n时，数列{an+an+1}各项均为0，不是等比数列；
若，则或或⊥；
••表示与共线的向量，而•（•）表示与共线的向量，故••＝•（•）不一定成立，
故真命题的个数为0个．
故选：A．
【点评】本题主要考查命题的真假判断，考查逻辑推理能力，属于基础题，也是易错题．
6．（2022春•宝山区校级月考）已知G为△ABC的重心（三条中线的交点），∠BAC＝，•＝﹣2，则||的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】取BC的中点为D，由重心的性质可知，再根据已知条件可知||||＝4，结合||＝，利用基本不等式求解即可．
【解答】解：取BC的中点为D，连接AD，如图所示：
因为G为△ABC的重心，所以．
因为，＝﹣2，
所以，所以||||＝4，
又||＝＝＝≥＝．
当且仅当||＝||＝2时取等号，
所以||的最小值为．
故选：C．
【点评】本题主要考查向量的数量积公式和三角形重心的性质，属于基础题．
7．（2022春•嘉定区校级期末）设为任意非零向量，且相互不共线，则下列命题中是真命题的有（ ）
（1）；
（2）；
（3）不与垂直；
（4）．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【分析】由平面向量数量积运算，结合向量模的运算及共线向量逐一判断即可得解．
【解答】解：对于（1），当⊥，与不垂直时，则，，即（1）为假命题；
对于（2），因为为任意非零向量，且相互不共线，则，即（2）为真命题；
对于（3），＝，即与垂直，即（3）为假命题；
对于（4），，即（4）为真命题，
即命题中是真命题的有2个，
故选：C．
【点评】本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了命题的真假的判断，属基础题．
8．（2022春•徐汇区期末）已知、为非零向量，则“”是“为锐角”的（ ）条件．
A．充要B．必要不充分
C．充分不必要D．既不充分也不必要
【分析】先求出非零向量数量积大于零的充要条件，然后利用直接法判断充分性和必要性．
【解答】解：易知，若，则＞0，
故，结合，
故，或，
反之，，必有，
故“”是“为锐角”的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题考查数量积的定义与条件的充分性、必要性的判断，属于基础题．
9．（2022秋•静安区校级期中）若向量、、满足，且，则•、•、•中最大的是（ ）
A．B．C．D．不能确定
【分析】根据向量数量积的定义与性质即可求解．
【解答】解：∵，
∴，，，
∴，，，
又，
∴＜＜，
∴，
∴，，，
∴，
∴•、•、•中最大的是，
故选：A．
【点评】本题考查向量数量积的定义与性质，属基础题．
10．（2022春•宝山区校级月考）在边长为3的菱形ABCD中，，，则＝（ ）
A．B．﹣1C．D．
【分析】画出图形，根据条件得，然后由＝，进行数量积的运算即可．
【解答】解：如图，
∵，∴，
∴＝，且，
又，
∴
＝
＝．
故选：C．
【点评】本题考查了向量减法和数乘的几何意义，向量数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题．
11．（2022春•长宁区校级期末）在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM＝3，则的取值范围是 ．
【分析】设|OM|＝x，则|AO|＝3﹣x，且0≤x≤3，把向量的数量积转化为二次函数在闭区间上求最值，进而求解结论．
【解答】解：设|OM|＝x，则|AO|＝3﹣x，
且0≤x≤3，
∵＝•2＝﹣2x（3﹣x）＝2x2﹣6x，开口向上，对称轴为x＝，
而0≤x≤3，
∴当x＝0和x＝3时，函数值最大，最大为0，当x＝时，函数值最小，最小为：﹣．
故答案为：[﹣，0]．
【点评】本题主要考查数量积的求解以及二次函数的性质应用，考查计算能力，属于基础题．
12．（2022春•普陀区校级期末）如图，设Ai（i＝1，2，3，…，n）是△AOB所在平面内的点，且，给出下列说法：
（1）|；
（2）|的最小值是；
（3）点A和点Ai共线；
（4）向量及在向量方向上的数量投影必定相等．
其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据向量的数量积公式，结合图形即可判断．
【解答】解：由，可得，
故有，即和在上的投影相等，
即 点A、Ai在同一条垂直于直线OB的直线l上，如图所示，
故（3）（4）正确，（1）不正确．
当恰好为，模长最小，此时，（2）正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查平面向量数量积的运算法则，平面向量数量积的投影的运算，向量的模的最值等知识，属于中等题．
13．（2022春•浦东新区校级月考）平面直角坐标系中，，，，△ABC为等腰直角三角形，且A、B、C按顺时针排列，则B点的坐标为 （，﹣） ．
【分析】设B（x，y），结合，，可得，由向量的模相等结合数量积为0列方程组求解．
【解答】解：设B（x，y），∵，，
∴，，
∵，∴，①
又△ABC为等腰直角三角形，∴，
即，②
联立①②解得或．
∵A、B、C按顺时针排列，∴（，﹣）．
故答案为：（，﹣）．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量垂直与数量积的关系，考查运算求解能力，是基础题．
14．（2022春•宝山区校级月考）已知向量、，，，若对任意单位向量，均有，则的最大值为（ ）
A．B．C．﹣1D．2
【分析】依题意，，两边平方后即可得到答案．
【解答】解：∵，
∴，
∴，即，
∴，即的最大值为﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查平面向量的数量积及其性质，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
15．（2023春•松江区校级月考）已知平面向量，，且，向量满足，则的最小值为 ．
【分析】由题意设，由数量积求得θ，设，已知条件可得点（x，y）的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，而表示圆上的点到直线上的点的距离，由圆心到直线的距离减去半径可得最小值．
【解答】解：由题意设，
，所以，
，
设，，
由得，即点（x，y）的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，
，点在直线上，
所以的最小值是圆心到直线的距离减去圆的半径2，
即．
故答案为：．
【点评】本题主要考查平面向量的数量积，属于中档题．
16．（2022春•松江区校级期末）已知向量、、满足||＝||＝1，＝，＝x（x、y∈R，y≥0），则下列四个命题中，所有正确命题的序号是 ①②③④ ．
①若x＝1，则||的最小值为；②若x＝1，则存在唯一的y，使得＝0；③若||＝1，则x+y的最小值为﹣1；④若||＝1，则+的最小值为﹣．
【分析】根据向量数量积的定义与性质，函数思想，基本不等式即可求解．
【解答】解：∵||＝||＝1，＝，＝x（x、y∈R，y≥0），
∴对①，若x＝1，则＝
＝y2﹣y+1＝≥，当且仅当y＝时，取得等号，
∴的最小值为，∴||的最小值为，∴①正确；
对②，若x＝1，由＝0得，∴，
∴y＝2，∴存在唯一的y＝2，使得＝0，∴②正确；
对③，若||＝1，则＝x2+y2﹣xy＝（x+y）2﹣3xy≥，
当且仅当x＝y＝1时，（y≥0）取得等号，∴，∴x+y≤2，
又y≥0，∴x+y≥x≥﹣1，当且仅当y＝0，x＝﹣1时取得等号，∴③正确；
对④，若||＝1，则+＝x﹣y+（）x+y＝，由③知x+y≥﹣1，
∴，∴④正确．
故答案为：①②③④．
【点评】本题考查向量数量积的定义与性质，函数思想，基本不等式，属中档题．
二．平面向量数量积的坐标表示、模、夹角（共5小题）
17．（2022春•黄浦区校级期中）设，为单位向量，且|+|＝，则|﹣|＝ 1 ．
【分析】根据条件对两边平方即可求出，然后根据即可求出答案．
【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：1．
【点评】本题考查了向量数量积的运算，单位向量的定义，向量长度的求法，考查了计算能力，属于基础题．
18．（2022春•浦东新区校级期中）已知向量＝（2，﹣6），＝（3，m），若|+|＝|﹣|，则m＝ 1 ．
【分析】由题意可得•＝0，再利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求出m的值．
【解答】解：∵向量，，若，则•＝0，
即 2×3﹣6m＝0，则m＝1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，两个向量垂直的性质，属于基础题．
19．（2022春•闵行区校级期中）已知向量＝（2，1），•＝10，|+|＝5，则||＝ 5 ．
【分析】设＝（x，y），则有 2x+y＝10，且 ＝5，解方程组求得x、y的值，即可求得||的值．
【解答】解：∵向量＝（2，1），＝10，||＝5，
设＝（x，y），则有 2x+y＝10，且 ＝5，
即2x+y＝10，且（2+x）2+（1+y）2＝50，
解方程组，求得，故 ＝（3，4），∴||＝5，
故答案为 5．
【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．
20．（2022春•徐汇区期末）已知向量，．
（1）求；
（2）当k为何实数时，与平行？
【分析】利用向量的坐标运算以及向量共线定理化简即可求解．
【解答】解：（1）由已知可得＝（1，0）﹣2（2，1）＝（﹣3，﹣2），
所以||＝|（﹣3，﹣2）|＝＝；
（2）由已知可得k＝k（1，0）﹣（2，1）＝（k﹣2，﹣1），
＝（1，0）+3（2，1）＝（7，3），
因为与平行，所以﹣7＝3（k﹣2），解得k＝﹣，
即当k＝﹣时，与平行．
【点评】本题考查了平面向量的坐标运算，涉及到向量共线定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
21．（2022春•奉贤区校级期中）已知向量，满足||＝1，||＝2，且与不共线．
（1）若向量+k与k+2为方向相反的向量，求实数k的值；
（2）若向量与的夹角为60°，求2+与﹣的夹角θ．
【分析】（1）根据题意即可得出，存在实数λ＜0，使得，然后根据平面向量基本定理得出，然后解出λ，从而得出k的值；
（2）根据题意即可得出，然后即可求出，，然后根据向量夹角的余弦公式即可求出csθ的值，进而得出θ的值．
【解答】解：（1）∵向量与的方向相反，
∴存在实数λ＜0，使，且不共线，
∴，解得或（舍去），
∴；
（2）∵，
∴＝，＝，，
∴，且θ∈[0，π]，
∴．
【点评】本题考查了共线向量基本定理，平面向量基本定理，向量数乘的几何意义，向量的数量积的运算，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．
三．向量的投影（共5小题）
22．（2022春•长宁区校级期末）若，则在上的数量投影为 6 ．
【分析】根据向量的数量投影定义计算即可．
【解答】解：因为，
所以在上的数量投影||cs＜，＞＝＝＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了平面向量数量投影的计算问题，是基础题．
23．（2022春•青浦区校级期末）若，，则在上的投影数量是 ．
【分析】根据向量的数量投影的定义，计算即可．
【解答】解：因为，，
所以在上的投影数量是||cs＜，＞＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了向量的数量投影定义与计算问题，是基础题．
24．（2022春•浦东新区校级期末）已知、的夹角为，设，则在上的数量投影为 ．
【分析】根据平面向量的数量投影定义，计算即可．
【解答】解：因为、的夹角为，，
所以在上的数量投影为||cs＜，＞＝cs
＝×＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了平面向量的数量投影计算问题，是基础题．
25．（2022春•徐汇区期末）已知向量与的夹角为，且，，则在方向上的投影为 ．
【分析】根据向量的投影定义计算即可．
【解答】解：向量与的夹角为，且，，
所以在方向上的投影为||cs＜，＞＝4cs＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了向量的投影定义与计算问题，是基础题．
26．（2022春•奉贤区校级期中）若向量，，则向量在向量的方向上的投影为 ．
【分析】根据给定条件，求出，再利用投影的定义计算作答．
【解答】解：因向量，
则，
所以向量在向量的方向上的投影为．
故答案为：．
【点评】本题考查了向量的投影，属于基础题．
四．数量积表示两个向量的夹角（共13小题）
27．（2022春•杨浦区校级期中）已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足，则点P与△ABC的关系为（ ）
A．P在△ABC内部
B．P在△ABC外部
C．P在AB边所在直线上
D．P是AC边的一个三等分点
【分析】利用向量的运算法则将等式变形，得到，据三点共线的充要条件得出结论．
【解答】解：∵，
∴，∴，
∴P是AC边的一个三等分点．
故选：D．
【点评】本题考查向量的运算法则及三点共线的充要条件．
28．（2022春•浦东新区校级期末）平面上O，A，B三点不共线，设，则△OAB的面积等于（ ）
A．B．
C．D．
【分析】利用三角形的面积公式表示出面积；再利用三角函数的平方关系将正弦表示成余弦；再利用向量的数量积公式求出向量夹角的余弦化简即得．
【解答】解：
＝
＝•
＝；
故选：C．
【点评】本题考查三角形的面积公式；同角三角函数的平方关系，利用向量的数量积求向量的夹角．
29．（2022春•徐汇区校级期中）在△ABC中，若且，则△ABC的形状是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等边三角形
【分析】通过向量的运算律：分配律得到，据向量的运算法则得三角形的三边对应的向量和为0即，代入得向量的平方相等，据向量的平方等于向量模的平方得出三角形的三边相等．
【解答】解：因均为非零向量，
且，
得⇒，
又⇒，
∴[﹣（）]•（）＝0⇒，得||＝||，
同理||＝||，
∴||＝||＝||，
得△ABC为正三角形．
故选：D．
【点评】本题考查向量的运算律；向量的运算法则；及向量的平方等于向量模的平方．
30．（2022春•浦东新区校级月考）已知＝（1，﹣2），＝（﹣1，λ），与的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是 （，2）∪（2，+∞） ．
【分析】要使与的夹角为钝角，则且≠﹣，可解．
【解答】解：∵＝（1，﹣2），＝（﹣1，λ），与的夹角为钝角，
∴且≠﹣，
∴1×（﹣1）﹣2λ＜0且λ≠2，
∴实数λ的取值范围为λ＞且λ≠2，
故答案为：（，2）∪（2，+∞）．
【点评】本题考查了平面向量坐标运算与向量夹角的关系．
31．（2022春•嘉定区校级期末）若向量，，已知与的夹角为，则实数k是 ﹣2 ．
【分析】根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．
【解答】解：由已知有，故，
故，
解得：k＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用，属于基础题．
32．（2022春•宝山区校级期中）向量，的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是 ．
【分析】根据已知条件，结合向量的数量积公式，即可求解．
【解答】解：∵，，
∴＝＝且，解得λ＜2且，
故实数λ的取值范围是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查向量的数量积公式，属于基础题．
33．（2022春•浦东新区校级期末）已知＝（λ，2），＝（3，﹣5），且与的夹角θ是钝角，则λ的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，]B．（﹣∞，）
C．（﹣∞，）∪（，）D．（﹣∞，﹣）∪（，）
【分析】由数量积小于零且不共线列出不等式组，求解可得实数λ的取值范围．
【解答】解：＝（λ，2），＝（3，﹣5），且与的夹角θ是钝角，
∴＜0，且，不共线，即，
解得λ∈（﹣∞，﹣）∪（，）．
故选：D．
【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查计算能力，需注意数量积小于0不一定能得出两向量夹角为钝角，是基础题．
34．（2022春•浦东新区校级期末）如图，O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，λ∈（0，+∞），则点P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【分析】先根据、分别表示向量、方向上的单位向量，确定 ﹣＝，判断与∠BAC的角平分线的关系推出选项．
【解答】解：∵、分别表示向量、方向上的单位向量，
∴+的方向与∠BAC的角平分线重合，
又∵可得到 ﹣＝＝λ（+）
∴向量的方向与∠BAC的角平分线重合，
∴一定通过△ABC的内心
故选：B．
【点评】本题主要考查向量的线性运算和几何意义．属中档题．
35．（2022春•宝山区校级月考）设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“|+|＞||”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】“与的夹角为锐角”⇒“|+|＞||”，“|+|＞||”⇒“与的夹角为锐角”，由此能求出结果．
【解答】解：点A，B，C不共线，
＝，∴，
当与的夹角为锐角时，＝＞0，
∴“与的夹角为锐角”⇒“|+|＞||”，
“|+|＞||”⇒“与的夹角为锐角”，
∴设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“|+|＞||”的充分必要条件．
故选：C．
【点评】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查向量等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
36．（2022春•浦东新区校级期末）若，，且，则与的夹角为 ．
【分析】由题意利用向量的数量积的运算性质可求＝﹣1，然后代入平面向量的夹角公式即可求解．
【解答】解：因为，，且，
可得（+）2＝（）2，可得2+2•+2＝3，
可得＝﹣1，
所以cs＜，＞＝＝＝﹣，
则与的夹角为．
故答案为：．
【点评】本题考查了平面向量的夹角和数量积的运算，属于基础题．
37．（2022春•闵行区校级期中）如图所示，点O是△ABC所在平面上一点，并且满足＝m+n（m、n∈R），已知AB＝6，AC＝2，∠BAC＝60°．
（1）若实数m＝n＝，求证：O是△ABC的重心；
（2）若O是△ABC的外心，求m、n的值；
（3）如果O是∠BAC的平分线上某点，则当达到最小值时，求．
【分析】（1）将m＝n＝代入整理即可得证；（2）根据O是△ABC的外心，联立求解即可；（3）利用角平分线的向量表示结合基本不等式求解即可．
【解答】证明：（1）时，，
∴
∴，
∴O是△ABC的重心；
解：（2）∵O是△ABC的外心，
∴，
∴，∴；
（3）∵O是∠BAC的平分线上某点，
∴，
∴m＝，n＝，
∴，当且仅当＝，即λ＝6时取最小值，
所以 ，
．
【点评】本题考查了平面向量数量积的计算和基本不等式，属于中档题．
38．（2022春•长宁区校级期末）（1）已知点A（2，4），B（﹣1，﹣6），点P是直线AB上一点，且，求点P的坐标；
（2）已知与的夹角为，且与的夹角为锐角，求实数t的取值范围．
【分析】（1）设出P的坐标，根据向量的坐标运算即可求解；
（2）求出•，根据向量与的夹角为锐角，得到，进而求解结论．
【解答】解：（1）设点P的坐标（x，y），由A（2，4），B（﹣1，﹣6），
得，
∵点P是直线AB上一点，且，
∴或，
即或，
解得或，
故P的坐标为或；
（2）∵与的夹角为，且与的夹角为锐角，
∴，
而＝﹣2t2+15t﹣7，
∵与的夹角为锐角，
∴，即﹣2t2+15t﹣7＞0，
解得，
又当与共线时有2t2＝7，解得，所以，
综上可得，实数t的取值范围是．
【点评】本题主要考查向量的数量积以及运算能力，属于中档题目．
39．（2022春•浦东新区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，点An满足，且；点Bn满足，且，其中n∈N*．
（1）求的坐标，并证明点An在直线y＝x+1上；
（2）记四边形AnBnBn+1An+1的面积为an，求an的表达式；
（3）对于（2）中的an，是否存在最小的正整数P，使得对任意n∈N*都有an＜P成立？若存在，求P的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用向量的运算法则、等差数列的定义及通项公式即可证明；
（2）利用向量的运算法则和逐差累和即可求得点Bn的坐标，及﹣即可求出．
（3）利用（2）的结论及作差法，求出an+1﹣an，进而即可判断出答案．
【解答】解：（1）由已知条件得，，＝，∴，
∵，∴
设，则xn+1﹣xn＝1，yn+1﹣yn＝1
∴xn＝0+（n﹣1）•1＝n﹣1；yn＝1+（n﹣1）•1＝n．
即An＝（n﹣1，n）满足方程y＝x+1，∴点An在直线y＝x+1上．
（2）由（1）得An（n﹣1，n），，
设Bn（un，vn），则u1＝3，v1＝0，vn+1﹣vn＝0，∴vn＝0，
，逐差累和得，，
∴．
设直线y＝x+1与x轴的交点P（﹣1，0），则an＝，n∈N*．
（3）由（2）an＝，n∈N*
，
于是，a1＜a2＜a3＜a4＝a5，a5＞a6＞a7＞…
数列{an}中项的最大值为，则，即最小的正整数p的值为6，
所以，存在最小的自然数p＝6，对一切n∈N*都有an＜p成立．
【点评】熟练掌握向量的运算法则、等差数列的定义及通项公式、逐差累和、及利用﹣求面积和作差法比较数的大小是解题的关键．
五．数量积判断两个平面向量的垂直关系（共9小题）
40．（2022春•宝山区校级月考）已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（ ）
A．B．2+C．﹣2D．2﹣
【分析】利用平面向量的数量积为0，即可判断两向量是否垂直．
【解答】解：单位向量||＝||＝1，•＝1×1×cs60°＝，
对于A，（+2）＝•+2＝+2＝，所以（+2）与不垂直；
对于B，（2+）＝2•+＝2×+1＝2，所以（2+）与不垂直；
对于C，（﹣2）＝•﹣2＝﹣2＝﹣，所以（﹣2）与不垂直；
对于D，（2﹣）＝2•﹣＝2×﹣1＝0，所以（2﹣）与垂直．
故选：D．
【点评】本题考查了判断两向量是否垂直的应用问题，是基础题．
41．（2022春•长宁区校级期末）若向量，且与垂直，则实数k＝ ﹣6 ．
【分析】直接利用向量的数量积和向量垂直的充要条件的应用求出k的值．
【解答】解：已知向量，且与垂直，
则•＝0，
整理得﹣6﹣k＝0，
解得k＝﹣6．
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查的知识要点：向量的坐标运算，向量的数量积，向量垂直的充要条件的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
42．（2022春•浦东新区校级期末）已知向量，且，则λ的值是（ ）
A．﹣3B．C．3D．
【分析】直接利用向量的数量积和向量垂直的充要条件的应用求出λ的值．
【解答】解：∵向量，且，
∴•＝﹣6+2λ＝0，
解得λ＝3，
故选：C．
【点评】本题考查的知识要点：向量的坐标运算，向量的数量积，向量垂直的充要条件的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
43．（2022春•虹口区校级期末）已知向量与，若，则k＝ ﹣ ．
【分析】由两个向量垂直的坐标运算进行计算即可．
【解答】解：因为，所以，所以﹣18k+3（k﹣7）＝0，解得．
故答案为：．
【点评】本题考查了向量垂直的坐标运算，属于基础题．
44．（2022春•杨浦区校级期末）已知，向量与垂直，则实数λ＝ ．
【分析】首先由向量坐标运算表示出λ与 的坐标，再由它们垂直列方程解之即可．
【解答】解：由题意知 λ＝λ（﹣3，2）+（﹣1，0）＝（﹣3λ﹣1，2λ），
＝（﹣3，2）﹣2（﹣1，0）＝（﹣1，2），
又因为两向量垂直，
所以（﹣3λ﹣1，2λ）（﹣1，2）＝0，
即3λ+1+4λ＝0，
解得λ＝．
故答案为解得 ．
【点评】本题考查向量坐标运算及两向量垂直的条件，是一道基础题．
45．（2022春•长宁区校级期中）已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量＝（，﹣1），＝（csA，sinA）．若⊥，且acsB+bcsA＝csinC，则角B＝ ．
【分析】由向量数量积的意义，有，进而可得A，再根据正弦定理，可得sinAcsB+sinBcsA＝sinC sinC，结合和差公式的正弦形式，化简可得sinC＝sin2C，可得C，由A、C的大小，可得答案．
【解答】解：根据题意，，
由正弦定理可得，sinAcsB+sinBcsA＝sinCsinC，
又由sinAcsB+sinBcsA＝sin（A+B）＝sinC，
化简可得，sinC＝sin2C，
则C＝，
则，
故答案为．
【点评】本题考查向量数量积的应用，判断向量的垂直，解题时，注意向量的正确表示方法．
46．（2022春•徐汇区校级期末）已知a、b都是非零向量，且+3与7﹣5垂直，﹣4与7﹣2垂直，则与的夹角为 60° ．
【分析】由+3与7﹣5垂直，﹣4与7﹣2垂直，我们不难得到（+3）•（7﹣5）＝0（﹣4）•（7﹣2）＝0，构造方程组，我们易得到2＝2＝2•，再结合csθ＝，我们求出与的夹角．
【解答】解：∵+3与7﹣5垂直
∴（+3）•（7﹣5）＝72﹣152+16•＝0①
又∵﹣4与7﹣2垂直，
∴（﹣4）•（7﹣2）＝72+82﹣30•＝0②
由①②得2＝2＝2•
又由csθ＝
易得：csθ＝
则θ＝60°
故答案为：60°
【点评】若θ为与的夹角，则csθ＝，这是利用向量求角的唯一方法，要求大家熟练掌握．
47．（2022春•徐汇区校级期中）已知．
（1）若∥，求实数x的值；
（2）若，求实数x的值．
【分析】（1）根据已知条件，结合向量的平行公式，即可求解．
（2）根据已知条件，结合向量的垂直公式，即可求解．
【解答】解：（1）∵，，∥，
∴1•x＝1×4，解得x＝4．
（2）∵＝，＝，
又∵，
∴，（﹣3，﹣3）•（15，3+x）＝0，
∴﹣45﹣9﹣9x＝0，解得x＝﹣6．
【点评】本题主要考查向量的平行和垂直公式，属于基础题．
48．（2022春•浦东新区校级期末）已知平面向量，．
（1）当k为何值时，与垂直；
（2）若与的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．
【分析】（1）可求出向量，，然后根据与垂直即可得出，然后进行向量数量积的坐标运算即可求出k的值；
（2）根据与的夹角为锐角即可得出，然后求出λ的范围即可．
【解答】解：（1），，且与垂直，
∴，解得；
（2），且与的夹角为锐角，
∴，且与不共线，
∴，解得且λ≠0，
∴λ的取值范围为．
【点评】本题考查了向量坐标的加法、减法、数乘和数量积的运算，共线向量的坐标关系，向量夹角的定义，考查了计算能力，属于基础题．
巩固提升
一、单选题
1．（2021春·上海普陀·高一曹杨二中校考阶段练习）已知向量，对任意的，恒有，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据数量积的运算律求得，再根据数量积的运算，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】由可得，
又，令则上式等价于，对任意的恒成立，
故，解得，解得，即；
对A：由，故不成立，A错误；
对B：，不确定其结果，故不一定成立，B错误；
对C：，故，C正确；
对D： ，不确定其结果，故不一定成立，D错误.
故选：C.
2．（2022春·上海闵行·高一校考期末）如图，将四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，、是原来小正方形的其中两个顶点边，是小正方形的其余顶点，在所有中，不同的数值有（ ）
A．6个B．5个C．4个D．3个
【答案】D
【分析】根据数量积的几何意义，即可判断结果
【详解】根据向量数量积的几何意义可知，，，，所以所有中有3个数值.
故选：D
3．（2022春·上海浦东新·高一上海市建平中学校考阶段练习）若向量 、、满足，且，则、、中最大的是（ ）
A．B．C．D．不能确定
【答案】A
【分析】依题意可得，根据数量积的运算律得到，同理得到、，再作差判断即可；
【详解】解：由，可得，两边平方，
即．
同理可得、，
，
所以，
所以，
所以，
所以，即
则、、中最大的值是．
故选：A．
4．（2021春·上海·高一专题练习）已知向量，满足，，若，且，则的最大值为（ ）
A．3B．2C．D．
【答案】D
【分析】令，，根据题意作出图形，结合图形将已知条件转化，得到，然后数形结合求的最大值.
【详解】如图:令，，则，故.
因为，所以，记的中点为，所以点在以为直径的圆上.
设，连接，因为，所以点在直线上.
因为，所以，即，所以.
结合图形可知，当时，即取得最大值，且.
故选：D
【点睛】思路点睛：向量中有关最值的求解思路：一是形化，利用向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题；二是数化，利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值、不等式的解集、方程有解等问题.
二、填空题
5．（2023春·上海青浦·高一校考阶段练习）已知单位向量的夹角为，若，则的取值范围是__________.
【答案】
【分析】根据结合数量积的运算性质及余弦函数的性质即可得解.
【详解】，
因为，所以，所以，
所以.
故答案为：.
6．（2022春·上海黄浦·高一上海市大同中学校考期末）平面上的向量与满足，且，若点满足，则的最小值为______．
【答案】##0.75
【分析】利用数量积性质化简，再结合二次函数性质求的最小值.
【详解】因为，所以，因为，，所以，
，当且仅当时等号成立，所以的最小值为，
故答案为：.
7．（2022春·上海长宁·高一上海市第三女子中学校考期末）若，则在上的数量投影为_______．
【答案】6
【分析】利用向量的投影公式即可求解.
【详解】在上的数量投影为：
.
故答案为：6.
8．（2022春·上海浦东新·高一上海市进才中学校考阶段练习）已知点在单位圆上，点，则的取值范围是___________.
【答案】
【分析】根据向量的数量积的运算法则得到，结合，求出取值范围.
【详解】，
其中，所以
故答案为：
9．（2021春·上海·高一专题练习）如图，四边形中，，，，，，，分别是线段，上的点，且，则的最大值为___________.
【答案】
【分析】根据平面几何及梯形的性质，可求出，求出，利用二次函数求最值.
【详解】设
则
则， ，
，
即
得，即
过C作过作
则，
则
则
，
则
由
得
，
，函数 开口向下，对称轴，
当时，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：利用平面几何性质，求出，利用向量积的定义，求出，利用二次函数求最值是解题关键.
10．（2021春·上海徐汇·高一上海市第二中学校考阶段练习）如图，在△中，，，．若为△内部的点且满足，则________．
【答案】
【分析】根据已知的向量关系先分析出，然后通过设，根据相似三角形以及正弦定理找到的关系，从而可求解出的结果.
【详解】因为，所以，
所以，
所以，
所以，所以，
即，同理可知：，
不妨设，所以，
又因为，，，所以，
所以，所以，
所以，所以，所以；
在中，，
所以，所以，
又在中，，
所以，所以，
所以，所以，
又因为，所以，
又因为，所以，
所以.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过向量关系分析得到的角度，再利用角度结合正弦定理分析所求线段长度之间的关系，本例中的点要注意和“内心”作区分.
三、双空题
11．（2021春·上海·高一专题练习）在中，，，，则______；若，，，则的最大值为______．
【答案】
【分析】①利用向量的数量的的定义及向量的投影，即可求出；
②将和分别用和表示代入，利用基本不等式求解即可.
【详解】①
如图，作，垂足为，因为，
所以，所以，即，
又，，所以，即,
所以；
②因为，，所以,,
所以
，当且仅当，即时，等号成立.
所以的最大值为.
故答案为：；.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是灵活应用向量的投影及用基底法表示向量.
四、解答题
12．（2021春·上海·高一专题练习）已知：，且且，求证：.
【答案】证明见解析
【分析】将，转化为向量，，利用向量的数量积以及，来得出.
【详解】构造向量，，由得：
，
易知上式中等号成立，
所以，从而.
13．（2021春·上海·高一期末）如图，数轴的交点为，夹角为，与轴、轴正向同向的单位向量分别是.由平面向量基本定理，对于平面内的任一向量，存在唯一的有序实数对，使得，我们把叫做点在斜坐标系中的坐标(以下各点的坐标都指在斜坐标系中的坐标)．
(1)若，为单位向量，且与的夹角为，求点的坐标；
(2)若，点的坐标为，求向量与的夹角．
【答案】(1)；(2).
【分析】(1)利用与的数量积及为单位向量列出方程组，求解即得；
(2)类比平面向量的长度及夹角公式，计算向量与的夹角的余弦得解.
【详解】(1)时，坐标系为平面直角坐标系，
设点P(x,y)，则有，而，，
又，所以，又因，
解得，故点P的坐标是；
(2)依题意夹角为45º，，，
，
，，
所以＝2，，而，故.
【点睛】坐标系下新定义的创新试题，类比原有平面向量的模、数量积解决，但不能直接类比原有平面向量的直角坐标方法处理.
一．平面向量数量积的性质及其运算（共16小题）
二．平面向量数量积的坐标表示、模、夹角（共5小题）
三．向量的投影（共5小题）
四．数量积表示两个向量的夹角（共13小题）
五．数量积判断两个平面向量的垂直关系（共9小题）
考点考向
一．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的知识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：
（1）＝＝||csθ；
（2）⇔＝0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当，方向相同时，＝||||；当，方向相反时，＝﹣||||；
特别地：＝||2或||＝（用于计算向量的模）
（4）csθ＝（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）||≤||||
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘向量的结合律：（λ）•＝λ（）＝•（）；
（3）分配律：（）•≠•（）
【平面向量数量积的运算】
平面向量数量积运算的一般定理为①（±）2＝2±2•+2．②（﹣）（+）＝2﹣2．③•（•）≠（•）•，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
二．平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【知识点的知识】
1、向量的夹角概念：
对于两个非零向量，如果以O为起点，作＝，＝，那么射线OA，OB的夹角θ叫做向量与向量的夹角，其中0≤θ≤π．
2、向量的数量积概念及其运算：
（1）定义：如果两个非零向量，的夹角为θ，那么我们把||||csθ叫做与的数量积，记做
即：＝||||csθ．规定：零向量与任意向量的数量积为0，即：•＝0．
注意：
① 表示数量而不表示向量，符号由csθ决定；
②符号“•”在数量积运算中既不能省略也不能用“×”代替；
③在运用数量积公式解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是：0≤θ≤π．
（2）投影：在上的投影是一个数量||csθ，它可以为正，可以为负，也可以为0
（3）坐标计算公式：若＝（x1，y1），＝（x2，y2），则＝x1x2+y1y2，
3、向量的夹角公式：
4、向量的模长：
5、平面向量数量积的几何意义：与的数量积等于的长度||与在的方向上的投影||csθ的积．
三．向量的投影
【知识点的知识】
1、两个向量的数量积及其性质：
（1）•＝||||cs＜，＞；
（2）⊥⇔•＝0（，为非零向量）；
（3）||2＝2，||＝．
2、向量的投影：||csθ＝∈R，称为向量在方向上的投影．
四．数量积表示两个向量的夹角
【知识点的知识】
我们知道向量是有方向的，也知道向量是可以平行的或者共线的，那么，当两条向量与不平行时，那么它们就会有一个夹角θ，并且还有这样的公式：csθ＝．通过这公式，我们就可以求出两向量之间的夹角了．
五．数量积判断两个平面向量的垂直关系
【概念】
向量是有方向的，那么在一个空间内，不同的向量可能是平行，也可能是重合，也有可能是相交．当两条向量的方向互相垂直的时候，我们就说这两条向量垂直．假如＝（1，0，1），＝（2，0，﹣2），那么与垂直，有•＝1×2+1×（﹣2）＝0，即互相垂直的向量它们的乘积为0．
考点精讲
一．平面向量数量积的性质及其运算（共16小题）
1．（2022春•闵行区校级月考）下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若非零向量与满足，则
C．若∥，∥，则∥
D．若，则与夹角为必为锐角
【分析】根据向量的运算法则依次判断即可．
【解答】解：对于A选项：当＝时，不一定等于，A错误．
对于B选项：因为，所以左右两边加平方得到：＝0，又因为与是非零向量，所以，B正确．
对于C选项：若＝，则与不一定平行，C错误．
对于D选项：也可能为0°，D错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查向量的线性运算和运算法则，属于基础题．
2．（2022春•长宁区校级期末）设向量、满足，则＝ 2 ．
【分析】根据平面向量的数量积求模长即可．
【解答】解：因为||＝1，||＝2，＜，＞＝，
所以＝4+4•+＝4×1+4×1×2×cs+4＝4，
所以|2+|＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了平面向量的数量积与模长计算问题，是基础题．
3．（2022春•闵行区校级期末）已知△ABC中，，，求的值 ﹣25 ．
【分析】易求得csA＝，csC＝，再根据平面向量的数量积的运算法则，得解．
【解答】解：由题意知，△ABC为直角三角形，且∠B＝90°，csA＝，csC＝，
所以＝0+||•||cs（π﹣C）+||•||cs（π﹣A）＝4×5×（﹣）+5×3×（﹣）＝﹣25．
故答案为：﹣25．
【点评】本题考查平面向量的数量积，需注意平面向量的夹角的概念，考查运算求解能力，属于基础题．
4．（2022春•浦东新区校级期中）对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（ ）
A．（）2＝||2B．（）（）＝22
C．||≤||•||D．||≤|||﹣|||
【分析】通过向量的数量积，以及向量的运算法则，判断选项的正误即可．
【解答】解：因为，所以（）2＝||2正确，所以A正确；
（）（）＝22，满足向量的运算法则，所以B正确；
||＝||•||cs≤||•||，所以C正确；
如果两个向量是相反向量，||≤|||﹣|||，不正确，所以D不正确；
故选：D．
【点评】本题考查向量的数量积以及向量的运算法则的判断，是基本知识的考查．
5．（2022春•长宁区校级期末）下列命题中，真命题的个数是（ ）
（1）若数列{an}是等比数列，则数列{an+an+1}也是等比数列．
（2）若，则或．
（3）．
A．0B．1C．2D．3
【分析】举反例即可判断各个命题．
【解答】解：当数列{an}的通项公式为：an＝（﹣1）n时，数列{an+an+1}各项均为0，不是等比数列；
若，则或或⊥；
••表示与共线的向量，而•（•）表示与共线的向量，故••＝•（•）不一定成立，
故真命题的个数为0个．
故选：A．
【点评】本题主要考查命题的真假判断，考查逻辑推理能力，属于基础题，也是易错题．
6．（2022春•宝山区校级月考）已知G为△ABC的重心（三条中线的交点），∠BAC＝，•＝﹣2，则||的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】取BC的中点为D，由重心的性质可知，再根据已知条件可知||||＝4，结合||＝，利用基本不等式求解即可．
【解答】解：取BC的中点为D，连接AD，如图所示：
因为G为△ABC的重心，所以．
因为，＝﹣2，
所以，所以||||＝4，
又||＝＝＝≥＝．
当且仅当||＝||＝2时取等号，
所以||的最小值为．
故选：C．
【点评】本题主要考查向量的数量积公式和三角形重心的性质，属于基础题．
7．（2022春•嘉定区校级期末）设为任意非零向量，且相互不共线，则下列命题中是真命题的有（ ）
（1）；
（2）；
（3）不与垂直；
（4）．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【分析】由平面向量数量积运算，结合向量模的运算及共线向量逐一判断即可得解．
【解答】解：对于（1），当⊥，与不垂直时，则，，即（1）为假命题；
对于（2），因为为任意非零向量，且相互不共线，则，即（2）为真命题；
对于（3），＝，即与垂直，即（3）为假命题；
对于（4），，即（4）为真命题，
即命题中是真命题的有2个，
故选：C．
【点评】本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了命题的真假的判断，属基础题．
8．（2022春•徐汇区期末）已知、为非零向量，则“”是“为锐角”的（ ）条件．
A．充要B．必要不充分
C．充分不必要D．既不充分也不必要
【分析】先求出非零向量数量积大于零的充要条件，然后利用直接法判断充分性和必要性．
【解答】解：易知，若，则＞0，
故，结合，
故，或，
反之，，必有，
故“”是“为锐角”的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题考查数量积的定义与条件的充分性、必要性的判断，属于基础题．
9．（2022秋•静安区校级期中）若向量、、满足，且，则•、•、•中最大的是（ ）
A．B．C．D．不能确定
【分析】根据向量数量积的定义与性质即可求解．
【解答】解：∵，
∴，，，
∴，，，
又，
∴＜＜，
∴，
∴，，，
∴，
∴•、•、•中最大的是，
故选：A．
【点评】本题考查向量数量积的定义与性质，属基础题．
10．（2022春•宝山区校级月考）在边长为3的菱形ABCD中，，，则＝（ ）
A．B．﹣1C．D．
【分析】画出图形，根据条件得，然后由＝，进行数量积的运算即可．
【解答】解：如图，
∵，∴，
∴＝，且，
又，
∴
＝
＝．
故选：C．
【点评】本题考查了向量减法和数乘的几何意义，向量数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题．
11．（2022春•长宁区校级期末）在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM＝3，则的取值范围是 ．
【分析】设|OM|＝x，则|AO|＝3﹣x，且0≤x≤3，把向量的数量积转化为二次函数在闭区间上求最值，进而求解结论．
【解答】解：设|OM|＝x，则|AO|＝3﹣x，
且0≤x≤3，
∵＝•2＝﹣2x（3﹣x）＝2x2﹣6x，开口向上，对称轴为x＝，
而0≤x≤3，
∴当x＝0和x＝3时，函数值最大，最大为0，当x＝时，函数值最小，最小为：﹣．
故答案为：[﹣，0]．
【点评】本题主要考查数量积的求解以及二次函数的性质应用，考查计算能力，属于基础题．
12．（2022春•普陀区校级期末）如图，设Ai（i＝1，2，3，…，n）是△AOB所在平面内的点，且，给出下列说法：
（1）|；
（2）|的最小值是；
（3）点A和点Ai共线；
（4）向量及在向量方向上的数量投影必定相等．
其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据向量的数量积公式，结合图形即可判断．
【解答】解：由，可得，
故有，即和在上的投影相等，
即 点A、Ai在同一条垂直于直线OB的直线l上，如图所示，
故（3）（4）正确，（1）不正确．
当恰好为，模长最小，此时，（2）正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查平面向量数量积的运算法则，平面向量数量积的投影的运算，向量的模的最值等知识，属于中等题．
13．（2022春•浦东新区校级月考）平面直角坐标系中，，，，△ABC为等腰直角三角形，且A、B、C按顺时针排列，则B点的坐标为 （，﹣） ．
【分析】设B（x，y），结合，，可得，由向量的模相等结合数量积为0列方程组求解．
【解答】解：设B（x，y），∵，，
∴，，
∵，∴，①
又△ABC为等腰直角三角形，∴，
即，②
联立①②解得或．
∵A、B、C按顺时针排列，∴（，﹣）．
故答案为：（，﹣）．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量垂直与数量积的关系，考查运算求解能力，是基础题．
14．（2022春•宝山区校级月考）已知向量、，，，若对任意单位向量，均有，则的最大值为（ ）
A．B．C．﹣1D．2
【分析】依题意，，两边平方后即可得到答案．
【解答】解：∵，
∴，
∴，即，
∴，即的最大值为﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查平面向量的数量积及其性质，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
15．（2023春•松江区校级月考）已知平面向量，，且，向量满足，则的最小值为 ．
【分析】由题意设，由数量积求得θ，设，已知条件可得点（x，y）的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，而表示圆上的点到直线上的点的距离，由圆心到直线的距离减去半径可得最小值．
【解答】解：由题意设，
，所以，
，
设，，
由得，即点（x，y）的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，
，点在直线上，
所以的最小值是圆心到直线的距离减去圆的半径2，
即．
故答案为：．
【点评】本题主要考查平面向量的数量积，属于中档题．
16．（2022春•松江区校级期末）已知向量、、满足||＝||＝1，＝，＝x（x、y∈R，y≥0），则下列四个命题中，所有正确命题的序号是 ①②③④ ．
①若x＝1，则||的最小值为；②若x＝1，则存在唯一的y，使得＝0；③若||＝1，则x+y的最小值为﹣1；④若||＝1，则+的最小值为﹣．
【分析】根据向量数量积的定义与性质，函数思想，基本不等式即可求解．
【解答】解：∵||＝||＝1，＝，＝x（x、y∈R，y≥0），
∴对①，若x＝1，则＝
＝y2﹣y+1＝≥，当且仅当y＝时，取得等号，
∴的最小值为，∴||的最小值为，∴①正确；
对②，若x＝1，由＝0得，∴，
∴y＝2，∴存在唯一的y＝2，使得＝0，∴②正确；
对③，若||＝1，则＝x2+y2﹣xy＝（x+y）2﹣3xy≥，
当且仅当x＝y＝1时，（y≥0）取得等号，∴，∴x+y≤2，
又y≥0，∴x+y≥x≥﹣1，当且仅当y＝0，x＝﹣1时取得等号，∴③正确；
对④，若||＝1，则+＝x﹣y+（）x+y＝，由③知x+y≥﹣1，
∴，∴④正确．
故答案为：①②③④．
【点评】本题考查向量数量积的定义与性质，函数思想，基本不等式，属中档题．
二．平面向量数量积的坐标表示、模、夹角（共5小题）
17．（2022春•黄浦区校级期中）设，为单位向量，且|+|＝，则|﹣|＝ 1 ．
【分析】根据条件对两边平方即可求出，然后根据即可求出答案．
【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：1．
【点评】本题考查了向量数量积的运算，单位向量的定义，向量长度的求法，考查了计算能力，属于基础题．
18．（2022春•浦东新区校级期中）已知向量＝（2，﹣6），＝（3，m），若|+|＝|﹣|，则m＝ 1 ．
【分析】由题意可得•＝0，再利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求出m的值．
【解答】解：∵向量，，若，则•＝0，
即 2×3﹣6m＝0，则m＝1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，两个向量垂直的性质，属于基础题．
19．（2022春•闵行区校级期中）已知向量＝（2，1），•＝10，|+|＝5，则||＝ 5 ．
【分析】设＝（x，y），则有 2x+y＝10，且 ＝5，解方程组求得x、y的值，即可求得||的值．
【解答】解：∵向量＝（2，1），＝10，||＝5，
设＝（x，y），则有 2x+y＝10，且 ＝5，
即2x+y＝10，且（2+x）2+（1+y）2＝50，
解方程组，求得，故 ＝（3，4），∴||＝5，
故答案为 5．
【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．
20．（2022春•徐汇区期末）已知向量，．
（1）求；
（2）当k为何实数时，与平行？
【分析】利用向量的坐标运算以及向量共线定理化简即可求解．
【解答】解：（1）由已知可得＝（1，0）﹣2（2，1）＝（﹣3，﹣2），
所以||＝|（﹣3，﹣2）|＝＝；
（2）由已知可得k＝k（1，0）﹣（2，1）＝（k﹣2，﹣1），
＝（1，0）+3（2，1）＝（7，3），
因为与平行，所以﹣7＝3（k﹣2），解得k＝﹣，
即当k＝﹣时，与平行．
【点评】本题考查了平面向量的坐标运算，涉及到向量共线定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
21．（2022春•奉贤区校级期中）已知向量，满足||＝1，||＝2，且与不共线．
（1）若向量+k与k+2为方向相反的向量，求实数k的值；
（2）若向量与的夹角为60°，求2+与﹣的夹角θ．
【分析】（1）根据题意即可得出，存在实数λ＜0，使得，然后根据平面向量基本定理得出，然后解出λ，从而得出k的值；
（2）根据题意即可得出，然后即可求出，，然后根据向量夹角的余弦公式即可求出csθ的值，进而得出θ的值．
【解答】解：（1）∵向量与的方向相反，
∴存在实数λ＜0，使，且不共线，
∴，解得或（舍去），
∴；
（2）∵，
∴＝，＝，，
∴，且θ∈[0，π]，
∴．
【点评】本题考查了共线向量基本定理，平面向量基本定理，向量数乘的几何意义，向量的数量积的运算，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．
三．向量的投影（共5小题）
22．（2022春•长宁区校级期末）若，则在上的数量投影为 6 ．
【分析】根据向量的数量投影定义计算即可．
【解答】解：因为，
所以在上的数量投影||cs＜，＞＝＝＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了平面向量数量投影的计算问题，是基础题．
23．（2022春•青浦区校级期末）若，，则在上的投影数量是 ．
【分析】根据向量的数量投影的定义，计算即可．
【解答】解：因为，，
所以在上的投影数量是||cs＜，＞＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了向量的数量投影定义与计算问题，是基础题．
24．（2022春•浦东新区校级期末）已知、的夹角为，设，则在上的数量投影为 ．
【分析】根据平面向量的数量投影定义，计算即可．
【解答】解：因为、的夹角为，，
所以在上的数量投影为||cs＜，＞＝cs
＝×＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了平面向量的数量投影计算问题，是基础题．
25．（2022春•徐汇区期末）已知向量与的夹角为，且，，则在方向上的投影为 ．
【分析】根据向量的投影定义计算即可．
【解答】解：向量与的夹角为，且，，
所以在方向上的投影为||cs＜，＞＝4cs＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了向量的投影定义与计算问题，是基础题．
26．（2022春•奉贤区校级期中）若向量，，则向量在向量的方向上的投影为 ．
【分析】根据给定条件，求出，再利用投影的定义计算作答．
【解答】解：因向量，
则，
所以向量在向量的方向上的投影为．
故答案为：．
【点评】本题考查了向量的投影，属于基础题．
四．数量积表示两个向量的夹角（共13小题）
27．（2022春•杨浦区校级期中）已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足，则点P与△ABC的关系为（ ）
A．P在△ABC内部
B．P在△ABC外部
C．P在AB边所在直线上
D．P是AC边的一个三等分点
【分析】利用向量的运算法则将等式变形，得到，据三点共线的充要条件得出结论．
【解答】解：∵，
∴，∴，
∴P是AC边的一个三等分点．
故选：D．
【点评】本题考查向量的运算法则及三点共线的充要条件．
28．（2022春•浦东新区校级期末）平面上O，A，B三点不共线，设，则△OAB的面积等于（ ）
A．B．
C．D．
【分析】利用三角形的面积公式表示出面积；再利用三角函数的平方关系将正弦表示成余弦；再利用向量的数量积公式求出向量夹角的余弦化简即得．
【解答】解：
＝
＝•
＝；
故选：C．
【点评】本题考查三角形的面积公式；同角三角函数的平方关系，利用向量的数量积求向量的夹角．
29．（2022春•徐汇区校级期中）在△ABC中，若且，则△ABC的形状是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等边三角形
【分析】通过向量的运算律：分配律得到，据向量的运算法则得三角形的三边对应的向量和为0即，代入得向量的平方相等，据向量的平方等于向量模的平方得出三角形的三边相等．
【解答】解：因均为非零向量，
且，
得⇒，
又⇒，
∴[﹣（）]•（）＝0⇒，得||＝||，
同理||＝||，
∴||＝||＝||，
得△ABC为正三角形．
故选：D．
【点评】本题考查向量的运算律；向量的运算法则；及向量的平方等于向量模的平方．
30．（2022春•浦东新区校级月考）已知＝（1，﹣2），＝（﹣1，λ），与的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是 （，2）∪（2，+∞） ．
【分析】要使与的夹角为钝角，则且≠﹣，可解．
【解答】解：∵＝（1，﹣2），＝（﹣1，λ），与的夹角为钝角，
∴且≠﹣，
∴1×（﹣1）﹣2λ＜0且λ≠2，
∴实数λ的取值范围为λ＞且λ≠2，
故答案为：（，2）∪（2，+∞）．
【点评】本题考查了平面向量坐标运算与向量夹角的关系．
31．（2022春•嘉定区校级期末）若向量，，已知与的夹角为，则实数k是 ﹣2 ．
【分析】根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．
【解答】解：由已知有，故，
故，
解得：k＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用，属于基础题．
32．（2022春•宝山区校级期中）向量，的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是 ．
【分析】根据已知条件，结合向量的数量积公式，即可求解．
【解答】解：∵，，
∴＝＝且，解得λ＜2且，
故实数λ的取值范围是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查向量的数量积公式，属于基础题．
33．（2022春•浦东新区校级期末）已知＝（λ，2），＝（3，﹣5），且与的夹角θ是钝角，则λ的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，]B．（﹣∞，）
C．（﹣∞，）∪（，）D．（﹣∞，﹣）∪（，）
【分析】由数量积小于零且不共线列出不等式组，求解可得实数λ的取值范围．
【解答】解：＝（λ，2），＝（3，﹣5），且与的夹角θ是钝角，
∴＜0，且，不共线，即，
解得λ∈（﹣∞，﹣）∪（，）．
故选：D．
【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查计算能力，需注意数量积小于0不一定能得出两向量夹角为钝角，是基础题．
34．（2022春•浦东新区校级期末）如图，O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，λ∈（0，+∞），则点P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【分析】先根据、分别表示向量、方向上的单位向量，确定 ﹣＝，判断与∠BAC的角平分线的关系推出选项．
【解答】解：∵、分别表示向量、方向上的单位向量，
∴+的方向与∠BAC的角平分线重合，
又∵可得到 ﹣＝＝λ（+）
∴向量的方向与∠BAC的角平分线重合，
∴一定通过△ABC的内心
故选：B．
【点评】本题主要考查向量的线性运算和几何意义．属中档题．
35．（2022春•宝山区校级月考）设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“|+|＞||”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】“与的夹角为锐角”⇒“|+|＞||”，“|+|＞||”⇒“与的夹角为锐角”，由此能求出结果．
【解答】解：点A，B，C不共线，
＝，∴，
当与的夹角为锐角时，＝＞0，
∴“与的夹角为锐角”⇒“|+|＞||”，
“|+|＞||”⇒“与的夹角为锐角”，
∴设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“|+|＞||”的充分必要条件．
故选：C．
【点评】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查向量等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
36．（2022春•浦东新区校级期末）若，，且，则与的夹角为 ．
【分析】由题意利用向量的数量积的运算性质可求＝﹣1，然后代入平面向量的夹角公式即可求解．
【解答】解：因为，，且，
可得（+）2＝（）2，可得2+2•+2＝3，
可得＝﹣1，
所以cs＜，＞＝＝＝﹣，
则与的夹角为．
故答案为：．
【点评】本题考查了平面向量的夹角和数量积的运算，属于基础题．
37．（2022春•闵行区校级期中）如图所示，点O是△ABC所在平面上一点，并且满足＝m+n（m、n∈R），已知AB＝6，AC＝2，∠BAC＝60°．
（1）若实数m＝n＝，求证：O是△ABC的重心；
（2）若O是△ABC的外心，求m、n的值；
（3）如果O是∠BAC的平分线上某点，则当达到最小值时，求．
【分析】（1）将m＝n＝代入整理即可得证；（2）根据O是△ABC的外心，联立求解即可；（3）利用角平分线的向量表示结合基本不等式求解即可．
【解答】证明：（1）时，，
∴
∴，
∴O是△ABC的重心；
解：（2）∵O是△ABC的外心，
∴，
∴，∴；
（3）∵O是∠BAC的平分线上某点，
∴，
∴m＝，n＝，
∴，当且仅当＝，即λ＝6时取最小值，
所以 ，
．
【点评】本题考查了平面向量数量积的计算和基本不等式，属于中档题．
38．（2022春•长宁区校级期末）（1）已知点A（2，4），B（﹣1，﹣6），点P是直线AB上一点，且，求点P的坐标；
（2）已知与的夹角为，且与的夹角为锐角，求实数t的取值范围．
【分析】（1）设出P的坐标，根据向量的坐标运算即可求解；
（2）求出•，根据向量与的夹角为锐角，得到，进而求解结论．
【解答】解：（1）设点P的坐标（x，y），由A（2，4），B（﹣1，﹣6），
得，
∵点P是直线AB上一点，且，
∴或，
即或，
解得或，
故P的坐标为或；
（2）∵与的夹角为，且与的夹角为锐角，
∴，
而＝﹣2t2+15t﹣7，
∵与的夹角为锐角，
∴，即﹣2t2+15t﹣7＞0，
解得，
又当与共线时有2t2＝7，解得，所以，
综上可得，实数t的取值范围是．
【点评】本题主要考查向量的数量积以及运算能力，属于中档题目．
39．（2022春•浦东新区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，点An满足，且；点Bn满足，且，其中n∈N*．
（1）求的坐标，并证明点An在直线y＝x+1上；
（2）记四边形AnBnBn+1An+1的面积为an，求an的表达式；
（3）对于（2）中的an，是否存在最小的正整数P，使得对任意n∈N*都有an＜P成立？若存在，求P的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用向量的运算法则、等差数列的定义及通项公式即可证明；
（2）利用向量的运算法则和逐差累和即可求得点Bn的坐标，及﹣即可求出．
（3）利用（2）的结论及作差法，求出an+1﹣an，进而即可判断出答案．
【解答】解：（1）由已知条件得，，＝，∴，
∵，∴
设，则xn+1﹣xn＝1，yn+1﹣yn＝1
∴xn＝0+（n﹣1）•1＝n﹣1；yn＝1+（n﹣1）•1＝n．
即An＝（n﹣1，n）满足方程y＝x+1，∴点An在直线y＝x+1上．
（2）由（1）得An（n﹣1，n），，
设Bn（un，vn），则u1＝3，v1＝0，vn+1﹣vn＝0，∴vn＝0，
，逐差累和得，，
∴．
设直线y＝x+1与x轴的交点P（﹣1，0），则an＝，n∈N*．
（3）由（2）an＝，n∈N*
，
于是，a1＜a2＜a3＜a4＝a5，a5＞a6＞a7＞…
数列{an}中项的最大值为，则，即最小的正整数p的值为6，
所以，存在最小的自然数p＝6，对一切n∈N*都有an＜p成立．
【点评】熟练掌握向量的运算法则、等差数列的定义及通项公式、逐差累和、及利用﹣求面积和作差法比较数的大小是解题的关键．
五．数量积判断两个平面向量的垂直关系（共9小题）
40．（2022春•宝山区校级月考）已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（ ）
A．B．2+C．﹣2D．2﹣
【分析】利用平面向量的数量积为0，即可判断两向量是否垂直．
【解答】解：单位向量||＝||＝1，•＝1×1×cs60°＝，
对于A，（+2）＝•+2＝+2＝，所以（+2）与不垂直；
对于B，（2+）＝2•+＝2×+1＝2，所以（2+）与不垂直；
对于C，（﹣2）＝•﹣2＝﹣2＝﹣，所以（﹣2）与不垂直；
对于D，（2﹣）＝2•﹣＝2×﹣1＝0，所以（2﹣）与垂直．
故选：D．
【点评】本题考查了判断两向量是否垂直的应用问题，是基础题．
41．（2022春•长宁区校级期末）若向量，且与垂直，则实数k＝ ﹣6 ．
【分析】直接利用向量的数量积和向量垂直的充要条件的应用求出k的值．
【解答】解：已知向量，且与垂直，
则•＝0，
整理得﹣6﹣k＝0，
解得k＝﹣6．
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查的知识要点：向量的坐标运算，向量的数量积，向量垂直的充要条件的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
42．（2022春•浦东新区校级期末）已知向量，且，则λ的值是（ ）
A．﹣3B．C．3D．
【分析】直接利用向量的数量积和向量垂直的充要条件的应用求出λ的值．
【解答】解：∵向量，且，
∴•＝﹣6+2λ＝0，
解得λ＝3，
故选：C．
【点评】本题考查的知识要点：向量的坐标运算，向量的数量积，向量垂直的充要条件的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
43．（2022春•虹口区校级期末）已知向量与，若，则k＝ ﹣ ．
【分析】由两个向量垂直的坐标运算进行计算即可．
【解答】解：因为，所以，所以﹣18k+3（k﹣7）＝0，解得．
故答案为：．
【点评】本题考查了向量垂直的坐标运算，属于基础题．
44．（2022春•杨浦区校级期末）已知，向量与垂直，则实数λ＝ ．
【分析】首先由向量坐标运算表示出λ与 的坐标，再由它们垂直列方程解之即可．
【解答】解：由题意知 λ＝λ（﹣3，2）+（﹣1，0）＝（﹣3λ﹣1，2λ），
＝（﹣3，2）﹣2（﹣1，0）＝（﹣1，2），
又因为两向量垂直，
所以（﹣3λ﹣1，2λ）（﹣1，2）＝0，
即3λ+1+4λ＝0，
解得λ＝．
故答案为解得 ．
【点评】本题考查向量坐标运算及两向量垂直的条件，是一道基础题．
45．（2022春•长宁区校级期中）已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量＝（，﹣1），＝（csA，sinA）．若⊥，且acsB+bcsA＝csinC，则角B＝ ．
【分析】由向量数量积的意义，有，进而可得A，再根据正弦定理，可得sinAcsB+sinBcsA＝sinC sinC，结合和差公式的正弦形式，化简可得sinC＝sin2C，可得C，由A、C的大小，可得答案．
【解答】解：根据题意，，
由正弦定理可得，sinAcsB+sinBcsA＝sinCsinC，
又由sinAcsB+sinBcsA＝sin（A+B）＝sinC，
化简可得，sinC＝sin2C，
则C＝，
则，
故答案为．
【点评】本题考查向量数量积的应用，判断向量的垂直，解题时，注意向量的正确表示方法．
46．（2022春•徐汇区校级期末）已知a、b都是非零向量，且+3与7﹣5垂直，﹣4与7﹣2垂直，则与的夹角为 60° ．
【分析】由+3与7﹣5垂直，﹣4与7﹣2垂直，我们不难得到（+3）•（7﹣5）＝0（﹣4）•（7﹣2）＝0，构造方程组，我们易得到2＝2＝2•，再结合csθ＝，我们求出与的夹角．
【解答】解：∵+3与7﹣5垂直
∴（+3）•（7﹣5）＝72﹣152+16•＝0①
又∵﹣4与7﹣2垂直，
∴（﹣4）•（7﹣2）＝72+82﹣30•＝0②
由①②得2＝2＝2•
又由csθ＝
易得：csθ＝
则θ＝60°
故答案为：60°
【点评】若θ为与的夹角，则csθ＝，这是利用向量求角的唯一方法，要求大家熟练掌握．
47．（2022春•徐汇区校级期中）已知．
（1）若∥，求实数x的值；
（2）若，求实数x的值．
【分析】（1）根据已知条件，结合向量的平行公式，即可求解．
（2）根据已知条件，结合向量的垂直公式，即可求解．
【解答】解：（1）∵，，∥，
∴1•x＝1×4，解得x＝4．
（2）∵＝，＝，
又∵，
∴，（﹣3，﹣3）•（15，3+x）＝0，
∴﹣45﹣9﹣9x＝0，解得x＝﹣6．
【点评】本题主要考查向量的平行和垂直公式，属于基础题．
48．（2022春•浦东新区校级期末）已知平面向量，．
（1）当k为何值时，与垂直；
（2）若与的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．
【分析】（1）可求出向量，，然后根据与垂直即可得出，然后进行向量数量积的坐标运算即可求出k的值；
（2）根据与的夹角为锐角即可得出，然后求出λ的范围即可．
【解答】解：（1），，且与垂直，
∴，解得；
（2），且与的夹角为锐角，
∴，且与不共线，
∴，解得且λ≠0，
∴λ的取值范围为．
【点评】本题考查了向量坐标的加法、减法、数乘和数量积的运算，共线向量的坐标关系，向量夹角的定义，考查了计算能力，属于基础题．
巩固提升
一、单选题
1．（2021春·上海普陀·高一曹杨二中校考阶段练习）已知向量，对任意的，恒有，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据数量积的运算律求得，再根据数量积的运算，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】由可得，
又，令则上式等价于，对任意的恒成立，
故，解得，解得，即；
对A：由，故不成立，A错误；
对B：，不确定其结果，故不一定成立，B错误；
对C：，故，C正确；
对D： ，不确定其结果，故不一定成立，D错误.
故选：C.
2．（2022春·上海闵行·高一校考期末）如图，将四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，、是原来小正方形的其中两个顶点边，是小正方形的其余顶点，在所有中，不同的数值有（ ）
A．6个B．5个C．4个D．3个
【答案】D
【分析】根据数量积的几何意义，即可判断结果
【详解】根据向量数量积的几何意义可知，，，，所以所有中有3个数值.
故选：D
3．（2022春·上海浦东新·高一上海市建平中学校考阶段练习）若向量 、、满足，且，则、、中最大的是（ ）
A．B．C．D．不能确定
【答案】A
【分析】依题意可得，根据数量积的运算律得到，同理得到、，再作差判断即可；
【详解】解：由，可得，两边平方，
即．
同理可得、，
，
所以，
所以，
所以，
所以，即
则、、中最大的值是．
故选：A．
4．（2021春·上海·高一专题练习）已知向量，满足，，若，且，则的最大值为（ ）
A．3B．2C．D．
【答案】D
【分析】令，，根据题意作出图形，结合图形将已知条件转化，得到，然后数形结合求的最大值.
【详解】如图:令，，则，故.
因为，所以，记的中点为，所以点在以为直径的圆上.
设，连接，因为，所以点在直线上.
因为，所以，即，所以.
结合图形可知，当时，即取得最大值，且.
故选：D
【点睛】思路点睛：向量中有关最值的求解思路：一是形化，利用向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题；二是数化，利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值、不等式的解集、方程有解等问题.
二、填空题
5．（2023春·上海青浦·高一校考阶段练习）已知单位向量的夹角为，若，则的取值范围是__________.
【答案】
【分析】根据结合数量积的运算性质及余弦函数的性质即可得解.
【详解】，
因为，所以，所以，
所以.
故答案为：.
6．（2022春·上海黄浦·高一上海市大同中学校考期末）平面上的向量与满足，且，若点满足，则的最小值为______．
【答案】##0.75
【分析】利用数量积性质化简，再结合二次函数性质求的最小值.
【详解】因为，所以，因为，，所以，
，当且仅当时等号成立，所以的最小值为，
故答案为：.
7．（2022春·上海长宁·高一上海市第三女子中学校考期末）若，则在上的数量投影为_______．
【答案】6
【分析】利用向量的投影公式即可求解.
【详解】在上的数量投影为：
.
故答案为：6.
8．（2022春·上海浦东新·高一上海市进才中学校考阶段练习）已知点在单位圆上，点，则的取值范围是___________.
【答案】
【分析】根据向量的数量积的运算法则得到，结合，求出取值范围.
【详解】，
其中，所以
故答案为：
9．（2021春·上海·高一专题练习）如图，四边形中，，，，，，，分别是线段，上的点，且，则的最大值为___________.
【答案】
【分析】根据平面几何及梯形的性质，可求出，求出，利用二次函数求最值.
【详解】设
则
则， ，
，
即
得，即
过C作过作
则，
则
则
，
则
由
得
，
，函数 开口向下，对称轴，
当时，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：利用平面几何性质，求出，利用向量积的定义，求出，利用二次函数求最值是解题关键.
10．（2021春·上海徐汇·高一上海市第二中学校考阶段练习）如图，在△中，，，．若为△内部的点且满足，则________．
【答案】
【分析】根据已知的向量关系先分析出，然后通过设，根据相似三角形以及正弦定理找到的关系，从而可求解出的结果.
【详解】因为，所以，
所以，
所以，
所以，所以，
即，同理可知：，
不妨设，所以，
又因为，，，所以，
所以，所以，
所以，所以，所以；
在中，，
所以，所以，
又在中，，
所以，所以，
所以，所以，
又因为，所以，
又因为，所以，
所以.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过向量关系分析得到的角度，再利用角度结合正弦定理分析所求线段长度之间的关系，本例中的点要注意和“内心”作区分.
三、双空题
11．（2021春·上海·高一专题练习）在中，，，，则______；若，，，则的最大值为______．
【答案】
【分析】①利用向量的数量的的定义及向量的投影，即可求出；
②将和分别用和表示代入，利用基本不等式求解即可.
【详解】①
如图，作，垂足为，因为，
所以，所以，即，
又，，所以，即,
所以；
②因为，，所以,,
所以
，当且仅当，即时，等号成立.
所以的最大值为.
故答案为：；.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是灵活应用向量的投影及用基底法表示向量.
四、解答题
12．（2021春·上海·高一专题练习）已知：，且且，求证：.
【答案】证明见解析
【分析】将，转化为向量，，利用向量的数量积以及，来得出.
【详解】构造向量，，由得：
，
易知上式中等号成立，
所以，从而.
13．（2021春·上海·高一期末）如图，数轴的交点为，夹角为，与轴、轴正向同向的单位向量分别是.由平面向量基本定理，对于平面内的任一向量，存在唯一的有序实数对，使得，我们把叫做点在斜坐标系中的坐标(以下各点的坐标都指在斜坐标系中的坐标)．
(1)若，为单位向量，且与的夹角为，求点的坐标；
(2)若，点的坐标为，求向量与的夹角．
【答案】(1)；(2).
【分析】(1)利用与的数量积及为单位向量列出方程组，求解即得；
(2)类比平面向量的长度及夹角公式，计算向量与的夹角的余弦得解.
【详解】(1)时，坐标系为平面直角坐标系，
设点P(x,y)，则有，而，，
又，所以，又因，
解得，故点P的坐标是；
(2)依题意夹角为45º，，，
，
，，
所以＝2，，而，故.
【点睛】坐标系下新定义的创新试题，类比原有平面向量的模、数量积解决，但不能直接类比原有平面向量的直角坐标方法处理.
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