核心考点05向量的坐标表示及应用-高一数学下学期核心考点+重难点讲练与测试（沪教版必修二）

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一．平面向量的基本定理（共17小题）
二．平面向量的坐标运算（共11小题）
三．平面向量共线（平行）的坐标表示（共2小题）
四．向量在物理中的应用（共1小题）
考点考向
一．平面向量的基本定理
【知识点的知识】
1、平面向量基本定理内容：
如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一，有且仅有一对实数λ1、λ2，使．
2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底．
3、说明：
（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行．
（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．
二．平面向量的坐标运算
【知识点的知识】
平面向量除了可以用有向线段表示外，还可以用坐标表示，一般表示为＝（x，y），意思为以原点为起点，以（x，y）为终点的向量，它的模为d＝．若＝（m，n），则+＝（x+m，y+n），则﹣＝（x﹣m，y﹣n）；•＝（xm，ny），λ＝（λx，λy）．
三．平面向量共线（平行）的坐标表示
【知识点的知识】
平面向量共线（平行）的坐标表示：
设＝（x1，y1），＝（x2，y2），则∥（≠）⇔x1y2﹣x2y1＝0．
四．向量在物理中的应用
【知识点的知识】
向量在物理中的应用
向量概念源于物理中的矢量，物理中的力、位移、速度等都是向量，功是向量的数量积，从而使得向量与物理学建立了有机的内在联系，物理中具有矢量意义的问题也可以转化为向量问题来解决．因此，在实际问题中，如何运用向量方法分析和解决物理问题，又是一个值得探讨的课题．
应用1：向量与力
向量是既有大小又有方向的量，它们有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但是力却是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的．用向量知识解决力的问题，往往是把向量平移到同一作用点上．
应用2：向量与速度、加速度与位移
速度、加速度与位移的合成与分解，实质上是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成．
应用3：向量与功、动量
物理上力作功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移距离的乘积，它的实质是向量的数量积．
（1）力的做功涉及到两个向量及这两个向量的夹角，即，功是一个实数，它可正，也可负．
（2）在解决问题时要注意数形结合．
用向量理论讨论物理中相关问题的步骤
一般来说分为四步：
（1）问题的转化，把物理问题转化成数学问题；
（2）模型的建立，建立以向量为主体的数学模型；
（3）参数的获取，求出数学模型的相关解；
（4）问题的答案，回到物理现象中，用已经获取的数值去解释一些物理现象．
考点精讲
一．平面向量的基本定理（共17小题）
1．（2022春•嘉定区校级期末）如图，三角形ABC中，，D是线段BC上一点，且，F为线段AB的中点，AD交CF于点M，若，则λ＝ ．
2．（2022春•浦东新区校级期中）已知A、B、C三点共线，对该直线外任意一点O，都有（m，n＞0），则的最小值为 ．
3．（2022春•宝山区校级月考）在△ABC中，D，E分别在线段AB，AC上，且＝，＝，点F是线段BE的中点，则＝（ ）
A．+B．﹣C．﹣+D．﹣﹣
4．（2022春•闵行区校级期末）如图，△ABC中已知，，，，则用向量，表示＝ ．
5．（2022春•浦东新区校级期中）在△ABC中，D为BC边上一点，且满足BD＝2DC，设，则x﹣2y＝ ．
6．（2021春•徐汇区校级期中）已知正六边形ABCDEF，若，，则用，表示为 ．
7．（2022春•闵行区期中）如图，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，＝，＝，＝．
（1）用表示，，；
（2）求证：B，E，F三点共线．
8．（2022春•杨浦区校级期中）已知点A，B，C，D是直角坐标系中不同的四点，若＝λ（λ∈R），＝μ（μ∈R），且+＝2，则下列说法正确的是（ ）
A．C可能是线段AB的中点
B．D可能是线段AB的中点
C．C、D可能同时在线段AB上
D．C、D不可能同时在线段AB的延长线上
9．（2022春•宝山区校级期末）在△ABC中，点D是AC上一点，且，P为BD上一点，向量＝λ+μ（λ＞0，μ＞0），则+的最小值为 ．
10．（2022春•宝山区校级期中）正五角星是一个与黄金分割有着密切联系的优美集合图形，在如图所示的正五角星中，A、B、C、D、E是正五边形的五个顶点，且，若，则x+y＝ ．
11．（2022春•杨浦区校级期中）设平行四边形ABCD中，△BCD的重心为H，，则μ3λ＝ ．
12．（2022春•浦东新区校级期中）某公园有三个警卫室A、B、C，互相之间均有直道相连，AB＝2千米，千米，BC＝4千米，保安甲沿CB从警卫室C出发前往警卫室B，同时保安乙沿BA从警卫室B出发前往警卫室A，甲的速度为2千米/小时，乙的速度为1千米/小时．
（1）保安甲从C出发1.5小时后达点D，若，求实数x、y的值；
（2）若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在公园内的最大通话距离不超过3千米，试问有多长时间两人不能通话？（精确到0.01小时）
13．（2022春•徐汇区校级期中）如图，边长为1的正三角形ABC的中心为O，过点O的直线与边AB、AC分别交于点M、N（点M、N可以和端点重合）．
（1）用的线性组合表示；
（2）设，求的值；
（3）求的取值范围．
14．（2022春•宝山区校级月考）设O为△OAB所在平面内一点，满足，则△ABC的面积与△OAB的面积的比值为（ ）
A．6B．C．D．4
15．（2022春•宝山区校级月考）设H是△ABC的垂心，且，则cs∠ABC＝ ．
16．（2022春•杨浦区校级期中）设锐角△ABC的外心为O，且，则tanA+ctA＝ ．
17．（2022春•浦东新区校级期末）如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使DE＝CD，若点P是以点A为圆心，AB为半径的圆弧（不超出正方形）上的任一点，设向量＝+，则λ+μ的取值范围是 ．
二．平面向量的坐标运算（共11小题）
18．（2022春•普陀区校级期末）设，，若，则实数m的值为 ．
19．（2022春•浦东新区校级期末）已知点A（2，3）、B（1，4），且，则点P的坐标是（ ）
A．（0，5）B．C．（3，2）D．（﹣3，2）
20．（2022春•闵行区校级月考）已知点M（3，2），N（﹣5，﹣1），则，则点P的坐标为 ．
21．（2022春•浦东新区校级期末）若＝（2，b）为直线l：y＝2x﹣1的一个法向量，则b＝ ．
22．（2022春•徐汇区期末）已知两点M（1，﹣2）、N（2，3），点P满足，则P的坐标为 ．
23．（2022春•长宁区校级期末）若，则＝ ．
24．（2022春•虹口区校级期末）已知点，若向量与同向，，则点B的坐标为 ．
25．（2022春•虹口区校级期末）已知P1（2，7），P（3，9），，则点P2的坐标为 ．
26．（2022春•徐汇区校级期末）已知点A（1，0），B（3，0），向量＝（﹣4，﹣3），则向量＝ ．
27．（2022春•徐汇区校级期中）已知，且，则mn＝ ．
28．（2022春•虹口区校级期末）已知向量＝（﹣1，1），＝（m，2），若存在实数λ，使得，则实数m的值为 ．
三．平面向量共线（平行）的坐标表示（共2小题）
29．（2022春•青浦区校级期末）已知向量，，m∈R，，则m＝ ．
30．（2022春•奉贤区校级期中）已知向量，，若，则实数x的值是 ．
四．向量在物理中的应用（共1小题）
31．（2022春•虹口区校级期末）高一学生将质量为20kg的物体用两根绳子悬挂起来，如图（1）（2），两根绳子与铅垂线的夹角分别为45°和30°，则拉力与大小的比值为 ．
巩固提升
一、单选题
1．（2021春·上海杨浦·高一复旦附中校考期末）平面直角坐标系中，假设旦华楼坐标为，笃志楼的坐标为，问思楼的坐标为，喷水池的坐标为，则喷水池是以旦华楼，笃志楼，问思楼构成的三角形的（ ）
A．重心B．外心C．垂心D．内心
2．（2021春·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考期中）已知向量为单位向量，且，向量与共线，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
3．（2021春·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考阶段练习）已知，，，，则下列结论错误的是（ ）
A．若是的重心，则B．若是的内心，则
C．若是的垂心，则D．若是的外心，则
二、填空题
4．（2021春·上海杨浦·高一复旦附中校考期末）若点的坐标为，点坐标为，则的坐标为______.
5．（2023春·上海青浦·高一校考阶段练习）设向量，且，则实数的值是__________.
6．（2022春·上海普陀·高一校考期末）若向量与的夹角为钝角，则实数的取值范围是______．
7．（2022春·上海浦东新·高一校考期末）已知向量，，则向量在方向上的数量投影为___________.
8．（2022春·上海浦东新·高一上海市川沙中学校考期中）已知，，向量在上的投影向量为__.
9．（2022春·上海闵行·高一校考期末）已知向量，，若，则实数的取值范围是_____．
10．（2022春·上海浦东新·高一校考期末）已知，，点是线段的一个三等分点且靠近点，则点的坐标为______．
11．（2022春·上海黄浦·高一上海市大同中学校考期末）是边长为4的正三角形，以为圆心，2为半径作圆，点为圆上一动点，则的取值范围是______．
12．（2022春·上海普陀·高一校考期末）已知为坐标原点，且，若三点共线，则实数_____．
13．（2021春·上海杨浦·高一复旦附中校考期末）已知是平面内两两互不平行的向量（为正整数），满足，，则的最大值为______.
14．（2021春·上海·高一专题练习）三角形蕴涵大量迷人性质，例如：若点在内部，用分别代表、、的面积，则有．现在假设锐角三角形顶点所对的边长分别为为其垂心，的单位向量分别为，则_________．
三、解答题
15．（2022春·上海浦东新·高一上海中学东校校考期末）已知向量，．
(1)求；
(2)若向量与互相垂直，求的值．
16．（2021春·上海杨浦·高一复旦附中校考期末）如图，若，，，点分别在线段上，且满足.
(1)求；
(2)求.
17．（2022春·上海浦东新·高一校考期末）平面内给定两个向量.
(1)求；
(2)若，求实数的值.
18．（2022春·上海闵行·高一校考期末）已知向量，，且与的夹角为．
(1)求及；
(2)若与垂直，求实数的值．
19．（2022春·上海黄浦·高一上海市向明中学校考期末）已知向量.
(1)求､的夹角；
(2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
20．（2021春·上海·高一期末）已知向量，.
（1）若向量，求实数的值；
（2）若向量满足，求的值.
21．（2021春·上海·高一期末）如图，已知的面积为14，D、分别为边AB、BC上的点，且， AE与CD交于P．设存在和使， ，，．
（1）求及；
（2）用，表示；
（3）求的面积．
22．（2021春·上海·高一专题练习）在中，过重心的直线与边交于，与边交于，点不与重合.设面积为，面积为.
（1）求；
（2）求证：；
（3）求的取值范围.
23．（2022春·上海闵行·高一上海市七宝中学校考阶段练习）如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与x轴、y轴同方向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做在斜坐标系中的坐标．
(1)若，求．
(2)若，求在上的投影向量斜坐标．
(3)若，，，求的最小值．