广东省广州市天河区2023-2024学年高二上学期期末数学试题

这是一份广东省广州市天河区2023-2024学年高二上学期期末数学试题，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．已知直线经过点和，则的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．公比不为1的等比数列满足，若，则正整数m的值为（ ）
A．11B．10C．9D．8
3．直线与圆的位置关系为（ ）
A．相离B．相切C．相交D．无法确定
4．图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，第6个叠放的图形中小正方体木块的总数是（ ）
图1 图2 图3
A．61B．66C．90D．91
5．已知双曲线：的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
6．如图，在三棱台中，，是的中点，是的中点，若，则（ ）
A．B．1C．D．
7．已知抛物线可由抛物线平移得到，若抛物线的焦点为，点在抛物线E上且，则点到轴距离为（ ）
A．5B．6C．7D．8
8．在平面直角坐标系中，已知圆，若圆上存在点P，由点P向圆C引一条切线，切点为M，且满足，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知直线，且，则（ ）
A．B．
C．与间的距离为D．的一个方向向量为
10．若动点与两定点的连线的斜率之积为常数k（），则点的轨迹可能是（ ）
A．除M，N两点外的圆B．除M，N两点外的椭圆
C．除M，N两点外的双曲线D．除M，N两点外的抛物线
11．已知正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ）
A．点到直线的距离为
B．点到平面的距离为
C．若点在直线上，则
D．若点在平面内，则
12．已知数列的通项公式为，记为数列的前n项和，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则
D．若，则
三、填空题
13．若方程表示一个圆，则实数m的取值范围是 ．
14．已知数列满足 ，则的通项公式为 ．
15．已知点和，椭圆上一点P满足，则 ．
16．如图，正方形和正方形的边长都是1，且它们所在的平面所成的二面角的大小是，则直线和夹角的余弦值为 ．若分别是上的动点，且，则的最小值是 ．
四、解答题
17．设是公差不为0的等差数列，，是，的等比中项.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
18．如图，在正四棱柱中，．点E，F，G，H分别在棱上，．
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
19．已知圆，直线l过点．
(1)若直线l的斜率为，求直线l被圆C所截得的弦长；
(2)若直线l与圆C相切，求直线l的方程．
20．己知四棱锥的底面为等腰梯形，，平面．
(1)求证：；
(2)若平面与平面夹角的余弦值为，求四棱锥的体积．
21．甲乙两家新能源汽车企业同时量产，第一年的全年利润额均为p万元根据市场分析和预测，甲企业第n年的利润额比前一年利润额多万元，乙企业前n年的总利润额为万元，记甲，乙两企业第n年利润额（单位：万元）分别为．
(1)求；
(2)若其中某一新能源汽车企业的年利润额不足另一企业的年利润额的，则该企业将被另一企业收购，判断哪一家新能源汽车企业有可能被收购？如果有这种情况，至少会出现在第几年？
22．已知椭圆的短轴长为2，点P在椭圆C上且与两焦点围成的三角形面积的最大值为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过椭圆C内一点的直线l交C于A，B两点，是否存在定值m，使得恒成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
参考答案：
1．C
【分析】先求解出的斜率，然后根据求解出倾斜角.
【详解】设直线的倾斜角为，
因为，
所以且，
所以，
故选：C.
2．B
【分析】根据等比数列的性质可知，所以，进而求出的值．
【详解】由于公比不为1的等比数列满足，
，
，，
，
．
故选：B．
3．A
【分析】求圆心到直线的距离与半径比较即可判断直线与圆的位置关系.
【详解】由题意知，圆心，半径，
所以圆心到直线的距离，故圆与直线相离.
故选：A.
4．B
【分析】归纳可知，第个叠放图形中共有层，且各层的小正方体木块个数构成了以1为首项，以4为公差的等差数列，再结合等差数列的前项和公式求解即可．
【详解】分别观察各图中小正方体木块的个数为1，，，，
归纳可知，第个叠放图形中共有层，且各层的小正方体木块个数构成了以1为首项，以4为公差的等差数列，
所以，
所以．
故第6个叠放的图形中，小正方体木块的总数为66．
故选：B．
5．A
【分析】求出双曲线C渐近线的斜率，与已知直线斜率的乘积等于-1，即可求解.
【详解】由题意，双曲线的方程为： ，斜率为 和 ，
直线 的斜率为 ，因为两直线垂直，
则有 ，即 ，（ ，显然这是不可能的），
或 ， ；
故选：A.
6．C
【分析】由空间向量的线性运算和空间向量基本定理求解即可.
【详解】结合图形可知：
是的中点，,,
，
是的中点，,
,
即,
，，.
故选：C.
7．C
【分析】根据题意得到抛物线平移后的抛物线，再利用抛物线的焦半径公式求得对应点平移后的纵坐标，进而得到点的纵坐标，从而得解.
【详解】依题意，将抛物线的图象向左平移2个单位，
再向下平移3个单位，可得抛物线，即的图象，
记抛物线的焦点为，记点为点平移后的点，
由平移的性质可知，则，即，
所以点的纵坐标为，即点到轴距离为.
故选：C.
8．D
【分析】根据可求出点P的轨迹方程，根据点P的轨迹与圆D有交点列出不等式求解.
【详解】设点P的坐标为，如图所示：
由可知：，而，∴
∴，整理得，即.
∴点P的轨迹为以点为圆心，为半径的圆，又∵点P在圆D上，∴所以点P为圆D与圆E的交点，即要想满足题意，
只要让圆D和圆E有公共点即可，∴两圆的位置关系为外切，相交或内切，∴，解得.
故选：D
9．AD
【分析】根据两条直线平行的充要条件，可得，即可判断AB，由两条直线平行的距离公式即可判断C，根据直线的斜率即可求解方向向量，进而判断D.
【详解】由两条直线平行可得：，解得，所以A正确，B不正确；
，
所以两条直线之间的距离＝，所以C不正确；
直线的斜率为2，所以它的一个方向向量可以为，所以D正确．
故选：AD．
10．ABC
【分析】根据题意可分别表示出动点与两定点的连线的斜率，根据其之积为常数，求得和的关系式，对的范围进行分类讨论，分别看，，根据圆锥曲线的标准方程可推断出点的轨迹．
【详解】依题意可知，整理得，
当时，方程的轨迹为双曲线（除，两点）；
当时，且方程的轨迹为椭圆（除，两点）；
当时，点的轨迹为圆（除，两点）；
因为抛物线的标准方程中，或的指数必有一个是1，
故点的轨迹一定不可能是抛物线．
故选：ABC
11．AB
【分析】由题意对于A，可由等面积法验算；对于B，由即可验算；对于C，由与共线即可验证；对于D，由即可验证.
【详解】
由题意，
所以，
若点在直线上，则，
由与共线可得，故C正确；
又，所以，
而，，
不妨设点到直线的距离为，
由等面积法有，解得，故A错误；
，不妨设平面的法向量为，
则，令，解得，即取平面的法向量为，
若点在平面内，则，
所以，即，故C错误；
又，
所以点到平面的距离为，故B正确.
故选：AB.
12．BC
【分析】由为等差数列，先求出，，由可判断选项A；分为奇数和偶数分别求的前项和，从而可判断B；先得出，从而得出，，再分为奇数和偶数分别求的前项和,即可判断C；由，求出，从而可求出的前40项的和,进而判断D.
【详解】因为数列的通项公式为，,故，所以为等差数列，，公差为，
则，
，
当时，，故A不正确；
当为偶数时，；
当为奇数时，，
故，所以B正确；
，
，
当为偶数时，，
当为奇数时，，
所以，故C正确；
，
，
所以
，
所以，所以D错误．
故选：BC．
【点睛】方法点睛：本题主要考查数列求和的应用，常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.
13．
【分析】将圆的一般方程写成标准方程，在根据等号右边的式子大于0求解.
【详解】原方程可化为，方程表示圆，则有，即.
故答案为：
14．
【分析】由递推公式可得，即以为首项，为公比的等比数列，根据等比数列的通项公式求出的通项公式，即可得解；
【详解】解：因为，，
所以，即
所以以为首项，为公比的等比数列，
所以
所以
故答案为：
【点睛】本题考查由递推公式求数列的通项公式，属于中档题.
15．9
【分析】由题意得点和为椭圆的焦点，结合椭圆定义以及可得，结合数量积定义以及余弦定理即可得解.
【详解】由题意，
所以点和为椭圆的焦点；
所以，
又因为，所以，
又，
所以由余弦定理有
.
故答案为：9.
16． /0.25；． /
【分析】利用已知条件结合向量法即可求解；利用二面角的定义证得就是二面角的平面角，即为，再利用空间向量将的长转化为的模求解，利用空间向量的线性运算和数量积、一元二次函数的图象与性质运算即可得解．
【详解】连接，如下图，
由题意，，，正方形中，，
正方形中，平面，平面，平面平面，
就是二面角的平面角，则，
向量与向量夹角为，且，
①，，，
，
，
直线和夹角的余弦值为；
②设，则，
且由题意，
，
，
令，,，图象开口向上，且对称轴为，
当时，取得最小值，又，
，即的最小值是．
故答案为：；．
17．(1)
(2)
【分析】（1）设的公差为，由题意可得，求出，即可求出的通项公式；
（2）由裂项相消法求和即可得出答案.
【详解】（1）设的公差为，因为，是，的等比中项，
所以，所以.
因为，所以，故.
（2）因为，
所以.
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，由两个向量的共线证明平行即可；
（2）求出平面的法向量，设直线与平面所成角为，则，计算即可.
【详解】（1）如图：
在正四棱柱中，分别以为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系.
则：，，，，
所以，，所以.
所以.
（2）由（1）知，，，
所以，，，
设平面的法向量为，直线与平面所成角为，
则，所以，令，则，，
所以，.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
19．(1)
(2)或.
【分析】（1）由点斜式得方程并化简，直接由圆心到直线的距离结合弦长公式即可求解.
（2）分直线斜率是否存在进行讨论，结合直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径列方程即可求解.
【详解】（1）由题意直线l的斜率为，过点，所以它的方程为，即，
圆的圆心坐标、半径分别为，
圆心到直线的距离为，
所以直线l被圆C所截得的弦长为.
（2）若直线l的斜率不存在，此时它的方程为，
圆心到的距离为,即直线l与圆C相切，满足题意；
若直线l的斜率存在，此时设它的方程为，
若直线l与圆C相切，则圆心到的距离为，
解得，所以此时l的方程为，即；
综上所述，满足题意的l的方程为或.
20．(1)证明见解析
(2)2
【分析】（1）通过证明平面，得证；
（2）设，由已知二面角的余弦值，利用向量法求得，可求四棱锥的体积．
【详解】（1）平面，平面，，
过点作，交于点，
四边形为等腰梯形，
由，得，则，
所以，，
由，平面，得平面，
平面，所以；
（2）四边形为平行四边形，，，
，，
两两垂直，以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，，
，，，
设平面的一个法向量，则，
令，则，即，
设平面的一个法向量，则，
令，则，即，
平面与平面夹角的余弦值为，
则有，解得，
等腰梯形的面积为，
故.
所以四棱锥的体积为2.
21．(1)，.
(2)甲企业可能被乙企业收购，至少出现在第6年
【分析】（1）由可求得通项公式，由累加法可求得通项公式.
（2）研究单调性进而可得恒成立，再研究单调性，结合解不等式与即可.
【详解】（1）由题意知，（），（），
设乙企业前年的总利润额为，则，
当时，，
当时，，
将代入可得不符合，
所以，
又（），，
所以，
当时也符合上式，
所以.
（2）①
当时，，即，
当时，，
所以，即，
故对于，恒成立，即乙企业不可能被甲企业收购.
②，
当时，，即，
当时，，
所以在且上单调递减，
当且时，，即，
当且时，，即，
故当且时，，即甲企业不能被乙企业收购，
当且时，，即甲企业能被乙企业收购，
综述：甲企业可能被乙企业收购，至少出现在第6年.
22．(1)
(2)存在满足题意，理由见解析
【分析】（1）由题意，，结合平方关系即可得解.
（2）先讨论直线l的斜率为0时的情形，得，当直线l的斜率不为0时，联立椭圆方程，表示出，将其代入即可得解.
【详解】（1）由题意得，，又,
所以解得，
所以椭圆C的标准方程为.
（2）
当直线l的斜率为0时，即直线l的方程为，不妨设此时，且，
则，解得满足题意，
当直线l的斜率不为0时，不妨设直线l的方程为，
将其与椭圆方程联立得，，化简并整理得，
，
由韦达定理有，
由求根公式有，
若，
则，
化简并整理得，
若，则恒成立，满足题意.
综上所述，存在，使得恒成立.
【点睛】关键点睛：第二问的关键是巧妙设直线方程，即当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为，这样在算弦长乘积时，会有奇效.