（人教A版2019选择性必修第一册）数学 专题2.7 直线与圆的位置关系【九大题型】（举一反三）（原卷版+解析）

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专题2.7 直线与圆的位置关系【九大题型】【人教A版（2019）】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc16962" 【题型1 直线与圆的位置关系的判定】  PAGEREF _Toc16962 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc17680" 【题型2 根据直线与圆的位置关系求参数】  PAGEREF _Toc17680 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc10347" 【题型3 圆的切线长及切线方程的求解】  PAGEREF _Toc10347 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc29945" 【题型4 已知切线求参数】  PAGEREF _Toc29945 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc15776" 【题型5 求圆的弦长与中点弦】  PAGEREF _Toc15776 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc25121" 【题型6 已知圆的弦长求方程或参数】  PAGEREF _Toc25121 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc7408" 【题型7 直线与部分圆的相交问题】  PAGEREF _Toc7408 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc18561" 【题型8 直线与圆有关的最值问题】  PAGEREF _Toc18561 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc29441" 【题型9 直线与圆的方程的应用】  PAGEREF _Toc29441 \h 7【知识点1 直线与圆的位置关系及判定】1．直线与圆的位置关系及判定方法(1)直线与圆的位置关系及方程组的情况如下：(2)直线与圆的位置关系的判定方法①代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的实数解，即>0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即=0，则直线与圆相切；若无实数解，即<0，则直线与圆相离. ②几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断，当dr时，直线与圆相离.【题型1 直线与圆的位置关系的判定】【例1】（2023·全国·高三专题练习）直线l:x+my+1−m=0与圆C:x−12+y−22=9的位置关系是（    ）A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定【变式1-1】（2023秋·高二课时练习）M(x0,y0)为圆x2+y2=1内异于圆心的一点，则直线x0x+y0y=1与该圆的位置关系为（    ）A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交【变式1-2】（2023春·山东滨州·高一校考阶段练习）⊙O的半径为7 cm，圆心O到直线l的距离为8 cm，则直线l与⊙O的位置关系是（    ）A．相交 B．相离C．相切 D．以上均不对【变式1-3】（2023·全国·模拟预测）已知曲线C:x2+y2−6y+5=0，直线l:ax+y+a−2=0，则直线l与曲线C的位置关系为（    ）A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定【题型2 根据直线与圆的位置关系求参数】【例2】（2023·全国·高三专题练习）设平面直线y=x+b与圆x2+y2=1相交，则b的取值范围为（    ）A．−12,12 B．−1,1 C．−2,2 D．−3,3【变式2-1】（2023·北京·高三专题练习）若直线x−y+1=0与圆x2+y2−2x+1−a=0相切，则a等于（    ）A．2 B．1 C．2 D．4【变式2-2】（2023·广东茂名·统考二模）已知直线l:y=kx与圆C:x−22+y−12=1，则“00．上，点A0,2，若PA的最小值为1，则过点A且与圆C相切的直线方程为（    ）A．x=0或7x+24y−48=0 B．x=0或7x−24y−48=0C．x=1或24x−7y−48=0 D．x=1或24x+7y−48=0【题型4 已知切线求参数】【例4】（2023春·广东江门·高二统考期末）若直线x−y+3=0与圆x2+y2−2x+2−a=0相切，则a=（    ）A．9 B．8 C．7 D．6【变式4-1】（2023·全国·高三对口高考）“b=2”是“直线y=x+b与圆x2+y2=1相切”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式4-2】（2023秋·四川雅安·高二统考期末）过点P（2，1）的直线l与坐标轴的正半轴交于A，B两点，当三角形OAB的面积最小时直线l与圆x+12+y−m2=5相切，则实数m的值为（    ）A．﹣1或4 B．1或6 C．0或5 D．2或7【变式4-3】（2023春·江西·高二校联考阶段练习）已知圆O:x2+y2=4，直线l的方程为x−y+m=0，若在直线l上存在点P，过点P作圆O的切线PA,PB，切点分别为点A,B，使得∠APB为直角，则实数m的取值范围为（    ）A．−∞,−4∪4,+∞ B．−∞,−4∪4,+∞C．−4,4 D．−4,4【知识点3 圆的弦长】1．圆的弦长问题设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种：(1)几何法如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：.(2)代数法将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A,B.①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解.②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式.【题型5 求圆的弦长与中点弦】【例5】（2023春·贵州遵义·高二统考期中）已知直线l:x−2y+3=0与圆C:x2+y2−2x−6y+6=0交于A,B两点，则AB=（    ）A．1655 B．855 C．455 D．255【变式5-1】（2023·全国·高三专题练习）已知圆C：x2+y2−4x+8y=0关于直线3x−2ay−22=0对称，则圆C中以a2,−a2为中点的弦长为（    ）A．25 B．5 C．10 D．210【变式5-2】（2023春·内蒙古巴彦淖尔·高二校考阶段练习）已知直线l与圆C:x−12+y2=9相交于A,B两点,弦AB的中点为M0,2,则直线l的方程为（    ）A．x+2y+4=0 B．x+2y−4=0 C．x−2y+4=0 D．x−2y−4=0【变式5-3】（2023·北京·高三专题练习）已知直线y+1=m(x−2)与圆(x−1)2+(y−1)2=9相交于M，N两点.则|MN|的最小值为（    ）A．5 B．25 C．4 D．6【题型6 已知圆的弦长求方程或参数】【例6】（2023春·贵州·高二校联考期中）已知直线l：x−ky−5=0与圆O：x2+y2=10交于A、B两点且AB=25，则k=（        ）A．0 B．±1 C．±2 D．±3【变式6-1】（2023·广西玉林·博白县模拟预测）已知圆C：x2+y2=4，直线L：y=kx+m，则当k的值发生变化时，直线被圆C所截的弦长的最小值为2，则m的取值为（    ）A．±2 B．±2 C．±3 D．±3【变式6-2】（2023秋·高二课时练习）与y轴相切，圆心在直线x−3y=0上，且在直线y=x上截得的弦长为27，则此圆的方程是（    ）A．(x−3)2+(y−1)2=9B．(x+3)2+(y+1)2=9C．(x+3)2+(y+1)2=9或(x−3)2+(y−1)2=9D．(x+3)2+(y−1)2=9或(x−3)2+(y+1)2=9【变式6-3】（2023·全国·高三专题练习）直线y=kx+2与圆(x−2)2+(y−3)2=4相交于M,N两点，若MN≥23，则k的取值范围是（    ）A．−34,34 B．−3,3 C．−33,33 D．0,43【题型7 直线与部分圆的相交问题】【例7】（2023春·新疆乌鲁木齐·高二校考开学考试）已知曲线y=1−x2与直线y=k(x+3)−1有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（    ）A．(12,34) B．0,34 C．12,23 D．[12,34)【变式7-1】（2023·北京海淀·高三专题练习）已知直线l:x+y+t=0，曲线C:y=4−x2，则“l与C相切”是“t=−22”的（    ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【变式7-2】（2023春·江西宜春·高二校联考期中）若过点P(2,4)且斜率为k的直线l与曲线y=4−x2有且只有一个交点，则实数k的值不可能是(    )A．34 B．45 C．43 D．2【变式7-3】（2023春·全国·高二开学考试）直线y=2x+m与曲线y=4−x2恰有两个交点，则实数m取值范围是（    ）A．−4,4 B．4,25 C．−25,4 D．−2,4【知识点4 解与圆有关的最值问题】1．解与圆有关的最值问题(1)利用圆的几何性质求最值的问题求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线.①如图2-5-1-4①，当直线l与圆C相交时，最小距离为0，最大距离为AD=r+d.其中r为圆的半径，d为圆心到直线的距离；②如图2-5-1-4②，当直线l与圆C相切时，最小距离为0，最大距离为AD=2r；③如图2-5-1-4③，当直线l与圆C相离时，最小距离为BD=d-r，最大距离为AD=d+r.(2)利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围) 问题解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径. ①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.(3)经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦.【题型8 直线与圆有关的最值问题】【例8】（2023·北京海淀·北大附中校考三模）已知圆O:x2+y2=1，直线3x+4y−10=0上动点P，过点P作圆O的一条切线，切点为A，则PA的最小值为（    ）A．1 B．2 C．3 D．2【变式8-1】（2023春·北京东城·高三校考阶段练习）已知圆C:x2+y2−2x=0，过直线l:y=x+2上的动点M作圆C的切线，切点为N，则MN的最小值是（    ）A．22 B．2 C．322 D．142【变式8-2】（2023春·四川泸州·高二校考阶段练习）已知圆C:x−42+y−132=4，过直线l:4x−3y=0上一点P向圆C作切线，切点为Q，则△PCQ的面积最小值为（    ）A．3 B．5 C．25 D．13【变式8-3】（2023秋·山西晋城·高二校考期末）已知点P是圆x−12+y−62=425上的点，点Q是直线x−y=0上的点，点R是直线12x−5y+24=0上的点，则PQ+QR的最小值为（    ）A．7 B．335 C．6 D．295【知识点5 与圆有关的对称问题】1．直线与圆的方程的应用(1)解决实际问题的步骤：①审题：认真审题，明确题意，从题目中抽象出几何模型，明确题中已知和待求的数据；②建系：建立适当的平面直角坐标系，通过点的坐标及已知条件，求出几何模型的方程；③求解：利用直线、圆的性质等有关知识求解；④还原：将运算结果还原为对实际问题的解释. (2)建系原则建立适当的平面直角坐标系要把握两个原则：①对称性原则.可以选择对称中心为坐标原点，对称轴所在的直线为坐标轴.到两个定点的距离问题，可以选择两个定点所在的直线以及线段的垂直平分线为坐标轴等.有两条相互垂直的直线的问题则可选其为坐标轴. ②集中性原则.可以让曲线上尽可能多的特殊点在坐标轴上.如与三角形有关的问题，可以考虑将三角形的三个顶点全部放在坐标轴上.【题型9 直线与圆的方程的应用】【例9】（2023春·上海静安·高二校考期中）如图是某圆拱桥的一孔圆弧拱的示意图，该圆弧拱跨度AB=20米，每隔5米有一个垂直地面的支柱，中间的支柱A2P2=4米.(1)建立适当的坐标系求该圆拱桥所在曲线的方程;(2)求其它支柱的高度（精确到0.01米）．【变式9-1】（2023秋·湖北·高二校联考期末）如图，某海面上有O、A、B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛402千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系圆C经过O、A、B三点．(1)求圆C的标准方程；(2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东60°行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？【变式9-2】（2023秋·云南丽江·高二统考期末）为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台O的北偏西45°方向22km处设立观测点A，在平台O的正东方向12km处设立观测点B，规定经过O、A、B三点的圆以及其内部区域为安全预警区．如图所示：以O为坐标原点，O的正东方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系．(1)试写出A，B的坐标，并求两个观测点A，B之间的距离；(2)某日经观测发现，在该平台O正南10km C处，有一艘轮船正以每小时87km的速度沿北偏东45°方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全警示区内会行驶多长时间？【变式9-3】（2023春·上海浦东新·高二校考阶段练习）在某地举办的智能AI大赛中，主办方设计了一个矩形场地ABCD（如图），AB的长为9米，AD的长为18米．在AB边上距离A点6米的F处有一只电子狗，在距离A点3米的E处放置一个机器人．电子狗的运动速度是机器人运动速度的两倍，如果同时出发，机器人比电子狗早到达或同时到达某点（电子狗和机器人沿各自的直线方向到达某点），那么电子狗将被机器人捕获，电子狗失败，这点叫失败点．(1)判断点A是否为失败点（不用说明理由）；(2)求在这个矩形场地内电子狗失败的区域面积S；(3)若P为矩形场地AD边上的一动点，当电子狗在线段FP上都能逃脱时，求APAD的取值范围．专题2.7 直线与圆的位置关系【九大题型】【人教A版（2019）】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc16962" 【题型1 直线与圆的位置关系的判定】  PAGEREF _Toc16962 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc17680" 【题型2 根据直线与圆的位置关系求参数】  PAGEREF _Toc17680 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc10347" 【题型3 圆的切线长及切线方程的求解】  PAGEREF _Toc10347 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc29945" 【题型4 已知切线求参数】  PAGEREF _Toc29945 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc15776" 【题型5 求圆的弦长与中点弦】  PAGEREF _Toc15776 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc25121" 【题型6 已知圆的弦长求方程或参数】  PAGEREF _Toc25121 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc7408" 【题型7 直线与部分圆的相交问题】  PAGEREF _Toc7408 \h 12 HYPERLINK \l "_Toc18561" 【题型8 直线与圆有关的最值问题】  PAGEREF _Toc18561 \h 15 HYPERLINK \l "_Toc29441" 【题型9 直线与圆的方程的应用】  PAGEREF _Toc29441 \h 18【知识点1 直线与圆的位置关系及判定】1．直线与圆的位置关系及判定方法(1)直线与圆的位置关系及方程组的情况如下：(2)直线与圆的位置关系的判定方法①代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的实数解，即>0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即=0，则直线与圆相切；若无实数解，即<0，则直线与圆相离. ②几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断，当dr时，直线与圆相离.【题型1 直线与圆的位置关系的判定】【例1】（2023·全国·高三专题练习）直线l:x+my+1−m=0与圆C:x−12+y−22=9的位置关系是（    ）A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定【解题思路】判断出直线的定点坐标，然后判断定点与圆的位置关系，进而可得直线与圆的位置关系.【解答过程】已知直线l:x+my+1−m=0过定点−1,1，将点−1,1代入圆的方程可得−1−12+1−22<9，可知点−1,1在圆内，所以直线l:x+my+1−m=0与圆C:x−12+y−22=9相交.故选：A.【变式1-1】（2023秋·高二课时练习）M(x0,y0)为圆x2+y2=1内异于圆心的一点，则直线x0x+y0y=1与该圆的位置关系为（    ）A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交【解题思路】由题意可得x02+y02<1，结合圆心到直线x0x+y0y=1的距离判断与半径的大小关系，即得答案.【解答过程】由题意知M(x0,y0)为圆x2+y2=1内异于圆心的一点，则x02+y02<1，而圆：x2+y2=1的圆心到直线x0x+y0y=1的距离为d=1x02+y02>1=r，故直线x0x+y0y=1与该圆的位置关系为相离，故选：C.【变式1-2】（2023春·山东滨州·高一校考阶段练习）⊙O的半径为7 cm，圆心O到直线l的距离为8 cm，则直线l与⊙O的位置关系是（    ）A．相交 B．相离C．相切 D．以上均不对【解题思路】根据圆与直线的位置关系即可得答案.【解答过程】⊙O的半径为r=7cm，圆心O到直线l的距离为d=8cm，则r0且圆心坐标为1,0，半径为a，直线x−y+1=0与圆x2+y2−2x+1−a=0相切，则圆心到直线距离等于半径，即：d=1−0+112+−12=22=a，解得a=2.故选：A.【变式2-2】（2023·广东茂名·统考二模）已知直线l:y=kx与圆C:x−22+y−12=1，则“00．上，点A0,2，若PA的最小值为1，则过点A且与圆C相切的直线方程为（    ）A．x=0或7x+24y−48=0 B．x=0或7x−24y−48=0C．x=1或24x−7y−48=0 D．x=1或24x+7y−48=0【解题思路】首先得到圆心坐标与半径，根据PA的最小值为1，得到方程求出a的值，即可求出圆的方程，再分斜率存在与不存在两种情况，分别求出切线方程，即可得解.【解答过程】由圆C方程可得圆心为Ca,0，半径r=a，因为PA的最小值为1，所以a2+4−a=1，解得a=32，故圆C:x−322+y2=94．若过点A0,2的切线斜率存在，设切线方程为y=kx+2，则32k−0+21+k2=32，解得k=−724，所以切线方程为y=−724x+2，即7x+24y−48=0；若过点A0,2的切线斜率不存在，由圆C方程可得，圆C过坐标原点0,0，所以切线方程为x=0．综上，过点A且与圆C相切的直线方程为x=0或7x+24y−48=0．故选：A.【题型4 已知切线求参数】【例4】（2023春·广东江门·高二统考期末）若直线x−y+3=0与圆x2+y2−2x+2−a=0相切，则a=（    ）A．9 B．8 C．7 D．6【解题思路】求出圆的圆心和半径，再利用圆的切线性质求解作答.【解答过程】圆(x−1)2+y2=a−1 (a>1)的圆心(1,0)，半径a−1，依题意，|1−0+3|12+(−1)2=a−1，解得a=9，所以a=9.故选：A.【变式4-1】（2023·全国·高三对口高考）“b=2”是“直线y=x+b与圆x2+y2=1相切”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径得到方程，解出b值，再根据充分不必要条件的判定即可得到答案.【解答过程】若直线y=x+b与圆x2+y2=1相切，则圆心0,0到直线x−y+b=0的距离d等于半径r，即b2=1，b=±2，故前者能推出后者，后者无法推出前者，故“b=2”是“直线y=x+b与圆x2+y2=1相切”的充分不必要条件.故选：A.【变式4-2】（2023秋·四川雅安·高二统考期末）过点P（2，1）的直线l与坐标轴的正半轴交于A，B两点，当三角形OAB的面积最小时直线l与圆x+12+y−m2=5相切，则实数m的值为（    ）A．﹣1或4 B．1或6 C．0或5 D．2或7【解题思路】结合基本不等式求得当直线l的斜率k=−12时，三角形OAB面积最小.结合直线与圆相切，利用点到直线的距离公式求得m的值.【解答过程】因为过点P（2，1）的直线l与坐标轴的正半轴交于A，B两点，设直线l的方程为y﹣1＝k（x﹣2），其中k＜0，令y＝0，解得x＝2−1k，令x＝0，则y＝1﹣2k，则A（2−1k，0），B（0，1﹣2k），所以S△OAB=12×(2−1k)(1−2k)＝12(−4k−1k+4)≥12×(2−4k⋅1−k+4)＝4，当其仅当−4k=−1k，即k＝−12时取等号，此时直线l的方程为y−1=−12(x−2)，即x+2y﹣4＝0，因为直线l与圆x+12+y−m2=5相切，所以|−1+2m−4|1+4=5，解得m＝0或m＝5．故选：C.【变式4-3】（2023春·江西·高二校联考阶段练习）已知圆O:x2+y2=4，直线l的方程为x−y+m=0，若在直线l上存在点P，过点P作圆O的切线PA,PB，切点分别为点A,B，使得∠APB为直角，则实数m的取值范围为（    ）A．−∞,−4∪4,+∞ B．−∞,−4∪4,+∞C．−4,4 D．−4,4【解题思路】由圆的对称性及切线的性质进行转化，将问题转化为点到直线的距离求解.【解答过程】连接OA,OB,OP，如图，则由圆的对称性及切线的性质，可得四边形OAPB为正方形，又OP=2r=22，所以点O到直线l:x−y+m=0的距离必须小于或等于22，即d=0−0+m2≤22，所以−4≤m≤4，故选：D.【知识点3 圆的弦长】1．圆的弦长问题设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种：(1)几何法如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：.(2)代数法将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A,B.①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解.②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式.【题型5 求圆的弦长与中点弦】【例5】（2023春·贵州遵义·高二统考期中）已知直线l:x−2y+3=0与圆C:x2+y2−2x−6y+6=0交于A,B两点，则AB=（    ）A．1655 B．855 C．455 D．255【解题思路】先求圆C的圆心和半径，再用点到直线的距离公式求点C到直线l的距离，再利用弦长公式AB=2r2−d2求AB.【解答过程】因为圆C:x2+y2−2x−6y+6=0的圆心为C1,3，半径r=2，因为C1,3到直线l:x−2y+3=0的距离d=1−2×3+31+4=255，所以AB=2r2−d2=24−45=855.故选：B.【变式5-1】（2023·全国·高三专题练习）已知圆C：x2+y2−4x+8y=0关于直线3x−2ay−22=0对称，则圆C中以a2,−a2为中点的弦长为（    ）A．25 B．5 C．10 D．210【解题思路】圆C：x2+y2−4x+8y=0关于直线3x−2ay−22=0对称，即说明直线过圆心C2,−4，可求出a=2，再由垂径定理即可求出弦长.【解答过程】圆方程配方得x−22+y+42=20，圆心C2,−4，r=25，∵圆C：x2+y2−4x+8y=0关于直线3x−2ay−22=0对称，∴可知直线过圆心C2,−4，即3×2+8a−22=0，解得a=2，故a2,−a2=1,−1，则圆心与点1,−1的距离的平方为10，则圆C中以1,−1为中点的弦长为2252−10=210.故选：D.【变式5-2】（2023春·内蒙古巴彦淖尔·高二校考阶段练习）已知直线l与圆C:x−12+y2=9相交于A,B两点,弦AB的中点为M0,2,则直线l的方程为（    ）A．x+2y+4=0 B．x+2y−4=0 C．x−2y+4=0 D．x−2y−4=0【解题思路】由M0,2是弦AB的中点,所以CM⊥AB,求出CM的斜率,进而求得AB的斜率,根据AB的中点为M0,2,根据点斜式即可写出直线l的方程.【解答过程】解:由题知,圆C:x−12+y2=9,即圆心C1,0,因为弦AB的中点为M0,2,所以CM⊥AB,因为kCM=2−1=−2,所以kCM⋅kAB=−1,即kAB=12,因为M0,2在AB上,所以AB:y−2=12x−0,即l:x−2y+4=0.故选:C.【变式5-3】（2023·北京·高三专题练习）已知直线y+1=m(x−2)与圆(x−1)2+(y−1)2=9相交于M，N两点.则|MN|的最小值为（    ）A．5 B．25 C．4 D．6【解题思路】先求出圆心A(1,1)和半径，以及直线的定点B2,−1，利用圆的几何特征可得到当AB⊥MN时，|MN|最小【解答过程】由圆的方程(x−1)2+(y−1)2=9，可知圆心A(1,1)，半径R=3，直线y+1=m(x−2)过定点B2,−1，因为(2−1)2+(−1−1)2=5<9，则定点B2,−1在圆内，则点B2,−1和圆心A(1,1)连线的长度为d=(2−1)2+−1−12=5，当圆心到直线MN距离最大时，弦长MN最小，此时AB⊥MN，由圆的弦长公式可得|MN|=2R2−d2=232−(5)2=4，故选：C.【题型6 已知圆的弦长求方程或参数】【例6】（2023春·贵州·高二校联考期中）已知直线l：x−ky−5=0与圆O：x2+y2=10交于A、B两点且AB=25，则k=（        ）A．0 B．±1 C．±2 D．±3【解题思路】根据点到直线距离公式与圆的垂径定理求解.【解答过程】圆x2+y2=10的圆心为(0,0)，半径为r=10，圆心(0,0)到直线x−ky−5=0的距离：d=51+k2，由r2=d2+AB22得10=251+k2+5，解得k=±2.故选：C.【变式6-1】（2023·广西玉林·博白县模拟预测）已知圆C：x2+y2=4，直线L：y=kx+m，则当k的值发生变化时，直线被圆C所截的弦长的最小值为2，则m的取值为（    ）A．±2 B．±2 C．±3 D．±3【解题思路】由直线L过定点M(0,m)，结合圆的对称性以及勾股定理得出m的取值.【解答过程】直线L：y=kx+m恒过点M(0,m)，由于直线被圆C所截的弦长的最小值为2，即当直线L与直线OM垂直时（O为原点），弦长取得最小值，于是22=12×22+|OM|2=1+m2，解得m=±3.故选：C.【变式6-2】（2023秋·高二课时练习）与y轴相切，圆心在直线x−3y=0上，且在直线y=x上截得的弦长为27，则此圆的方程是（    ）A．(x−3)2+(y−1)2=9B．(x+3)2+(y+1)2=9C．(x+3)2+(y+1)2=9或(x−3)2+(y−1)2=9D．(x+3)2+(y−1)2=9或(x−3)2+(y+1)2=9【解题思路】根据圆心位置以及与y轴相切可设出圆心坐标和半径，再根据弦长为27即可求得圆的方程.【解答过程】由圆心在直线x−3y=0上，可设圆心坐标为3a,a，又因为与y轴相切，所以半径r=3a，易知圆心到直线y=x的距离为d=2a12+12=2a，根据直线被圆截得的弦长公式可得，直线y=x被截得的弦长为2r2−d2=27，所以27a2=27，解得a=±1；当a=1时，该圆是以3,1为圆心，r=3为半径的圆，圆方程为(x−3)2+(y−1)2=9；当a=−1时，该圆是以−3,−1为圆心，r=3为半径的圆，圆方程为(x+3)2+(y+1)2=9.故选：C.【变式6-3】（2023·全国·高三专题练习）直线y=kx+2与圆(x−2)2+(y−3)2=4相交于M,N两点，若MN≥23，则k的取值范围是（    ）A．−34,34 B．−3,3 C．−33,33 D．0,43【解题思路】根据MN≥23，由弦长公式得，圆心到直线的距离小于或等于1，从而可得关于k的不等式，即可求得结论.【解答过程】圆(x−2)2+(y−3)2=4的圆心为(2,3),半径r=2,直线y=kx+2的方程化为一般形式为kx−y+2=0.∵MN≥23，设圆心到直线y=kx+2的距离为d，则d=4−MN22≤1，∴d=2k−3+2k2+1=2k−1k2+1≤1，解得0≤k≤43.故选：D.【题型7 直线与部分圆的相交问题】【例7】（2023春·新疆乌鲁木齐·高二校考开学考试）已知曲线y=1−x2与直线y=k(x+3)−1有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（    ）A．(12,34) B．0,34 C．12,23 D．[12,34)【解题思路】利用直线和圆的位置关系列不等式，由此求得正确答案.【解答过程】曲线y=1−x2可化为x2+y2=1y≥0，即曲线y=1−x2是单位圆的上半部分，直线y=k(x+3)−1过定点A−3,−1，化为一般式得kx−y+3k−1=0，设B−1,0，直线AB的斜率kAB=12，则3k−11+k2<1k≥kAB，解得12≤k<34，所以k的取值范围是[12,34).故选：D.【变式7-1】（2023·北京海淀·高三专题练习）已知直线l:x+y+t=0，曲线C:y=4−x2，则“l与C相切”是“t=−22”的（    ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】首先得到曲线C所表示的图形为半圆，然后利用几何法求出直线与圆相切时t的值，再将t代入直线，利用几何法检验此时是否相切即可.【解答过程】对曲线C，两边同平方得y2=4−x2，即x2+y2=4，其中y≥0，其表示的图形是以0,0为圆心，半径为r=2的圆的上半部分，包括x轴上的点，当直线l与曲线C相切时，则有t2=2，t=22或−22，显然由图形知t<0，则t=−22，故充分性成立，若t=−22，则直线l的方程为x+y−22=0，此时圆心到直线的距离d=−222=2=r，故此时直线与C相切，故必要性成立.则“l与C相切”是“t=−22”的充分必要条件.故选：C.【变式7-2】（2023春·江西宜春·高二校联考期中）若过点P(2,4)且斜率为k的直线l与曲线y=4−x2有且只有一个交点，则实数k的值不可能是(    )A．34 B．45 C．43 D．2【解题思路】根据半圆的切线性质，结合点到直线距离公式进行求解，然后根据图象即可求解【解答过程】如图，曲线y=4−x2即x2+y2=4y≥0表示以O为圆心，2为半径的上半圆，因为直线l：y=k(x−2)+4即kx−y−2k+4=0与半圆相切，所以|−2k+4|k2+1=2，解得k=34．因为P(2,4)，A(−2,0)，所以kPA=4−02−−2=1，又直线l与曲线y=4−x2有且只有一个交点，所以k>kPA或k=34，所以实数k的取值范围是(1,+∞)∪34故选：B.【变式7-3】（2023春·全国·高二开学考试）直线y=2x+m与曲线y=4−x2恰有两个交点，则实数m取值范围是（    ）A．−4,4 B．4,25 C．−25,4 D．−2,4【解题思路】根据已知条件及直线与圆相切的充要条件，结合点到直线的距离公式即可求解.【解答过程】曲线y=4−x2表示圆x2+y2=4在x轴的上半部分，当直线y=2x+m与圆x2+y2=4相切时，m5=2，解得m=±25，当点−2,0在直线y=2x+m上时，m=4，可得4≤m<25,所以实数m取值范围为4,25.故选：B.【知识点4 解与圆有关的最值问题】1．解与圆有关的最值问题(1)利用圆的几何性质求最值的问题求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线.①如图2-5-1-4①，当直线l与圆C相交时，最小距离为0，最大距离为AD=r+d.其中r为圆的半径，d为圆心到直线的距离；②如图2-5-1-4②，当直线l与圆C相切时，最小距离为0，最大距离为AD=2r；③如图2-5-1-4③，当直线l与圆C相离时，最小距离为BD=d-r，最大距离为AD=d+r.(2)利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围) 问题解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径. ①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.(3)经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦.【题型8 直线与圆有关的最值问题】【例8】（2023·北京海淀·北大附中校考三模）已知圆O:x2+y2=1，直线3x+4y−10=0上动点P，过点P作圆O的一条切线，切点为A，则PA的最小值为（    ）A．1 B．2 C．3 D．2【解题思路】首先得出切线长PA的表达式，再以二次函数求值域的方法解之即可.【解答过程】圆O：x2+y2=1中，圆心O(0,0)，半径r=1设P(x0,y0)，则3x0+4y0−10=0， 则PA=PO2−12=x02+y02−1=1425x02−60x0+84,当x0=3025=65时，PAmin=1436−60×65+84=1448=3，故选：C.【变式8-1】（2023春·北京东城·高三校考阶段练习）已知圆C:x2+y2−2x=0，过直线l:y=x+2上的动点M作圆C的切线，切点为N，则MN的最小值是（    ）A．22 B．2 C．322 D．142【解题思路】根据题意易知当圆心C到直线l上点的距离最小时，MN最小，利用点到直线的距离公式计算即可.【解答过程】圆C:x2+y2−2x=0，圆心C1,0，半径r=1，设圆心C到直线l：x−y+2=0的距离为d，则d≤CM，易得CN⊥MN，则MN2=CM2−r2，故当圆心C到直线l上点的距离最小时，即圆心到直线的距离d，此时MN最小，因为d=1+22=322，所以MN=d2−r2=(322)2−1=142，故MN最小值是142．故选：D.【变式8-2】（2023春·四川泸州·高二校考阶段练习）已知圆C:x−42+y−132=4，过直线l:4x−3y=0上一点P向圆C作切线，切点为Q，则△PCQ的面积最小值为（    ）A．3 B．5 C．25 D．13【解题思路】结合图形，利用勾股定理可知CP取得最小值时PQ也最小，从而求得PQmin=5，进而可得△PCQ的面积最小值.【解答过程】由圆C:x−42+y−132=4，得圆心C4,13，半径r=2，所以圆心C4,13到直线l:4x−3y=0的距离为d=4×4−3×1342+32=3，因为PQ=CP2−CQ2=CP2−4所以当直线l与CP垂直时，CP取得最小值d，此时PQ也最小，故PQmin=32−4=5，所以S△CPQ=12×PQ×CQ=12×PQ×2=PQ≥5，即△PCQ的面积最小值为5.故选：B.【变式8-3】（2023秋·山西晋城·高二校考期末）已知点P是圆x−12+y−62=425上的点，点Q是直线x−y=0上的点，点R是直线12x−5y+24=0上的点，则PQ+QR的最小值为（    ）A．7 B．335 C．6 D．295【解题思路】设圆心C1,6，记点E6,1，作圆C:x−12+y−62=425关于直线x−y=0的对称圆E:x−62+y−12=425，计算出圆心E到直线12x−5y+24=0的距离d，结合对称性可得出PQ+QR的最小值为d−25，即可得解.【解答过程】设圆心C1,6，记点E6,1，作圆C:x−12+y−62=425关于直线x−y=0的对称圆E:x−62+y−12=425，由对称性可知CQ=EQ，点E到直线12x−5y+24=0的距离为d=12×6−5+24122+−52=7，故当ER与直线12x−5y+24=0垂直时，且当Q为ER与直线x−y=0的交点以及点P为圆C与线段CQ的交点(靠近直线x−y=0)时，PQ+QR=CQ−25+QR=EQ−25+QR取得最小值，且PQ+QRmin=d−25=7−25=335.故选：B.【知识点5 与圆有关的对称问题】1．直线与圆的方程的应用(1)解决实际问题的步骤：①审题：认真审题，明确题意，从题目中抽象出几何模型，明确题中已知和待求的数据；②建系：建立适当的平面直角坐标系，通过点的坐标及已知条件，求出几何模型的方程；③求解：利用直线、圆的性质等有关知识求解；④还原：将运算结果还原为对实际问题的解释. (2)建系原则建立适当的平面直角坐标系要把握两个原则：①对称性原则.可以选择对称中心为坐标原点，对称轴所在的直线为坐标轴.到两个定点的距离问题，可以选择两个定点所在的直线以及线段的垂直平分线为坐标轴等.有两条相互垂直的直线的问题则可选其为坐标轴. ②集中性原则.可以让曲线上尽可能多的特殊点在坐标轴上.如与三角形有关的问题，可以考虑将三角形的三个顶点全部放在坐标轴上.【题型9 直线与圆的方程的应用】【例9】（2023春·上海静安·高二校考期中）如图是某圆拱桥的一孔圆弧拱的示意图，该圆弧拱跨度AB=20米，每隔5米有一个垂直地面的支柱，中间的支柱A2P2=4米.(1)建立适当的坐标系求该圆拱桥所在曲线的方程;(2)求其它支柱的高度（精确到0.01米）．【解题思路】（1）建立如图所示的直角坐标系，设圆拱所在圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0D2+E2−4F>0，进而待定系数法求解即可；（2）点P1的横坐标x=−5代入这个圆的方程并解方程即可得答案.【解答过程】（1）解：建立如图所示的坐标系，设该圆拱所在圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0D2+E2−4F>0，由于圆心在y轴上，所以D=0，那么方程即为x2+y2+Ey+F=0. 因为P、B都在圆上，所以它们的坐标0,4,10,0都是这个圆的方程的解，于是有方程组42+4E+F=0102+F=0，解得F=−100,E=21                                             所以，这个圆的方程是x2+y2+21y−100=0 (y≥0)．（2）解：由题知P1点的横坐标为x=−5.所以，把点P1的横坐标x=−5代入这个圆的方程，得−52+y2+21y−100=0，所以y2+21y−75=0，因为P1的纵坐标y>0，故应取正值，所以，y=−21+212+4×752≈3.11（米）．         所以，支柱A1P1的高度约为3.11米.【变式9-1】（2023秋·湖北·高二校联考期末）如图，某海面上有O、A、B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛402千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系圆C经过O、A、B三点．(1)求圆C的标准方程；(2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东60°行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？【解题思路】（1）由图中坐标系得A,B,O坐标，设出圆的一般方程，代入三点坐标求解，然后把一般方程配方得标准方程；（2）先求出航行方向所在直线方程，再求出圆心到直线的距离，与半径比较可得．【解答过程】（1）如图所示，A(40,40)、B(20,0)，设过O、A、B三点的圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，得：F=0402+402+40D+40E+F=0202+20D+F=0，解得D=−20,E=−60,F=0，故所以圆C的方程为x2+y2−20x−60y=0，圆心为C(10,30)，半径r=1010，（2）该船初始位置为点D，则D(−20,−203)，且该船航线所在直线l的斜率为33,故该船航行方向为直线l:3x−3y−403=0，由于圆心C到直线l的距离d=15(3+1)>1010，故该船没有触礁的危险.【变式9-2】（2023秋·云南丽江·高二统考期末）为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台O的北偏西45°方向22km处设立观测点A，在平台O的正东方向12km处设立观测点B，规定经过O、A、B三点的圆以及其内部区域为安全预警区．如图所示：以O为坐标原点，O的正东方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系．(1)试写出A，B的坐标，并求两个观测点A，B之间的距离；(2)某日经观测发现，在该平台O正南10km C处，有一艘轮船正以每小时87km的速度沿北偏东45°方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全警示区内会行驶多长时间？【解题思路】（1）先求出A，B的坐标，再由距离公式得出A，B之间的距离；（2）由A,O,B三点的坐标列出方程组得出经过O,A,B三点的圆的方程，设轮船航线所在的直线为l，再由几何法得出直线l与圆截得的弦长，进而得出安全警示区内行驶时长.【解答过程】（1）由题意得A(−2,2),B(12,0)，∴AB=142+22=102km；（2）设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0， 因为该圆经过O,A,B三点，∴F=0−2D+2y+8=0144+12D=0，得到D=−12E=−16F=0.所以该圆的方程为：x2+y2−12x−16y=0，化成标准方程为：x−62+y−82=100.设轮船航线所在的直线为l，则直线l的方程为：y=x−10，圆心（6，8）到直线l:x−y−10=0的距离d=6−8−102=62r方程组解的情况有两组不同的解仅有一组解无解位置相交相切相离交点个数两个一个零个图形d与r的关系dr方程组解的情况有两组不同的解仅有一组解无解