专题3-1 椭圆离心率10种题型归类（讲+练）-高二数学热点题型讲与练（人教A版选择性必修第一册）

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热点考题归纳
【题型一】离心率基础
【典例分析】
1.（2021秋·贵州黔西·高二校考期中）曲线与曲线的（ ）
A．长轴长相等B．短轴长相等
C．焦距相等D．离心率相等
2.（2021秋·湖南常德·高二统考期末）椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.．（2023春·江苏镇江·高二校考期中）椭圆的离心率为，则（ ）
A．1B．2C．3D．
2.（2023秋·高二课时练习）椭圆与具有相同的（ ）
A．长轴B．焦点C．离心率D．顶点
3.（2022·全国·高三专题练习）设是椭圆的离心率，且，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【题型二】通径型角度求离心率
【典例分析】
1.（2022·高二课时练习）已知椭圆：的左，右焦点分别为，，为上一点，，，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2.（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点P为C上一点，若，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023春·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考期中）过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2.（2023秋·高二课时练习）已知为椭圆上一点，，分别为的左、右焦点，且，若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3.（2004·安徽·高考真题）已知为椭圆的焦点，M为椭圆上一点，垂直于x轴，且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【题型三】焦点三角形顶角型求离心率
【典例分析】
1.（2022春·陕西榆林·高二校考期末）已知是椭圆的左右焦点，椭圆上一点M满足：，则该椭圆离心率是（ ）
A．B．C．D．
2.（2023秋·高二课前预习）已知F为椭圆C：=1(a>b>0)的右焦点，O为坐标原点，P为椭圆C上一点，若|OP|=|OF|，∠POF=120°，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．-1D．-1
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2021秋·安徽淮南·高二统考期末）已知为椭圆上一点，，分别为的左、右焦点，且，若，则的离心率为（ ）．
A．B．C．D．
2.（2020秋·湖南衡阳·高二衡阳市田家炳实验中学校考阶段练习）若，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，当，且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3.（2023·全国·高三专题练习）若P是以，为焦点的椭圆上的一点，且，，则此椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．

【题型四】焦点三角形顶角型求离心率范围
【典例分析】
1.．（2023秋·高二单元测试）椭圆（）的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在点P满足，则椭圆C的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2.．（2023春·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考期中）已知椭圆的左右焦点分别为，椭圆存在一点，若，则椭圆的离心率取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2022秋·四川成都·高二校联考期中）已知是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2.（2023·高二课时练习）已知，是椭圆的左、右焦点，椭圆上一点M满足，则该椭圆离心率取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3.（2023秋·浙江·高二校联考期中）已知椭圆：，点，是长轴的两个端点，若椭圆上存在点，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【题型五】椭圆第一定义求离心率
【典例分析】
1..设椭圆 ()的一个焦点点为椭圆内一点,若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A.B.C.D.

2.．椭圆的左､右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l与E交于A，B两点，若△ABF2的周长为12，则E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.已知椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一点，且，若关于平分线的对称点在椭圆上，则该椭圆的离心率为______．

2.（2023秋·湖南·高三校联考阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，经过的直线交椭圆于两点，为坐标原点，且，则椭圆的离心率为 .
3.（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的上、下焦点分别为、，焦距为，与坐标轴不垂直的直线过且与椭圆交于、两点，点为线段的中点，若，则椭圆的离心率为 ．
【题型六】图形求离心率
【典例分析】
1..已知椭圆C的左、右焦点分别为，，直线AB过与该椭圆交于A，B两点，当为正三角形时，该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2.（2023春·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考期末）已知椭圆，过左焦点作直线l在x轴上方交椭圆于点A，过右焦点作直线交直线l于点B（B在椭圆外），若为正三角形，则椭圆的离心率为 .
【变式演练】
1.（2023·江苏·高二专题练习）已知椭圆E：与直线相交于A，B两点，O是坐标原点，如果是等边三角形，那么椭圆E的离心率等于（ ）
A．B．
C．D．
2.（2023春·福建泉州·高二校考期末）已知椭圆长轴、短轴的一个端点分别为A，B，F为椭圆的一个焦点，若为直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3.（2023·全国·高三专题练习）如图，，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，是面积为的正三角形，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【题型七】椭圆第三定义求离心率
【典例分析】
1.（2023秋·高二课时练习）设分别为椭圆的左右顶点，若在椭圆上存在点P，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2.（2023·全国·高三专题练习）如图，已知椭圆，．若由椭圆长轴一端点和短轴一端点分别向椭圆引切线和，若两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率 ．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023春·四川绵阳·高三绵阳中学校考阶段练习）已知椭圆C：，经过原点O的直线交C于A，B两点．P是C上一点（异于点A，B），直线BP交x轴于点D．若直线AB，AP的斜率之积为，且，则椭圆C的离心率为 ．
2.（2022·全国·高二期中）已知点，是椭圆上的两点，且线段恰为的一条直径，点关于轴的对称点为，设，直线与椭圆的另一个交点为，且直线，斜率之积为，则椭圆的离心率为 .
3.（2023秋·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）已知点A，B是椭圆长轴上的两个顶点，点P在椭圆上（异于A，B两点），若直线斜率之积为，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【题型八】焦点四边形求离心率
【典例分析】
1.（2022秋·宁夏吴忠·高二吴忠中学校考阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别是，，直线与椭圆交于，两点，，且，则椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
2.（2023·湖北荆州·沙市中学校考模拟预测）已知椭圆，为其左焦点，直线与椭圆交于点，，且．若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023秋·江苏盐城·高二江苏省阜宁中学校联考期末）已知椭圆C：上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且，，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2.（2022秋·江苏镇江·高二校考阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别是，，直线与椭圆交于A，B两点，，且，则椭圆的离心率是 ．
3.（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的左焦点是点，过原点倾斜角为的直线与椭圆相交于，两点，若，则椭圆的离心率是 ．
【题型九】四边形求离心率范围
【典例分析】
1.（2023·全国·高三专题练习）椭圆上一点关于原点的对称点为，为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的取值范围为 .
2.（2023春·宁夏银川·高三宁夏育才中学校考开学考试）椭圆的左右焦点分别为､，直线与交于A､两点，若，，当时，的离心率的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式演练】
1.．（2023秋·山东枣庄·高二滕州市第一中学新校校考期末）已知椭圆上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率e的最大值为 .
2.（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二校考期中）已知椭圆上一点关于原点的对称点为为其右焦点，若设且则椭圆离心率的取值范围是 .
3.．（2022·全国·高二期末）已知椭圆上一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆右焦点，且满足，设，且，则椭圆离心率的取值范围是 .
【题型十】双三角形求离心率
【典例分析】
1.（2021·高二单元测试）已知，分别为椭圆的左､右焦点，过的直线与椭圆交于，两点，且，，则椭圆的离心率为 .
2.（2023·全国·高三专题练习）已知点P在以，为左、右焦点的椭圆上，椭圆内存在一点Q在的延长线上，且满足，若，则该椭圆离心率取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023春·吉林长春·高二长春外国语学校校考期中）已知椭圆的两个焦点分别是，，过的直线交椭圆于，两点，若且，则椭圆的离心率为（ ）.
A．B．
C．D．
2.（2023秋·江苏淮安·高三统考开学考试）椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为A，直线与椭圆C交于另一点B，若，则椭圆C的离心率为 ．
3.（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的左右焦点为，，过的直线交椭圆C于P，Q两点，若，且，则椭圆C的离心率为 ．
新模考真题
1.（2023·河南平顶山·校联考模拟预测）已知双曲线，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
2.（2021秋·黑龙江双鸭山·高二双鸭山一中校考期中）椭圆的左､右焦点分别为､，是椭圆上一点，轴，，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
3.（2018春·浙江温州·高二校联考期中）已知椭圆的方程为，，是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且，，则椭圆的离心率是
A．B．C．D．
4.（2023秋·湖北·高二赤壁一中校联考期末）已知是椭圆的左右焦点，椭圆上一点M满足：，则该椭圆离心率取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5.（2023春·广东韶关·高三南雄中学校考阶段练习）已知是椭圆的左、右焦点，过左焦点的直线与椭圆交于两点，且，，则椭圆的离心率为
6.（2023春·河南焦作·高三博爱县第一中学校考阶段练习）已知，分别是椭圆：的左，右焦点，A是椭圆的上顶点，过点A且斜率为的直线上有一点P，满足是以为顶角的等腰三角形，其中，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
7.（2023·重庆·校联考三模）设椭圆的右焦点为，点在椭圆外，P，Q在椭圆上，且P是线段AQ的中点．若直线PQ，PF的斜率之积为，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8.（2023秋·高二课时练习）已知椭圆的右焦点是，直线交椭圆于两点﹐直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为 ．
9.（2022秋·湖北襄阳·高二襄阳四中校考阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，以线段为直径的圆交于两点，其中点在第一象限，点在第三象限，若，则的离心率的取值范围是 .
10.（2023·江苏·高二专题练习）设，分别是椭圆的左，右焦点，过点的直线交椭圆于，两点，若，且，则椭圆的离心率为 .
一、热考题型归纳
【题型一】离心率基础
【题型二】通径型角度求离心率
【题型三】焦点三角形顶角型求离心率
【题型四】焦点三角形顶角型求离心率范围
【题型五】椭圆第一定义求离心率
【题型六】图形求离心率
【题型七】 椭圆第三定义型求离心率
【题型八】 焦点四边形求离心率
【题型九】 四边形求离心率范围
【题型十】 双三角形余弦定理型求离心率
二、培优练
椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
椭圆通径：
通径：|AC|＝eq \f(2b2,a) (椭圆、双曲线通用)；
椭圆焦点三角形性质：
焦点△F1AF2周长C△F1AF2＝2a＋2c、
面积S△F1AF2＝b2·tan eq \f(θ,2)；
求解椭圆的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组或不等式组，求得、的值或不等式，根据离心率的定义求解离心率的值或取值范围；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程或不等式，然后转化为关于的方程或不等式求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值构建方程或不等式，求得离心率的值或取值范围.
椭圆定义：
动点P满足：| PF1|＋| PF2|＝2a，|F1F2|＝2c且a> c (其中a>0，c0，且a，c为常数)
椭圆性质：
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)
图形
性
质
范围
－a≤x≤a，－b≤y≤b
－b≤x≤b，－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝eq \f(c,a)∈(0,1)
a，b，c的关系
a2＝b2＋c2
椭圆第三定义：
A,B是椭圆C:eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)＝1 (a>0，b>0)上两点，M为A,B中点，则（可用点差法快速证明）
椭圆具有中心对称性质，内接焦点四边形性质：
焦点四边形具有中心对称性质。
焦点四边形可分割为两个焦点三角形，具有焦点三角形性质。
焦点四边形可分割为两个余弦定理形双三角形，可以用双余弦定理求解
点弦型双三角形双余弦定理，常见的一般模型如下图：

可分别在俩三角形中各自用余弦定理，联立解离心率