第4章 直线与角（单元提升卷）-七年级数学上册同步讲义全优学案（沪科版）

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第4章 直线与角（单元提升卷）一．选择题（共10小题）1．（2022秋•安庆期末）把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程，其道理用几何的知识解释应是（　　）A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．线段有两个端点 D．线段可比较大小【分析】根据线段的性质：两点之间线段最短即可得出答案．【解答】解：根据线段的性质：两点之间线段最短可得：把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程，其道理用几何的知识解释应是两点之间线段最短．故选：B．【点评】本题考查了线段的性质，属于基础题，注意两点之间线段最短这一知识点的灵活运用．2．（2022秋•萧县校级月考）一个正方体的表面展开图如图所示，六个面上各有一字，连起来的意思是“祝你考试顺利”，把它折成正方体后，与“祝”相对的字是（　　）A．考 B．试 C．顺 D．利【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．【解答】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“你”与面“试”相对，面“祝”与面“顺”相对，“考”与面“利”相对．故选：C．【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体是空间图形，从相对面入手，分析及解答问题是解题的关键．3．（2022秋•凤台县期末）平面上有三点A、B、C，如果AB＝10，AC＝7，BC＝3，那么（　　）A．点C在线段AB上 B．点C在线段AB的延长线上 C．点C在直线AB外 D．点C可能在直线AB上，也可能在直线AB外【分析】根据AB＝10，AC＝7，BC＝3，有AB＝AC+BC进行判断即可．【解答】解：如图，在平面内，AB＝10，∵AC＝7，BC＝3，∴点C为以A为圆心，7为半径，与以B为圆心，3为半径的两个圆的交点，由于AB＝10＝7+3＝AC+BC，所以，点C在线段AB上，故选：A．【点评】本题考查线段、射线、直线的意义，理解点与直线的位置关系是解决问题的关键．4．（2023秋•淮北月考）根据下列描述，能够确定一个点的位置的是（　　）A．省博物馆东侧 B．体育馆东面看台第2排 C．第5节车厢，28号座位 D．学校图书馆前面【分析】根据确定点位置的方法，逐项进行判断即可．【解答】解：A．省博物馆东侧有很多建筑物，不能确定一个点的位置，因此选项A不符合题意；B．体育馆东面看台第2排有很多点，不能确定一个点的位置，因此选项B不符合题意；C．第5节车厢，28号座位可以确定一个点的位置，因此选项C符合题意；D．学校图书馆前面有很多点，不能确定一个点的位置，因此选项D不符合题意．故选：C．【点评】本题考查方向角，掌握平面内确定点位置的方法是正确解答的前提．5．（2022秋•无为市期末）如图所示，请补充一个正方形，使其折叠后能成为一个封闭的正方体盒子，则有（　　）种添加方法．A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根据正方体的展开图补充图形即可得．【解答】解：如图所示：一共有4种，故选：B．【点评】本题考查了展开图折叠成几何体的应用，能够画出符合的图形是解此题的关键，考查了学生的动手操作能力和空间想象能力．6．（2022秋•黄山期末）一个物体的外形是长方体，其内部构造不详．用一组水平的平面截这个物体时，得到了一组（自下而上）截面，截面形状如图所示，这个长方体的内部构造可能是（　　）A．圆柱 B．棱柱 C．棱锥 D．圆锥【分析】通过观察可以发现：在长方体内部的圆自下而上由大圆逐渐变成小圆、最后变成点，由此判定即可．【解答】解：∵通过观察可以发现：在长方体内部的圆自下而上由大圆逐渐变成小圆、最后变成点，∴这个长方体的内部构造可能是圆锥，故D正确．故选：D．【点评】本题考查了图形的截面，掌握几何体与它的截面是一个互逆的思维过程是关键．7．（2022秋•凤阳县校级月考）如图，已知线段AB＝10cm，点C是线段AB上一点，AC＝4cm．若M是AC的中点，则线段BM的长是（　　）A．6cm B．8cm C．9cm D．12cm【分析】首先可求得线段BC、MC的长，再根据BM＝BC+MC，即可求得．【解答】解：∵AB＝10cm，AC＝4cm，M是AC的中点，∴BC＝AB﹣AC＝10﹣4＝6（cm），MC＝AC＝2（cm），BM＝BC+MC＝6+2＝8（cm），故选：B．【点评】本题考查了线段中点的有关运算，线段的和差，求得线段BC、MC的长是解决本题的关键．8．（2023春•砀山县校级期末）将一副三角板按如图所示的位置摆放，其中∠α与∠β一定互余的是（　　）A． B． C． D．【分析】根据余角的定义，可得答案．【解答】解：C中的α+β＝180°﹣90°＝90°，故选：C．【点评】本题考查了余角，利用余角的定义是解题关键．9．（2022秋•南陵县期末）木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线，这是因为（　　）A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．过一点，有无数条直线 D．连接两点之间的线段叫做两点间的距离【分析】依据两点确定一条直线来解答即可．【解答】解：在木板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线，此操作的依据是两点确定一条直线．故选：B．【点评】本题主要考查的是直线的性质，掌握直线的性质是解题的关键．10．（2021秋•蚌埠期末）如图，已知∠AOB＝90°，OC是∠AOB内任意一条射线，OB，OD分别平分∠COD，∠BOE，下列结论：①∠COD＝∠BOE；②∠COE＝3∠BOD；③∠BOE＝∠AOC；④∠AOC+∠BOD＝90°，其中正确的有（　　）A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④【分析】根据角平分线的意义，互余的意义和等量代换，逐个结论进行判断即可得出答案．【解答】解：∵OB，OD分别平分∠COD，∠BOE，∴∠COB＝∠BOD＝∠DOE，∴∠COB+∠BOD＝∠BOD+∠DOE，即：∠COD＝∠BOE，因此①正确；∠COE＝∠COB+∠BOD+∠DOE＝3∠BOD，因此②正确；∵∠AOB＝90°，∴∠AOC+∠BOC＝90°＝∠AOC+∠BOD，因此④正确；∵∠AOC≠2∠BOC＝∠BOE，因此③不正确；故选：A．【点评】考查角平分线、互为余角的意义，利用等量代换和图形直观是解决问题的关键．二．填空题（共4小题）11．（2022秋•定远县校级月考）如图，将一副三角板的直角顶点重合，摆放在桌面上．若∠AOD＝150°，则∠BOC＝　30　°．【分析】从图可以看出，∠BOC的度数正好是两直角相加减去∠AOD的度数，从而问题可解．【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠AOD＝150°∴∠BOC＝∠AOB+∠COD﹣∠AOD＝90°+90°﹣150°＝30°．故答案为：30．【点评】此题主要考查学生对角的计算的理解和掌握，解答此题的关键是让学生通过观察图示，发现几个角之间的关系．12．（2022秋•黄山期末）如图，蒙蒙同学用剪刀沿直线将一张圆形纸片剪掉一部分，发现剩下的部分的周长比原圆形周长要小，这其中的道理是 　两点之间，线段最短　．【分析】根据两点之间，线段最短进行解答即可．【解答】解：根据题意可知这其中的道理是两点之间，线段最短，故答案为：两点之间，线段最短．【点评】本题考查了线段的性质，读懂题意，熟知两点之间线段最短的意义是解本题的关键．13．（2022秋•大竹县校级期末）有一个正方体，在它的各个面上分别标上字母A、B、C、D、E、F，甲、乙、丙三位同学从不同方向去观察其正方体，观察结果如图所示．问：F的对面是　C　．【分析】从第2个图形和最后1个图形看，和C相邻的有A、B、D、E，那么和C相对的就是F．【解答】解：根据三个图形的字母，可推断出来，A对面是E；C对面是F；B对面是D．则F的对面是C．故答案为：C．【点评】本题主要考查学生的空间想象能力和推理能力，也可动手制作一个正方体，根据题意在各个面上标上字母，再确定对面上的字母，可以培养动手操作能力和空间想象能力．14．（2022秋•颍州区期末）比较大小：52°15′　＞　52.15°．（填“＞”“＜”或“＝”）【分析】将角的度数换算成度分秒的形式，再进行比较即可得出结论．【解答】解：∵52.15°＝52°+0.15×60'＝52°9'，∴52°15'＞52°9'，∴52°15'＞52.15°．故答案为：＞．【点评】本题考查的度分秒的换算以及角的大小比较，掌握将角的度数换算成度分秒的形式是关键．三．解答题（共9小题）15．（2022秋•南陵县月考）如图是一张长方形纸片，AB长为4cm，BC长为6cm．（1）若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，则形成的几何体是 　圆柱　；（2）若将这个长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，求形成的几何体的表面积．（结果保留π）【分析】（1）旋转后的几何体是圆柱；（2）分两种情况确定出圆柱的底面半径和高，再根据圆柱的表面积公式计算即可求解．【解答】解：（1）若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，则形成的几何体是圆柱；故答案为：圆柱；（2）情况①绕AB所在直线旋转一周：π×6×2×4+π×62×2＝48π+72π＝120π（cm2）；情况②绕BC所在直线旋转一周：π×4×2×6+π×42×2＝48π+32π＝80π（cm2）．故形成的几何体的表面积是120πcm2或80πcm2．【点评】本题主要考查几何体的表面积，根据图形确定出圆柱的底面半径和高的长是解题的关键．16．（2021秋•霍邱县期末）如图，线段AB＝20，BC＝15，点M是AC的中点．（1）求线段AM的长度；（2）在CB上取一点N，使得CN：NB＝2：3．求MN的长．【分析】（1）根据图示知AM＝AC，AC＝AB﹣BC；（2）根据已知条件求得CN＝6，然后根据图示知MN＝MC+NC．【解答】解：（1）线段AB＝20，BC＝15，∴AC＝AB﹣BC＝20﹣15＝5．又∵点M是AC的中点．∴AM＝AC＝×5＝，即线段AM的长度是．（2）∵BC＝15，CN：NB＝2：3，∴CN＝BC＝×15＝6．又∵点M是AC的中点，AC＝5，∴MC＝AC＝，∴MN＝MC+NC＝，即MN的长度是．【点评】本题考查了两点间的距离，利用了线段的和差，线段中点的性质．17．（2022秋•天长市校级月考）已知O是直线AB上的一点，∠COD＝90°，OE平分∠BOC．（1）如图①，若∠AOC＝40°，则∠DOE＝　20°　．（2）如图①，若∠AOC＝α，求∠DOE的度数（用含α的代数式表示）．（3）将图①中的∠COD绕顶点O顺时针旋转至图②的位置，其他条件不变，那么（2）中所求出的结论是否还成立？请说明理由．【分析】（1）由已知可求出∠BOC＝180°﹣∠AOC＝140°，再由∠COD是直角，OE平分∠BOC，即可求出∠DOE的度数；（2）由（1）中的方法可得出结论∠DOE＝∠AOC，从而用含α的代数式表示出∠DOE的度数；（3）设∠AOC＝α，由∠COD是直角，OE平分∠BOC可得出∠COE＝∠BOC＝90°﹣α，从而得出∠AOC和∠DOE的度数之间的关系不变．【解答】解：（1）∵∠AOC＝40°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝140°，∵OE平分∠BOC，∴∠COE＝70°，又∵∠COD＝90°，∴∠DOE＝90°﹣70°＝20°．故答案为：20°；（2）∵∠AOC＝α，∴∠BOC＝180°﹣α，∵OE平分∠BOC，∴∠COE＝90°﹣α，又∵∠COD＝90°，∴∠DOE＝90°﹣（90°﹣α）＝α．故答案为：α；（3）结论仍然成立，理由：∵∠AOC＝α，∴∠BOC＝180°﹣α，∵OE平分∠BOC，∴∠COE＝∠BOC＝90°﹣α，∴∠DOE＝90°﹣∠COE＝90°﹣（90°﹣α）＝α．【点评】此题考查的知识点是角平分线的性质、旋转性质及角的计算，关键是正确运用好有关性质准确计算角的和差倍分．18．（2022秋•无为市期末）利用折纸可以作出角平分线，如图1折叠，则OC为∠AOB的平分线，如图2、图3，折叠长方形纸片，OC，OD均是折痕，折叠后，点A落在点A'，点B落在点B'，连接OA′．（1）如图2，若点B'恰好落在OA′上，且∠AOC＝32°，则∠BOD＝　58°　；（2）如图3，当点B'在∠COA'的内部时，连接OB′，若∠AOC＝44°，∠BOD＝61°，求∠A'OB'的度数．【分析】（1）由折叠得出∠AOC＝∠A'OC，∠BOD＝∠B'OD，由平角的性质可得∠AOC+∠A'OC+∠BOD+∠B'OD＝180°，再由∠AOC＝32°，即可求解；（2）同（1）的方法求出∠A'OD，再由∠A'OB'＝∠B'OD﹣∠A'OD即可求解．【解答】解：（1）由题意知∠AOC＝∠A'OC，∠BOD＝∠B'OD，∵∠AOC+∠A'OC+∠BOD+∠B'OD＝180°，∠AOC＝32°，∴；（2）由题意知∠AOC＝∠A'OC，∠BOD＝∠B'OD，∵∠AOC+∠A'OC+∠A'OD+∠BOD＝180°，∠AOC＝44°，∠BOD＝61°，∴∠A'OD＝180°﹣2×44°﹣61°＝31°，∴∠A'OB'＝∠B'OD﹣∠A'OD＝30°．【点评】本题主要考查了折叠的性质，平角的定义，角的和差的计算，掌握从图形中找出角之间的关系是解本题的关键．19．（2022秋•无为市期末）如图，P是线段AB上一点，AB＝12cm，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上），运动的时间为ts．（1）当t＝1时，PD＝2AC，请求出AP的长；（2）若C、D运动到任一时刻时，总有PD＝2AC，请求出AP的长；（3）在（2）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ＝PQ，求PQ的长．【分析】（1）由题意，当t＝1时，BD＝2，PC＝1，则BD+PD＝2（PC+AC），可得PB＝2AP，由AB＝AP+PB即可求解；（2）由PD＝2AC，BD＝2PC可知，BD+PD＝2（PC+AC），即PB＝2AP，即可求解；（3）分类讨论，当点Q在线段AB上时和点Q在AB的延长线上时，分别求解即可．【解答】解：（1）根据C、D的运动速度知：BD＝2，PC＝1，则BD＝2PC，∵PD＝2AC，∴BD+PD＝2（PC+AC），即PB＝2AP，∴AB＝12cm，AB＝AP+PB，∴12＝3AP，则AP＝4cm；（2）根据C、D的运动速度知：BD＝2PC，∵PD＝2AC，∴BD+PD＝2（PC+AC），即PB＝2AP，∴AP＝4cm；（3）当点Q在线段AB上时，∵AQ﹣BQ＝PQ，∴AQ＝PQ+BQ；∵AQ＝AP+PQ，∴AP＝BQ，又∵PB＝2AP，∴；当点Q在AB的延长线上时，AQ﹣BQ＝PQ＝AB＝12cm．综上所述，PQ＝4cm或12cm．【点评】本题考查线段的和差运算，动点问题，数形结合，理解图形中的等量关系式解题的关键．20．（2021秋•蚌埠期末）如图，已知B、C在线段AD上．（1）图中共有 　6　条线段；（2）若AB＜CD．①比较线段的长短：AC　＜　BD（填“＞”“＝”或“＜”）；②若AD＝10，BC＝8，M是AB的中点，N是CD的中点，求线段MN的长度．【分析】（1）依据B、C在线段AD上，即可得到图中共有线段AB，AC，AD，BC，BD，CD．（2）①依据AB＜＝CD，即可得到AB+BC＜CD+BC，进而得出AC＜BD． ②依据线段的和差关系以及中点的定义，即可得到MN的长度．【解答】解：（1）以A为端点的线段有AB、AC、AD共3条；以B为端点的线段有BC、BD共2条；以C为端点的线段为CD，有1条，故共有线段的条数为：3+2+1＝6，故答案为：6；（2）①∵AC＝AB+BC，BD＝BC+CD，且AB＜CD，∴AC＜BD．故答案为：＜．②∵AD＝10，BC＝8，∴AB+CD＝AD﹣BC＝2，∵M是AB的中点，N是CD的中点，∴BM＝，CN＝，∴BM+CN＝（AD+CD）＝×2＝1．∴MN＝BM+CN+BC＝1+8＝9．【点评】本题主要考查了两点间的距离以及线段的和差关系，利用中点性质转化线段之间的倍分关系，在不同情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．21．（2023春•蜀山区期末）六一儿童节期间，某同学参加定向越野比赛，如图是比赛时该同学在越野标定地图上标记的一部分，其中点C在点B的北偏东60°的方向上，点C在点A的北偏东30°的方向上．（1）试求∠BCA的度数；（2）若AB⊥BC，则点A在点B的什么方向上？【分析】（1）由方向角的定义得到∠BCD＝60°，∠ACD＝30°，即可求出∠BCA的度数；（2）由AB⊥BC，得到∠ABC＝90°，由平角定义得到∠ABE＝180°﹣60°﹣90°＝30°，即可得到A在点B的南偏东30°方向．【解答】解：（1）∵点C在点B的北偏东60°的方向上，点C在点A的北偏东30°的方向上，∴∠BCD＝60°，∠ACD＝30°，∴∠BCA＝∠BCD﹣∠ACD＝30°；（2）∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴∠ABE＝180°﹣60°﹣90°＝30°，∴点A在点B的南偏东30°方向．【点评】本题考查方向角，关键是掌握方向角的定义．22．（2022秋•淮南期末）阅读下面材料：数学课上，老师给出了如下问题：如图1，∠AOB＝80°，OC平分∠AOB，若∠BOD＝20°，请你补全图形，并求∠COD的度数．以下是小明的解答过程：解：如图2，因为OC平分∠AOB，∠AOB＝80°，所以∠BOC＝　　∠AOB＝　40　°．因为∠BOD＝20°，所以∠COD＝　∠BOC+∠BOD　＝　60　°．小静说：“我觉得这个题有两种情况，小明考虑的是OD在∠AOB外部的情况，事实上，OD还可能在∠AOB的内部”．完成以下问题：（1）请你将小明的解答过程补充完整；（2）根据小静的想法，请你在图3中画出另一种情况对应的图形，并求出此时∠COD的度数．【分析】（1）根据角的平分线定义即可进行填空；（2）结合（1）即可画出另一种情况对应的图形，进而求出此时∠COD的度数．【解答】解：（1）因为OC平分∠AOB，∠AOB＝80°，所以∠BOC＝∠AOB＝40°．因为∠BOD＝20°，所以∠COD＝∠BOC+∠BOD＝60°．故答案为：，40，∠BOC+∠BOD，60；（2）如图3，因为OC平分∠AOB，∠AOB＝80°，所以∠BOC＝∠AOB＝40°，因为∠BOD＝20°，所以∠COD＝∠BOC﹣∠BOD＝40°﹣20°＝20°．【点评】本题考查了角的计算，角的平分线，解决本题的关键是掌握角的平分线．23．（2022秋•庐阳区校级期末）已知O是AB上的一点，OE平分∠AOD．（1）如图，当∠COE＝20°且∠COD＝90°时，求∠BOE的度数；（2）如图，当∠COE＝20°且∠AOC＝∠BOD时，求∠BOE的度数；（3）若∠COD＝90°，∠COD绕点O旋转一周过程中，求∠BOD与∠COE有怎样的数量关系，请直接写出你的结论并画出相应的图形．【分析】（1）先求出∠DOE的度数，再根据角平分线的定义求出∠AOE的度数，然后根据邻补角的定义即可求解；（2）设∠AOC＝∠BOD＝α，则∠AOE＝α+20°，由角平分线的定义得∠AOD＝2（α+20°），根据∠AOD+∠BOD＝180°列方程求出α，进而可求出∠BOE的度数；（3）分当OD在AB的上方时和当OD在AB的下方时两种情况解答即可．【解答】解：（1）∵∠COE＝20°，∠COD＝90°，∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣20°＝70°，∵OE平分∠AOD，∴．∠AOE＝∠DOE＝70°，∴∠BOE＝180°﹣700°＝110°；（2）设∠AOC＝∠BOD＝α，∵∠COE＝20°，∴∠AOE＝α+20°，∵OE平分∠AOD，∴∠AOD＝2∠AOE＝2∠DOE＝2（α+20°），∵∠AOD+∠BOD＝180°，∴2（α+20°）+α＝180°，∴解得：，∴；（3）①当OD在AB的上方时，如图，∵OE平分∠AOD，∴，∵∠COD＝90°，∴，∵∠AOD+∠BOD＝180°，∴2（90°﹣∠COE）+∠BOD＝180°，∴∠BOD＝2∠EOC；②当OD在AB的下方时，如图，∵OE平分∠AOD，∴，∵∠COD＝90°，∴，∵∠AOD+∠BOD＝180°，∴2（∠COE﹣90°）+∠BOD＝180°，∴2∠EOC+∠BOD＝360°．【点评】本题考查了角平分线的计算，掌握几何图形中角的数量关系，数形结合思想是解答本题的关键．