2022-2023学年河南省新乡市高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年河南省新乡市高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|x−3<0}，B={x|y=ln(4−x)}，则A∩B=( )
A. (3,4)B. (−∞,−3)C. (0,3)D. (−∞,3)
2.复数z=4+i1+i在复平面内对应的点在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.若x0是方程x2=lg0.5x+6的解，则x0∈( )
A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)
4.若平面上的三个力F1，F2，F3作用于一点，且处于平衡状态.已知|F1|=1N，|F3|=2N，F1与F3的夹角为60∘，则F2的大小为( )
A. 1NB. 3NC. 7ND. 3N
5.甲、乙两名射击运动员各射击6次的成绩如下：
若甲射击成绩的中位数等于乙射击成绩的平均数，则b=( )
A. 7B. 8C. 9D. 10
6.已知cs(α−β)=13，csαcsβ=14，则cs(α+β)=( )
A. −16B. 16C. −1112D. 1112
7.“lg2a<2”是“对任意x∈(−1,+∞)，x2+(4−a)x+4−a>0恒成立”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
8.已知在正四棱台ABCD−A1B1C1D1中，AB=3A1B1=3，若异面直线AA1与BC所成角的余弦值为 66，则正四棱台ABCD−A1B1C1D1的体积为( )
A. 13 33B. 133C. 26 33D. 263
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知复数z1在复平面内对应的点为Z1(3,−4)，复数z2在复平面内对应的点为Z2，且|z2|=1，则( )
A. z12=25−24iB. |z1|=5
C. 复数z1−在复平面内对应的点在第一象限D. |Z1Z2|的最小值为4
10.已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，则下列选项正确的是( )
A. 若△ABC为锐角三角形，则AB⋅BC>0
B. 若b=6，c=10，B=30∘，则△ABC有两解
C. △ABC内切圆的半径r=BA⋅BC⋅tanBa+b+c
D. 若AB⊥BC，则AB⋅AC=|AC|2
11.甲、乙两位同学从A，B，C，D这4种课外读物中各自选读2种，设事件G=“甲、乙两人所选的课外读物恰有1种相同”，事件M=“甲、乙两人所选的课外读物完全不同”，事件N=“甲、乙两人均未选择A课外读物”，则( )
A. G与M互斥B. P(G)=13C. M与N互斥D. G与N相互独立
12.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AA1=2，BC=4，E为CD的中点，M是A1C上一点，N是平面AED1上一点，则( )
A. 长方体ABCD−A1B1C1D1的外接球的表面积为24π
B. A1C⊥AE
C. A1C//平面AED1
D. MN的最小值为4 2121
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.某学校有3名男生和2名女生报名学科竞赛，计划从这5名同学中随机选择2人代表学校去参加比赛，则这2人性别相同的概率为______.
14.已知n∈N，f(x)=xn[ln(e2x+1)−x]为奇函数，则n的值可以为__________.(写出一个满足条件的即可)
15.已知函数y=sinωx−1(ω>0)在[0,π]上有且仅有2个零点，则ω的取值范围为______.
16.开封铁塔是宋都开封具有代表性的文物，是文物价值最高、份量最重的宝物之一.1961年，它被国务院定为中国首批国家重点保护文物之一.如图，为测量开封铁塔的高度，选择C和一个楼房DE的楼顶E为测量观测点，已知A，C，D在水平地面上，开封铁塔AB和楼房DE都垂直于地面.已知DE=15m，∠ACD=45∘，∠ADC=60∘，在C点处测得E点的仰角为15∘，在E点处测得B点的仰角为45∘，则开封铁塔AB的高度为______m.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知复数z的虚部为−2，且z(i+2i2)为纯虚数.
(1)求z；
(2)若复数z是关于x的方程x2+mx+n=0(m,n∈R)的一个根，求m，n的值.
18.(本小题12分)
某中学为研究本校高三学生在市联考中的数学成绩，随机抽取了100位同学的数学成绩作为样本，得到以[80,90),[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140]分组的样本频率分布直方图，如图所示.
(1)求直方图中a的值；
(2)请估计本次联考该校数学成绩的平均数；(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)
(3)请估计本次联考该校数学成绩的40%分位数.
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=2x−2−x.
(1)求不等式f(x)>2−x2的解集；
(2)若不等式f(2x)+21−2x>mf(x)对x∈(0,+∞)恒成立，求实数m的取值范围.
20.(本小题12分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c, 3asinB−b=bcsA.
(1)求A；
(2)若△ABC为锐角三角形，且b+c=2，求a的取值范围.
21.(本小题12分)
某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科目B的考试.已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书.现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为34，科目B每次考试成绩合格的概率均为12.假设各次考试成绩合格与否均互不影响.
(1)求他在科目B考试第一次合格的概率；
(2)在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，求他可获得证书的概率.
22.(本小题12分)
如图，在四棱锥M−ABCD中，AD//BC，AC⊥CD，BC=2AD，△MAD为等边三角形，平面MAD⊥平面ABCD，点N在棱MD上，直线MB//平面ACN.
(1)证明：MN=2ND.
(2)设二面角M−AC−D的平面角为α，直线CN与平面ABCD所成的角为θ，若tanα的取值范围是[3,3 3]，求tanθ的取值范围.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：因为A={x|x−3<0}={x|x<3}，
又B={x|y=ln(4−x)}={x|4−x>0}={x|x<4}，
所以A∩B=(−∞,3).
故选：D.
根据对数函数的性质求出集合B，再根据交集的定义计算可得．
本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：因为z=4+i1+i=(4+i)(1−i)(1+i)(1−i)=4−4i+i−i22=52−32i，
所以复数z=4+i1+i在复平面内对应的点为(52,−32)，位于第四象限．
故选：D.
根据复数代数形式的除法运算化简，再根据复数的几何意义判断即可．
本题主要考查复数的几何意义，考查转化能力，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：设f(x)=x2−lg0.5x−6(x>0)，
函数y=x2在(0,+∞)上单调递增，函数y=lg0.5x在(0,+∞)上单调递减，
所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，
又f(1)=−5<0，f(2)=−1<0，f(3)=3−lg0.53>0，f(4)=4−lg0.54>0，
所以f(2)⋅f(3)<0，
根据零点存在性定理，函数f(x)在(2,3)上存在一个零点，
即x0∈(2,3).
故选：C.
构造函数f(x)=x2−lg0.5x−6(x>0)，易知函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，进而根据零点存在性定理判断即可求解．
本题考查了构造函数解决问题的方法，零点存在性定理，二次函数和对数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：根据三力平衡得F1+F3+F2=0，即F1+F3=−F2，
两边同时平方得F12+2F1⋅F3+F32=|F2|2，
即|F1|2+2|F1|⋅|F3|cs60∘+|F3|2=|F2|2，
即12+2×1×2×12+22=7=|F2|2，
解得|F2|= 7.
故选：C.
根据三力平衡得到F1+F3=−F2，然后通过平方将向量式数量化得到|F1|2+2|F1|⋅|F3|cs60∘+|F3|2=|F2|2，代入数据即可得到答案．
本题主要考查数量积表示两个向量的夹角，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：已知在甲的6次射击中，
成绩为8的有三次，成绩为7的有一次，
所以无论a为何值，甲射击成绩的中位数一定是8，
若甲射击成绩的中位数等于乙射击成绩的平均数，
此时10+7+7+9+8+b6=8，
解得b=7.
故选：A.
由题意，根据中位数的定义得到甲射击成绩的中位数，再利用平均数公式进行求解即可．
本题考查中位数和平均数，考查了逻辑推理和运算能力．
6.【答案】B
【解析】解：由cs(α−β)=13，可得csαcsβ+sinαsinβ=13，
因为csαcsβ=14，可得sinαsinβ=112，
又因为cs(α+β)=csαcsβ−sinαsinβ=14−112=16.
故选：B.
根据两角和与差的余弦公式，即可求解．
本题主要考查了和差角公式的应用，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：由lg2a<2，即lg2a由x∈(−1,+∞)，x2+(4−a)x+4−a>0恒成立，
即x2+4x+4>a(x+1)在(−1,+∞)上恒成立，
所以a<(x+2)2x+1=(x+1)+1x+1+2，
又(x+1)+1x+1+2≥2 (x+1)⋅1x+1+2=4，当且仅当x+1=1x+1，即x=0时取等号，
所以a<4，
因为(0,4)真包含于(−∞,4)，
所以“lg2a<2”是“对任意x∈(−1,+∞)，x2+(4−a)x+4−a>0恒成立”的充分不必要条件．
故选：A.
分别求出两条件所对应的a的取值范围，再根据集合的包含关系及充分条件、必要条件的定义判断即可．
本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，考查了基本不等式的应用，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】解：正四棱台ABCD−A1B1C1D1中，AB=3A1B1=3，
因为BC//AD，所以∠A1AD是异面直线AA1与BC所成的角，
所以cs∠A1AD= 66，
即12×(3−1)AA1= 66，解得AA1= 6，
取AD、A1D1的中点M，N，连接MN，取上下底面的中心O1、O，连接OO1，
则MN= ( 6)2−12= 5，OO1= ( 5)2−12=2，
所以正四棱台ABCD−A1B1C1D1的体积为V=13×(12+ 12×32+32)×2=263.
故选：D.
画出正四棱台ABCD−A1B1C1D1，找出异面直线AA1与BC所成的角，计算正四棱台的高，再求体积．
本题考查了正四棱台的结构特征与体积计算问题，是基础题．
9.【答案】BCD
【解析】解：由题意得，z1=3−4i，
所以z12=(3−4i)2=9−24i+16i2=−7−24i，故A错误；
而|z1|= 32+(−4)2=5，故B正确；
因为z1−=3+4i，故复数z1−在复平面内对应的点为(3,4)，在第一象限，故C正确；
因为|z2|=1，所以点Z2在以原点O为圆心，1为半径的圆上，
而|Z1Z2|表示点Z1，Z2之间的距离，
所以|Z1Z2|min=|OZ1|−1=5−1=4，故D正确．
故选：BCD.
由题意可得z1=3−4i，结合复数的代数形式运算可判断A；结合共轭复数及复数的几何意义可判断BCD.
本题主要考查复数的几何意义，以及共轭复数的定义，复数模公式，属于基础题．
10.【答案】BC
【解析】解：对于A，AB⋅BC=|AB|×|BC|×cs(π−B)=−|AB|×|BC|×csB，
由于△ABC为锐角三角形，所以00，
所以AB⋅BC<0，A错误；
对于B，由正弦定理可得6sin30∘=10sinC，
所以有sinC=56>sin30∘=12，
C有两个解，即△ABC有两解，B正确；
对于C，S△ABC=12(a+b+c)r=12acsinB，
又BA⋅BC=|BA|⋅|BC|csB=accsB，
所以ac=BA⋅BCcsB，所以12(a+b+c)r=12⋅BA⋅BCcsBsinB=12BA⋅BCtanB，
所以r=BA⋅BCtanBa+b+c，C正确；
对于D，因为AB⋅AC=|AB|⋅|AC|csA，又AB⊥BC，所以csA=|AB||AC|，
所以AB⋅AC=|AB|⋅|AC|csA=|AB|⋅|AC|⋅|AB||AC|=|AB|2，D错误．
故选：BC.
根据数量积的定义判断A，根据正弦定理判断B，利用面积公式及数量积的定义判断C，根据数量积的定义及锐角三角函数判断D.
本题主要考查解三角形和正弦定理，属中档题．
11.【答案】ACD
【解析】解：根据题意，甲、乙两位同学从A，B，C，D这4种课外读物中各自选读2种，每人都有AB、AC、AD、BC、BD、CD，共6种取法，则甲乙共有36种不同的取法，
由此分析选项：
对于A，事件G、M不会同时发生，则G、M互斥，A正确；
对于B，P(G)=4×636=23，B错误；
对于C，事件M与N不会同时发生，则M、N互斥，C正确；
对于D，P(N)=3×336=14，P(GN)=3×236=16，有P(GN)=P(G)P(N)，事件G、N相互独立，D正确．
故选：ACD.
根据题意，分析甲、乙的取法，结合相互独立事件、互斥事件的定义依次分析选项是否正确，综合可得答案．
本题考查相互独立事件、互斥事件的判断，涉及古典概型的计算，属于基础题．
12.【答案】ACD
【解析】解：对于A，由长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AA1=2，BC=4，
设长方体ABCD−A1B1C1D1的外接球的半径为R，
可得长方体的对角线长为 22+22+42=2 6，则2R=2 6，可得R= 6，
∴长方体的外接球的表面积为S=4πR2=24π，故A正确；
对于B，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，可得AA1⊥平面ABCD，
∵AE⊂平面ABCD，∴AA1⊥AE
假设A1C⊥AE，且AA1∩A1C=A1，AA1，A1C⊂平面AA1C，∴AE⊥平面AA1C，
又∵AC⊂平面AA1C，∴AE⊥AC，
∵在矩形ABCD中，AE与AC不垂直，∴假设不成立，
∴A1C与AE不垂直，故B错误；
对于C，连接A1D交AD1于点F，连接EF，∵E为CD的中点，∴EF//A1C，
又∵A1C⊄平面AED1，且EF⊂平面AED1，∴A1C//平面AED1，故C正确；
对于D，∵A1C//平面AED1，且点M为A1C上的一动点，
∴M点到平面AED1的距离等于A点到平面AED1的距离，设距离为d，
∵长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AA1=2，BC=4，
∴AD1=2 5,D1E= 5,AE= 17，∴cs∠AD1E=25，∴sin∠D1AE= 215，
∴S△AED1=12×2 5× 5× 215= 21，
又由VA1−AED1=VE−AA1D1，可得13× 21×h=13×12×4×2×1，∴h=4 2121，
即MN的最小值为4 2121，故D正确．
故选：ACD.
设长方体ABCD−A1B1C1D1的外接球的半径为R，得到 22+22+42=2 6，可判定A正确；
根据线面垂直的判定定理结合条件，可判定B错误；
连接A1D交AD1连接EF，利用线面平行的判定定理，可判定C正确；
根据A1C//平面AED1，得到M点到平面AED1的距离等于A点到平面AED1的距离，结合VA1−AED1=VE−AA1D1，可判定D正确．
本题考查空间中点、直线、平面的位置关系，点到平面的距离等，属于中档题．
13.【答案】25
【解析】解：3名男生记为ABC，2名女生记为ab，
从中随机选2人有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab共10种选法，
则选出性别相同的有AB，AC，BC，ab，4种取法，
所以取出的2个球都是白球的概率为P=410=25.
故答案为：25.
利用古典概型的概率求解．
本题考查了古典概型的概率计算公式，考查了计算能力，属于基础题．
14.【答案】1(答案不唯一)
【解析】【分析】
本题考查函数奇偶性的判断，属于综合题．
根据题意，按n的值分情况讨论f(x)的奇偶性，分析可得n的取值范围，综合可得答案．
【解答】
解：根据题意，f(x)=xn[ln(e2x+1)−x]，n∈N，
因为e2x+1>0恒成立，
当n=0时，函数f(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，
当n∈N*时，函数f(x)的定义域为R，
所以对于n∈N，函数f(x)的定义域关于原点对称，
而f(−x)=(−x)n[ln(e−2x+1)+x]=(−x)n(lne2x+1e2x+x)
=(−x)n[ln(e2x+1)−lne2x+x]=(−x)n[ln(e2x+1)−x]，
当n为正奇数时，f(−x)=(−x)n[ln(e2x+1)−x]=−f(x)，函数为奇函数，
当n为0或正偶数时，f(−x)=xn[ln(e2x+1)−x]=f(x)，函数为偶函数，不符合题意．
综上所述，当n为正奇数时，函数f(x)为奇函数，
所以n的值可以为1.
故答案为：1(答案不唯一).
15.【答案】[52,92)
【解析】解：函数y=sinωx−1在[0,π]上有且仅有2个零点，
由sinωx−1=0，可得sinωx=1，
由x∈[0,π]，ω>0，得ωx∈[0,ωπ]，
所以5π2≤ωπ<9π2，即52≤ω<92，
所以ω的取值范围为[52,92).
故答案为：[52,92).
结合正弦函数的性质可得5π2≤ωπ<9π2，进而求解即可．
本题考查的知识要点：函数的图象和性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
16.【答案】30+15 3
【解析】解：过点E作EF⊥AB，交AB于点F，
易知△BFE为等腰直角三角形，所以BF=EF=AD，
在Rt△ECD中，因为∠ECD=15∘，所以CD=EDtan15∘=15tan15∘，
在△ACD中，由正弦定理得ADsin45∘=CDsin75∘，
即ADsin45∘=CDcs15∘=15cs15∘tan15∘=15sin15∘，
而sin15∘=sin(45∘−30∘)=sin45∘cs30∘−cs45∘sin30∘= 6− 24，
所以AD=15× 22 6− 24=15( 3+1)，
则AB=BF+AF=AD+ED=15( 3+1)+15=30+15 3.
故答案为：30+15 3.
过点E作EF⊥AB，交AB于点F，易知△BFE为等腰直角三角形，可得BF=EF=AD，在Rt△ECD中，可得CD=15tan15∘，在△ACD中，由正弦定理得ADsin45∘=15sin15∘，进而得到AD=15( 3+1)，进而即可求解．
本题主要考查解三角形，正弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)设z=a−2i，a∈R，
则z(i+2i2)=(a−2i)(i+2i2)
=(a−2i)(i−2)=−2a+4i+ai−2i2=(2−2a)+(4+a)i，
又z(i+2i2)为纯虚数，所以2−2a=04+a≠0，解得a=1，
所以z=1−2i.
(2)因为复数z=1−2i是关于x的方程x2+mx+n=0(m,n∈R)的一个根，
所以z−=1+2i也是关于x的方程x2+mx+n=0(m,n∈R)的一个根，
所以1−2i+1+2i=−m(1−2i)⋅(1+2i)=n，解得m=−2n=5.
【解析】(1)设z=a−2i，a∈R，根据复数代数形式的乘法运算化简复数z(i+2i2)，再根据实部为0且虚部不为0得到方程(不等式)组，解得即可；
(2)根据虚根成对原理可得z−=1+2i也是关于x的方程x2+mx+n=0(m,n∈R)的一个根，利用韦达定理计算可得．
本题主要考查复数的四则运算，以及纯虚数的定义，属于基础题．
18.【答案】解：(1)由频率分布直方图可得(0.006+0.012+0.04+0.026+a+0.006)×10=1，
解得a=0.01；
(2)本次联考该校数学成绩的平均数为：
(85×0.006+95×0.012+105×0.04+115×0.026+125×0.01+135×0.006)×10=109；
(3)成绩在[80,90)的频率为0.006×10=0.06，
[90,100)的频率为0.012×10=0.12，
[100,110)的频率为0.04×10=0.4，
因为0.06+0.12=0.18<0.4，0.06+0.12+0.4=0.58>0.4，
所以第40%分位数在[100,110)之间，设为m，则0.06+0.12+(m−100)×0.04=0.4，
解得m=105.5，
所以本次联考该校数学成绩的40%分位数为105.5.
【解析】(1)根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1得到方程，解得即可；
(2)根据平均数公式计算可得；
(3)根据百分位数计算规则计算可得．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了平均数和百分位数的计算，属于基础题．
19.【答案】解：(1)令g(x)=f(x)+x2−2=2x−2−x+x2−2，
则不等式f(x)>2−x2即为g(x)>0，
因为y=x2−2，y=2x在定义域R上单调递增，y=2−x在定义域R上单调递减，
所以g(x)在定义域R上单调递增，
又g(1)=21−2−1+12−2=0，所以x>1时g(x)>0，
即不等式f(x)>2−x2的解集为(1,+∞).
(2)由f(2x)+21−2x>mf(x)对x∈(0,+∞)恒成立，
可得22x+2−2x>m(2x−2−x)对x∈(0,+∞)恒成立，
令t=2x−2−x，因为x∈(0,+∞)，所以t∈(0,+∞)，22x+2−2x=(2x−2−x)2+2=t2+2，
所以m又t+2t≥2 t⋅2t=2 2，当且仅当t=2t，即t= 2时取等号，
所以m<2 2，即实数m的取值范围为(−∞,2 2).
【解析】(1)令g(x)=f(x)+x2−2，则不等式等价于g(x)>0，判断g(x)的单调性，结合g(1)=0，即可得解；
(2)依题意可得22x+2−2x>m(2x−2−x)对x∈(0,+∞)恒成立，令t=2x−2−x，参变分离可得m本题主要考查函数恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1) 3asinB−b=bcsA⇒ 3sinAsinB−sinB=sinBcsA，
因为B∈(0,π)，所以sinB≠0，
于是由 3sinAsinB−sinB=sinBcsA⇒ 3sinA−1=csA⇒sin(A−π6)=12，
因为A∈(0,π)，所以A−π6∈(−π6,5π6)，
因此有A−π6=π6⇒A=π3；
(2)由正弦定理得asinA=bsinB=csinC=a 32，所以b=a 32sinB,c=a 32sinC，
所以b+c=a 32sinB+a 32sinC=a 32sinB+a 32sin(2π3−B)
=a 32(32sinB+ 32csB)=2asin(B+π6)=2，
所以a=1sin(B+π6)，
因为△ABC为锐角三角形，可得0所以π3所以a∈[1,2 33)
【解析】(1)根据正弦定理，结合辅助角公式进行求解即可；
(2)根据正弦定理，结合辅助角公式、正弦型函数的性质进行求解即可．
本题主要考查了正弦定理，和差角公式及正弦函数的性质在求解三角形中的应用，属于中档题．
21.【答案】解：(1)根据题意，他在科目A考试合格的概率为34+14×34=1516，
则他在科目B考试第一次合格的概率为1516×12=1532.
(2)根据题意，他考试的次数为2且获得证书的概率为P1=34×12=38，
他考试的次数为3且获得证书的概率为P2=34×12×12+14×34×12=932，
他考试的次数为4且获得证书的概率为P3=14×34×12×12=364，
所以他可获得证书的概率为38+932+364=4564.
【解析】(1)根据独立事件概率计算公式求解即可；
(2)先计算他考试的次数为2、3、4且获得证书的概率，进而即可求解．
本题考查互斥事件、相互独立事件的概率计算，注意分析事件之间的关系，属于基础题．
22.【答案】解：(1)证明：连接BD交AC于O，连接ON.
因为AD//BC，BC=2AD，
所以根据相似的性质可得BOOD=BCAD=2.
因为直线MB//平面ACN，MB⊂平面MBD，平面ACN∩平面MBD=ON，
所以MB//ON，
则MNND=BOOD=2，
所以MN=2ND.
(2)取AD的中点E，AC的中点F，连接ME，EF，MF.
因为△MAD为等边三角形，
所以不妨设MA=AD=MD=6，
则ME=3 3，ME⊥AD.
因为平面MAD⊥平面ABCD，平面MAD∩平面ABCD=AD，ME⊂平面AMD，
所以ME⊥平面ABCD，EF，AC⊂平面ABCD，
所以ME⊥EF，ME⊥AC.
又因为E，F分别为AD，AC的中点，
所以EF//CD，
而AC⊥CD，
所以AC⊥EF，
又ME∩EF=E，ME，EF⊂平面MEF，
则AC⊥平面MEF，
又MF⊂平面MEF，
则AC⊥MF，
所以∠MFE是二面角M−AC−D的平面角，即∠MFE=α.
设EF=m，
则tanα=MEEF=3 3m∈[3,3 3]，得m∈[1, 3].
过N作NH//ME交AD于H，连接CH，由于ME⊥平面ABCD，
所以NH⊥平面ABCD，
则∠NCH为直线CN与平面ABCD所成的角，即∠NCH=θ.
NH=13ME= 3，DH=13ED=1，CD=2m.
因为cs∠ADC=CDAD=m3，
所以CH= 4m2+1−2×2m×m3= 8m2+33，
则tanθ=NHHC= 3 8m2+33=3 8m2+3.
因为m∈[1, 3]，
所以tanθ=3 8m2+3∈[ 33,3 1111].
故tanθ的取值范围为[ 33,3 1111].
【解析】(1)根据相似以及线面平行的性质即可求解，
(2)由面面垂直可得线面垂直，进而根据二面角以及线面角的定义，即可找到其平面角，利用三角形的边角关系，即可求解．
本题考查线面平行的性质定理，考查线面角与二面角的定义及其求解，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力，考查直观想象和数学运算等核心素养，属于中档题．甲
8
7
10
8
8
a
乙
10
7
7
9
8
b