专题1-1 集合（讲+练）-高考数学一轮复习热点题型归纳培优讲义（新高考通用）

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知识梳理与二级结论
一、集合的相关概念
（1）集合元素的三个特性：互异、无序、确定性．
（2）元素与集合的两种关系：属于，记为 ；不属于，记为 ．
（3）集合的四种表示方法：列举法、描述法、韦恩图法、符号法．
二、并集的概念
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：（读作“A并B”），即．用Venn图表示如图所示：
由上述图形可知，无论集合A，B是何种关系，恒有意义，图中阴影部分表示并集．
注意：并集概念中的“或”指的是只需满足其中一个条件即可，这与生活中的“或”字含义不同．生活中的“或”字是或此或彼，必居其一，而并集中的“或”字可以是兼有的．
三、交集的概念
一般地，由属于且属于的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作：（读作“A交B”），即．用Venn图表示如图所示：
（1）A与B相交（有公共元素）；（2），则；（3）A与B相离（）.
注意：（1）交集概念中的“且”即“同时”的意思，两个集合的交集中的元素必须同时是两个集合的元素．
（2）定义中的“所有”是指集合A和集合B中全部的公共元素，不能是一部分公共元素．
四、补集的概念
对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作，即．用Venn图表示如图所示：
说明：（1）补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念．
（2）若，则或，二者必居其一．
五、Venn图的概念
我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．
说明：（1）表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线．
（2）Venn图表示集合时，能够直观地表示集合间的关系，但集合元素的公共特征不明显．
六、子集、真子集及其性质
对任意的x∈A，都有x∈B，则AB(或BA)；若集合AB，但存在元素x∈B，且xA，则A B(或BA)；
A；AA；AB，BCAC.
若集合A含有n个元素，则A的子集有个，A的非空子集有个，A的非空真子集有个．
八、补集的性质
热点考题归纳
【题型一】相等集合
【典例分析】
1．（2023·高三模拟）已知集合，，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据集合的表示，确定集合中的元素，能化简的集合要化简后对比
【详解】解：∵是单元素集，集合中的元素是，
，，
，集合中的元素是点，.∴.故选：D.
2．（2022秋·河北保定·高三河北省唐县第一中学校考阶段练习）下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】根据集合的定义，依次分析选项即得.
【详解】对于A，两个集合都为点集，与是不同点，故M、N为不同集合，故A错误；
对于B，M是点集，N是数集，故M、N为不同集合，故B错误；
对于C，M是数集，N是点集，故M、N为不同集合，故C错误；
对于D，，，故M、N为同一集合，故D正确.
故选：D.
【提分秘籍】
【变式演练】
1．（2023·高三模拟）设是有理数，集合，在下列集合中；
（1）；（2）；（3）；（4）；与相同的集合有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【解析】将分别代入（1）、（2）、（3）中，化简并判断与是否一一对应，再举反例判断（4）.
【详解】对于（1），由，得，一一对应，则
对于（2），由，得，一一对应，则
对于（3），由，得，一一对应，则
对于（4），，但方程无解，则与不相同
故选：B
2．（2023·高三模拟）下列各组集合中，M与P表示同一集合的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【解析】根据相同集合的判定方法，逐项判断，即可得出结果.
【详解】A选项，与所含元素不同，故不是同一集合，A错；
B选项，与所含元素不同，故不是同一集合，B错；
C选项，集合表示点集，集合表示数集，故不是同一集合，C错；
D选项，两集合均表示大于等于的全体实数，是同一集合，故D正确；
故选：D
【点睛】本题主要考查同一集合的判定，属于基础题型.
3．（2023·高三模拟）与集合表示同一集合的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由解得，即可得出结果.
【详解】由解得，所以.
故选：D.
【题型二】判断集合元素个数
【典例分析】
1．（2022秋·山东·高三阶段练习）已知集合有个真子集，集合有个真子集，那么的元素个数为（ ）
A．有个元素B．至多有个元素
C．至少有个元素D．至多有10个元素
【答案】B
【分析】利用真子集的公式分别求出两集合的元素的个数，然后分两集合中的元素有个相等，个相等，互不相等三种情况讨论两集合并集元素的个数，得到正确答案即可．
【详解】解：根据真子集的公式解得；解得，
所以集合中有个元素，集合中有个元素，
当集合与的元素互不相等时，的元素个数为个；
当集合与的元素有且只有一个相等时，的元素个数为个；
当集合与的元素有且只有两个相等时，的元素个数为个；
所以的元素个数可能为个，个，个，所以的元素个数至多有个元素．
故选：B．
2．（2022秋·北京海淀·高三海淀实验中学阶段练习）已知、、为实数，，，记集合，，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若集合的元素个数为2，则集合的元素个数也一定为2
B．若集合的元素个数为2，则集合的元素个数也一定为2
C．若集合的元素个数为3，则集合的元素个数也一定为3
D．若集合的元素个数为3，则集合的元素个数也一定为3
【答案】D
【分析】利用一元二次方程根的判别式,结合函数的表达式,先考虑当集合的元素个数分别为2、3时, 集合的元素个数情况；再考虑当集合的元素个数分别为2、3时, 集合的元素个数情况,最后选出正确答案.
【详解】选项A：当时，集合的元素个数为2，此时,集合的元素个数为1,故本选项说法错误；
选项B：当时,集合的元素个数为2,此时，集合的元素个数为3，故本选项说法错误；
选项C：当时，集合的元素个数为3，此时,集合的元素个数为2,故本选项说法错误；
选项D：若集合的元素个数为3，方程有三个不等实根,则有,在该条件下方程一定有这一个根，且不是的根，又，所以有两个不等于的根，即集合的元素个数也一定为3.
故选D
【点睛】本题考查了通过方程根的情况求参数问题,考查了分类讨论思想.
【提分秘籍】
【变式演练】
1（2023·高三模拟）已知非空集合A，B满足以下两个条件：
（1），；
（2）A的元素个数不是A中的元素，的元素个数不是中的元素．
则有序集合对的个数为（ ）
A．1B．2C．4D．6
【答案】B
【分析】根据已知条件，按集合中得元素个数进行分类讨论.
【详解】若集合A中只有1个元素，则集合中有3个元素，且，，所以，，此时有序集合对有1对；同理，若集合中只有1个元素，则集合A中有3个元素，此时有序集合对有1对；若集合A中有2个元素，则集合中有2个元素，且，，不满足题意．所以满足题意的有序集合对的个数为．故A，C，D错误.
故选：B．
2．（2023·河北·河北衡水中学校考模拟预测）若集合U有71个元素，且各有14，28个元素，则的元素个数最少是（ ）
A．14B．30C．32D．42
【答案】A
【分析】根据集合中的元素以及交并补运算的性质即可求解.
【详解】设中有个元素，则,
所以中的元素个数为，因此中的元素个数为中的元素减去中的元素个数，即为，
由于，所以，故当时，有最小值14
故选：A
3．（2023·重庆九龙坡·高三重庆市杨家坪中学校考阶段练习）对于非空数集，定义表示该集合中所有元素的和．给定集合，定义集合，则集合中元素的个数是（ ）
A．集合中有1个元素B．集合中有个元素
C．集合中有11个元素D．集合中有15个元素
【答案】B
【分析】对的情况分别列出来，计算的取值情况，最后得出集合的元素个数.
【详解】1.当为单元集合时，集合A可取，可取;
2.当中的元素个数为2时，集合可取，可取；
3.当中的元素个数为3时，集合可取，可取；
4.当时,.
综上所述，集合中有个元素.
故选:B.
【题型三】元素个数与参数
【典例分析】
1．（2023·高三模拟）由，，3组成的一个集合A，若A中元素个数不是2，则实数a的取值可以是（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】D
【分析】由题意判断集合的元素个数，根据集合元素的互异性，可求得a的不可能取值，即得答案.
【详解】由题意由，，3组成的一个集合A，A中元素个数不是2，
因为无解，故由，，3组成的集合A的元素个数为3，
故，即，即a可取2，
即A，B，C错误，D正确，
故选：D
2．（2023·全国·高三专题练习）已知是等差数列，，存在正整数，使得，.若集合中只含有4个元素，则的可能取值有（ ）个
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】考虑不符合题意，时，列举出满足条件的集合，再考虑时不成立，得到答案.
【详解】当时，，根据周期性知集合最多有3个元素，不符合；
当时，，取，此时，满足条件；
当时，，即，，在单位圆的五等分点上不可能取到4个不同的正弦值，故不满足；
当时，，取，此时，满足条件；
当时，，取，此时，满足条件；
当时，，取，此时，满足条件；
故选：C
【提分秘籍】
【变式演练】
1．（2023·山西·统考模拟预测）已知函数，集合中恰有3个元素，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用三角变换将函数转化为.集合只含有3个元素，表示时在上只有三解，求出的根，从而得出的范围.
【详解】因为函数，所以，
因为集合含有个元素，
所以时在上只有三解，即，
解得：或，故或，要使其落在上，
故只有、、，其他值均不在内，故，解得，故，故选：D.
2．（2023·湖北武汉·高三校联考）设集合，，若中有且只有一个元素，则所有取值组成的集合为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据集合描述的几何意义，判断集合N表示的圆与集合M表示的半圆只有一个交点时的取值范围即可.
【详解】如下图示，当集合N表示的圆与集合M表示的半圆相切，或集合N表示圆半径变大过程中与集合M表示的半圆只有一个交点时，中有且只有一个元素，

所以当它们相切，；
当集合N表示的圆过时恰好有两个交点，过时恰好有一个交点；
综上，时，中有且只有一个元素.
故选：C.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知集合至多有1个真子集，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】D
【分析】根据真子集的个数可得或者为单元素集，进而根据方程的根可求解.
【详解】由于集合至多有1个真子集，则集合中的元素个数至多一个，故或者为单元素集，
当时，则且，解得，
当为单元素集，则中只有一个元素，当时，符合题意，当时，则，解得 ，综上，或，故选：D
【题型四】子集与真子集
【典例分析】
1．（2023·上海宝山·上海交大附中校考三模）已知，集合，若集合恰有8个子集，则的可能值有几个（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据子集个数可得集合元素个数，再由正弦函数性质即可确定n的取值.
【详解】由题意易知，，均是集合中的元素，
又集合恰有8个子集，故集合只有三个元素，
有，则结合诱导公式易知，
可取的值是4或5.故选：B
2．（2023黑龙江·高三校考阶段练习）给定全集，非空集合满足，，且集合中的最大元素小于集合中的最小元素，则称为的一个有序子集对，若，则的有序子集对的个数为
A．48B．49C．50D．51
【答案】B
【详解】 时，的个数是
时，的个数是
时，的个数是 ，
时，的个数是1
时，的个数是，
时，的个数是
时，的个数是1，
时，的个数是
时，的个数是1
时，的个数是1
时，的个数是
时，的个数是1、
时，的个数是1
时，的个数是1
时， 的个数是1
的有序子集对的个数为49个，
【提分秘籍】
【变式演练】
1．（2023春·河南新乡·高三统考）已知集合，集合满足，且中恰有三个元素，其中一个元素是另外两个元素的算术平均数，则满足条件的共有（ ）
A．380个B．180个C．90个D．45个
【答案】C
【分析】设，，，则由题意可得，然后分，同为奇数或同为偶数两种情况讨论求解即可.
【详解】设，，，且是与的算术平均数，则，
所以，同为奇数或同为偶数.
当，同为奇数时，则必存在唯一确定的数，
此时满足条件的共有个.
当，同为偶数时，则也必存在唯一确定的数，此时满足条件的共有个.
故满足条件的共有90个.
故选：C
2．（2023·辽宁·校联考三模）若为全体实数，集合．集合．则的子集个数为（ ）
A．5B．6C．16D．32
【答案】D
【分析】先分别求出集合再根据补集及交集求解，最后应用子集公式计算即可.
【详解】由集合得且，
由集合可得或，
故子集个数为．
故选:．
3．（2023春·江苏徐州·高三徐州高级中学校考阶段练习）设集合，则的所有子集的个数为（ ）
A．3B．4C．8D．16
【答案】C
【分析】解不等式得，再根据公式求解即可.
【详解】解：解不等式得，
解不等式得，
由于,
所以，，
所以，的所有子集的个数为个.故选：C
【题型五】集合的子集求参数
【典例分析】
1．（2023安徽滁州·高三校考阶段练习）已知非空集合 ，，，则集合可以是
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】取，则，
所以，又，所以，故排除ACD.
故选：B.
2．（2023秋·河南·高三统考）集合或，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据，分和两种情况讨论，建立不等关系即可求实数的取值范围．
【详解】，
①当时，即无解，此时，满足题意．
②当时，即有解，
当时，可得，要使，则需要，解得．
当时，可得，要使，则需要，解得，
综上，实数的取值范围是．故选：A．
【提分秘籍】
【变式演练】
1．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，若，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据并集关系得到，分和讨论即可.
【详解】，当，符合题意；
当，，解得，
综上.故选：A．
2．（2023·湖南·校联考模拟预测）已知非空集合， 其中，若满足，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】可设，根据题设条件可得满足的条件，再根据根分布可求实数的取值范围.
【详解】，
因为非空，故可设，则为方程的两个实数根.
设，
又，
因为， 故，所以，解得.故选：A.
3．（2023春·北京·高三101中学校考阶段练习）已知集合.若，且对任意的，，均有，则集合B中元素个数的最大值为
A．25B．49C．75D．99
【答案】D
【分析】先分析集合元素的特点，通过列举可得.
【详解】当或的值较小时，集合B中元素个数最多，即共有99个元素.
【点睛】本题主要考查集合的表示方法，抓住集合元素的特点是求解的关键.
【题型六】集合的交集运算
【典例分析】
1．（2023·辽宁·高三辽宁实验中学校考阶段练习）已知，，且，其中，若，，且的所有元素之和为56，求（ ）
A．8B．6C．7D．4
【答案】A
【分析】根据可得，可得，再根据可得，分和两种情况来讨论即可得解.
【详解】由得，所以，
，所以，
（1）若，由，所以，
所以，，
所以，即，
从而，
所以，所以，
即或，与矛盾；
（2）若，则，从而，所以，即，从而，
所以，，所以或，又，所以，，
又，所以，由代入可得：
，所以或（舍），所以，故选：A
2．（2023秋·上海黄浦·高三上海市向明中学校考阶段练习）已知集合，则集合中元素的个数是（ ）
A．0B．2C．4D．8
【答案】A
【分析】根据对称性画出图像，计算圆心到直线的距离 得到答案.
【详解】根据对称性画出图像，如图所示：
考虑第一象限，圆心到直线的距离为 ，相离
根据对称性得到集合中元素的个数是
故选
【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，集合的交集，意在考查学生的综合应用能力.
【提分秘籍】
【变式演练】
1．（2023春·浙江宁波·高三校联考期末）设集合，，则中元素的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】在同一坐标系下画出两集合对应函数图象，交点个数即为交集元素个数
【详解】对于函数，当时，；当时，.
对于函数，，则且端点处取最大值.
两函数图象在同一坐标系下大致如下，则两函数图象有3个交点，即中元素的个数为3个.
故选：B

2．（2023春·湖北省直辖县级单位·高三湖北省仙桃中学校考阶段练习）集合，集合，则的元素个数为（ ）
A．4B．5C．6D．无数个
【答案】A
【分析】计算，，再计算交集得到答案.
【详解】，则，即，
故，，
故.
故选：A
3．（2023·江西·校联考二模）已知，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意求集合，再结合交集运算求解.
【详解】由题意可知：，
对于可知：，则，
故，且，
故.故选：C.
【题型七】交集运算求参数
【典例分析】
1．（2023·浙江·高三校考）已知集合，，若，且中恰好有两个整数解，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出中不等式的解集确定出,求出集合对应的一元二次方程的根,表示出B集合,由的范围判断出两整数解为和,从而得到关于的不等式.
【详解】，令，由题意，，又，所以，
设，又.所以要使中恰好有两个整数解，
则只能是和，所以应满足,解得.故选A
【点睛】本题考查利用集合间的交运算求参数的范围;判断出中的两个整数解为4和5和结合一元二次函数图象得出关于a的不等式是求解本题的关键;属于难度大型试题.
2．（2022秋·重庆·高三统考期末）设，，若中含有两个元素，
则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】试题分析：表示以为圆心、半径为2的上半圆，直线表示恒过点的直线；由题意，满足要求的直线介于之间，；因为与圆相切，则，解得；所以．
【提分秘籍】
【变式演练】
1．（2023·黑龙江绥化·高三统考）设集合，，若，则实数k的取值范围是（ ）
A．或B．
C．或D．
【答案】C
【分析】先算出集合，再根据，根据区间端点列出不等式即可获解.
【详解】或,
或，解得或，
的取值范围是或
故选：C
2（2023·福建宁德·高三统考）设集合，集合，若中恰含有一个整数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先求出或，然后对分，，三类讨论，利用数轴得到相关不等式，解出即可.
【详解】由中不等式变形得:,解得:或,
即或，
，即 ，令，则或，
若，则，即，此时，此时，不合题意舍去，
若，则不等式解集为，根据数轴分析得若恰有一个整数，则，解得，
若，则不等式解集为，根据数轴分析得若恰有一个整数，则
，解得，综上，故选：C.
3．（2023·全国·高三专题练习）设集合，（）.当有且只有一个元素时，则正数的所有取值为（ ）
A．或B．
C．或D．或
【答案】C
【分析】依题画出满足题意的图形，因为有且只有一个元素，所以圆N和圆M只有一个交点，所以圆N的位置为圆（1）和介于圆（2）、圆（3）之间两种情况，然后分析计算即可得解.
【详解】，，即圆M：的上半部分，如图：
圆M的圆心坐标为，半径为2，圆N的圆心坐标为，半径为r，
因为有且只有一个元素，所以圆N和圆M只有一个交点，
所以圆N的位置为圆（1）和介于圆（2）、圆（3）之间两种情况，①外切：，d为圆心距，
，此时，②介于圆（2）、圆（3）之间：圆（2）处的半径，
圆（3）处的半径，所以，综上，正数的所有取值为或.故选：C.
【点睛】关键点睛：本题的解题关键是由因为有且只有一个元素，所以圆N和圆M只有一个交点，进而分析计算.
【题型八】集合的并集运算
【典例分析】
1．（2023·高三模拟）设全集，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先弄清的含义，再求，最后再求补集即可得答案.
【详解】由，可得，
所以集合表示的是直线去掉点后的所有点的集合，
集合表示的是坐标系内不在直线上的点的集合，
所以.
故选：B.
2．（2023·四川成都·高三校联考）已知正整数集合，，其中．若，且，则中所有元素之和为（ ）
A．52B．56C．63D．64
【答案】A
【分析】由题意可得，从而可求的值，根据可求，由并集运算可得，从而可求元素之和.
【详解】解：因为，且，所以.
所以.
由，可得.
故由可得.
所以.
故,.
所以,所有元素之和为52.故选:A．
【提分秘籍】
【变式演练】
1．（2023·湖北·校联考模拟预测）设、、、、是均含有个元素的集合，且，，记，则中元素个数的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设、、、是集合互不相同的元素，分析可知，然后对的取值由小到大进行分析，验证题中的条件是否满足，即可得解.
【详解】解：设、、、是集合互不相同的元素，若，则，不合乎题意.
①假设集合中含有个元素，可设，则，
，这与矛盾；
②假设集合中含有个元素，可设，，
，，，满足题意.
综上所述，集合中元素个数最少为.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题考查集合元素个数的最值的求解，解题的关键在于对集合元素的个数由小到大进行分类，对集合中的元素进行分析，验证题中条件是否成立即可.
2．（2022秋·河北衡水·高三统考期中）若，，定义，
则
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】试题分析：由题意，
，
所以,
所以
考点：新定义及集合的基本运算．
【名师点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性．研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求，即是集合A或B的元素，但不是集合A,集合B共有的元素,一般要在数轴上表示出来，形象直观，一定要注意端点值，看是否包括，是易错点．
3．（2023河南·高三校联考阶段练习）已知集合，.若，则m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由题意可得，，所以，将问题转化为二次函数的两根在和之内，由二次函数图象性质及零点存在性定理求解即可.
【详解】解：由，得；
因为，
所以，
令，结合二次函数图象性质及零点存在性定理，
得，即，解得，所以实数的取值范围为.故选:D.
【题型九】并集运算求参数
【典例分析】
1．（2023春·江西景德镇·高三景德镇一中校考期末）已知集合，集合，若，则实数不可以取（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求得范围为，根据题意可得，逐项分析判断即可得解.
【详解】对集合A解不等式，解得，
由则，
当时，，则，
此时，符合题意；
当时，，，符合题意，
当时，，
此时，符合题意，
当时，
此时 ，不符题意，
故选：D
2．（2023·浙江·高三专题练习）已知表示不超过的最大整数，例如，，方程的解集为，集合，且，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题意可知，解绝对值不等式求出集合A，分类讨论的取值范围，求出集合B，由，列出满足条件的不等式组，解不等式即可求解.
【详解】由题意可得，解得或 ，
所以或，
所以
，
当时，，由，
则，解得；
当时，，此时不成立，故不取；
当时，，
则，解得，
综上所述，实数的取值范围是.
故选：D
【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法、含参数的一元二次不等式的解法以及根据集合的运算结果求参数的取值范围，属于中档题.
【提分秘籍】
【变式演练】
1．（2023·高三校考模拟）设集合，，若，则实数a的取值范围是（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】集合分别表示圆及其内部所有点组成的集合，由题意可知两个圆内含或内切，列式求解即可.
【详解】集合表示以为圆心，半径的圆及其内部所有点组成的集合，
集合表示以为圆心，半径的圆及其内部所有点组成的集合，
因为，所以两个圆内含或内切，
从而，即，解得.
故选：D．
2．（2023·浙江·统考高考模拟）设集合S，T，SN*，TN*，S，T中至少有两个元素，且S，T满足：
①对于任意x，yS，若x≠y，都有xyT
②对于任意x，yT，若x下列命题正确的是（ ）
A．若S有4个元素，则S∪T有7个元素
B．若S有4个元素，则S∪T有6个元素
C．若S有3个元素，则S∪T有5个元素
D．若S有3个元素，则S∪T有4个元素
【答案】A
【分析】分别给出具体的集合S和集合T，利用排除法排除错误选项，然后证明剩余选项的正确性即可.
【详解】首先利用排除法：
若取，则，此时，包含4个元素，排除选项 C；
若取，则，此时，包含5个元素，排除选项D；
若取，则，此时，包含7个元素，排除选项B；
下面来说明选项A的正确性：
设集合，且，，
则，且，则，
同理，，，，，
若，则，则，故即，
又，故，所以，
故，此时，故，矛盾，舍.
若，则，故即，
又，故，所以，
故，此时.
若， 则，故，故，
即，故，
此时即中有7个元素.
故A正确.
故选：A.
【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知不等式的解集为，关于x的不等式的解集为B，且，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】解出不等式可得集合，由可得，然后可得在上恒成立，然后分离参数求解即可.
【详解】由得，，解得，
因为，所以
所以可得在上恒成立，
即在上恒成立，故只需，
，当时，，故．故选：B
【题型十】补集与全集
【典例分析】
1．（2023·福建福州·高三校联考）已知不等式解集为，若不等式解集为B，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由不等式解集为可得，从而求出，再利用集合补集的定义求解即可.
【详解】因为不等式解集为，
所以，所以可化为，则，
所以，解得：，所以，故选：B.
2．（2023·湖北襄阳·高三枣阳一中校考阶段练习）设全集，集合，则集合（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】解不等式化简集合A，B，再利用补集、交集的定义求解作答.
【详解】解不等式得：，即，则，
解不等式得：，则，因此，，
所以.故选：C
【提分秘籍】
【变式演练】
1．（2023春·安徽滁州·高三校考开学考试）设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出集合、，，再由交集的运算可得答案.
【详解】设集合，
，则，所以.故选：D.
2．（2023·高三模拟）设全集且，，若，，则这样的集合共有（ ）
A．个B．个
C．个D．个
【答案】D
【分析】先求出全集，再求出集合的子集即为，再进行补集运算可得集合，进而可得正确选项.
【详解】且，
的子集有，，，，，，，，
的子集有个，，所以有个，
因为，所以存在一个即有一个相应的，
所以，，，，
，，，有个，
故选：D.
3．（2023·高三模拟）已知集合，．若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．或D．
【答案】C
【解析】首先根据题意，求得或，由可以得到，根据子集的定义求得参数所满足的条件，得到结果.
【详解】，
∵．
∴或，
∵即，∴或．
即或，‎即实数的取值范围是或．
故选：C.
【点睛】该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有集合的补集，根据子集求参数的取值范围，属于简单题目.
【题型十一】全集补集运算求参
【典例分析】
1．（2022·北京·高三专题练习）设集合，全集,若,则有（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先解不等式得到，再求出，利用数轴法即可得到.
【详解】由，解得，故
因为，，所以，
又因为，由数轴法得.
故选：C.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知全集，集合，若的元素的个数为4，则的取值范围为
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据集合补集的结果个数，即可容易求得参数范围.
【详解】若的元素的个数为4，则
故选：A.
【点睛】本题考查由集合的补集元素个数求参数范围，属基础题.
【提分秘籍】
【变式演练】
1．（2023·江苏常州·高三统考阶段练习）设全集，集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据补集的定义可得出关于的等式（组），即可解得实数的值.
【详解】因为，由题意可得，解得.
故选：B.
2．（2023春·江西南昌·高三进贤县第一中学校考）已知集合，，若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先化简集合U、A，利用，借助于不等式的解集是用不等式对应的方程的解表示求出a.
【详解】∵，又，
∴，
又，
∴､是方程的两个根，∴.
故选：A.
【点睛】（1）集合的交并运算：①离散型的数集用韦恩图；② 连续型的数集用数轴；
（2）不等式的解集是用不等式对应的方程的解表示的.
3．（2023·全国·高三专题练习）不等式2ax<1解集为Q，P＝{x|x≤0}，若Q∩∁RP＝，则实数a等于( )
A． B．
C．4D．2
【答案】D
【详解】试题分析：∵,∴当时，，∴，∵，
∴，∴.
考点：1.集合的交集、补集运算；2.含参一元二次不等式.
【题型十二】新定义
【典例分析】
1．（2023·江苏·高三专题练习）用表示非空集合中元素个数，定义，则，，且，则实数的值范围是（ ）
A．或B．或
C．或D．或
【答案】D
【解析】先由方程，根据判别式判定；再由题中条件，得到或4，再由时，方程一定有根，推出集合中的方程有4个不同的根，得出方程以及必须都有两不同的根，进而可求出结果.
【详解】集合中的方程，其，
所以
因为定义，且，
所以或4，
即集合中的方程，有0个根或者4个根，
而当时，方程一定有根，
所以集合中的方程，有4个不同的根，
则需方程以及必须都有两不同的根，
从而得到，
所以或.
故选：D.
【点睛】本题主要考查集合的新定义问题，考查由集合中元素个数求参数的问题，属于中档题型.
2．（2023·高三课前预习）用表示非空集合中的元素的个数，定义，已知集合有三个真子集，，若，设实数的所有可能取值构成集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由已知条件求得，可得出或，然后对实数的取值进行分类讨论，确定方程的解的个数，由此可求得实数的所有可能取值，即可得出的值.
【详解】由题意可知，集合的真子集个数为，解得，
由题中定义可得，或.
由题意可知，为关于的方程的一根.
当时，则，则方程只有一个实根，可得，
此时，方程无实根，则满足条件；
当时，则关于的方程有三个根，必有，
此时，关于的方程的两根分别为，，分以下两种情况讨论：
①若是方程的一根时，则，解得.
当时，则，合乎题意；
当时，则，合乎题意；
②当方程有两个相等的实根，则，解得.
当时，，合乎题意；
当时，，合乎题意.
因此，，即.
故选：D.
【点睛】以集合为载体的新定义问题，是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中集合只是基本的依托，考查的是考生创造性解决问题的能力．在解本题中，在求出实数的取值后，要代回原集合进行检验，以免产生错解.
【提分秘籍】
【变式演练】
1．（2023·上海浦东新·高三上海市建平中学校考）定义集合运算且称为集合与集合的差集；定义集合运算称为集合与集合的对称差，有以下4个命题：
① ②
③ ④
则个命题中是真命题的是（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
【答案】B
【分析】利用题中定义可判断①的正误；利用韦恩图法可判断②④；利用题中定义与集合运算可判断③的正误.
【详解】对于①，，①对；
对于②，且且，
同理，
则，
所以，表示的集合如下图中的阴影部分区域所示：
同理也表示如上图阴影部分区域所示，
故，②对；
对于③，
，③对；
对于④，如下图所示：
所以，，④错.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题考查集合中的新定义问题，解题的关键在于利用韦恩图法来表示集合，利用数形结合思想来进行判断.
2．（2023·北京·高三东直门中学校考阶段练习）设集合的最大元素为，最小元素为，记的特征值为，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0.已知，，，…，是集合的元素个数均不相同的非空真子集，且，则的最大值为（ ）
A．10B．11C．12D．13
【答案】B
【分析】根据题设描述只需保证各集合中（）尽量小，结合已知及集合的性质有最大时，进而分析的取值.
【详解】由题设，，，…，中都至少有一个元素，且元素个数互不相同，
要使最大，则各集合中（）尽量小，
所以集合，，，…，的元素个数尽量少且数值尽可能连续，
所以，不妨设，有，
当时，，
当时，，
只需在时，在上述特征值取最小情况下，使其中一个集合的特征值增加5即可，故的最大值为11.
故选：B
【点睛】关键点点睛：注意最大则各集合中（）尽量小，并求出该情况下特征值之和关于n的公式，再分析其最大取值.
3．（2023·全国·高三专题练习）设A是任意一个n元实数集合，令集合，记集合B中的元素个数为，则（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】B
【分析】利用排除选项D；利用排除选项AC；举例验证选项B正确.
【详解】当集合A中的元素两两互质时，．
所以对于选项D，当时，，故选项D错误．
当时，若，其中，有，故．
对于选项A，，故．故选项A错误．
对于选项C，，则.故选项C错误．
对于选项B，，判断正确
（事实上，当时，要使最小，，记，其中，当时，有．）
故选：B
1．（2023·北京·统考高考真题）已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先化简集合，然后根据交集的定义计算.
【详解】由题意，，，
根据交集的运算可知，.
故选：A
2．（2023·全国·统考高考真题）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C
【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出．
方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．
【详解】方法一：因为，而，
所以．
故选：C．
方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以．
故选：C．
3．（2023·全国·统考高考真题）设全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用集合的交并补运算即可得解.
【详解】因为全集，集合，所以，
又，所以，
故选：A.
4．（2023·全国·统考高考真题）设集合，，若，则（ ）．
A．2B．1C．D．
【答案】B
【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可.
【详解】因为，则有：
若，解得，此时，，不符合题意；
若，解得，此时，，符合题意；
综上所述：.
故选：B.
5．（2023·天津·统考高考真题）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】对集合B求补集，应用集合的并运算求结果；
【详解】由，而，
所以.
故选：A
6．（2023·全国·统考高考真题）设集合，集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为即可.
【详解】由题意可得，则，选项A正确；
，则，选项B错误；
，则或，选项C错误；
或，则或，选项D错误；
故选：A.
7．（2023·全国·统考高考真题）设全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意可得的值，然后计算即可.
【详解】由题意可得，则.
故选：A.
8．（2023·全国·统考高考真题）设全集,集合，（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出．
【详解】因为整数集，，所以，．
故选：A．
9．（2023·全国·统考高考真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）
A．－1B．C．0D．
【答案】B
【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理作答.
【详解】依题意，等差数列中，，
显然函数的周期为3，而，即最多3个不同取值，又，
则在中，或，
于是有，即有，解得，
所以，.
故选：B
10．（2022·全国·统考高考真题）集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据集合的交集运算即可解出．
【详解】因为，，所以．
故选：A.
11．（2022·全国·统考高考真题）设集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据集合的交集运算即可解出．
【详解】因为，，所以．
故选：A.
12．（2022·全国·统考高考真题）设全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解.
【详解】由题意，，所以,
所以.
故选：D.
最新模考真题
一、单选题
1．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）已知集合下列关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据元素与集合的关系求解.
【详解】因为，
所以A、C错误，
因为，所以，所以B错误，
又，所以，所以D正确，
故选:D．
2．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考二模）已知集合满足，则可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据得集合的包含关系，进而判断即可.
【详解】由则,进而,由于，所以可能是，
故选：B
3．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考三模）已知全集，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先化简集合，再根据补集和交集运算法则进行计算即可.
【详解】由题意得，，
，
则或，
所以.
故选：A
4．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）已知集合，，若，则实数b的值为（ ）
A．1B．0或1C．2D．1或2
【答案】D
【分析】求出中不等式的整数解确定出，根据与的交集不为空集，求出b的值即可．
【详解】由中不等式解得：，
因为，所以，，
，，且，
或2，
故选：D．
5．（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】解不等式化简集合A，求出函数的值域化简集合B，再利用交集、补集的定义求解作答.
【详解】解不等式，得，即，因此，
当时，，则，因此，
所以，.
故选：C
6．（2023·河南郑州·统考模拟预测）若且，，则称a为集合A的孤立元素．若集合，集合N为集合M的三元子集，则集合N中的元素都是孤立元素的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意列举出满足条件的集合，然后根据题意结合古典概型公式求解.
【详解】集合的三元子集有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20个．
满足集合中的元素都是孤立元素的集合N可能为，，，，一共4种．
由古典概率模型公式，可得集合N中的元素都是孤立元素的概率．
故选：C．
7．（2023·江苏·金陵中学校联考三模）已知集合，若A，B均为U的非空子集且，则满足条件的有序集合对的个数为（ ）
A．16B．31C．50D．81
【答案】C
【分析】根据集合A中元素的个数分类讨论，利用组合以及计数原理知识直接求解.
【详解】1° A中有1个元素，4种情况，B有7种情况，此时有种情况；
2° A中有2个元素，种情况，B有3种情况，此时有种情况；
3° A中有3个元素，种情况，B有1种情况，此时有种情况.
所以满足条件的有序集合对一共有个.
故选：C.
8．（2023·全国·模拟预测）从集合的非空子集中随机取出两个不同的集合A，，则在的条件下，恰有个元素的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】按照要求分类讨论计算即可.
【详解】由题意可分以下四种情况讨论：
①若A中有一个元素，则B中至少有三个元素，此时满足的情况有种，而满足恰有个元素的有种；
②若A中有两个元素，则B中至少有两个元素，此时满足的情况有种，而满足恰有个元素的有种；
③若A中有三个元素，则B中至少有一个元素，此时满足的情况有种，而满足恰有个元素的有种；
④若A中有四个元素，则B中至少有一个元素，此时满足的情况
有种，而满足恰有个元素的有种；
故满足题意的概率为：，
故选：B
【点睛】本题考查集合与古典概型，较为新颖，属于较难题.关键在于分类讨论要不重复不遗漏，需要较高的逻辑思维.
二、多选题
9．（2022·福建泉州·统考模拟预测）已知集合A，B均为R的子集，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】根据集合图逐一判断即可得到答案
【详解】如图所示
根据图像可得,故A正确；由于 ，故B错误； ,故C错误
故选：AD
10．（2022·湖北十堰·丹江口市第一中学校考模拟预测）已知集合，若，则的取值可以是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】AB
【分析】根据并集的结果可得，即可得到的取值；
【详解】解：因为，所以，所以或；
故选：AB
11．（2021·重庆·统考模拟预测）已知全集，则集合可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】先由给定条件求出全集U，再求出可得集合B中必含元素，然后经验证即可判断得解.
【详解】由得，即，于是得全集，
因，则有，，C不正确；
对于A选项：若，则，，矛盾，A不正确；
对于B选项：若，则，，B正确；
对于D选项：若，则，，D正确.
故选：BD
12．（2021·重庆·校联考三模）已知全集U的两个非空真子集A，B满足，则下列关系一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【分析】采用特值法，可设，，，根据集合之间的基本关系，对选项逐项进行检验，即可得到结果.
【详解】令，，，满足，但，，故A，B均不正确；
由，知，∴，∴，
由，知，∴，故C，D均正确.
故选：CD.
三、填空题
13．（2023·天津武清·天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测）已知全集，集合，集合，则________．
【答案】/
【分析】根据集合的运算法则计算可得.
【详解】因为全集，集合，集合，
所以，所以.
故答案为：
14．（2023·福建厦门·统考模拟预测）设集合，集合，若  ，写出一个符合条件的集合__________．
【答案】（答案不唯一）
【分析】求得，再根据真子集的定义求解即可.
【详解】，，故若  ，则可有.
故答案为：（答案不唯一）
15．（2017·上海浦东新·统考模拟预测）已知集合，，其中，且是单元素集合，则集合对应的图形的面积为_______．
【答案】
【解析】先根据是一个单元素集合,得到直线和抛物线相切,得到,结合图象得到集合对应图形的面积为半径为1小圆的面积与半径为2大圆的面积的的和,问题得以解决.
【详解】解:集合,,且是一个单元素集合,
直线和抛物线相切,
由，即，有相等的实根,
所以，即,
,,,
圆心在以原点为圆心,以1为半径的圆上的一部分(第三象限) ，如图所示,
集合P对应图形的面积=半径为1小圆的面积+半径为2大圆的面积的,
即.
故答案为:.
【点睛】本题考查由对集合的理解，考查一次函数与二次函数相交的关系，属于中档题.
16．（2020·江苏盐城·统考模拟预测）若集合P＝，Q＝，则PQ表示的曲线的长度为_______.
【答案】
【分析】作出与的图象，得到PQ表示的曲线，利用圆的弧长即可求解.
【详解】由得，
由得且，
作出两曲线图像如下：
此时PQ表示的曲线长度为图中上半圆去掉劣弧AB部分，
直线与圆心的距离，且r＝2，
在 中，，
∴，
∴曲线长度为：.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，直线与圆的相交，二元一次不等式表示平面区域，属于中档题.
一、知识梳理与二级结论
二、热考题型归纳
【题型一】 相等集合
【题型二】 判断集合元素个数
【题型三】 元素个数与参数
【题型四】 子集与真子集
【题型五】 集合的子集求参数
【题型六】 集合的交集运算
【题型七】 交集运算求参数
【题型八】 集合的并集运算
【题型九】 并集运算求参数
【题型十】 补集与全集
【题型十一】 全集补集运算求参
【题型十二】 新定义
三、高考真题对点练
四、最新模考题组练
1.研究集合问题，要抓住元素，看元素应满足的属性。
2.研究两（多个）集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系。
3.集合相等，是所属元素相同，与顺序无关（互异性），与形式无关（数集中与表示数的范围的字母无关）
集合中元素个数：
1.点集多是图像交点。
2.数集，多涉及到一元二次方程的根。
集合元素个数求参，多涉及到数列，三角、解析几何与函数等知识交汇处出题，难度较大，注意相关基础知识的积累和应用。
元素与集合以及集合与集合子集关系的判断，解题的关键是正确理解所给的定义及熟练运用分类讨论的思想进行列举
公式法求有限集合的子集个数
(1)含n个元素的集合有2n个子集．
(2)含n个元素的集合有(2n－1)个真子集．
(3)含n个元素的集合有(2n－1)个非空子集．
(4)含n个元素的集合有(2n－2)个非空真子集．
集合子集求参题型，往往存在着思维和计算的一个“坑”，即若有，则要讨论集合B 是否是空集。
所以思考子集，要有“从空集开始到自身结束”这个“顺序感”。
授课时讲透彻这个“顺序感”：子集是从“从空集开始，到自身结束”
交集：
交集运算时，要注意交集运算的一些基本性质：
①A∩B_A；
②A∩BB；
③A∩A＝A；
④A∩＝；
⑤A∩B=B∩A.
并集：
集合并集运算的一些基本性质：
(1)在进行集合运算时，若条件中出现A∪B＝B，应转化为A⊆B，然后用集合间的关系解决问题，并注意A＝∅的情况．
(2)集合运算常用的性质：
A∪B＝B⇔A⊆B；
全集
(1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．
(2)记法：全集通常记作U.
补集
自然语言
对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA
符号语言
∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}
图形语言
全集与补集运算的性质：
新定义题型，多涉及到“韦恩图”来释义。韦恩图思考时，要从四种位置关系来保证思考的“完备性”