专题2-2 十三种高考补充函数归类（讲+练）-高考数学一轮复习热点题型归纳培优讲义（新高考通用）

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知识梳理与二级结论
一、抽象公式应用思维：
如：
正用：
逆用:
变用：
抽象函数赋值经验：
字母取0，1，-1，x，-x，-1×x
奇偶性赋值：x，-x
方向或者目标：；
三、对数公式积累应用
（3）.重要的，用于不等式计算：无中生有思想技巧
四、图像变换：
奇函数变换，又叫原点变换：
偶函数变换，又叫y轴变换：
轴变换，又叫直线镜面变换：
（1）、
（2）、
（3）、若是一般直线（斜率不是正负1）对称，就需要用解析几何斜率等知识常规求解了
五、“反比例”函数图像特征及其重要技巧：“分离常熟”
形如，必有对称中心，对称中心为，可通过如下计算求得
热点考题归纳
【题型一】 放大镜函数
【典例分析】
1.设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据题设条件可得当时，，其中，结合函数在上的解析式和函数在的图象可求的取值范围.
【详解】
当时，，故，因为，
故当时，，，同理，当时，，
依次类推，可得当时，，其中.所以当时，必有.
如图所示，因为当时，的取值范围为，故若对任意，都有，则，
令，或，结合函数的图象可得，故选：D.
2.（2020届北京市顺义牛栏山第一中学西校区高三下学期 4 月月考试卷数学试题）已知定义域为的函数满足：对任何，都有，且当时，．在下列结论：
（1）对任何，都有；（2）任意，都有；
（3）函数的值域是；
（4）“函数在区间上单调递减”的充要条件是“存在，使得”．
其中正确命题是（ ）
A．（1）（2）B．（1）（2）（3）C．（1）（3）（4）D．（2）（3）（4）
【答案】C
【分析】
根据题设条件，结合函数的周期性和单调性，合理赋值，逐项判定，即可求解.
【详解】
对于（1）中，对任何，都有，且当时，，
所以，所以是正确的；
对于（2）中，因为当时，，可得，解得，
即当时，，所以不正确；
对于（3）中，取，则，可得，
从而函数的值域为，所以是正确的；
对于（4）中，令，则，所以
，所以函数在区间上单调递减，而必要性显然成立，所以是正确的，
所以正确的命题为（1）（3）（4）.故选：C.
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（安徽省黄山市屯溪第一中学2021-2022学年数学试题）定义在上函数满足，且当时，，则使得在上恒成立的的最小值是______________.
【答案】
【分析】
由题设递推关系及已知区间解析式，分析可得分段函数：在上有，应用数形结合的方法求参数m的最小值.
【详解】
由题设知，当时，，故，
同理：在上，，
∴当时，.函数的图象，如下图示.
在上，，得或.由图象知：当时，.故答案为：.
2.设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】作出图示，求出当时，函数的解析式，求出成立的x的值，运用数形结合的思想可得选项．
【详解】解：时，，，，即右移1个单位，图像变为原来的2倍．
如图所示：当时，，令，解得，
所以要使对任意，都有，则，，
故选：B．
3.设函数的定义域为R，且，当时，，若对任意，都有，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．

【答案】C
【分析】根据题设得到且，，注意判断函数值的变化趋势，再求得的最大k值，此时结合二次函数性质确定上对应x值，即可得m的范围.
【详解】令，则，故，而，
所以且，
令，则，故，而，
所以且，
结合已知：且时，而，
对且，，即随增大依次变小，
要使对任意都有，令，则且，
则上，且上，
当时，令，则，解得或，
综上，要使对任意都有，只需.
故选：C
【题型三】保值函数
【典例分析】
1..对于函数，若存在区间，当时，的值域为，则称为倍值函数．若是倍值函数，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
由题意有方程有两个不同的实数根，则，令，求导得函数的单调性与极值，由此可求出结论．
解：∵，定义域为，函数在上为增函数，∴由题意有，，，即方程有两个不同的实数根，∴，令，则，
由得，由得，∴函数在上单调递增，在上单调递减，
∴函数在处取得极大值，又当时，，当时，，
∴，∴当时，直线与函数的图象有两个不同的交点，
此时方程有两个不同的解，∴的取值范围为，故选：C．
2.函数y＝sin x的定义域为[a，b]，值域为，则b－a的最大值是________．
【答案】
【分析】
由于正弦函数的周期性，可以在一个周期区间内确定函数值为和的值，结合周期性性可得结论．
【详解】
因为函数y＝sin x，x∈[a，b]的最小值和最大值分别为－1和.
不妨在一个区间[0，2π]内研究，可知，，
由正弦函数的周期性可知(b－a)min＝，(b－a)max＝.
故答案为：．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（四川省内江市高中零模2022届高二期末考试数学试题对于函数，若存在区间，当时，的值域为，则称为倍值函数.若是倍值函数，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
可看出在定义域内单调递增，可得出是方程的两个不同根，从而得出，通过求导，求出的值域，进而可得到的范围．
解：在定义域内单调递增，，即，即是方程的两个不同根，
∴，设，∴当时,函数单调递减, 不存在两个根的问题,
时，；时，，∴是的极小值点，的极小值为：，
又趋向0时，趋向；趋向时，趋向，
时，和的图象有两个交点，方程有两个解，
∴实数的取值范围是．故选:C．
2.设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使在上的值域是，则称为“倍缩函数”，若函数为“倍缩函数”，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根据“倍缩函数”的定义，构造出方程组，利用方程组的解都大于，求出实数的取值范围.
【详解】因为函数为“倍缩函数”，且满足存在，使在上的值域是，
所以在上是增函数；所以，即，所以是方程的两个根，
设，则，此时方程为即方程有两个不等的实根，且两根都大于；
所以，解得：，所以满足条件的取值范围是，故选：A
3.（河南省2021-2022学年高三上学期质量检测（五）数学试题设函数，若存在，使得在上的值域为，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
求导函数，判断出函数单调递增，从而可得，将问题转化为在上有两个不同解，令，利用导数判断函数的单调性，并求出端点值与极值即可求解.
【详解】在上单调递增又在上的值域为
则在上有两个不同解令
则在上单调递增，在上单调递减，又
.故选：A
【题型二】高斯函数（取整函数）
【典例分析】
1.（山西省2022届高三一模数学（理）试题）高斯函数也称取整函数，记作，是指不超过实数x的最大整数，例如，该函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域．下列关于高斯函数的性质叙述错误的是（ ）
A．值域为ZB．不是奇函数
C．为周期函数D．在R上单调递增
【答案】D
【分析】
根据高斯函数的定义，结合值域、函数的奇偶性、函数的单调性对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】
由高斯函数的定义可知其值域为Z，故A正确；
不是奇函数，故B正确；
易知，所以是一个周期为1的周期函数，故C正确；
当时，，所以在R上不单调，故D错误．
故选：D
2.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设，用表示不超过的最大整数，也被称为“高斯函数”，例如：，.已知函数，下列说法中正确的是（ ）
A．是周期函数B．的值域是
C．在上是减函数D．，
【答案】AC
【分析】
根据定义将函数写成分段函数的形式，再画出函数的图象，根据图象判断函数的性质.
【详解】
由题意可知，，
可画出函数图像，如图：
可得到函数是周期为1的函数，且值域为，在上单调递减，故选项AC正确，B错误；对于D，取 ，则，故D错误.
故选：AC．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如，.已知函数，函数，则（ ）
A．函数的值域是B．函数是周期函数
C．函数的图象关于对称D．方程只有一个实数根
江苏省南通市2020-2021学年高一下学期期初数学试题
【答案】AD
【分析】
先研究函数的奇偶性，作出函数的图象，作出函数的图象判断选项ABC的正确性，再分类讨论判断方程的根的个数得解.
【详解】
由题得函数的定义域为，
所以函数为偶函数，当时，；
当时，；
当时，；
所以函数的图象如图所示，
所以函数的图象如图所示，
所以函数的值域是，故选项A正确；
由函数的图象得到不是周期函数，
故选项B不正确；
由函数的图象得到函数的图象不关于对称，故选项C不正确；
对于方程，当时，，方程有一个实数根；
当时，，此时，此时方程没有实数根；
当时，，此时，此时方程没有实数根；
故方程只有一个实数根，故选项D正确.
故选：AD
2.（江苏省无锡市第一中学2021-2022学年高三上学期10月阶段性质量检测数学试题高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（ ）
A．是偶函数B．是奇函数
C．在上是增函数D．的值域是
【答案】BC
【分析】
计算得出判断选项A不正确；用函数的奇偶性定义，可证是奇函数，选项B正确；通过分离常数结合复合函数的单调性，可得出在R上是增函数，判断选项C正确；由的范围，利用不等式的关系，可求出，选项D不正确，即可求得结果.
【详解】根据题意知，.∵，
，，∴函数既不是奇函数也不是偶函数，A错误；
，∴是奇函数，B正确；
在R上是增函数，由复合函数的单调性知在R上是增函数，C正确；
，，， ，，D错误.
故选：BC.
3.(上海市行知中学2020-2021学年高三上学期数学试题)对于正整数,设函数，其中表示不超过的最大整数，设，则的值域为_________.
【答案】
【分析】
先由题中条件，得到，讨论，，，四种情况，再判断的周期性，即可得出结果.
【详解】
由题意，，
当时，，，此时；
当时，，，此时；
当时，，，此时；
当时，，，此时；又，所以是以为周期的函数，因此的值域为.故答案为：
【题型四】一元三次函数
【典例分析】
1.（2023·全国·高三专题练习）对于三次函数，经研究发现：任何一个三次函数都有对称中心，而且三次函数的拐点（使二阶导数的点）正好是它的图像的对称中心．若，则 ．（且）
【答案】
【分析】由拐点的定义可得的对称中心是点，分n为奇数和n为偶数，结合函数的对称性即可得出答案.
【详解】，，由，得，且，
∴的对称中心是点，因此．
故当n为奇数时，．
当n为偶数时，．
综上所述，．故答案为：.
2.（重庆市江津中学校2021-2022学年高三第二次阶段考试数学（理）试题）已知函数是上的增函数.当实数取最大值时，若存在点，使得过点的直线与曲线围成两个封闭图形，且这两个封闭图形的面积总相等，则点的坐标为
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】分析：求出函数的导数，利用导数研究函数的单调性，求出m的最大值，结合过点Q的直线与曲线围成两个封闭图形，且这两个封闭图形的面积总相等，判断函数的对称性进行求解即可.
详解：由得，是上的增函数，
在上恒成立，即：在上恒成立.设，，，
设，，，函数在单调递增，.
即，，又，.m的最大值为3.
故得.将函数的图象向上平移3个长度单位，所得图象相应的函数解析式为.由于，为奇函数，故的图象关于原点对称，
由此即得函数的图象关于成中心对称.
这表明存在点，使得过点的直线与曲线围成两个封闭图形，且这两个封闭图形的面积总相等.故选：C.
【提分秘籍】
【变式演练】
1.对于三次函数，定义：设为函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心.”请你将这一发现视为条件，已知函数，则它的对称中心为___________；___________.
【答案】
【分析】对两次求导，根据题意求出的对称中心为，可得
，再利用倒序相加法即可求和.
【详解】由可得，，
令可得：，且，
所以点为的对称中心，所以，
令
两式相加可得，所以，
即，故答案为：，.
2.经研究发现：任意一个三次多项式函数的图象都只有一个对称中心点，其中是的根，是的导数，是的导数.若函数图象的对称点为，且不等式对任意恒成立，则（ ）
A．B．C．的值可能是D．的值可能是
【答案】ABC
【解析】求导得，故由题意得，，即，故.进而将问题转化为，由于，故，进而得，即，进而得ABC满足条件.
【详解】由题意可得，
因为，所以，
所以，
解得，故.
因为，所以等价于.
设，则，
从而在上单调递增.
因为，所以，即，
则（当且仅当时，等号成立），
从而，故.
故选：ABC.
【题型五】分式型反比例函数
【典例分析】
1..（2022秋·甘肃兰州·高三兰州五十一中校考期中）已知函数满足，若函数与图像的交点为，，…，，则（ ）
A．mB．4mC．6mD．7m
【答案】D
【分析】根据函数的中心对称相关性质即可求解.
【详解】因为，
所以
所以关于中心对称
，所以关于中心对称
所以
故选：D
2.（2023秋·四川眉山·高一校考期末）已知函数关于成中心对称，函数的图像与的图像有2022个交点，则这些交点的横，纵坐标之和等于（ ）
A．B．C．10110D．5050
【答案】A
【分析】根据函数分离常数可得关于点对称，又关于点对称，然后利用对称性求解即可．
【详解】因为，所以函数关于成中心对称，又函数关于成中心对称，
函数的图象与的图象有2022个交点，则这些交点也关于点对称，
所以每两个对称点纵坐标之和为，2022个交点有1011组对称点，所以这2022交点得纵坐标之和为，
所以每两个对称点横坐标之和为，2022个交点有1011组对称点，所以这2022交点得横坐标之和为，
故这些交点的横纵坐标之和为．
故选：A．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023春·上海嘉定·高三校考开学考试）已知在区间上是严格增函数，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先对函数解析式变形，结合反比例函数的单调性可得答案.
【详解】，因为在区间上是严格增函数，
所以，即.故答案为：.
2.（2023·全国·高三专题练习）已知，则
【答案】
【分析】根据函数解析式求出，进而可得，由此可得结果.
【详解】解：因为，所以，
所以，
所以
故答案为：
3.（2022秋·安徽合肥·高三合肥一中校联考阶段练习）若，不等式恒成立，则实数k的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先由题意确定，分类讨论与两种情况，将问题转化为恒成立问题，再利用对勾函数的单调性即可得解.
【详解】因为不等式对任意恒成立，且，所以，
当时，不等式恒成立等价于，即对于任意恒成立，即，
令，，则，
由对勾函数性质易得在时，单调递增，故，
则，与矛盾，故此时k不存在；
当时，不等式恒成立等价于对于任意恒成立，
当时，显然成立，
当时，不等式等价于对于任意恒成立，即，
令，，则，
由对勾函数性质易得在时，单调递减，故，
则，故；
综上：，即．故答案为：.
【题型六】对数反比例函数
【典例分析】
1.（2023春·云南红河·高三模拟）若为偶函数，则实数 ．
【答案】3
【分析】根据偶函数的定义求解即可.
【详解】若为偶函数，则，即，
∴，∴，
∴，∴，∴，即，
当时，，定义域，关于原点不对称，不符合，舍去，
当时，，定义域或，关于原点对称，符合，
综上，.故答案为：3.
2.（2023春·四川绵阳·高三期末）若为奇函数，则实数 ．
【答案】
【分析】由奇函数的定义域关于原点对称可求得的值，由奇函数的性质得出可求得的值，然后利用函数奇偶性的定义验证函数即可.
【详解】因为，
当时，则，则函数的定义域为，
此时函数为非奇非偶函数，不合乎题意，所以，，
由可得且，
所以，函数的定义域为，
因为函数为奇函数，则其定义域关于原点对称，所以，，解得，
则，
由奇函数的性质可得，解得，
此时，，该函数的定义域为，
，即函数为奇函数，
合乎题意，故.故答案为：.
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023·河北·校联考一模）若函数的图象关于原点对称，则实数m的值为 .
【答案】
【分析】根据奇函数的性质根据，即可求解.
【详解】依题意，，即,所以，解得，当时，，定义域不关于原点对称，故舍去，
当时，，定义域为，符合要求，故，
故答案为：
2.（2023·云南·校联考二模），其最大值和最小值的和为 ．
【答案】0
【分析】证明函数是奇函数即得解.
【详解】由题得函数的定义域为，关于原点对称.
所以是奇函数，故其最大值和最小值的和为0．
故答案为：0
3.（2023秋·高一单元测试）已知函数（其中是自然对数的底数，）是奇函数，则实数的值为 .
【答案】
【分析】利用奇函数的性质可得出，结合对数运算可得出实数的值.
【详解】对于函数，，解得或，
所以，函数的定义域为，
因为函数为奇函数，则，即，
即，解得.
故答案为：.
【题型七】对数无理函数型
【典例分析】
1.（2023秋·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知函数，若不等式对任意均成立，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据函数为奇函数且为增函数得，则有，求出右边最小值即可.
【详解】因为的定义域为，且，所以函数是奇函数，
由，所以函数为上单调递增的奇函数，
所以不等式对任意均成立等价于，
即，即对任意均成立，
又，当且仅当时取等号，
所以的取值范围为.故答案为:
2.（2022秋·山西·高三校联考阶段练习）已知函数，若，，，则 ．
【答案】
【分析】根据题意，由函数的解析式可得，又由，变形可得，由此可得答案．
【详解】因为，所以，所以，
所以函数的定义域为，
又
，
因为，，，
所以，
所以.故答案为：．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023春·贵州黔南·高三模拟）若函数是奇函数，则a的值为 ．
【答案】
【分析】根据奇函数的性质和对数运算法则直接计算即可.
【详解】因为函数是奇函数，
所以，
即，所以，即，
所以，即a的值为.
故答案为：
2.（2023春·河南新乡·高一统考期末）已知为奇函数，则的值可以为 ．（写出一个满足条件的即可）
【答案】1（答案不唯一）
【分析】由恒成立，由和分析函数的定义域是否关于原点对称，化简，结合为正奇数、为0或正偶数分析即可求解.
【详解】因为恒成立，
当时，函数的定义域为，
当时，函数的定义域为，
所以对于，函数的定义域关于原点对称，
而，
当为正奇数时，，函数为奇函数，
当为0或正偶数时，，函数为偶函数，不符合题意.
综上所述，当为正奇数时，函数为奇函数，
所以的值可以为1（答案不唯一）.
故答案为：1（答案不唯一）.
3.（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若正实数满足，则的最小值为 .
【答案】16
【分析】根据题意设，利用函数奇偶性可以得到设，再利用基本不等式即可求出结果.
【详解】由函数，设，则的定义域为，
，则，所以是奇函数，
则，又因为正实数满足，所以，
，当且仅当时取到等号.
故答案为：16.
【题型八】对数绝对值型函数
【典例分析】
1.（2020秋·黑龙江哈尔滨·高三黑龙江实验中学校考阶段练习）已知函数，若实数互不相等，且，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】画出的图象，结合图象得的取值范围，再由，，用表示，结合函数导数可求出的取值范围.
【详解】解：令，解得，当时，，所以函数的图象如图，
当时，或，因为，所以，，，
因为，所以，因为，所以，所以，设 ，所以，解得或（舍去），
当时，，单调递减；当时，，
单调递增，所以当时，，由，所以取值范围为，故答案为: .
2.（2020·云南·模拟预测）已知，函数，．若关于的方程有个解，则的取值范围为 ．
【答案】.
【详解】令g（x）=t，则方程f（t）=λ的解有4个，根据图象可知，0＜λ＜1．且4个解分别为t1=﹣1﹣λ，t2=﹣1+λ，t3=10λ， 则x2﹣4x+1+4λ=﹣1﹣λ，x2﹣4x+1+4λ=﹣1+λ，x2﹣4x+1+4λ=10λ，x2﹣4x+1+4λ=均有两个不相等的实根，则△1＞0，且△2＞0，且△3＞0， 即16﹣4（2+5λ）＞0且16﹣4（2+3λ）＞0，解得0＜λ＜，
当0＜λ＜时，△3=16﹣4（1+4λ﹣10λ）＞0即3﹣4λ+10λ＞0恒成立，同理也恒成立；
故λ的取值范围为（0，）．故答案为（0，）．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2022·浙江·模拟预测）已知函数若方程有四个解，且，则的取值范围为 .
【分析】即与的图象有4个不同的交点.作出两个函数的图象得到，，化简得到，构造函数，求出函数的定义域，利用导数求函数的取值范围得解.
【详解】由题知方程有4个解，
即与的图象有4个不同的交点.
作出2个函数的图象，如图所示，易知当时，有4个不同的交点，则，即，，所以，可看作关于的函数，记为，
又当时，，当时，，所以函数的定义域为.由题得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以时，，
即的取值范围是.故答案为：
2.（2023春·江西新余·高三模拟）设函数，有四个实数根，，，，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据分段函数解析式研究的性质，并画出函数图象草图，应用数形结合及题设条件可得、、，进而将目标式转化并令，构造，则只需研究在上的范围即可.
【详解】由分段函数知：时且递减；时且递增；
时，且递减；时，且递增；
∴的图象如下：有四个实数根，，，且，
由图知：时有四个实数根，且，又，
由对数函数的性质：，可得，
∴令，且，
由在上单增，可知，
所以
3.（2021·全国·高三专题练习），若存在互不相等的实数，，，使得，则下列结论中正确的为（ ）
①；
②，其中为自然对数的底数；
③函数恰有三个零点.
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】D
【分析】①将问题转化为直线与函数图像有4个交点，观察图像可得答案；
②设，则可得， ，根据关系代入求值域即可；
③函数的零点个数，即为函数与的图像交点个数，关注和时的交点个数即可得答案
根据图像可得答案.
【详解】解：函数的图像如图：
，即直线与函数图像有4个交点，故，①正确；
，不妨设，则必有， ，
，则，且，由对勾函数的性质可得函数在上单调递增，
，，②正确；
函数的零点个数，即为函数与的图像交点个数，如图
当时，函数与的图像有3个交点，
当时，研究与是否相切即可，
，令，则，则切点为，此时切线方程为，即，
所以与图像相切，此时函数与的图像有3个交点，
因为，故函数与的图像恒有3个交点，
即函数恰有三个零点，③正确.故选：D.
【题型九】对勾函数
【典例分析】
1..（2020秋·广东深圳·高三校考期中）已知定义在（0，3]上的函数的值域为[4，5]，若，则a+b的值为 .
【答案】7
【解析】将函数变形为，令，，由，利用对勾函数的性质求解.
【详解】因为，令，
所以，因为，所以，所以在上递减，在递增，所以①，
又，所以②，所以，
由①②得或，因为，所以
所以a+b=7故答案为：7
2.．（2021秋·高三单元测试）已知函数，若存在，使得，则正整数的最大值为 .
【答案】4
【分析】根据单调性得到，要使正整数尽可能大，则可以是，得到答案.
【详解】当时，，单调递减，故，
要使正整数尽可能大，则可以是，故的最大值为4.
故答案为：4.
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2022·全国·高三模拟练习）已知函数关于点对称，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】由得使得不等式一边是参数，另一边是不含关于的式子，分离参数.
【详解】由为奇函数，可得其图像关于对称，所以的图像关于对称，
由题目可知函数关于点对称，可得，对任意的，恒成立
恒成立，即在恒成立，
所以，令，由，可得，设，
当时，取得最大值，所以的取值范围是.故答案为：.
2.（2021秋·黑龙江鹤岗·高三鹤岗一中校考阶段练习）设，若，使成立的最大正整数为，则取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据题意，极端考虑即，解不等式即可得到答案；
【详解】根据题意，即，在上递减，在上递增，
所以，，故，解得，故填：．
3..（2022秋·安徽合肥·高三考开学考试）已知，函数，使得，则a的取值范围 .
【答案】
【解析】由已知得出函数的单调性，再得出时，a的值，从而分两种情况，分别由解得可得a的取值范围.
【详解】因为，所以函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，解得（舍去），
（1）当，解得；
（2）当，不符题意.故答案为：.
【题型十】指数对勾型
【典例分析】
1.（2023·浙江衢州·高三模拟）已知函数有唯一零点，则 ．
【答案】2
【分析】先判断函数关于对称，从而可得函数的零点只能为，从而可求得，再利用定义法得出在上的单调性，从而可得出结论.
【详解】，因为，
所以函数关于对称，要使函数有唯一零点，所以函数的零点只能为，
，所以，此时，令，设，
则
，因为，所以，则，
所以，即，所以函数在上递增，
又在上递增，所以函数在上递增，在上递减，
又，故可知函数有唯一零点，符合题意，所以.故答案为：.
2.（2022秋·河南南阳·高三统考期中）若，则的解集是 .
【答案】
【分析】根据题意求得为偶函数，且在上单调递增，结合，把不等式转化为，得到，即可求解.
【详解】由函数，可得，所以为偶函数，
当时，可得，所以函数在上单调递增，
又由，所以不等式等价于，
则满足，解得，即不等式的解集为.
故答案为：.
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023·全国·高三专题练习）已知函数有且只有一个零点，则实数a的值为 ．
【答案】
【分析】首先证明，则，解得，再代回原函数证明函数只有唯一零点即可.
【详解】，
，的图象关于直线对称，
若函数有且只有一个零点，即的图象与轴有且只有一个交点，
则只能是，即，解得，
此时，，当且仅当,即时取等号,
当时,，又，，
当时,，当时，函数有且只有一个零点.故答案为：.
2.（2023春·江苏南京·高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考阶段练习）设函数 ，则使得 成立的的取值范围是 .
【答案】
【分析】先判断函数的奇偶性与单调性，然后利用函数的性质解不等式，即可求解.
【详解】因为，所以，所以函数的定义域为且，
又，∴为偶函数.当时，令，
∵ ，∴在上是增函数，
易知函数在上是增函数，∴在上是增函数.
又为偶函数，∴，
∴由，得，解得，故答案为：.
3.（2019秋·江苏南京·高三南京市第一中学校考阶段练习）已知函数，则不等式的解集是 .
【答案】
【分析】利用导数可得的单调性，结合函数解析式的特征可得的图象关于直线对称，由上述两个性质可去掉对应法则得到关于的不等式，解这个不等式可得所求的解集.
【详解】，令，则，
所以即为上的增函数，而，
所以当时，，故为上的减函数；
当时，，故为上的增函数；
又，
所以的图象关于直线对称.
因为，所以，解得.
故答案为：.
【题型十一】指数双刀函数型
【典例分析】
1.（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考模拟预测）已知函数，若，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】首先判断的奇偶性，令，利用导数说明的单调性，即可得到的单调性，结合函数的奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.
【详解】因为，定义域为，
由，可知函数为偶函数，
函数图象关于轴对称，又由，
令，由可知函数为奇函数，
又由，（当且仅当时取等号），
可得函数单调递增，且当时，
由一次函数在区间单调递增且函数值恒为正，可知函数在区间单调递增，
又由函数为偶函数，可得函数的增区间为，减区间为，
不等式可化为，
必有，平方后整理为，解得或，
即实数的取值范围为.故答案为：
2.（2022北京·高三强基计划）已知函数，若实数m满足，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用函数的单调性可求参数的取值范围.
【详解】，故为奇函数，
当时，均为增函数，且函数值非负，
故在上单调递增，所以在上单调递增，
从而题中不等式等价于
故答案为：
提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023·全国·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，则 ．
【答案】
【分析】根据奇函数定义可构造方程求得的值，求导后，代入即可求得结果.
【详解】为定义在上的奇函数，，
即，
恒成立，，解得，
，，
.故答案为：.
2.（2023春·山东临沂·高二校考阶段练习）已知函数，若成立，则实数t的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由函数解析式可知函数是奇函数，利用导数可判断函数在上单调递增，利用函数单调性可知等价于，解出不等式即可求得实数t的取值范围.
【详解】由题得函数的定义域为，
因为，所以函数是奇函数．
又恒成立，所以函数在上单调递增；
不等式等价于，
所以，即，解得．
所以实数t的取值范围为．
故答案为：
3..（2022秋·江西·高三校联考阶段练习）设函数，则满足的x的取值范围是 ．
【答案】.
【分析】令得，令并利用导数研究单调性、奇偶性定义判断奇偶性，再将题设不等式化为，结合单调性、奇偶性求参数范围即可.
【详解】令，则，若，
所以，则，
所以在R上单调递增，
又，故为奇函数，
而等价于，
所以，故，可得.
故答案为：
【题型十二】指数型“反比例函数”
【典例分析】
1.（2022秋·浙江温州·高三校联考）已知函数是定义在R上的奇函数，若对任意，不等式恒成立，则实数有（ ）
A．最大值B．最大值C．最小值D．最小值
【答案】A
【分析】先求出函数并得到在R上递增，再结合的性质求解．
【详解】解：为奇函数，，，
，单调递增，单调递增，单调递增．
为了解决问题我们先研究对勾函数的性质，，令且，
，∴在上单调递增．
若恒成立，则等价成，
即①，令，①化为 ，令，
由上面的讨论知，在上单调递增，，，∴ ，
∴ a的最大值为．故选：A．
2..（2023春·湖南长沙·高三长沙市长郡梅溪湖中学校考）若“函数是奇函数”是真命题，则a的值是 .
【答案】
【分析】由已知求出函数的定义域，.然后根据奇函数的性质，列出关系式，即可得出答案.
【详解】由已知可得，的定义域为R，且.
因为函数是奇函数，所以有成立，
即，即.
因为，所以有，所以.
故答案为：.
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023·辽宁大连·校考模拟预测）已知函数，若，在时恒成立，则θ的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先利用复合函数的单调性判断是单调递减函数且，则题意可转化成，在时恒成立，设，对称轴为，分两种情况即可求解.
【详解】因为，因为是单调递增函数，且，
所以根据复合函数的单调性性质可得是单调递减函数，而，
所以，在时恒成立可转化成，在时恒成立，可整理得，在时恒成立，
设当时，的对称轴为，
此时，当t>0，恒成立，满足题意，所以由可得，
所以，，解得，，因为，所以；
当，的对称轴为，
则，解得，所以或，，
所以或，，因为，所以或，
综上所述，θ的取值范围是.故答案为：
2.（2023春·江苏常州·高三校联考开学考试）已知函数，则不等式的解集为 .
【答案】
【分析】根据题意，构造函数，判断其奇偶性，并求导判断单调性，代入可求解集.
【详解】为奇函数，
在R上单调递增，，
，
，
，则.
故答案为：.
3.（2020·江苏宿迁·江苏省沭阳高级中学校考一模）已知函数，对于，，使得成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】需先求函数的值域，再分两步对所要求的条件进行转化．要使对于，时成立，只要，而且，以及对任意恒成立.
【详解】，由，得，，即的值域是，．
①对于，，使得，转化为只要，
，；对于，，，
转化为只要，，解不等式组，得 或；
②由对于恒成立，，
，，解得：或；
故的取值范围是.故答案为：.
【题型十三】抽象函数赋值型
【典例分析】
1.（福建省福州市第一中学2020-2021学年高三数学试题）若对，有，函数在区间上存在最大值和最小值，则其最大值与最小值的和为（ ）
A．4B．8C．12D．16
【答案】B
【分析】
利用已知条件可得，则为奇函数，构造即可知为奇函数，又由上存在最大、最小值，易知最小、最大值的和为0，即可求最大、最小值的和.
【详解】
由题设，且，
∴，则，
∴为奇函数，令，
∴，即是奇函数，
∴在上的最小、最大值的和为0，即，
∴.
故选：B
2.（2023春·宁夏吴忠·高三青铜峡市高级中学校）已知函数的定义域为，且，，则（ ）
A．0B．1C．D．
【答案】A
【分析】依题意令得到，再以代换，即可得到，从而得到，即可得到，从而求出函数的周期，再求出、、、、的值，根据周期性计算可得.
【详解】解：由，
令得①，
以代换得②，
由①②可得，
，即，
所以，故是的一个周期，
令，得，，
令，得，，
，
，，，，
，.
故选：A．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023·全国·高三专题练习）已知函数满足：，则 .
【答案】/0.25
【分析】由已知等式联想到三角公式，构造函数求解.
【详解】由已知等式联想到三角公式，
注意它们结构相似，通过尝试和调整，构造函数，则，
故函数满足题意，而函数是周期的函数，
.故答案为：.
2.（2023春·河北石家庄·高三石家庄一中校考阶段练习）设奇函数的定义域为，且对任意，都有．若当时，，且，则不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】由题知函数在上单调递减，在上单调递减，且，，，，再根据对数函数单调性将转化为解即可得答案.
【详解】解：设，且，则因为，当时，，所以，
因为对任意，都有．所以，，即，
所以，函数在上单调递减，因为是定义域为的奇函数，
所以，函数在上单调递减，因为不等式等价于不等式，即，
因为对任意，都有，，
所以，当时，得；当时，得所以，
所以，，，，，所以，当时，的解集为，
当时，的解集为，所以，的解集为，
所以，不等式的解集为故答案为：
3.（2022秋·湖北武汉·高三校联考期中）函数是定义在上的增函数，若对于任意正实数，恒有，且，则不等式的解集是 .
【答案】
【分析】根据抽象函数的关系将不等式进行转化，利用赋值法将不等式进行转化结合函数单调性即可得到结论．
【详解】，，，
则不等式等价为，函数在定义域上为增函数，
不等式等价为，即，解得，不等式的解集为，故答案为：.
高考真题对点练
一、单选题
1．（2023·全国·统考高考真题）已知函数．记，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.
【详解】令，则开口向下，对称轴为，
因为，而，
所以，即
由二次函数性质知，
因为，而，
即，所以，
综上，，
又为增函数，故，即.
故选：A.
2．（山东·高考真题）函数的反函数图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求已知函数的反函数，再结合反比例函数的图象及图象变换性质判断其图象.
【详解】因为，所以，所以，
所以函数的反函数为，
函数的图象可由反比例函数的图象向左平移一个单位得到，从选项得知B满足，
故选：B.
3．（辽宁·高考真题）将函数的图像按向量平移得到函数的图像，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】依题由函数的图像得到函数的图像，需将函数的图像向左平移1个单位，向下平移1个单位；故．
【详解】设，则函数的图像按向量平移后所得图像的解析式为，
，故选：A．
4．（2022·天津·统考高考真题）函数的图像为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分析函数的定义域、奇偶性、单调性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.
【详解】函数的定义域为，且，
函数为奇函数，A选项错误；又当时，，C选项错误；
当时，函数单调递增，故B选项错误；故选：D.
5．（2022·全国·统考高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】A
【分析】法一：根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出．
【详解】[方法一]：赋值加性质
因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以
一个周期内的．由于22除以6余4，
所以．故选：A．
[方法二]：【最优解】构造特殊函数
由，联想到余弦函数和差化积公式
，可设，则由方法一中知，解得，取，
所以，则
，所以符合条件，因此的周期，，且，所以，
由于22除以6余4，
所以．故选：A．
【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；
法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解.
6．（·浙江·高考真题）设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先计算，再计算可得．
【详解】由得.由得.故选：B．
7．（全国·高考真题），若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由奇偶性定义确定函数的奇偶性，然后由奇偶性求值．
【详解】函数定义域是，又
函数为奇函数，所以．故选：B．
8．（江苏·高考真题）设是奇函数，则使f(x)1
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