专题3-2 三角函数恒等变形与拆角、给值求值归类（讲+练）-高考数学一轮复习热点题型归纳培优讲义（新高考通用）

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知识梳理与二级结论
一、三角函数恒等变形三个思维：
(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.
(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.
(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.
二、齐次式同除正切型：
三、常见的变角技巧有：，，，，，等．
四、三角恒等变形基础公式
两角和差公式及二倍角公式
（1）两角和的正弦公式：_；
（2）两角差的正弦公式：_；
（3）两角和的余弦公式：_；
（4）两角差的余弦公式：；
（5）二倍角的正弦公式：__
（6）二倍角的余弦公式：__
（7）二倍角的正切公式：_
五、三角函数求值、化简时，常用方法有：
(1)化简的基本原则是：①切化弦：公式tan x＝eq \f(sin x,cs x)；②降次数：公式cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2)；
(2)和积转换法：运用公式(sin θ±cs θ)2＝1±2sin θcs θ解决sin θ±cs θ与sin θcs θ关系的变形、转化；
(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cs2θ＝cs2θ(1＋tan2θ)＝sin2θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,tan2θ)))＝taneq \f(π,4)；
(4)整角转化：运用相关角的互补、互余等特殊关系，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝eq \f(α＋β,2)－eq \f(α－β,2)等
热点考题归纳
【题型一】诱导公式
【典例分析】
1．（2023高三课时练习）已知，则等于（ ）
A．mB．－m
C．D．
2．（2023春·安徽阜阳·高三）若，且，则（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1．（2023春·湖北·高三荆州中学校联考）已知，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·辽宁沈阳·高三沈阳二十中校联考）已知，则（ ）
A．B．C．D．
3（2023·全国·高三专题练习）已知是第二象限，且，则（ ）
A．B．C．D．
【题型二】sinxcsx与sinxXcsx型
【典例分析】
1.（2022·全国·高三专题练习）函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·广东揭阳·高三校考开学考试）已知，A为第四象限角，则等于（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023秋·江苏镇江·高三扬中市第二高级中学校考开学考试）已知，则最小值为（ ）
A．B．1C．D．
2．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）已知函数将的图像向右平移个单位长度，得到的图像，则（ ）
A．为的一个周期
B．的值域为[-1，1]
C．的图像关于直线对称
D．曲线在点 处的切线斜率为
3．（2023春·河南南阳·高三校考阶段练习）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【题型三】正余弦齐次型
【典例分析】
1.（2023·全国·高三专题练习）已知，则（ ）
A．B．C．D．
2.（2022春·浙江温州·高三校考学业考试）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2020秋·陕西汉中·高三统考阶段练习）已知，则（ ）
A．B．或C．D．或
2.（2022春·高三校考单元测试）已知是第四象限角，且，则（ ）.
A．B．C．D．2
3.（2023贵州贵阳·高三贵阳一中校考）已知，且，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【题型四】利用角度互余拆角求角
【典例分析】
1.（福建省长泰第二中学2022届高三上学期考试数学试题）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
2..已知，则（ ）
A． B． C． D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023春·安徽芜湖·高三安徽师范大学附属中学校考）已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
2.（2023春·安徽阜阳·高三）若，且，则（ ）
A．B．C．D．
3.（2023春·甘肃临夏·高三校联考）已知，则（ ）
A．B．2C．D．
【题型五】利用角度互补拆角求角
【典例分析】
1..若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2.（2023春·四川乐山·高三）已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
【变式演练】
1.．（2023春·浙江宁波·高三校考阶段练习）已知，则等于（ ）
A．B．C．D．
2.．（2021·高三课时练习）已知，则＝（ ）
A．B．C．D．
3.2023春·辽宁沈阳·高三校联考）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【题型六】 利用“两角和与差为特殊角”拆角
【典例分析】
1.（2023·全国·高三专题练习）若，，则（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
2.（2023春·高三课时练习）若，则的最大值是（ ）
A．1B．C．D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2021·高三课时练习）（ ）
A． B．
C．D．
2.（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知，则的值为（ ）
A．1B．C．D．
3.（2023春·江西景德镇·高三景德镇一中校考）已知角，，则（ ）
A．B．C．D．
【题型七】利用“两角和与差”拆复合型角
【典例分析】
1.（2023·江苏·高三专题练习）已知，，且，，则（ ）
A．1B．0C．-1D．
2.（2020春·宁夏·高三宁夏育才中学校考）已知，，，则( )
A．B．C． D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2022秋·贵州遵义·高三统考阶段练习）已知，，与均为钝角，则（ ）
A．B．C．D．
2.（2021·全国·高三练习）已知，，，，则（ ）
3.（2022·全国·高三专题练习）已知，，，，则
A．B．C．D．
【题型八】分式型拆角求值
【典例分析】
1.（2023春·江苏南京·高三南京师大附中校考期中）的值为（ ）
A．B．C．D．2
2.（2022秋·湖北襄阳·高三期末）计算（ ）
A．1B．﹣1C．D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023春·安徽淮北·高三淮北一中校考阶段练习）若，则的一个可能值为（ ）
A．B．C．D．
2.（2020秋·河北邢台·高三）（ ）
A．B．C．D．
3.（2023·全国·高三专题练习）化简等于（ ）
A．－2B．－C．－1D．1
【题型九】利用拆30°角求值
【典例分析】
1.（2022·全国·高三专题练习）求的值（ ）
A．1B．3C．D．
2.（2023春·四川·高三校联考）（ ）
A．B．1C．D．2
【变式演练】
1.（2023秋·四川成都·高三树德中学校考开学考试）（ ）
A．B．C．D．2
2.（2023·全国·高三专题练习）计算：（ ）
A．B．C．D．
3.（2023春·湖南长沙·高三湘府中学校考阶段练习）（ ）
A．B．C．D．
【题型十】利用拆60°角求值
【典例分析】
1.（2020春·安徽六安·高三六安一中校考阶段练习）化简：的值为（ ）
A．B．C．D．
2.（2021·全国·高三专题练习）
A．1B．2C．3D．4
【变式演练】
1.（重庆市永川北山中学校2023届高三上数学试题）的值为_________.
2.（甘肃省兰州第一中学2021-2022学年高三下学期试数学试题）（ ）
A．B．C．D．
3.．（广东省实验中学2021-2022学年高三上学期12月月考数学试题）化简：__________.
【题型十一】正切两角和公式拆角求值
【典例分析】
1.（2023春·江西吉安·高三校联考）（，），则（ ）
A．2B．1C．0D．
2.（2023春·四川眉山·高三仁寿一中校考阶段练习）的值为（ ）
A．1B．C．－D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023秋·高三课时练习）若，则的值为（ ）
A．B．1
C．D．2
2.（2023秋·浙江杭州·高三杭十四中校考）若，则的值为（ ）
A．3B．C．D．
3.（2021·高三课时练习）的值为（ ）
A．0B．1C．D．
【题型十二】韦达定理型化简求值
【典例分析】
1.已知和是方程的两根，则
A． B． C．或D．或
2.（陕西省汉中市2022届高三下学期教学质量第二次检测考试数学试题）已知，是关于的方程的两个实根，且，则
A．B．C．D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1..已知，是关于的方程的两个根，则的值是（ ）
A．B．C．D．
2.已知,是关于x的方程的两个根,则
A．B．C．D．
3.（江西省宜春市奉新县第一中学2021-2022学年高三数学试题）若，是方程的两根，则的值为（ ）
A．B．
C．D．
【题型十三】对称结构型求值
【典例分析】
1.（2023·江苏·高三专题练习）已知，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2.（2022秋·贵州·高三阶段练习）若，，则（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023春·高三课时练习）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
2.（2021春·辽宁沈阳·高三沈阳市第一二〇中学校考）已知，且，则（ ）
A．0B．1C．D．
3.（2023春·江苏泰州·高三江苏省口岸中学校考阶段练习）已知，，，则（ ）
A． B． C．D．
【题型十四】求角型
【典例分析】
1.（2023春·上海黄浦·高三上海市大同中学校考）已知，，，，则（ ）
A．B．C．D．
2..（2022春·安徽滁州·高三校考阶段练习）设，且，则（ ）
A．B．C．D．或
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2020春·辽宁沈阳·高三沈阳实验中学校考）已知在中，，；则（ ）
A．B．C．或D．或
2.（2023春·江苏宿迁·高三校考阶段练习）设，则的大小是（ ）
A．B．C．D．或
3.（2023·全国·高三专题练习）已知，，且，，则（ ）
A．B．或C．D．或或
【题型十五】利用拆角转化求最值
【典例分析】
1.（2023春·辽宁抚顺·高三校联考）设，若，则的最小值为（ ）．
A．B．C．D．
2.（2022·全国·高三专题练习）已知，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式演练】
1.（2022·全国·高三专题练习）函数的最大值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
2.（2021秋·高三单元测试）设，均为锐角，且，则的最大值是
A．B．C．2D．
高考真题对点练
1．（2023·全国·统考高考真题）在中，内角的对边分别是，若，且，则（ ）
A．B．C．D．
2．（江苏·高考真题）若，则等于（ ）.
A．B．C．D．
3．（2023·全国·统考高考真题）已知，则（ ）．
A．B．C．D．
4．（江西·高考真题）若tanα＝3，tanβ＝，则tan(α－β)等于（ ）
A．3B．－3C．D．
5．（2020·全国·统考高考真题）已知，则（ ）
A．B．C．D．
6．（山东·高考真题）已知，则的值是
A．B．C．D．
7．（2016·全国·高考真题）若，则
A．B．C．D．
8．（2015·重庆·高考真题）若，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
9．（重庆·高考真题）若函数的最大值为2,则 .
10．（全国·高考真题）已知为锐角，，求的值．
11．（全国·高考真题）＝ ．
最新模考真题
一、单选题
1．（2023·四川成都·校联考模拟预测）若，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）若，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·江苏无锡·校联考三模）已知，，若，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知为第二象限角，，则（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023·广东广州·统考三模）若，则（ ）．
A．B．
C．D．
8．（2022·安徽马鞍山·统考一模）设等差数列满足：，公差．若当且仅当时，数列的前项和取得最大值，则首项的取值范围是
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2023·安徽黄山·统考二模）若，则的值可能是（ ）
A．B．C．2D．3
10．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）设为第一象限角,,则（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·全国·模拟预测）下列四个等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2022·全国·模拟预测）已知、、，且，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．、可能是方程的两根
D．
三、填空题
13．（2021·陕西西安·统考一模）已知，，则 ．
14．（2022·四川成都·双流中学校考模拟预测）若，为第二象限角，则 .
15．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）已知，则 ．
16．（2022河南安阳·安阳一中校联考模拟预测） ．
一、知识梳理与二级结论
二、热考题型归纳
【题型一】诱导公式
【题型二】sinxcsx与sinxXcsx型
【题型三】正余弦齐次型
【题型四】利用角度互余拆角求值
【题型五】利用角度互补拆角求值
【题型六】利用“两角和与差为特殊角”拆角
【题型七】利用“两脚和与差”拆复合型角度
【题型八】分式型拆角求值
【题型九】利用拆30°角求值
【题型十】利用拆60°角求值
【题型十一】正切两角和公式拆角求值
【题型十二】韦达定理型化简求值
【题型十三】对称结构型求值
【题型十四】求角型
【题型十五】利用拆角转化求最值
三、高考真题对点练
四、最新模考题组练
诱导公式 统一公式与口诀：
奇变偶不变，符号看象限
①函数值：的正弦（余弦）值，分别等于的_余弦（正弦））_函数值．
②符号：函数值前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号．
之间的互化关系
1.
2.
齐次式同除正切型：
角度“互余”与“广义互余”可以用诱导公式转化：
1.“互余”：两个复合型角度相加为90°，可以用诱导公式转化
2.“广义互余”：两个复合型角度的和或者差为90°+k360°，可以用诱导公式转化
复合型角度的和与差，如果是与30°，45°或者60°等特殊角终边相同，则可以借助特殊角的函数值来拆角求值
常见的变角技巧有：
，
，
，
，
等．
分式型求值，主要方向是把分数的分子分母“因式分解”，再通过“约分”来达到求值的目的。
两角和与差的正切公式
名称
公式
简记符号
条件
两角和的正切公式
tan（α＋β）＝_
α，β，（k∈Z）
两角差的正切公式
tan（α－β） ＝_
α，β，（k∈Z）
若是关于的一元二次方程的两个不相等的实根，则：
对称型结构：
为对称结构，可以借助消元求解
求复合型角，
以给了函数值的角度为基角来拆角。
讨论基角的范围，确认基角的正余弦值符号
所求复合型角的范围，以及对应的正（或者余）弦符号，确认对应复合型角度