专题3-4 三角函数w求范围和最值13题型归类（讲+练）-高考数学一轮复习热点题型归纳培优讲义（新高考通用）

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知识梳理与二级结论
一、求函数的解析式.
确定的步骤和方法:
(1)求 ：确定函数的最大值和最小值，则 ，；
(2)求：确定函数的周期，则可；
(3)求：常用的方法有代入法和五点法．
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时已知)或代入图象与直线的交点求解(此时要注意交点是在上升区间上还是在下降区间上)．
②五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．
二、（1）定义域：解三角函数不等式用“数形结合”
（2）值域：由内向外③单调性：同增异减
（3）周期公式：①y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acs(ωx＋φ))的最小正周期T＝eq \f(2π,|ω|)②y＝|Asin(ωx＋φ)|的周期T＝eq \f(π,|ω|).
（4）对称性： 换元思想，将y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sin x中的“x”，采用整体代入求解．
（5）对称轴：最值处，令sin(ωx＋φ) ＝1，则ωx＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，可求得对称轴方程；
（6）对称中心：零点处，令sin(ωx＋φ) ＝0，ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得对称中心的横坐标；
（7）（正弦“第一零点”：；正弦“第二零点”：
（8）余弦“第一零点”：；余弦“第二零点”：
三、y＝Asin(ωx＋φ)型求ω归纳：
1.已知单调区间，则必有.
2.如果两条相邻轴或者相邻中心：（或者），则必有
3.已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为，则
4.已知2条对称轴（或者2个对称中心），由于对称轴（或者对称中心的水平距离）为，则
5.已知函数y＝Asin(ωx＋φ)在区间内有n个零点，则满足
6.已知函数y＝Asin(ωx＋φ)在区间内没有零点，则满足
热点考题归纳
【题型一】 单调性型求w
【典例分析】
1.（2021春•蚌埠期末）已知函数在上单调递增，则的取值范围是
A．，B．，C．D．
2.（2021•乙卷模拟）已知函数，若在上单调递减，当时，则在，内的单调递增区间最多有
A．45个B．46个C．54个D．55个
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2021•吉林模拟）已知函数在区间上单调递增且在区间，上有且仅有一个解，则的取值范围是
A．B．C．D．
2.（2020春•鼓楼区校级期末）已知函数满足，，且在区间，单调，则关于以下说法正确的是
A．有8种取值B．的取值有无限个
C．不能等于D．可以等于
3.（2020春•鼓楼区校级期末）已知函数满足，，且在区间，单调，则关于以下说法正确的是
A．有8种取值B．的取值有无限个
C．不能等于D．可以等于
【题型二】对称轴型求w
【典例分析】
1.（2023·全国·高三专题练习）将函数的图象向右平移个单位长度得到图象，若的一条对称轴是直线，则的一个可能取值是（ ）
A．B．C．D．
2.（2023·湖南·校联考二模）函数的图象的一条对称轴方程是，则的最小正值为（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023秋·河南驻马店·高三统考期末）已知函数）在处取得最大值，且图象的两条相邻的对称轴之间的距离小于，若，则的取值可能是（ ）
A．2B．3C．5D．7
2.．（2023·全国·高三专题练习）记函数的最小正周期为，若，且为的一条对称轴，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3.（2023·全国·高三专题练习）已知函数的部分图象如图，的对称轴方程为，k为正整数，则将函数向左平移个单位长度，得到函数，则（ ）
A．2 B． C． D．
【题型三】“相邻”对称轴型求w
【典例分析】
1.已知函数的一个零点是，是的图象的一条对称轴，则取最小值时，的单调递增区间是（ ）
A．，B．，
C．，D．，

2.（2023·全国·高三专题练习）已知函数，是的零点，直线为图象的一条对称轴，且函数在区间上单调，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2022春·北京·高三北京市第十二中学校考阶段练习）已知函数， 为的零点，为图象的对称轴，且在区间上单调，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
2.（2023秋·高三课时练习）已知函数，是函数的一个零点，是函数的一条对称轴，若在区间上单调，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
3.（2023·全国·高三专题练习）已知函数相邻两个对称轴之间的距离为，且对于任意的恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【题型四】最少（多）对称轴“型
【典例分析】
1.（2023春·黑龙江佳木斯·高三校考期中）已知函数，（）的图象在区间内至多存在3条对称轴，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2.（2022秋·内蒙古呼和浩特·高三呼市二中校考阶段练习）已知函数在内有且仅有三条对称轴，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式演练】
1.（2022秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考期中）若函数（）在区间上恰有唯一对称轴，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2.（2022秋·广东深圳·高三校考阶段练习）已知函数在区间上有且仅有4条对称轴，则下列四个结论正确的是（ ）
A．在区间上有且仅有3个不同的零点
B．的最小正周期可能是
C．的取值范围是
D．在区间上单调递增
3.（2022秋·全国·高三校联考阶段练习）设函数在区间上恰好有条对称轴，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【题型五】“对称轴重合”型
【典例分析】
1.（2023·全国·模拟预测）若函数的图象与函数的图象有共同的对称轴，且在上单调递减，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
2.（2023春·湖北·高三赤壁一中校联考阶段练习）若函数的图象的对称轴与函数的图象对称轴完全相同，则等于（ ）
A．B．C．D．
【变式演练】
1.（2022春·山西大同·高二山西省浑源中学校考期中）将函数的图象分别向左、向右各平移个单位长度后，所得的两个图象对称轴重合，则的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
2.（2023·全国·高三专题练习）将函数的图像分别向左､向右各平移个单位长度后，所得的两个图像的对称轴重合，则的最小值为（ ）
A．3B．C．6D．
3.（2022·天津河西·天津市新华中学校考模拟预测）已知函数和的图象的对称轴完全相同，其中.当时，的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【题型六】 对称中心型求w
【典例分析】
1.已知函数的图象的一个对称中心为，且，则的最小值为
A．B．1C．D．2
2.（2023春·安徽芜湖·高三安徽师范大学附属中学校考阶段练习）若函数在区间内单调递增，且是的图象的一个对称中心，则（ ）．
A．6B．C．9D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023春·浙江宁波·高三宁波市北仑中学校考开学考试）设函数，已知在上有且仅有4个零点，且图象的对称中心为，则（ ）
A．B．C．D．
2.（2022·四川绵阳·统考模拟预测）若存在实数，使得函数(>0)的图象的一个对称中心为(，0)，则ω的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
3.（2023秋·江苏苏州·高三校考阶段练习）设函数的图象的一个对称中心为，则的一个最小正周期是（ ）
A．B．C．D．
【题型七】中心与对称轴型求w
【典例分析】
1.（2023春·江西九江·高三校考期中）已知函数的一个零点是，函数图像的一条对称轴是直线，则当取得最小值时，函数的单调递增区间是（ ）
A．B．
C．D．
2.（2023春·河北保定·高二河北省唐县第一中学校考阶段练习）已知函数的一条对称轴为，一个对称中心为.则当取最小整数时，函数在内极值点的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【提分秘籍】
【变式演练】
1．（2023春·湖南株洲·高二炎陵县第一中学校联考期末）已知向量，，设函数，若为图象的对称轴，为图象的对称中心，且在区间 上单调，则ω的值为（ ）
A．5B．7C．9D．11
2.（2023·内蒙古赤峰·校考模拟预测）已知函数，若在区间上有且仅有个零点和条对称轴，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3.（2023春·山东淄博·高三校联考期中）已知函数，则在区间上有且仅有个零点和条对称轴，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【题型八】“有中心 （零点）”型求w
【典例分析】
1..若有零点，值域为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．

2.设函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)，若关于x的方程fx=1在区间[0,π]上有且仅有两个不相等的实根，则的最大整数值为__________.

【提分秘籍】
【变式演练】
1.设函数，若对于任意实数，在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是________．

2.已知函数()在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围为______.
3.设函数在区间内有零点，无极值点，则的取值范围是_______．
【题型九】“无中心 （零点）”型求w
【典例分析】
1.已知函数（），，若在区间内没有零点，则的取值范围是________

2.（2021•庄浪县校级开学）已知函数，若函数在区间内没有零点，则的取值范围是
A．B．
C．D．
【变式演练】
1.（2021•桂林一模）函数的图象向左平移个单位长度得到函数，在，上有且只有5个零点，则的取值范围是
A．B．C．D．
2.（2018秋•河北月考）已知函数，若函数在区间内没有零点，则的取值范围是
A．B．
C．D．
3.（2019•河北一模）已知函数，若函数在，上有且只有三个零点，则的取值范围为
A．，B．C．D．
【题型十】极最值点最多（少）型求w
【典例分析】
1.已知函数（，）的部分图像如图所示，且在上恰有一个最大值和一个最小值，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．

2.（2021•安徽模拟）已知函数在区间上恰有1个最大值点和1个最小值点，则的取值范围是
A．B．C．D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2021•深圳二模）已知函数在区间上恰有一个最大值点和最小值点，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
2.已知函数，若在恰有3个最值点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．

3..已知函数的图象经过点，若在区间上恰有两个最值，则的取值范围为__________．
【题型十一】轴、中心、单调性综合
【典例分析】
1.（2023春·江西宜春·高三上高中学校考期中）设函数（是常数，，），若在区间上具有单调性，且，则函数是的最小正周期是（ ）
A．B．C．D．
2.（2023春·江西宜春·高三江西省宜丰中学校考阶段练习）已知函数在上单调递增，且当时，恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023秋·江苏南通·高三统考阶段练习）已知满足，且在上单调，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
2.（2023秋·高三课时练习）已知函数，是函数的一个零点，是函数的一条对称轴，若在区间上单调，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
3.（2023·河南信阳·高三统考期末）已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【题型十二】多重讨论型求w
【典例分析】
1.已知，若关于的方程恰有三个不同的解，则满足上述条件的的值可以为_____________.（写出一个即可）

2.函数，已知且对于任意的都有，若在上单调，则的最大值为______.

【提分秘籍】
【变式演练】
1.已知点，若三个点中有且仅有两个点在函数的图象上，则正数的最小值为__________.

2.已知函数，曲线与直线相交，若存在相邻两个交点间的距离为，则的所有可能值为__________．


3.（2021•淮北二模）已知函数满足，，且在区间上单调，则满足条件的个数为
A．7B．8C．9D．10
【题型十三】正整数型求w
【典例分析】
1.（2022秋·广东广州·高三广州市禺山高级中学校考阶段练习）已知函数的图象的一条对称轴为，在区间上不单调，则的最小正整数值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
2.（2022秋·高三单元测试）已知函数的部分图像如图所示，则满足的最小正整数x的值为 ．
【变式演练】
1.设函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)，若关于x的方程fx=1在区间[0,π]上有且仅有两个不相等的实根，则的最
大整数值为__________.

2.（2023·内蒙古赤峰·校联考三模）已知函数的一条对称轴是，若存在使直线与函数的图像相切，则当取最小正数时，实数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3.（2021·高三课时练习）已知函数在区间上的最小值小于零，则可取的最小正整数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
高考真题对点练
1．（2023·全国·统考高考真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（ ）
A．B．C．D．
2．（·全国·高考真题）如果函数（）的最小正周期是，那么常数为（ ）
A．4B．2C．D．
3．（2022·全国·统考高考真题）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·全国·统考高考真题）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（全国·高考真题）若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则的最小值为
A．B．C．D．
6．（辽宁·高考真题）若函数的图象（部分）如图所示，则和的取值是（ ）
A．B．
C．D．
7．（·福建·高考真题）已知函数在区间上的最小值是，则的最小值等
于
A．B．C．2D．3
8．（2016·天津·高考真题）已知函数，.若在区间内没有零点，则的取值范围是
A．B．C．D．
9．（2016·全国·高考真题）已知函数为的零点，为图象的对称轴，且在单调，则的最大值为
A．11B．9
C．7D．5
最新模考真题
1.若函数取得最值的点到轴的最近距离小于，且在单调递增，则的取值范围为_________.
2.已知函数满足，，且在区间上单调，则的最大值为________．

3.（2023春·四川成都·高三校联考阶段练习）已知直线，是函数图象的任意两条对称轴，且的最小值为，则的单调递增区间是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
4.（2022·全国·高三专题练习）已知函数的图象在区间上有且仅有两条对称轴，则在以下区间上一定单调的是（ ）
A．B．C．D．
5.（2022秋·北京海淀·高三校考阶段练习）若函数的图像与函数的图像有共同的对称轴，且知在上单调递减，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
6.（2023春·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习）已知，周期是的对称中心，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7.（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知函数为的零点，为图象的对称轴，如果存在实数，使得对任意的实数，都有成立，当取最小值时（ ）
A．在上是增函数B．在上是增函数
C．在上是减函数D．在上是减函数
8.设函数的最小正周期为，且在内恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
9.（2022·全国·高三专题练习）已知函数，.若在区间内没有零点，则的取值范围是
A．B．C．D．
10.已知函数在区间内有且只有一个最值点，则的取值范围是_____．
11.（2022春·全国·高三专题练习）函数（，），已知，且对于任意的都有，若在上单调，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
12.已知，若存在使得集合中恰有3个元素，则的取值不可能是（ ）
A．B．C．D．

一、知识梳理与二级结论
二、热考题型归纳
【题型一】单调性型求w
【题型二】对称轴型求w
【题型三】“相邻”对称轴型求w
【题型四】最少（多）对称轴型求w
【题型五】“对称轴重合”型求w
【题型六】对称中心型求w
【题型七】中心与对称轴型求w
【题型八】 “有中心（零点）”型求w
【题型九】 “无中心（零点）”型求w
【题型十】 极值点最多（少）型求w
【题型十一】 轴、中心、单调性综合型求w
【题型十二】 多重讨论型求w
【题型十三】 正整数型求w
三、高考真题对点练
四、最新模考题组练
正弦函数
在每一个闭区间（k∈Z）上都单调递增，
在每一个闭区间（k∈Z）上都单调递减
余弦函数
在每一个闭区间[2kπ－π，2kπ]（k∈Z）上都单调递增，
在每一个闭区间[2kπ，2kπ＋π] （k∈Z）上都单调递减
正弦函数对称轴
（k∈Z）时，ymax＝1；
（k∈Z）时，ymin＝－1
余弦函数对称轴
x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；
x＝2kπ＋π（k∈Z）时，ymin＝－1
若的图像关于直线对称,则或.
正弦函数对称中心
(kπ，0)(k∈Z)

余弦函数对称中心
(eq \f(π,2)＋kπ，0)(k∈Z)
正切函数对称中心
(eq \f(kπ,2)，0)(k∈Z)
函数的性质：
(1) .
(2)周期
(3)由 求对称轴，由求对称中心.
(4)由求增区间；由求减区间.
求w的表达式时，中不要把写成k,因为后面还有一个k, 中不要把写成k，否则不好研究w的最小值.它们本身就不一定相等.
极值点最多最少，可以转化为区间对称轴的个数，利用对称轴公式求解。
的单调区间长度是最小正周期的一半;
的相邻零点长度是最小正周期的一半;
的相邻轴长度是最小正周期的一半;
解决函数综合性问题的注意点
（1）结合条件确定参数的值，进而得到函数的解析式．
（2）解题时要将看作一个整体，利用整体代换的方法，并结合正弦函数的相关性质求解．
（3）解题时要注意函数图象的运用，使解题过程直观形象化．