专题3-6 三角函数与解三角形综合大题16题型归类（讲+练）-高考数学一轮复习热点题型归纳培优讲义（新高考通用）

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知识梳理与二级结论
一、正弦定理：eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R，其中R为 外接圆半径 ；
①边化正弦：a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；
②正弦化边：sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R)；
③a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；
④eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)＝ 2R ；
二、余弦定理：
①a2＝b2＋c2－2bccs_A；
②b2＝c2＋a2－2cacs_B；
③c2＝a2＋b2－2abcs_C
变式：
①cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)；
②cs B＝eq \f(c2＋a2－b2,2ac)；
③cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)
三、三角形面积 ：
①S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(abc,4R)
②S△ABC＝eq \f(1,2)(a＋b＋c)·r(r是切圆的半径)
四、三角形中：
①sin(A＋B)＝sinC，cs(A＋B)＝－csC；
②sin eq \f(A＋B,2)＝cs eq \f(C,2)， cseq \f(A＋B,2)＝sineq \f(C,2)；
③三角形中，任何一个角的正弦值恒大于0；
④a>b⇔A>B⇔sin A>sin B⇔csA＜csB．
五、解三角方程
热点考题归纳
【题型一】图像与解析式
【典例分析】
（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）已知函数）的部分图象如图所示.

(1)求函数的解析式；
(2)在中，角的对边分别是，若，求的取值范围.
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）已知函数的部分图象如图所示.

(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若方程在上有解，求实数的取值范围.
2.（2023·山东威海·统考二模）已知偶函数的部分图象如图所示，，，为该函数图象与轴的交点，且为图象的一个最高点．
(1)证明：；
(2)若，，，求的解析式．
【题型二】图像“零点”型求值
【典例分析】
（2023秋·黑龙江双鸭山·高三双鸭山一中校考阶段练习）已知函数的两个相邻的对称中心的距离为．
(1)求在上的单调递增区间；
(2)当时，关于x的方程有两个不相等的实数根，求的值．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔中学校考期中）已知函数的最小正周期为.
(1)求的解析式及对称轴方程；
(2)若关于x的方程在上有两个不等实数解，.
①求实数m的取值范围；
②求的值.
2.（2023春·四川眉山·高一校考期中）已知函数的图像上相邻两个最高点的距离为．
(1)求函数的解析式和对称中心；
(2)求的定义域；
(3)函数在区间上恰有2个零点，（），求的值．
【题型三】图像“零点”求和型
【典例分析】
（2023春·辽宁锦州·三渤海大学附属高级中学校考阶段练习）已知函数的图象过原点，且图象的相邻两对称轴间的距离为.
(1)求函数的解析式；
(2)若函数，记方程在上的根从小到大依次为，试确定的值，并求的值.
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023春·四川自贡·高三统考）已知函数的相邻两对称轴间的距离为．
(1)求的解析式；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的最值．
(3)对于第（2）问中的函数，记在上的5个零点从小到大依次为，求的取值范围．
2.（2023秋·河南南阳·高三南阳中学校考）已知函数的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)将函数图象上所有的点向右平移个单位长度，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.当时，方程恰有三个不相等的实数根，，求实数a的取值范围以及的值.
【题型四】正余弦定理基础：求角求函数值
【典例分析】
（2023秋·四川遂宁·高三四川省蓬溪中学校校考阶段练习）在中,角所对的边分别为.已知,,.
(1)求角；
(2)求的值.
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023秋·广东·高三校联考阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求角的大小；
(2)设，，求的值．
2.（2023秋·山东·高三济南市历城第二中学校联考考试）已知的周长为，且.
(1)求的长：
(2)若的面积为.求.
【题型五】最值范围：面积最值型
【典例分析】
在锐角三角形ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
(1)求角B；
(2)若的面积为，求b的最小值.
江苏省南通市如皋市2022-2023学年高三上学期教学质量调研（三）数学试题
【提分秘籍】
【变式演练】
1.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
(1)求角A的大小；
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.

2.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且．
(1)求角C的大小；
(2)若△ABC为锐角三角形，且，求△ABC面积的取值范围．

【题型六】最值范围：周长最值型
【典例分析】
（2023秋·陕西西安·高三校考阶段练习）在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.
已知的内角，，所对的边分别是，，，若______.
(1)求角；
(2)若，求的周长的取值范围.
【变式演练】
1.（2022·全国·高三专题练习）已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．
(1)判断的形状；
(2)若，，求周长的取值范围．
2.（安徽省高三名校阶段检测联考）已知函数.
(1)求的单调递增区间；
(2)在中，，，求周长的取值范围.
【题型七】最值范围：边长非对称型最值
【典例分析】
（2022·湖南·模拟预测）在中，，，分别为内角，，的对边，已知.
(1)求角；(2)若，求的最大值.
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023秋·陕西西安·高三陕西师大附中校考阶段练习）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答．
问题：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且____．
(1)求角C；
(2)若，求的取值范围．
2.（2023秋·河北·高三统考阶段练习）已知的内角.C所对的边分别为，且.
(1)求角；
(2)若，求的最小值.
【题型八】最值范围：分式比值型
【典例分析】
（2023秋·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考开学考试）已知的内角的对边分别为．
(1)若，求角；
(2)求的取值范围．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023春·吉林长春·高三长春外国语学校校考）已知在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，
(1)求的值；
(2)求的取值范围．
2.（2023秋·广东深圳·高三深圳市建文外国语学校校考阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求的值；
(2)求的最小值.
【题型九】最值范围：角度型函数
【典例分析】
（2023秋·江苏连云港·高三统考阶段练习）在中，，，所对的边分别为，，，已知.
(1)若，求的值；
(2)若是锐角三角形，求的取值范围.
【变式演练】
1.．（2023秋·辽宁·高三东北育才学校校联考开学考试）已知H为锐角的垂心，为三角形的三条高线，且满足.
(1)求的值.
(2)求的取值范围.
2.（2023春·山西大同·高三统考）在中，角所对的边分别为．
(1)求的最大值；
(2)求的取值范围．
【题型十】最值范围：锐角钝角限制型
【典例分析】
已知的三个角，，的对边分别为，，，且.
(1)求边；
(2)若是锐角三角形，且___________，求的面积的取值范围.
要求：从①，②从这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并给出解答.如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【提分秘籍】
【变式演练】
1.已知锐角三角形的内角，，所对的边分别为，，，且.
(1)求角的大小；
(2)若，求面积的取值范围.

2..在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且．
(1)求的值；
(2)若点M，N分别在边AB和AC上，且与的面积之比为，求MN的最小值．

【题型十一】最值：内切圆型
【典例分析】
（2023·江苏扬州·江苏省高邮中学校考模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且．
(1)求的外接圆半径R；
(2)求内切圆半径r的取值范围．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.．（2023春·湖南长沙·高三雅礼中学校）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，.
(1)求B及a，c；
(2)若线段MN长为3，其端点分别落在边AB和AC上，求△AMN内切圆半径的最大值.
2.（2023春·黑龙江双鸭山·高三双鸭山一中校考阶段练习）已知的三个内角的对边分别为，且，．
(1)求的最大值；
(2)若的内切圆半径为，求的最大值．
【题型十二】最值：外接圆型
【典例分析】
．（2022·山东聊城·高三联考）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且.
(1)求角A；
(2)若是钝角三角形，且，求外接圆半径的取值范围.
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2022·上海长宁·二模）在中，角的对边分别为．
(1)若，求
(2)若， 的面积，求外接圆半径的最小值．
2.（2022·湖北·荆州中学三模）在中，内角所对的边分别为，，，已知，．
(1)求角的大小；
(2)求外接圆半径的最小值.
【题型十三】图形：角平分线型
【典例分析】
（2023秋·江西·高三校联考阶段练习）在中，内角，，的对边分別为，，，且满足.
(1)求；
(2)若内角的角平分线交于点，且，求的面积的最小值.
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023秋·四川成都·高三石室中学校考开学考试）如图，在中，，的角平分线交于，.

(1)求的取值范围；
(2)已知面积为1，当线段最短时，求实数.
2.（2023春·四川遂宁·高三四川省蓬溪中学校校考阶段练习）如图，的内角、、的对边分别为、、，且.
(1)求角B的大小；
(2)若，.
（i）求的值；
（ii）求的角平分线的长.
【题型十四】图形：中线与重心型
【典例分析】
（2021春·湖北武汉·高三华中师大一附中校考）在中，是中点，是射线上的一点.
(1)如图1，连接并延长交于点，求的值；
(2)如图2，交于点，且，求的值.
【提分秘籍】
【变式演练】
1.2023春·四川成都·高三成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校联考）三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心（即外接圆的圆心），三角形的三个顶点在这个外接圆上.已知的外心为点，且为边的中点.
(1)求证：；(2)若，求的余弦值.
2.（2023·全国·高三校联考阶段练习）如图，在直角三角形中，，分别在线段上，且为的中点，，设．
(1)求 (用表示)；
(2)求三角形面积的最小值．
【题型十五】图形：高
【典例分析】
在中，，点在边上，且.
（1）求角的大小；
（2）若为的中线，且，求的长；
（3）若为的高，且，求证：为等边三角形.
河北省滦州市第一中学2019-2020学年高三下学期数学试题
【提分秘籍】
【变式演练】
1.．已知．在中，，．
(1)求角的大小；
(2)若，，求的值及边上的高．

2.已知中，内角，，所对的边分别为，，，且满足.
(1)求角的大小；
(2)设是边上的高，且，求面积的最小值.

【题型十六】图形综合
【典例分析】
.（2022·云南师大附中高三阶段练习）在中，已知，，，为边上的中点，的面积为.
(1)求的长；
(2)点在边上，且，与相交于点，求的余弦值.
【变式演练】
1.（2022·湖北武汉·模拟预测）如图，在平面四边形中，，，.
(1)当，时，求的面积；
(2)当，时，求.
2.（2022·湖南·模拟预测）如图，在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求的值；
(2)在的延长线上有一点D，使得，求．
高考真题对点练
1．（2023·全国·统考高考真题）记的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若，求面积．
2．（2023·全国·统考高考真题）在中，已知，，.
(1)求；
(2)若D为BC上一点，且，求的面积.
3．（2023·天津·统考高考真题）在中，角所对的边分别是．已知．
(1)求的值；(2)求的值；(3)求．
4．（2023·全国·统考高考真题）已知在中，．
(1)求；
(2)设，求边上的高．
5．（2023·全国·统考高考真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．
(1)若，求；(2)若，求．
6．（2022·全国·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；(2)证明：
7．（2022·全国·统考高考真题）记的内角的对边分别为，已知．
(1)证明：；
(2)若，求的周长．
8．（2022·全国·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；(2)求的最小值．
9．（2020·浙江·统考高考真题）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（I）求角B的大小；
（II）求csA+csB+csC的取值范围．
最新模考真题
1.（2023·江苏南京·南京师大附中校考一模）已知函数在一个周期内的图象如图所示．
(1)求函数的表达式；
(2)把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变，再把得到的图象向下平移一个单位，再向左平移个单位，得到函数的图象，若，求函数的值域．
2.（2023秋·辽宁沈阳·高三新民市高级中学校考开学考试）已知函数.
(1)求的单调递增区间；
(2)方程在上的两解分别为，求的值.
3．（2023春·河北保定·高三定州一中校考阶段练习）已知函数，其中．
(1)若函数的最大值是最小值的倍，求的值；
(2)当时，函数的正零点由小到大的顺序依次为，，，…，若，求的值．
4.．（2023秋·天津和平·高三天津一中校考开学考试）已知a，b，c分别为三内角A，B，C所对的边，且．
(1)求A；
(2)若，且．
（i）求c的值．
（ⅱ）求的值．
5.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．
(1)求A；
(2)若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围．
内蒙古自治区第一中学2022-2023学年高三上学期10月月考数学（理科）试题
6.（2023秋·安徽·高三校联考阶段练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，，．已知．
(1)证明：；
(2)若，求周长的最大值．
7.（2024秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考阶段练习）在锐角中，设边所对的角分别为，且．
(1)证明：
(2)若，求的取值范围．
8.（2023秋·广东肇庆·高二校考开学考试）记钝角的内角的对边分别为，已知．
(1)若，求；
(2)求的取值范围．
9.（2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考）在中，角所对的边分别为，且.
(1)求证：；
(2)求的最小值.
10..在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且.
(1)求角A；
(2)若为锐角三角形，边，求面积的取值范围.

11.．（2023春·江西上饶·高三校联考期中）在中，角的对边分别为，已知，且.
(1)求的外接圆半径；
(2)求内切圆半径的取值范围.
12.（2022·四川省绵阳南山中学高三阶段练习）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求角B的大小；
(2)若为钝角三角形，___________，求外接圆的半径的取值范围.请在下列两个条件中选择一个作为条件补充在横线上，并解决问题.①；②.
13.（2023春·山东枣庄·高三统考）中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.
(1)求的值；
(2)若BD是的角平分线.
（i）证明：；
（ii）若，求的最大值.
14.（2021秋·福建厦门·高三厦门大学附属科技中学校考阶段练习）如图，正三角形的边长为4，D，E，F分别在线段上，且D为的中点，.
(1)若，求三角形的面积.
(2)求三角形面积的最小值.
15.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知且.
(1)若，求；
(2)若BC边上的高是AH，求BH的最大值.
湖南师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期月考（五）数学试题
16.（2022·全国·高三专题练习）在锐角中，角所对的边分别为.
(1)求的值；
(2)点分别在边上，的面积是面积的2倍.求的最小值.一、知识梳理与二级结论
二、热考题型归纳
【题型一】 图像与解析式
【题型二】 图像“零点”型求值
【题型三】 图像“零点”求和型
【题型四】 正余弦定理基础：求角和求函数值
【题型五】 最值范围：面积最值型
【题型六】 最值范围：周长最值型
【题型七】 最值范围：边长非对称型最值
【题型八】 最值范围：分式比值型
【题型九】 最值范围：角度型函数
【题型十】 最值范围：锐角钝角限制型
【题型十一】最值：内切圆型
【题型十二】最值：外接圆型
【题型十三】图形：角平分线型
【题型十四】图形：中线与重心型
【题型十五】图形：高
【题型十六】图形综合
三、高考真题对点练
四、最新模考题组练
已知的部分图象求其解析式时
比较容易看图得出，困难的是求待定系数和，常用如下两种方法：
(1)由即可求出；确定时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标，则令(或)，即可求出.
(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出和，若对，的符号或对的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
零点处，令sin(ωx＋φ) ＝0，ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得对称中心的横坐标；
正弦“第一零点”：；正弦“第二零点”：
余弦“第一零点”：；余弦“第二零点”：
零点求和型，多利用三角函数对称轴对称性求解
对称性： 换元思想，将y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sin x中的“x”，采用整体代入求解．
对称轴：最值处，令sin(ωx＋φ) ＝1，则ωx＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，可求得对称轴方程；
对于sin（）与cs（） 简称为“正余余正，余余正正”
恒等变形和化简求角中，有如下经验：
SinC=Sin(A+B)=sinAcsB+csAsinB:正用。逆用；见A与B的正余或者余正，不够，找sinC拆
边的齐次式，正弦定理转为角的正弦；
csC=-cs(A+B)=-[csAcsB-sinAsinC]
解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，
常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；
②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；
③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.

解三角形：最值范围
可以用余弦定理+均值不等式来求解。
可以利用正弦定理，结合角与角所对应的边，转化为角的形式，再进行三角恒等边形，化一，求解最值与范围，要主语三角形是否有“锐角、钝角”三角形的角度范围限制
最值范围：分式比值型
化边为角型
通过正余弦定理，把边转化为角。
利用特殊角，消角，以分母角度为住元，消去分子角度，转化为分母角度的单变量函数形式
对单变量（单角）求最值。
角化变型：
主要用余弦定理，然后再借助均值不等式进行转化
锐钝角限制型
注意锐角三角形，或者钝角三角形对角的范围的限制，如果有这样限制，要对每个角都要用不等式范围求解
内切圆圆心，是三角形三个内角角平分线的交点，的三边长分别为，的面积为，内切圆半径为，则.
三角形所在的外接圆的处理方法：
1.外接圆的圆心到三角形的三个顶点的距离相等。锐角三角形外心在三角形内部。直角三角形外心在三角形斜边中点上。
钝角三角形外心在三角形外。
2.正弦定理：eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R，其中R为 外接圆半径
在三角形中，如果涉及到角平分线，则可以从下边思维分析
三角形角平分线的处理方法：
角平分线定理（大题中，需要证明，否则可能会扣过程分）：
三角形中线处理方法：
1.向量法：
补全为平行四边形。再转而在新三角形中用正余弦定理