专题3-7 平面向量线性运算及模与数量积最值16题型归类（讲+练）-高考数学一轮复习热点题型归纳培优讲义（新高考通用）

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知识梳理与二级结论
一、向量的概念：具有大小和方向的量称为向量. (没有位置、不能比较大小)
(1)数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；
向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.
二、向量的表示方法：
①具有方向的线段，叫做有向线段，以为始点，为终点的有向线段记作 ，的长度记作.用有向线段表示向量，读作向量；(有向线段的三要素：起点、方向、长度)
②用小写字母表示：、. (印刷时，用黑体小写字母，手写时，小写字母要带箭头)
三、向量与有向线段的区别和联系：
①向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；
②有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段；
③向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段.向量是规定了大小和方向的量，有向线段是规定了起点和终点的线段.
四、向量的模：向量的大小――长度称为向量的模，记作.(能比较大小)
五、零向量：长度等于零、方向是任意的向量，记作. (注意与的含义与书写区别)
六、单位向量：长度为一个单位长度的向量.与非零向量共线的单位向量.
说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.
七、平行向量：
(1)若非零向量、的方向相同或相反，则，又叫共线向量；
(2)规定与任一向量平行.
说明：综合(1)(2)才是平行向量的完整定义；三点、、共线、共线；
向量平行无传递性，即，不能推出(可能为).
注意：共线向量仅仅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同.
（3）、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关).
说明：①平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；
②共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
八、相等向量：若非零向量、方向相同且模相等，则向量、是相等向量.
(1)相等向量：模相等，方向相同；
(2)相反向量：模相等，方向相反.
说明：任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.
九、求平面向量夹角的方法：
（1）定义法：利用向量数量积的定义得，其中两向量的取值范围是；
（2）坐标法：若非零向量、，则.
热点考题归纳
【题型一】向量坐标：平行
【典例分析】
1.（2023春·北京海淀·高三统考）已知向量，则下列向量中与平行的单位向量是（ ）
A．B．C．D．
2.（2020秋·江苏苏州·高三苏州市苏州高新区第一中学校考开学考试）已知，，若，则的值为（ ）
A．B．7C．D．以上结果都不对
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023·全国·高三专题练习）已知向量，且，则实数m的值（ ）
A．B．1C．D．
2.（2023春·江苏宿迁·高三统考）已知向量，，若，则实数的值为（ ）
A．B．
C．D．
3.（2021秋·上海浦东新·高三华师大二附中校考）已知向量，，，则“”是“ ”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件
【题型二】三点共线向量法求参
【典例分析】
1.（2023春·河北邯郸·高三统考）已知向量，，，若B，C，D三点共线，则（ ）
A．－16B．16C．D．
2.（2022春·高三校考课时练习）已知A，B，C是三角形的三个顶点，且向量，则实数m满足的条件为 .
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023春·江苏泰州·高三校考）设，为平面内一个基底，已知向量，，，若A，B，D三点共线，则的值是（ ）
A． B． C． D．
2.（2022春·安徽滁州·高三校考）设O是坐标原点，已知=(k，12)，=(10，k)，=(4，5)，若A，B，C三点共线，则实数k的值为 .
3.（2022·高三课时练习）已知，，，且相异三点、、共线，则实数 .
【题型三】平行与三角函数恒等变形
【典例分析】
1.（2023·广西梧州·苍梧中学校考模拟预测）已知，，，若，则（ ）
A．B．C．D．
2.（2023春·黑龙江七台河·高三勃利县高级中学校考期中）已知△ABC的三边分别是a，b，c，设向量＝(sinB－sinA，a＋c)，＝(sinC，a＋b)，且∥，则B的大小是（ ）
A．B．
C．D．
【变式演练】
1.（2023秋·浙江杭州·高三杭十四中校考）的三内角，，所对边长分别是，，，设向量，，若，则角的大小为（ ）
A．B．C．D．
2.（2020·高三课时练习）已知向量，，若与共线，则的值为
A．B．C．D．
3.（2020春·四川成都·高三校考阶段练习）已知中内角的对边分别为，向量，，为锐角且∥，．若，则的周长为 ．
【题型四】数量积：坐标型
【典例分析】
1.（2022春·江苏淮安·高三校联考期中）已知平面向量，满足，，且，则实数的值为（ ）
A．B．C．2D．3
2.（2023秋·四川成都·高三石室中学校考阶段练习）已知向量，，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023秋·湖南常德·高三校考阶段练习）已知则（ ）
A．(0，34，10)B．(-3，19，7)C．44D．23
2.（2023秋·广东珠海·高三珠海市第二中学校考阶段练习）已知向量，且，则（ ）
A．2B．1C．0D．
3.（2023·全国·高三专题练习）已知向量，且，则实数（ ）
A．-1B．0C．1D．任意实数
【题型五】坐标运算求向量夹角
【典例分析】
1.（2022·河北·衡水市冀州区滏运中学高三期末）已知点，，，，则向量与夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
2.（2022·江苏·金陵中学模拟预测）已知向量，，，则向量与向量的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2022·全国·高三专题练习）在空间直角坐标系中，若，，与的夹角为，则的值为（ ）
A．1B．C．或D．17或
2.（2022·全国·高三专题练习（理））已知平面向量，，，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
3.（2022·全国·高三专题练习（理））已知为整数，且，设平面向量与的夹角为，则的概率为（ ）
A．B．C．D．
【题型六】数量积：求模型
【典例分析】
1.（2023秋·上海浦东新·高三校考阶段练习）已知向量，，若，则 ．
2.（2023秋·山东德州·高三校考阶段练习）已知非零向量满足，则与的夹角为 .
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023秋·江苏·高三校联考开学考试）已知同一平面内的单位向量，满足，则 ．
2.（2023秋·云南·高三校联考阶段练习）已知平面向量，满足，且，则与的夹角为 ．
3.（2021秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第一中学校校考）设，，满足，且，，，则 .
【题型七】复合型夹角计算型
【典例分析】
1.（2022·全国·高三专题练习）已知，，则向量与的夹角为（ ）
A．90°B．60°C．30°D．0°
2.（2022·河北邯郸·二模）若向量，满足，，且，则向量与夹角的余弦值为（ ）.
A．B．C．D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2022·重庆八中高三阶段练习）设向量，，则与夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
2.（2022·陕西·西安建筑科技大学附属中学高三阶段练习）已知向量，若与垂直，则与夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
3.．（2022·全国·高三专题练习（理））已知、、均为单位向量，且，则、之间夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【题型八】向量线性运算基础：鸡爪型运算
【典例分析】
1.如图，在中，为线段上的一点，，且，则（ ）
A．B．
C．D．

2.．已知为所在平面内一点，且满足，则（ ）
A．B．
C．D．

【提分秘籍】
【变式演练】
1.在中，D为中点，连接，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．1

2.在中，点是边上一点，若，则实数（ ）
A．B．C．D．

3.如图，在△OAB中，点P在边AB上，且．则（ ）
A．B．
C．D．

【题型九】线性运算：“中点”风帆型计算
【典例分析】
1.如图，在中，，，P为CD上一点，且满足，若，，则的值为（ ）
A．B．C．1D．2

2.在中，为中点，为中点，则下列结论中不可能成立的是（ ）
A．B．
C．D．

【变式演练】
1.已知是边长为2的等边三角形，点在线段上，，点在线段上，且与的面积相等，则的值为（ ）
A．B．C．D．

2.如图，在中，，，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．

3.如图，在中，是的中点，若，则（ ）
A．B．1C．D．

【题型十】线性运算：四边形计算型
【典例分析】
1.已知在平行四边形 中，，线段 交于点O，则=（ ）
A．B．C．D．

2.在平行四边形中，对角线与交于点为中点，与交于点，若 ，则（ ）
A．B．C．D．

【提分秘籍】
【变式演练】
1.在平行四边形中，点在边上，点在边上，且，，点为线段的中点，记，则（ ）
A．B．
C．D．

2.（2023秋·江西南昌·高三校考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点的三等分点，点F在BE上且为中点，若，则（ ）

A．B．C．D．
3.．（2023春·甘肃天水·高三天水市第一中学校考阶段练习）如图，四边形是平行四边形，点分别为的中点，若以向量为基底表示向量，则下列结论正确的是（ ）

A．B．
C．D．
【题型十一】线性运算：两线交点型
【典例分析】
1．中，点M是BC的中点，点N为AB上一点，AM与CN交于点D，且，.则（ ）.
A．B．C．D．

2.．（2021·北京·高三强基计划）如图，已知为中的平分线．过点A作的垂线，过点C作交于点E．若与交于点F，且，则（ ）
A．B．C．D．以上答案都不对
【变式演练】
1.（2023·山西·高三校联考阶段练习）如图，在中，D是BC边中点，CP的延长线与AB交于AN，则（ ）
A．B．C．D．
2.（2023·全国·模拟预测）如图，在中，，，其中，，若AM与BN相交于点Q，且，则（ ）
A．B．C．D．
3.（2023·江苏·高三专题练习）在中，点是上一点，且，是中点，与交点为，又，则（ ）

A．B．C．D．
【题型十二】投影计算
【典例分析】
1.（2023秋·广东汕头·高三汕头市金禧中学校考阶段练习）已知，点，则向量在方向上的投影为 ．
2.（2023春·全国·高三专题练习）已知向量，满足，在方向上的数量投影为，则的最小值为 ．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023秋·四川绵阳·高三绵阳中学校考阶段练习）已知为实数，，则向量在向量方向上的投影为 .
2.（2023·云南·校联考模拟预测）若，，，则在上投影向量的模为 ．
3.（2023秋·上海杨浦·高三上海市控江中学校考阶段练习）已知平面向量，满足，且向量，的夹角为，则在方向上的数量投影为 .
【题型十三】平行型最值：均值
【典例分析】
1.（2023春·四川眉山·高三校考期中）已知向量，且，则的最大值为（ ）
A．1B．2C．D．4
2.（2022·宁夏吴忠·统考模拟预测）已知，且则的最小值是（ ）
A．3B．
C．4D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2021春·安徽蚌埠·高三蚌埠二中校考期中）已知向量，，且，若，则的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．4
2.（2020·江西南昌·高三校联考阶段练习）已知向量，，且．若、均为正数，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
3.（2023秋·北京·高三北师大二附中校考阶段练习）已知向量，若，则的最小值为（ ）.
A．12B．C．16D．
【题型十四】求夹角型最值
【典例分析】
1.平面向量，满足，且，则与夹角的余弦值的最大值是（ ）
A．B．C．D．

2.．已知是单位向量，且的夹角为，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．

【变式演练】
1.．已知非零向量，的夹角为，，且，则夹角的最小值为（ ）
A．B．C．D．

2.已知单位向量，，若对任意实数，恒成立，则向量，的夹角的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．

3.已知平面向量，，，满足，，则当与的夹角最大时，的值为（ ）
A．B．C．D．

【题型十五】投影型最值
【典例分析】
1.已知平面向量,若,则在上投影向量的模长的最小值为（ ）
A．B．C．D．

2.在中，已知，，，若，且，则在上的投影向量为（为与同向的单位向量），则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．

【变式演练】
1.已知菱形的边长为1，设，若恒成立，则向量在方向上数量投影的取值范围是（ ）
A．B．C．D．

2.如图，已知点P是圆上的一个动点，点Q是直线上的一个动点，为坐标原点，则向量在向量上的投影的最大值是（ ）
A．B．3C．D．

3.已知点为圆上动点，为坐标原点，则向量在向量方向上投影的最大值为（ ）
A．B．C．D．

【题型十六】数量积型最值
【典例分析】
1.（2023秋·江西抚州·高三江西省乐安县第二中学校考开学考试）在平面四边形ABCD中，，若P为边BC上的一个动点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
2.（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知长方形ABCD的边长，P，Q分别是线段BC，CD上的动点，，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【变式演练】
1.（2023秋·河北保定·高三校联考开学考试）已知边长为2的菱形中，点为上一动点，点满足，，则的最大值为（ ）
A．0B．C．D．3
2.（2024秋·内蒙古呼和浩特·高三统考开学考试）已知定点，为坐标原点，点是圆上的一点，且圆的半径为，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
3.（2023春·北京石景山·高三北京市第九中学校考）如图，，是半径为的圆上的两点，且若是圆上的任意一点，则的最大值为（ ）

A．B．C．D．
高考真题对点练
1．（山东·高考真题）已知空间向量且，，，则一定共线的三点是（ ）
A．A，B，DB．A，B，C
C．B，C，DD．A，C，D
2．（2023·北京·统考高考真题）已知向量满足，则（ ）
A．B．C．0D．1
3．（2023·全国·统考高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（ ）
A．B．3C．D．5
4．（2023·全国·统考高考真题）已知向量，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·全国·统考高考真题）已知向量满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·全国·统考高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023·全国·统考高考真题）已知向量，若，则（ ）
A．B．
C．D．
8．（2022·全国·统考高考真题）已知向量满足，则（ ）
A．B．C．1D．2
9．（2022·全国·统考高考真题）已知向量，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
10．（2022·北京·统考高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．

11．（2022·全国·统考高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A．B．C．D．
最新模考真题
1.（2022秋·江西赣州·高三校联考）向量，，，若，且，则的值为（ ）
A．2B．C．3D．
2.（2023·全国·高三专题练习）若，，三点不能构成三角形，则t= ．
3.（2023秋·天津武清·高三校考阶段练习）已知向量，，，则实数k的值为（ ）
A．B．C．D．1
4.．（2023春·广东深圳·高三校考阶段练习）已知向量，，且，则（ ）
A．B．C．D．
5.（2022·全国·高三专题练习）若向量，，则“”是“向量，夹角为钝角”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
6.（2023秋·上海黄浦·高三上海市向明中学校考阶段练习）已知两个单位向量，的夹角是，则 .
7.（2023秋·山西太原·高三山西大附中校考阶段练习）已知向量、满足，则与的夹角是 ．
8.．如图，若D点在三角形ABC的边BC上，且，则的值为（ ）
A．0B．C．D．1

9.在中，，为的中点，，则（ ）
A．2B．1C．D．

10.（2023秋·河南·高三校联考阶段练习）在平行四边形中，是的中点，是的中点，与相交于点，则（ ）
A．B．C．D．
11.．（2023春·山东青岛·高三校考）如图，在中，，，直线交于点，若，则（ ）
A．B．C．D．
12.（2019秋·全国·高三专题练习）已知，为正实数，向量，，若，则的最小值为
A．B．
C．D．
13.（2021春·广东湛江·高三湛江二十一中校考）已知m，n均为正数，，，且，则的最小值为 .
14.平面向量，满足，且，则与夹角的正弦值的最大值为（ ）
A．B．C．D．

15.已知平面向量和满足，则在方向上的投影的最小值为___________.

16.（2023春·江西南昌·高三南昌市八一中学校考阶段练习）圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇拜的图腾.如图，是圆的一条直径，且，是圆上任意两点，，点在线段上，则的取值范围是（ ）

A．B．C．D．
一、知识梳理与二级结论
二、热考题型归纳
【题型一】 向量坐标：平行
【题型二】 三点共线向量法求参
【题型三】 平行与三角函数恒等变形
【题型四】 数量积：坐标法
【题型五】 坐标运算求向量夹角
【题型六】 数量积：求模型
【题型七】 复合型夹角计算型
【题型八】 向量线性运算：鸡爪型运算
【题型九】 线性运算：“中点”风帆型
【题型十】 线性运算：四边形计算型
【题型十一】线性运算：两线交点型
【题型十二】投影计算
【题型十三】平行型最值：均值
【题型十四】求夹角型最值
【题型十五】投影行最值
【题型十六】数量积型最值
三、高考真题对点练
四、最新模考题组练
共线向量：
共线定理：a∥b⇔___ a＝λb___⇔___ x1y2＝x2y1 _；
1.用向量法求三点共线，则任何两点所对应的向量都互相平行。
2.共线第二定理：若A、B、C三点共线⇔eq \(OC,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))且x＋y＝1．
向量数量积计算公式：
a·b＝ |a||b|cs θ ＝ x1x2＋y1y2
求平面向量夹角的方法：
（1）定义法：利用向量数量积的定义得，其中两向量的取值范围是；
（2）坐标法：若非零向量、，则.

向量求模运算公式：
1.|a|＝ eq \r(a2) ＝ eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))
2.
复合型向量夹角计算，和简单向量夹角计算一样，多了一个复杂的求分母计算
cs〈a，b〉＝ eq \f(a·b,|a||b|) ＝ eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)))
鸡爪型是向量线性运算基础：
若D点在BC线段上，且满足,则有
四边形基底线性运算，可以用基底推导，也可以通过特殊化构造坐标系设点计算
a在b方向上的投影为： |a|cs θ ＝ eq \f(a·b,|b|)
要注意其必须满足的三个条件：“一正二定三相等”
(1) “一正”就是各项必须为正数；
(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．
如果等号成立的条件满足不了，说明函数在对应区间单调，可以利用单调性求最值或值域．