2023-2024学年度上学期期中考试高三数学试卷
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出题人:刘文文、郭丹丹 审题人:谢宏霞
考试时间:120分钟 分值:150分
第Ⅰ卷 选择题(60分)
单项选择题:(本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题的四个选项中,只有有一项符合题目要求)
1.“”是“”的( )条件
A.充分不必要 B.必要不充分
C.充要 D.既不充分也不必要
2.已知集合,则( )
A.B.C.D.
3.函数的最大值是( )
A.B.1C.5D.
4.已知为单位向量,向量与向量的夹角为,则向量在向量上的投影向量为( )
A.B.C.D.
5.若是奇函数,且在内是增函数,又,则的解集是( )
A.B.
C. D.
6.我们的数学课本《人教A版必修第一册》第121页的《阅读与思考》中介绍:“一般地,如果某物质的半衰期为h,那么经过时间t后,该物质所剩的质量,其中是该物质的初始质量.”现测得某放射性元素的半衰期为1350年(每经过1350年,该元素的存量为原来的一半),某生物标本中该放射性元素的初始存量为m,经检测现在的存量为.据此推测该生物距今约为( )(参考数据:)
A.2452年B.2750年C.3150年D.3856年
7.函数的图像大致为( )
A. B.
C. D.
8.函数的所有零点的乘积为,则( )
A.B.
C.D.
二、多项选择题:(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分,有选错的得 0 分,部分选对的得 2 分)
9.将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象,则( )
A.
B.是图象的一个对称中心
C.当时,取得最大值
D.函数在区间上单调递增
10.在中,角所对的边为, 则下列说法正确的有( )
A.B.
C.若,则D.若,则
11.已知为坐标原点,点,,,,则( )
A. B. C. D.
12.已知非常数函数及其导函数的定义域均为,若为奇函数,为偶函数,则( )
A. B.
C.D.
第Ⅱ卷 非选择题(90分)
三、填空题:(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13.若是奇函数,则 .
14.关于的不等式的解集为,则关于的不等式的解集为
15.已知,满足,则的最大值为 .
16.已知平面向量满足,则以为直径长的圆的面积的最大值为 .
四、解答题:(本题共 6 小题,第17题,10分,第18-22题,每小题 12 分,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤.)
17.已知公差不为零的等差数列中,,且成等比数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,求数列的前项和.
18.已知向量,,实数为大于零的常数,函数,,且函数的最大值为.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)在中,分别为内角所对的边,若,,且,,求的值.
19.中,内角、、的对边分别为、、,.
(1)若,.求证:;
(2)若为边的中点,且的面积为,求长的最小值.
20.已知函数在处的切线与y轴垂直.(其中是自然对数的底数)
(1)求实数的值;
(2)设,,当时,求证:函数在的图象恒在函数的图象的上方.
21.从条件①;②中任选一个,补充在下面问题中,并加以解答.在中:内角的对边分别为,______.
(1)求角的大小;
(2)设为边的中点,求的最大值.
22.已知函数,,为函数的导函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若方程在上有实根,求的取值范围.
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