专题26.5反比例函数图象上点的坐标特征（重难点培优）-九年级数学下册尖子生培优必刷题人教版

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班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023秋•兴宾区期中）若反比例函数y=kx的图象经过点（﹣1，﹣3），则k的值为（ ）
A．3B．−13C．13D．﹣3
【答案】A
【分析】将点的坐标代入反比例函数解析式即可确定k的值．
【解答】解：把已知点（﹣1，﹣3），代入解析式可得，k＝（﹣1）×（﹣3）＝3．
故选：A．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
2．（2023秋•兴宾区期中）若点A（﹣1，y1），B（﹣3，y2），C（3，y3），在反比例函数y=3x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y3＜y2B．y1＜y2＜y3C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y3
【答案】B
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论．
【解答】解：∵点A（﹣1，y1），B（﹣3，y2），C（3，y3），在反比例函数y=3x的图象上，
∴y1=3−1=−3，y2=3−3=−1，y3=33=1，
又∵1＞﹣1＞﹣3，
∴y1＜y2＜y3．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值是解题的关键．
3．（2023秋•哈尔滨期中）若点A（﹣3，a），B（﹣1，b），C（2，c）都在反比例函数y=kx(k＜0)的图象上，则a，b，c的大小关系用“＜”连接的结果为（ ）
A．b＜a＜cB．c＜b＜aC．a＜b＜cD．c＜a＜b
【答案】D
【分析】根据反比例函数的性质求解即可．
【解答】解：∵k＜0，点A，B同象限，y随x的增大而增大，
∵﹣3＜﹣1，
∴0＜a＜b，
又∵C（2，c）都在反比例函数y=kx(k＜0)的图象上，
∴c＜0，
∴c＜a＜b．
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．
4．（2023秋•萧山区期中）从﹣1，2，3，6这四个数中任取不同的两数，分别记为m，n，那么点（m，n）在函数y=6x图象上的概率是（ ）
A．16B．14C．13D．12
【答案】A
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与点（m，n）在函数图象上的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，点（m，n）在函数y=6x图象上的有（2，3），（3，2），
∴点（m，n）在函数y=6x图象上的概率是：212=16．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
5．（2023秋•莒县期中）如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数y=kx(k＞0，x＞0）的图象上，其纵坐标为4，过点P作PQ∥y轴，交x轴于点Q，将线段QP绕点Q顺时针旋转60°得到线段QM．若点M也在该反比例函数的图象上，则k的值为（ ）
A．23B．43C．83D．16
【答案】C
【分析】作MN⊥x轴于N，根据题意P（k4，4），PQ＝4，由于将线段QP绕点Q顺时针旋转60°得到线段QM，得出QM＝QP＝4，∠PQM＝60°，即可得出∠MQN＝30°，即可得出MN=12QM＝2，QN＝23，得到M（k4+23，2），代入反比例函数解析式即可求得k的值．
【解答】解：如图，作MN⊥x轴于N，
∵P在反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象上，其纵坐标为4，
∴P（k4，4），
∴PQ＝4，
∵将线段QP绕点Q顺时针旋转60°得到线段QM．
∴QM＝QP＝4，∠PQM＝60°，
∴∠MQN＝90°﹣60°＝30°，
∴MN=12QM＝2，
∴QN＝23，
∴M（k4+23，2），
∵点M也在该反比例函数的图象上，
∴k＝2（k4+23），
解得k＝83．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化﹣旋转，表示出M点的坐标是解题的关键．
6．（2023秋•祁阳县期中）关于反比例函数y=3x，下列说法中正确的是（ ）
A．它的图象分布在第二、四象限
B．它的图象过点（﹣1，3）
C．当x＜0时，y的值随x的增大而减小
D．与y轴的交点是（0，3）
【答案】C
【分析】根据反比例函数的性质和反比例函数图象上点的坐标特征进行判断即可．
【解答】解：A、因为反比例函数y=3x的k＝3＞0，所以它的图象分布在第一、三象限，故本选项错误，不符合题意；
B、当x＝﹣1时，y＝﹣3，即反比例函数y=3x的图象不过点（﹣1，3），故本选项错误，不符合题意；
C、因为反比例函数y=3x的k＝3＞0，所以在每一象限内，y的值随x的增大而减小，故本选项正确，符合题意；
D、反比例函数y=3x的图象与坐标轴没有交点，故本选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数图象的性质：①、当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②、当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．注意反比例函数的图象应分在同一象限和不在同一象限两种情况分析．
7．（2023秋•金水区校级期中）已知当x＜0时，反比例函数y=kx(x≠0)的函数值随自变量的增大而减小，则关于x的一元二次方程x2﹣2x+1﹣k＝0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．没有实数根
C．有两个相等的实数根
D．与k的取值有关
【答案】A
【分析】先根据当x＜0时，反比例函数y=kx的函数值随自变量的增大而减小可知k＞0，再求出一元二次方程x2﹣2x+1﹣k＝0的判别式的值，判断出其符号即可．
【解答】解：∵当x＜0时，反比例函数y=kx的函数值随自变量的增大而减小，
∴k＞0，
∵x2﹣2x+1﹣k＝0的判别式为：Δ＝（﹣2）2﹣4（1﹣k）＝4k＞0，
∴方程x2﹣2x+1﹣k＝0有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题主要考查了反比例函数的性质，一元二次方程根的判别式，准确理解反比例函数的性质，灵活运用根的判别式是解题的关键．
8．（2023秋•龙马潭区校级月考）如图是三个反比例函数y1=k1x，y2=k2x，y3=k3x在y轴右侧的图象，则k1，k2，k3的大小关系为（ ）
A．k1＜k2＜k3B．k2＜k1＜k3C．k3＜k1＜k2D．k3＜k2＜k1
【答案】D
【分析】取x＝1分别代入三个函数中，可得y1，y2，y3的关系，即可求解．
【解答】解：当x＝1时，
y1＝k1，y2＝k2，y3＝k3，
从图中可得
y1＞y2＞y3，
∴k1＞k2＞k3，
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数图象和性质，解题的关键是利用图象解决问题．
9．（2023•瑞安市开学）对于反比例函数y=2x，当﹣1＜y≤2，且y≠0时，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥1或x＜﹣2B．x≥1或x≤﹣2
C．0＜x≤1或x＜﹣2D．﹣2＜x＜0或x≥1
【答案】A
【分析】根据反比例函数的性质，结合所给的y的取值范围即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为反比例函数表达为y=2x，
所以其函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小．
则当﹣1＜y＜0时，对应的图象在第三象限，
且x的取值范围是x＜﹣2．
当0＜y≤2时，对应的图象在第一象限，
其x的取值范围是x≥1．
所以x的取值范围是：x≥1或x＜﹣2．
故选：A．
【点评】本题考查反比例函数的性质，能结合函数图象是解决问题的关键．
10．（2023•青山区模拟）已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x＝m时，函数值分别是M1和M2，若存在实数m，使得M1+M2＝0，则称函数y1和y2具有性质P．以下函数y1和y2具有性质P的是（ ）
A．y1=x2+2x和y2＝﹣x﹣1
B．y1=x2+2x和y2＝﹣x+1
C．y1=−1x和y2＝﹣x﹣1
D．y1=−1x和y2＝﹣x+1
【答案】A
【分析】根据题干信息可知，直接令y1+y2＝0，若方程有解，则具有性质P，若无解，则不具有性质P．
【解答】解：A．令y1+y2＝0，则x2+2x﹣x﹣1＝0，解得x=−1+52或x=−1−52，即函数y1和y2具有性质P，符合题意；
B．令y1+y2＝0，则x2+2x﹣x+1＝0，整理得，x2+x+1＝0，方程无解，即函数y1和y2不具有性质P，不符合题意；
C．令y1+y2＝0，则−1x−x﹣1＝0，整理得，x2+x+1＝0，方程无解，即函数y1和y2不具有性质P，不符合题意；
D．令y1+y2＝0，则−1x−x+1＝0，整理得，x2﹣x+1＝0，方程无解，即函数y1和y2不具有性质P，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数的性质及一次函数的性质，属于新定义类问题，根据给出定义构造方程，利用方程思想解决问题是常见思路，本题也可利用函数图象快速解答．
填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
11．（2023秋•肥城市期中）反比例函数y=−2x，当y≥﹣2时，x的取值范围是 x≥1或x＜0 ．
【答案】x≥1或x＜0．
【分析】先根据反比例函数的性质判断出函数的增减性，再求出y＝﹣2时x的值，即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数y=−2x中，k＝﹣2＜0，
∴此函数图象的两个分支位于第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大，
∵当y＝﹣2时，x＝1，
∴当﹣2≤y＜0时，x≥1；
当y＞0时，x＜0．
综上所述，x的取值范围是x≥1或x＜0．
故答案为：x≥1或x＜0．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．
12．（2023秋•洪江市校级月考）若反比例函数y=1−3kx的图象不经过第一象限，则k的取值范围是 k＞13 ．
【答案】k＞13．
【分析】根据反比例函数的图象不经过第一象限可知：k＜0即可．
【解答】解：∵反比例函数y=1−3kx的图象不经过第一象限，
∴反比例函数y=1−3kx的图象经过第二、四象限，
∴1﹣3k＜0，
∴k＞13，
故答案为：k＞13．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟记性质是解决问题的关键．
13．（2023秋•福田区校级期中）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数y=3x和y=nx的图象的四个分支上，则n的值＝ ﹣3 ．
【答案】﹣3．
【分析】如图，点B在函数y=3x上，证明△AOC≌△OBD，根据k的几何意义即可求解．
【解答】解：连接正方形的对角线，由正方形的性质知对角线交于原点O，过点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，点B在函数y=3x上，如图：
∵四边形是正方形，
∴AO＝BO，∠AOB＝∠BDO＝∠ACO＝90°，
∴∠CAO＝90°﹣∠AOC＝∠BOD，
∴△AOC≌△BOD（AAS），
∴S△AOC＝S△OBD=32=12|n|，
∵点A在第二象限，
∴n＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查正方形的性质，反比例函数的k的几何意义，熟练掌握以上性质的解题关键．
14．（2023秋•泰山区期中）函数y=−2x的图象经过点A（x1，y2），B（x2，y2），若x1＜x2＜0，则y1、y2、0三者的大小关系是 y2＞y1＞0 ．
【答案】y2＞y1＞0．
【分析】由函数y=−2x的图象经过点 A（x1，y1）、B（x2，y2），若x1＜x2＜0，根据反比例函数图象增减性可求．
【解答】解：∵函数y=−2x，k＝﹣2＜0，
∴图象在二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，
又∵x1＜x2＜0，
∴y2＞y1＞0．
故答案为：y2＞y1＞0．
【点评】本题考查了反比例函数图象点的坐标特征，关键是运用反比例函数图象增减性解决问题．
15．（2023•无锡）已知曲线 C1、C2 分别是函数y=−2x（x＜0），y=kx（k＞0，x＞0）的图象，边长为6的正△ABC的顶点A在y轴正半轴上，顶点B、C在x轴上（B在C的左侧），现将△ABC绕原点O顺时针旋转，当点B在曲线C1上时，点A恰好在曲线C2上，则k的值为 6 ．
【答案】6．
【分析】作A′D⊥x轴于D，B′E⊥x轴于E，根据反比例函数系数k的几何意义求得S△OA′D=12k，S△OB′E=12×|﹣2|＝1，根据等边三角形的性质得出OB＝3，OA＝33，易证得△A′OD∽△OB′E，从而得出S△A′ODS△B′OE=(OA′OB′)2=3，即12k1=3，解得k＝6．
【解答】解：作A′D⊥x轴于D，B′E⊥x轴于E，
∵将△ABC绕原点O顺时针旋转，点B在曲线C1上时，点A恰好在曲线C2上，
∴S△OA′D=12k，S△OB′E=12×|﹣2|＝1，
∵边长为6的正△ABC的顶点A在y轴正半轴上，顶点B、C在x轴上（B在C的左侧），OA⊥BC，
∴OB＝3，OA＝33，
由旋转的性质可知OB′＝OB＝3，OA′＝OA＝33，
∴OA′OB=3，
∵∠A′OB′＝∠AOB＝90°，
∴∠B′OE+∠A′OD＝90°，
∵∠A′OD+∠OA′D＝90°，
∴∠B′OE＝∠OA′D，
∵∠OEB′＝∠A′DO＝90°，
∴△A′OD∽△OB′E，
∴S△A′ODS△B′OE=(OA′OB′)2=3，即12k1=3，
∴k＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，反比例函数系数k的几何意义，作出辅助线构建相似三角形是解题的关键．
16．（2023•虎林市校级模拟）如图，已知点 A1，A2，A3，A4，A5，…在x轴正半轴上，分别以 OA1，A1A2，A2A3，A3A4，…为边在第一象限作等边ΔOA1B1，等边△A1A2B2，等边△A2A3B3，…，且点 B1，B2，B3，B4，…在反比例函数y=3x(x＞0)上，且 OB1＝2，则点 A2023的坐标为 （22023，0） ．
【答案】（22023，0）．
【分析】根据等边三角形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征分别求出A2、A3、A4的坐标，得出规律，进而求出点A2023的坐标．
【解答】解：如图，作B2C⊥x轴于点C，设A1C＝a，则B2C=3a，
OC＝OA1+A1C＝2+a，B2（2+a，3a）．
∵点B2在反比例函数y=3x(x＞0)上，
∴（2+a）•3a=3，
解得a=2−1，或a=−2−1（舍去），
∴OA2＝OA1+2A1C＝2+22−2＝22，
∴点A2的坐标为（22，0）；
作B3D⊥x轴于点D，设A2D＝b，则B3D=3b，
OD＝OA2+A2D＝22+b，B3（22+b，3b）．
∵点B3在反比例函数y=3x(x＞0)上，
∴（22+b）•3b=3，
解得b=3−2，或b=−3−2（舍去），
∴OA3＝OA2+2A2D＝22+23−22=23，
∴点A3的坐标为（23，0）；
同理可得点A4的坐标为（24，0）即（4，0）；
以此类推…，
∴点An的坐标为（2n，0），
∴点A2023的坐标为（22023，0）．
故答案为（22023，0）．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，正确求出A2、A3、A4的坐标进而得出点An的规律是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共52分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2022秋•江城区期末）已知反比例函数y=2k+1x．
（1）如果这个函数的图象经过点（2，﹣1），求k的值；
（2）如果在这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x的值增大而减小，求k的取值范围．
【答案】（1）k=−32．
（2）k＞−12．
【分析】（1）把点（2，﹣1）代入反比例函数解析式可得k的值；
（2）根据反比例函数的性质得出关于k的不等式，解得即可．
【解答】解：（1）把点（2，﹣1）代入y=2k+1x，得﹣1=2k+12，
解得：k=−32．
（2）∵在这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x的值增大而减小，
∴2k+1＞0，
解得：k＞−12．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
18．（2021•白云区二模）已知在函数y=kx（x＞0）中，y随x的增大而增大，A＝（1+k）（1+|k|）+2．
（1）化简A；
（2）点M在函数图象上，且纵坐标与横坐标的积为﹣2，求A的值．
【答案】（1）A＝3﹣k2；
（2）A＝﹣1．
【分析】（1）根据题意k＜0，则|k|＝﹣k，进而化简即可；
（2）根据题意k＝﹣2，代入（1）中化简的A，求得值即可．
【解答】解：（1）∵在函数y=kx（x＞0）中，y随x的增大而增大，
∴k＜0，
∴|k|＝﹣k，
∴A＝（1+k）（1﹣k）+2
＝1﹣k2+2
＝3﹣k2；
（2）∵点M在函数图象上，且纵坐标与横坐标的积为﹣2，
∴k＝﹣2，
∴A＝3﹣（﹣2）2＝﹣1．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
19．（2021春•丽水期末）已知点A（3，m）在反比例函数y=3x的图象上．
（1）求m的值；
（2）当3＜x＜6时，求y的取值范围．
【答案】（1）m＝1；
（2）12＜y＜1．
【分析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征得3m＝3，解得m＝1；
（2）先分别求出x＝3和6时y的值，再根据反比例函数的性质求解．
【解答】解：（1）把A（3，m）代入y=3x得3m＝3，
解得m＝1．
（2）∵k＝3＞0，
∴图象在第一象限y随x的增大而减小，
∵x＝3时，y＝1；x＝6时y=12，
∴当3＜x＜6时，12＜y＜1．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，图象上点的坐标适合解析式是关键．
20．（2020秋•萧山区月考）设函数y1=kx，y2=−kx（k＞0）．
（1）当2≤x≤3时，函数y1的最大值是a，函数y2的最小值是a﹣4，求a和k的值．
（2）点A （1，3）在函数y1=kx（k＞0）的图象上．当x≥﹣3时，求y1的取值范围．
（3）设m≠0，且m≠﹣1，当x＝m时，y2＝p；当x＝m+1时，y2＝q．圆圆说：“p一定小于q”．你认为圆圆的说法正确吗？为什么？
【答案】（1）a＝2，k＝4；
（2）y1＞0 或 y1≤﹣1；
（3）圆圆的说法不正确．
【分析】（1）由反比例函数的性质可得k2=a，①；−k2=a﹣4，②；可求a的值和k的值；
（2）根据待定系数法求得解析式，进而求得x＝﹣3时的函数值，根据反比例函数的性质即可求得；
（3）设m＝m0，且﹣1＜m0＜0，将x＝m0，x＝m0+1，代入解析式，可求p和q，即可判断．
【解答】解：（1）∵k＞0，2≤x≤3，
∴y1随x的增大而减小，y2随x的增大而增大，
∴当x＝2时，y1最大值为k2=a，①；
当x＝2时，y2最小值为−k2=a﹣4，②；
由①，②得：a＝2，k＝4；
（2）∵点A （1，3）在函数y1=kx（k＞0）的图象上．
∴k＝1×3＝3，
∴y1=3x，
当x＝﹣3时，y1=3−3=−1，
∴根据反比例函数的性质，当x≥﹣3时，y1＞0 或 y1≤﹣1；
（3）圆圆的说法不正确，
理由如下：设m＝m0，且﹣1＜m0＜0，
则m0＜0，m0+1＞0，
∴当x＝m0时，p＝y2=−km0＞0，
当x＝m0+1时，q＝y1=−km0+1＜0，
∴p＞0＞q．
∴圆圆的说法不正确．
（直接举反例也可，如m=−12）．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的性质是本题的关键．
21．（2023•巴东县模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，双曲线y=k1x(k1≠0)经过Rt△AOC的顶点A（4，1）与斜边中点B．
（1）求k1；
（2）若双曲线y=k2x(k2≠0)经过点C，求k2．
【答案】−129+338或−129−338．
【分析】（1）将点A（4，1）代入y=k1x，即可得出k1的值；
（2）过点A，B，C分别作x轴的垂线，垂足分别为E，P，F，先由点A（4，1）得OE＝4，AE＝1，证△OCF和△AOE相似得OF：CF＝AE：OE＝1：4，据此可设OF＝m，CF＝4m，则点C的坐标为（﹣m，4m），再由中点坐标公式得点B(4−m2，1+4m2)，然后将点B代入y=4x列出关于m的方程，解方程求出m的值，继而得点C的坐标，进而可求出k2的值．
【解答】解：（1）∵双曲线y=k1x经过点A（4，1），
∴k1＝4×1＝4．
（2）过点A，C分别作x轴的垂线，垂足分别为E，F，
∵点A（4，1），
∴OE＝4，AE＝1，
∴∠CFO＝∠OEA＝90°，
∴∠OCF+∠COF＝90°，
又∵∠AOC＝90°，
∴∠AOE+∠COF＝90°，
∴∠OCF＝∠AOE，
∴△OCF∽△AOE，
∴OF：CF＝AE：OE＝1：4，
可设OF＝m，CF＝4m，
∴点C的坐标为（﹣m，4m），
∵点B为AC的中点，点A（4，1），
由中点坐标公式得点B的坐标为(4−m2，1+4m2)，
∵双曲线y=4x经过点B，
∴4−m2⋅1+4m2=4，
解得：m1=15+338，m2=15−338，
∴点C(−15+338，15+332)或(−15−338，15−332)，
∵双曲线y=k2x经过点C，
∴k2=−15+338⋅15+332=−129+338或k2=−15−338⋅15−332=−129−338．
【点评】此题主要考查了反比例函数的图象，待定系数法求反比例函数的解析式，解答此题的关键理解函数图象上的点满足函数的解析式，满足函数解析式的点都在函数的图象上，难点是过点A，C分别作x轴的垂线，构造相似三角形、并设置适当的辅助未知数，表示出点B，C的坐标．
22．（2021秋•济宁期末）阅读下面的材料：
如果函数y＝f（x）满足：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2，
（1）若x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是增函数；
（2）若x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是减函数．
例题：证明函数f（x）=6x（x＞0）是减函数．
证明：设0＜x1＜x2，
f（x1）﹣f（x2）=6x1−6x2=6x2−6x1x1x2=6(x2−x1)x1x2．
∵0＜x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0，
∴6(x2−x1)x1x2＞0，即f（x1）﹣f（x2）＞0，
∴f（x1）＞f（x2），
∴函数f（x）=6x（x＞0）是减函数．
根据以上材料解答下面的问题：
已知函数f（x）=1x2+x（x＜0），f（﹣1）=1(−1)2+（﹣1）＝0，f（﹣2）=1(−2)2+（﹣2）=−74．
（1）计算：f（﹣3）＝ −269 ，f（﹣4）＝ −6316 ；
（2）猜想：函数f（x）=1x2+x（x＜0）是 增 函数（填“增”或“减”）；
（3）请仿照例题证明你的猜想．
【答案】（1）−269，−6316；
（2）增；
（3）见解答．
【分析】（1）把x＝﹣3，x＝﹣4分别代入函数解析式即可求得；
（2）猜想：函数f（x）=1x2+x（x＜0）是增函数，
（3）按照例题的解题方法证明猜想．
【解答】解：（1）计算：f（﹣3）=1(−3)2−3=−269，f（﹣4）=1(−4)2−4=−6316；
故答案为：−269，−6316；
（2）猜想：函数f（x）=1x2+x（x＜0）是增函数，
故答案为：增；
（3）证明：设x1＜x2＜0，则1x2＜1x1＜0，
1x12+x1−1x22−x2
=1x12−1x22+（x1﹣x2）
=(x2+x1)(x2−x1)(x1x2)2+（x1﹣x2）＜0，
即f（x1）﹣f（x2）＜0，
∴f（x1）＜f（x2），
∴函数f（x）=1x2+x（x＜0）是增函数．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的性质解答．
23．（2020•巩义市一模）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的解析式﹣﹣利用函数图象研究其性质﹣﹣运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们可以通过描点或平移或翻折等方法画出函数图象．下面我们对函数y=|1x−1|展开探索，请补充以下探索过程：
（1）列表：
直接写出函数自变量x的取值范围 x≠0 ，及a＝ 95 ，b＝ 37 ；
（2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质 0＜x＜1时，y随x值的增大而减小 ；
（3）若方程|1x−1|=m有且只有一个解，直接写出m的值： 0或1 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据分母不能为0即可写出自变量的取值范围；利用函数解析式分别求出对应的函数值即可；利用描点法画出图象即可；
（2）利用描点法画出图象，观察图象可知：①0＜x＜1时，y随x值的增大而减小；
（3）利用图象即可解决问题．
【解答】解：（1）函数y=|1x−1|自变量x的取值范围是x≠0，
把x=−54和74分别代入函数关系式求得a=95，b=37，
故答案为x≠0，95，37．
（2）函数y=|1x−1|的图象如图所示，
由图可知，0＜x＜1时，y随x值的增大而减小；
故答案为0＜x＜1时，y随x值的增大而减小；
（3）由图象可知，m＝0或1时，方程|1x−1|=m有且只有一个解，
故答案为0或1．
【点评】本题考查函数图象的变换；能够从表格中获取信息，利用描点法画出函数图象，并结合函数图象解题是关键．
x
…
﹣2
−74
﹣
32
﹣
54
﹣1
−34
−12
−14
…
14
12
34
1
54
32
74
2
…
y
…
32
117
53
a
2
73
3
5
…
3
1
13
0
15
13
b
12
…