备战2024年高考数学二轮专题考前演练之命题及其关系、充分条件与必要条件 (解析)

这是一份备战2024年高考数学二轮专题考前演练之命题及其关系、充分条件与必要条件 (解析)，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．“a=−1”是“直线l1：ax+4y−3=0与直线l2：x+(a−3)y+2=0平行的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】【解答】若直线l1：ax+4y−3=0与直线l2：x+(a−3)y+2=0平行，
则aa−3−4=0，解得a=−1或a=4，
当a=−1，直线l1：x−4y+3=0与直线l2：x−4y+2=0平行，符合题意；
当a=4，直线l1：4x+4y−3=0与直线l2：x+y+2=0平行，符合题意；
所以直线l1：ax+4y−3=0与直线l2：x+(a−3)y+2=0平行，等价于a=−1或a=4，
可知：a=−1可推出a=−1或a=4，a=−1或a=4不可推出a=−1，
所以a=−1是“直线l1：ax+4y−3=0与直线l2：x+(a−3)y+2=0平行的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】根据平行关系求出a=−1或a=4，再根据充分、必要条件分析判断.
2． “ (lga2)x2+(lgb2)y2=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆” 的一个充分非必要条件是 （ ）
A．0【答案】C
【解析】【解答】解：若 (lga2)x2+(lgb2)y2=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆 ，则需lga2>0lgb2>0lga2>lgb2⇒a>1b>1a所以“ (lga2)x2+(lgb2)y2=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆 ”的一个充分不必要条件是 2故选：C.
【分析】由已知条件求得a，b之间的关系和范围，再根据充分不必要条件的判定，可得选项.
3．已知a，b∈R，则a−b>0是a|a|−b|b|>0的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】【解答】若a−b>0，则a>b，
当a>b≥0时，则a+b>0所以a|a|−b|b|=a2−b2=a+ba−b>0；
当a≥0>b时，则a2≥0，b2>0所以a|a|−b|b|=a2+b2>0；
当0>a>b时，则a+b<0所以a|a|−b|b|=−a2+b2=−a+ba−b>0；
综上所述：a−b>0是a|a|−b|b|>0的充分条件；
若a|a|−b|b|>0，
当a≥0，b≥0时，则a|a|−b|b|=a2−b2>0，即a2>b2，所以a>b，即a−b>0；
当a≥0，b<0时，则a|a|−b|b|=a2+b2>0符合题意，显然a−b>0；
当a<0，b<0时，则a|a|−b|b|=−a2+b2>0，即a2a>b，即a−b>0；
当a<0，b≥0时，则a|a|−b|b|=−a2−b2>0不成立，不合题意；
综上所述：a−b>0是a|a|−b|b|>0的必要条件；
所以a−b>0是a|a|−b|b|>0的充分必要条件.
故答案为：C.
【分析】根据不等式的性质结合充分必要条件分析判断.
4．“α>π2”是“α−sinα>π2−1”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】【解答】构造函数fx=x−sinx，则f，x=1−csx≥0，所以fx在R上单调递增，原不等式α−sinα>π2−1⇔fa>fπ2⇔α>π2，即 “α>π2”是“α−sinα>π2−1”的充要条件.
故答案为：C
【分析】构造函数fx=x−sinx，利用导数讨论fx在定义域R上单调性，再利用单调性解不等式α−sinα>π2−1即可.
5．已知p：1A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】【解答】若方程x2m−1+y23−m=1表示椭圆，
则m−1>03−m>0m−1≠3−m，
解得1故q：1所以p是q的必要不充分条件，
故答案为：C.
【分析】先根据椭圆的定义求出m的范围，再结合充分条件、必要条件的定义进行判断，可得答案.
6．已知p：0≤a≤2，q：任意x∈R，ax2−ax+1≥0，则p是q成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】【解答】命题q：一元二次不等式ax2−ax+1≥0对一切实数x都成立
当a=0时，1>0，符合题意；
当a≠0时，有a>0Δ≤0，即a>0a2−4a≤0，解为a∈(0，4]，
∴q：0≤a≤4．又p：0≤a≤2，
设A=[0，2]，B=[0，4]，则A是B的真子集，
所以p是q成立的充分非必要条件，
故答案为：A．
【分析】 根据一元二次不等式恒成立解得q：0≤a≤4，结合充分、必要条件的概念即可求解出答案.
7．已知p：x≠3且y≠2，q：x+y≠5，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】【解答】取x=4，y=1，则x+y=5
故x≠3且y≠2不能推出x+y≠5，
取x=3，y=4，可得x+y≠5，但x=3，
所以由x+y≠5不能推出x≠3且y≠2，
所以p是q的既不充分也不必要条件．
故答案为：D．
【分析】根据充分条件必要条件的定义判断即得.
8．记数列{an}的前n项和为Sn，则“S3=3a2”是“{an}为等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】【解答】等差数列{an}的前n项和为Sn，则S3=a1+a2+a3=3a2，
数列{an}的前n项和为Sn，取a1=1，a2=2，a3=3，a4=5，显然有S3=3a2，
而a4−a3=2≠a3−a2，即数列{an}不是等差数列，
所以“S3=3a2”是“{an}为等差数列”的必要不充分条件.
故答案为：B
【分析】利用等差数列前n项和及性质，结合充分条件、必要条件的定义可得答案.
9．已知直线l1：ax+y+1=0与直线l2：x+ay−2=0，则“l1//l2”是“a=1”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
【答案】B
【解析】【解答】由题意，直线l1：ax+y+1=0，直线l2：x+ay−2=0，
因为l1//l2，可得a×a=1×1，a≠−2，即a2=1，解得a=±1，
所以“l1//l2”是“a=1”的必要非充分条件.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合充分条件和必要条件的判断方法，进而判断出“l1//l2”是“a=1”的必要不充分条件。
10．设a，b为实数，则“a>b>0”的一个充分非必要条件是（ ）
A．a−1>b−1B．a2>b2C．1b>1aD．a−b>b−a
【答案】A
【解析】【解答】由a−1>b−1，则a−1>b−1b−1≥0，可得a>b≥1，可推出a>b>0，反向推不出，满足；
由a2>b2，则|a|>|b|，推不出a>b>0，反向可推出，不满足；
由1b>1a，则a>b>0或b>0>a或0>a>b，推不出a>b>0，反向可推出，不满足；
由a−b>b−a，则a>b，推不出a>b>0，反向可推出，不满足；
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合充分条件和必要条件的判断方法，进而找出 “a>b>0”的一个充分不必要条件 。
11．设a∈R，则“a<1”是“a2A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】【解答】求解二次不等式a2∵ 由0∴a<1是a2故答案为：B.
【分析】解一元二次不等式，结合充分条件、必要条件的定义可得答案.
12．设a=(3，m)，b=(4，2)，则“m=−1”是“a⊥(a−b)”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】【解答】m=−1时，a−b=(−1，−3)，a⋅(a−b)=3×(−1)+(−1)×(−3)=0，成立，“m=−1”是“a⊥(a−b)”的充分条件，
a⊥(a−b)时，a−b=(−1，m−2)，a⋅(a−b)=3×(−1)+m⋅(m−2)=0，解得m=−1或m=3，所以“m=−1”不是“a⊥(a−b)”的必要条件，
所以“m=−1”是“a⊥(a−b)”的充分不必要条件，
故答案为：A.
【分析】利用向量垂直的性质求出m的值，再根据充分条件、必要条件的定义可得答案.
二、填空题
13．若“x=1”是“x>a”的充分条件，则实数a的取值范围为 ．
【答案】(−∞，1)
【解析】【解答】∵“x=1”是“x>a”的充分条件，∴x=1⇒x>a，∴a<1，
即实数a的取值范围为(−∞，1).
故答案为：(−∞，1).
【分析】利用已知条件结合充分条件的判断方法，进而得出实数a 的取值范围。
14．已知a∈R，，且“x>a”是“x2>2x”的充分不必要条件，则a的取值范围是 .
【答案】[2，+∞)
【解析】【解答】x2>2x等价于x<0或x>2，
而且“x>a”是“x2>2x”的充分不必要条件，则a≥2．
故答案为：[2，+∞)．
【分析】 先解一元二次不等式求出x的范围，再利用充分不必要条件的定义求解出 a的取值范围 .
15．已知曲线C： f(x)=x3−x ，直线 l ： y=ax−a ，则“ a=−14 ”是“直线 l 与曲线C相切”的 条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分又不必要”之一）.
【答案】充分不必要
【解析】【解答】 f′(x)=3x2−1 ，直线l： y=ax−a 过点 (1,0) ，曲线C也过点 (1,0) ，
若直线l与曲线C相切，设切点的横坐标为 x0 ，
则切线为 y=(3x02−1)x−2x03 ，
则 3x02−1=a2x03=a ，
解得 x0=1a=2 或 x0=−12a=−14 ，
所以“ a=−14 ”是“直线l与曲线C相切”的充分不必要条件，
故答案为：充分不必要
【分析】由已知可得，曲线C与直线 l 均过点 (1,0) ，若直线l与曲线C相切，设切点的横坐标为 x0 ，写出过切点的切线方程，利用待定系数法明确a的取值，再结合充分必要性作出判断
16．“直线l1： ax+y+1=0 与直线l2： 4x+ay+3=0 平行”是“a＝2”的 条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）．
【答案】必要不充分
【解析】【解答】“直线l1： ax+y+1=0 与直线l2： 4x+ay+3=0 平行”等价于a＝±2，
故“直线l1： ax+y+1=0 与直线l2： 4x+ay+3=0 平行”是“a＝2”的必要不充分条件．
故答案为：必要不充分.
【分析】先求解直线l1与直线l2平行的等价条件，然后进行判断.
三、解答题
17．已知命题p：函数f(x)=x2−2kx+36的图像上的点均位于x轴的上方；命题q：函数g(x)=x3−3kx在(2，+∞)上单调递增．
（1）若p∧q为真，求实数k的取值范围；
（2）若p∨q是“k【答案】（1）解：若命题p为真，则Δ=4k2−4×36<0，
解得−6对于命题q，由g(x)=x3−3kx，得g′(x)=3x2−3k，
由g(x)在(2，+∞)上单调递增，得g′(x)=3x2−3k≥0在(2，+∞)上恒成立，
即k≤x2在(2，+∞)上恒成立，故k≤4，记集合B=(−∞，4]．
若p∧q为真，则k的取值范围为A∩B=(−6，4]
（2）解：若p∨q为真，则k∈A∪B，即k∈(−∞，6)．
由p∨q是“k故m2>6，解得m<−6或m>6．
即实数m的取值范围是(−∞，−6)∪(6，+∞)．
【解析】【分析】（1）由命题p为真，根据二次函数的性质求出k的范围， 对于命题q 对 g(x)求导可得在(2，+∞)上单调性，再根据p∧q为真，可求出实数k的取值范围；
（2）由p∨q是“k18．已知集合A={x|(x−a)(x+a+1)≤0}，B={x|x≤3或x≥6}.
（1）当a=4时，求A∩B；
（2）当a>0时，若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数a的取值范围.
【答案】（1）解：当a=4时，由不等式(x−4)(x+5)≤0，得−5≤x≤4，
故A={x|−5≤x≤4}，又B={x|x≤3或x≥6}
所以A∩B={x|−5≤x≤3}.
（2）解：若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，等价于A⊆B，
因为a>0，由不等式(x−a)(x+a+1)≤0，得A={x|−a−1≤x≤a} ，
又B={x|x≤3或x≥6}
要使A⊆B，则a≤3或−a−1≥6，又因为a>0
综上可得实数a的取值范围为(0， 3].
【解析】【分析】 (1)先解一元二次不等式求出A，再利用交集运算求解即可；
(2) 若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，等价于A⊆B，得到不等式 (x−a)(x+a+1)≤0 ，求解可得实数a的取值范围.
19．已知p：x2-(3+a)x+3a＜0，其中a＜3；q：x2+4x-5＞0．
（1）若p是¬q的必要不充分条件，求实数a的取值范围；
（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】（1）解：因为x2-(3+a)x+3a＜0，a＜3，
所以a＜x＜3，记A＝(a，3)，
又因为x2+4x-5＞0，所以x＜-5或x＞1，记 B＝(−∞，−5)(1，+∞) ，
又p是¬q的必要不充分条件，所以有¬q⇒p，且p推不出¬q，
所以 ∁RB ⫋A，即[-5，1]⫋(a，3)，所以实数a的取值范围是 a∈(−∞，−5)
（2）解：因为p是q的充分不必要条件，则有p⇒q，且q推不出p，
所以A⫋B，所以有 (a，3)⋅(−∞，−5)(1，+∞) ，即a≥1，
所以实数a的取值范围是 a∈[1，3)
【解析】【分析】（1）根据题意首先解出关于x的一元二次不等式解出x的取值范围进而得出命题P：a同理解出命题q： x＜-5或x＞1 ，再由已知条件 p是¬q的必要不充分条件借助数轴即可求出a的取值范围。
（2）利用已知条件p是q的充分不必要条件即可推导出 p⇒q，且q推不出p 从而得出两个不等式之间的关系从而求出a的取值范围即可。
20．设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，q：实数x满足|x﹣3|＜1．
（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若其中a＞0且￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】（1）解：由x2﹣4ax+3a2＜0得（x﹣3a）（x﹣a）＜0
当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．
由|x﹣3|＜1，得﹣1＜x﹣3＜1，得2＜x＜4
即q为真时实数x的取值范围是2＜x＜4，
若p∧q为真，则p真且q真，
∴实数x的取值范围是2＜x＜3
（2）解：由x2﹣4ax+3a2＜0得（x﹣3a）（x﹣a）＜0，
若￢p是￢q的充分不必要条件，
则￢p⇒￢q，且￢q⇏￢p，
设A={x|￢p}，B={x|￢q}，则A⊊B，
又A={x|￢p}={x|x≤a或x≥3a}，
B={x|￢q}={x|x≥4或x≤2}，
则0＜a≤2，且3a≥4
∴实数a的取值范围是 43≤a≤2
【解析】【分析】（1）若a=1，根据p∧q为真，则p，q同时为真，即可求实数x的取值范围；（2）根据￢p是￢q的充分不必要条件，建立条件关系即可求实数a的取值范围．