江西省部分重点中学2023-2024学年高二上学期期末联考数学试卷（B）（Word版附答案）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
【解析】
1．A 因为，，所以．
2．D ，则．
3．A 因为，所以．
4．B 因为是偶函数，所以，得．
5．C 如图，延长EF交DA，DC分别于I，J两点，连接D1I，D1J，交AA1，CC1分别于H，G两点．则五边形D1HEFG即为Ω，易知,，，所以有，，故Ω的周长为．
6．C 由题意有，设，则，直线OM的斜率为，易得直线NP的方程为．令，得，即，由抛物线的定义易得，所以．
7．B ，其中，则有，即，亦即，所以．
8．A 可令，故．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
【解析】
9．A、C选项显然符合题意；B选项：不满足在上单调递增；D选项：注意到，，所以有，故D选项符合题意．
10．A选项：因为均值为2，所以，故A选项符合题意；B选项：因为，所以第80%分位数为第6个数，即9，故B选项符合题意；C选项：相关系数r的绝对值接近于0，两个随机变量没有线性相关性，故C选项不符合题意；D选项：的系数为，故D选项符合题意．
11．由题意有，解得，故B选项符合题意；因为，所以（k∈Z），解得，又，得，又k∈Z，n∈N+，所以，则，故A选项不符合题意；，易得C选项不符合题意，D选项符合题意．
12．如图，E，F分别为棱BB1，CC1的中点．A选项：不难证明平面D1EF∥A1DP，则Q的轨迹为线段EF，故A选项符合题意；B选项，故B选项不符合题意；C选项：不难证明A1C⊥平面AD1B1，故平面AB1D1与B1Q的夹角的正弦值等于A1C与B1Q的夹角的余弦值，当Q在BB1（或CC1）上时，A1C与B1Q的夹角的余弦值为，当Q位于B1C上时，A1C与B1Q的夹角的余弦值为，根据对称性，平面AB1D1与B1Q的夹角的正弦值的取值范围为，故C选项符合题意；D选项：因为D1C1⊥平面BB1C1C，所以D1C1⊥C1Q，则，解得，即Q得轨迹是以C1为圆心，半径为，圆心角为的圆弧，所以Q的轨迹长度为，故D选项符合题意．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．11214．
15．16．2
【解析】
13．．
14．设棱长为a，原正方体体积为a3，二十四等边体体积为，所以二十四等边体与原正方体的体积之比为．
15．由，得，，由，得，即．
16．显然，，设，，则，得，所以．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．证明：（1）因为，2分
，4分
所以；5分
（2）因为，7分
，9分
所以．10分
【1】“5分”和“10分”步没写不给分
18．解：（1）由正弦定理有，1分
又，
所以；2分
因为，3分
所以，4分
因为，
所以，即；6分
（2）由，得 ①，7分
因为，
所以，即，8分
解得 ②，
联立①②，有，即，9分
所以，10分
解得（当且仅当时取等，此时），11分
故的最大值为．12分
【1】“12分”步没写不扣分
【2】本题还可以用三角函数解，答案正确即可给12分
19．（1）证明：连接A1E，由E是AC的中点，，知A1E⊥AC，
因为平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，，
所以A1E⊥平面ABC，因为，故A1E⊥BC，3分
因为A1F∥AB，AB⊥BC，
所以A1F⊥BC，因为A1E∩A1F＝A1，
所以BC⊥平面A1EF，因为，
所以EF⊥BC；5分
（2）解：以E为原点，在平面ABC中，过点E作AC的垂线为x轴，EC，EA1所在直线分别为y轴，z轴，建立空间直角坐标系E-xyz，6分
易得，，，，
故，，
易得平面ACC1A1的一个法向量为，8分
设平面A1CB的法向量为，
则，令，得，，10分
则，
所以，11分
即二面角C1-A1C-B的正弦值为．12分
【1】“12分”步没写不给分
20．解：（1）记“输入的问题没有语法错误”为事件，“一次应答被采纳”为事件，
由题意得，，，则，
则；
4分
（2）由题意有，则，6分
当最大时，有，8分
即，解得，10分
因为k∈N，所以，11分
故当最大时，．12分
【1】“12分”步没写不扣分
21．解：（1）证明：因为，是的中点，所以，
在中，，，所以，
在中，，，所以，得，
又平面，平面，所以，
又，，所以平面，
由平面得，
又，所以平面，
由平面得，平面AEF⊥平面PBC．6分
（2）存在点满足条件，
以为原点，建立空间直角坐标系如图，
设，则，，，
，，
设平面的法向量为，
则令得，
所以平面的一个法向量为，
易知平面的一个法向量为，
由已知得，即，解得，即，
所以存在点使平面与平面的夹角为，此时．12分
22．解：（1）由题意有，又，解得，，
故C的方程为：；3分
（2）易知，故，
即，亦即（＊），4分
设，，，，
由题意有，则直线AG、AH的方程分别为，，
因为M∈l，故，代入AG方程，得，所以，5分
又，代入（＊）式有，得，
当GH斜率不存在时，显然不符合题意，
故设GH：，代入，
得，所以，，7分
则
，9分
所以（），10分
解得，11分
所以P的坐标为．12分
【1】其他解法正确，亦给分
【2】“12分”步没写，不扣分
【3】未讨论GH斜率不存在时的情况，不扣分题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
D
A
B
C
C
B
A
题号
9
10
11
12
答案
ACD
ABD
BD
ACD