资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩5页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
- 专题09 立体几何初步（难点）-2023-2024学年高一数学下学期期中期末重难点冲刺（苏教版2019必修第二册） 试卷 0 次下载
- 专题10 统计-2023-2024学年高一数学下学期期中期末重难点冲刺（苏教版2019必修第二册） 试卷 0 次下载
- 特训01 期中压轴题（江苏精选归纳）-2023-2024学年高一数学下学期期中期末重难点冲刺（苏教版2019必修第二册） 试卷 1 次下载
- 特训02 期中压轴题-2023-2024学年高一数学下学期期中期末重难点冲刺（苏教版2019必修第二册） 试卷 0 次下载
- 特训03 期中选填压轴题（江苏精选归纳）-2023-2024学年高一数学下学期期中期末重难点冲刺（苏教版2019必修第二册） 试卷 0 次下载
专题11 概率-2023-2024学年高一数学下学期期中期末重难点冲刺（苏教版2019必修第二册）
展开
这是一份专题11 概率-2023-2024学年高一数学下学期期中期末重难点冲刺（苏教版2019必修第二册），文件包含专题11概率原卷版docx、专题11概率解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共33页， 欢迎下载使用。
1．下列事件中，随机事件的个数是（ ）
①未来某年8月18日，北京市不下雨；
②在标准大气压下，水在4℃时结冰；
③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰好取到1号签；
④任取，则.
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据各项的描述，判断随机事件、必然事件、不可能事件，进而确定随机事件的个数.
【解析】①未来某年8月18日，北京市不下雨，属于随机事件；
②在标准大气压下，水在4℃时结冰，属于不可能事件；
③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签，属于随机事件；
④任取，则，属于必然事件；
所以属于随机事件的有①③，即随机事件的个数是.
故选：B
2．一个家庭有两个小孩，则样本空间为（ ）
A．{(男，女)，(男，男)，(女，女)}
B．{(男，女)，(女，男)}
C．{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}
D．{(男，男)，(女，女)}
【答案】C
【分析】列举出所有可能结果，由此可得样本空间.
【解析】两个小孩的所有结果是：男男，男女，女男，女女，
则所有样本空间为{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}．
故选：C.
3．从含有三件正品和一件次品的产品中任取两件，则取出的两件中恰有一件次品的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据古典概型概率计算公式直接计算.
【解析】有三件正品（用，，表示）和一件次品（用表示）的产品中任取两件的样本空间，恰有一件次品，
由古典概型得，
故选：D.
4．甲、乙、丙三人玩传球游戏，每个人都等可能地把球传给另一人，由甲开始传球，作为第一次传球，经过3次传球后，球回到甲手中的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据古典概型运算公式进行求解即可.
【解析】设甲、乙、丙三人用，
由题意可知：传球的方式有以下形式，
，
所求概率为.
故选：C
5．已知事件A，B，C两两互斥，若，，，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据事件A，，两两互斥，求出，进而利用求出答案.
【解析】因为事件A，，两两互斥，所以，
所以.
故选：B．
6．设某种产品分两道独立工序生产，第一道工序的次品率为，第二道工序的次品率为，生产这种产品只要有一道工序出次品就将生产次品，则该产品的次品率是（ ）
A．0.873B．0.13C．0.127D．0.03
【答案】C
【分析】求出正品率，再用1减去正品率，即得次品率.
【解析】由题意，次品率为.
故选：C
7．现有甲､乙､丙三个工厂加工的同种产品各100件，按标准分为一､二两个等级､其中甲､乙､丙三个工厂的一等品各有60件､70件､80件.从这300件产品中任选一件产品，则下列说法错误的是（ ）
A．选中的产品是甲厂的一等品与选中的产品是乙厂的二等品互斥
B．选中的产品是一等品的概率为
C．选中的产品是丙厂生产的二等品的概率为
D．选中的产品是丙厂生产的产品与选中的产品是二等品相互独立
【答案】D
【分析】运用互斥事件、独立事件的定义可判断A项、D项，运用古典概型求概率可判断B项、C项.
【解析】对于A项， “选中的产品是甲厂的一等品”记为事件A，“选中的产品是乙厂的二等品”记为事件B，
则，
所以选中的产品是甲厂的一等品与选中的产品是乙厂的二等品互斥，故A项正确；
对于B项，选中的产品是一等品的概率为，故B项正确；
对于C项，选中的产品是丙厂生产的二等品的概率为，故C项正确；
对于D项，“选中的产品是丙厂生产的产品”记为事件C，“选中的产品是二等品”记为事件D，
则，
由B项知，，
由C项知，，
所以，
所以选中的产品是丙厂生产的产品与选中的产品是二等品不互相独立，故D项不成立.
故选：D.
8．某滑冰馆统计了某小区居民在该滑冰馆一个月的锻炼天数，得到如图所示的频率分布直方图（将频率视为概率），则下列说法正确的是（ ）
A．该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数在区间内的最少
B．估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数超过15天的概率为0.465
C．估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的中位数为16
D．估计小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的平均值为15
【答案】B
【分析】根据直方图写出对应该滑冰馆的锻炼天数区间的频率，再结合各选项的描述及中位数、平均数的求法判断正误．
【解析】由图知：、、、、、的频率分别为、、、、、，
对于A：内的天数最少，故A错误；
对于B：估计锻炼天数超过15天的概率为，故B正确；
对于C：由、、频率和为，设中位数为x，
则，可得，故C错误；
对于D：平均天数为天，故D错误；
故选：B．
9．如图，随机事件A，B互斥，记分别为事件A，B的对立事件，那么（ ）
A．A∪B是必然事件
B．∪是必然事件
C．与一定互斥
D．与一定不互斥
【答案】B
【分析】用集合的思想看事件的Venn图即可的解.
【解析】由Venn图可知A，B互斥，即为不可能事件，∪是必然事件，
故选：B.
10．小刚参与一种答题游戏，需要解答A，B，C三道题．已知他答对这三道题的概率分别为a，a，，且各题答对与否互不影响，若他恰好能答对两道题的概率为，则他三道题都答错的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】记小刚解答A，B，C三道题正确分别为事件D，E，F，并利用D，E，F构造相应的事件，根据概率加法公式与乘法公式求解相应事件的概率.
【解析】记小刚解答A，B，C三道题正确分别为事件D，E，F，且D，E，F相互独立，
且.
恰好能答对两道题为事件，且两两互斥，
所以
，
整理得，他三道题都答错为事件，
故.
故选：C.
11．四张卡片的正面分别写上，，，，现将这四张卡片反过来，小明从中任意抽取两张，则所抽到的两张卡片所书写函数周期相同的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】确定各个函数的周期，的周期为，的周期为，不是周期函数，周期为，再计算概率得到答案.
【解析】的图像是由的图像轴下方的部分向上翻折形成，故周期为；
的周期为，的周期为，故的周期为；
不是周期函数，故不是周期函数，
，画出函数图像，如图所示：
根据图像知函数周期为.
设四张卡片分别为1，2，3，4，则共有6种选择，
满足条件的只有1种，故所抽到的两张卡片所书写函数周期相同的概率为.
故选：B
12．对于一个古典概型的样本空间和事件A，B，C，D，其中，，，，，，，，则（ ）
A．A与B不互斥B．A与D互斥但不对立
C．C与D互斥D．A与C相互独立
【答案】D
【分析】由已知条件结合事件的运算判断事件间的互斥、对立关系，根据的关系判断事件是否独立.
【解析】由，，，即，故A、B互斥，A错误；
由，A、D互斥且对立，B错误；
又，，则，C与D不互斥，C错误；
由，，，
所以，即A与C相互独立，D正确.
故选：D
二、多选题
13．下列有关古典概型的说法中，正确的是（ ）
A．试验的样本空间的样本点总数有限
B．每个事件出现的可能性相等
C．每个样本点出现的可能性相等
D．已知样本点总数为，若随机事件包含个样本点，则事件发生的概率
【答案】ACD
【分析】根据古典概型的定义逐项判断即可.
【解析】由古典概型概念可知：试验的样本空间的样本点总数有限；每个样本点出现的可能性相等.
故AC正确；每个事件不一定是样本点，可能包含若干个样本点，所以B不正确；
根据古典概型的概率计算公式可知D正确．
故选：ACD
14．下面结论正确的是（ ）
A．若事件A与B是互斥事件，则A与也是互斥事件
B．若事件A与B是相互独立事件，则与也是相互独立事件
C．若，，A与B相互独立，那么
D．若，，A与B相互独立，那么
【答案】BCD
【分析】由相互独立和互斥事件的定义可判断A、B；由相互独立的乘法公式和对立事件的定义可判断C，D.
【解析】对于A，由互斥事件的定义可知，事件A，B互斥，
但是A与也是互斥事件不成立，故A错误；
对于B，若A与B相互独立，则A与，B与，与都是相互独立事件，故B正确；
对于C，如果A与B相互独立，则
，故C正确；
对于D，如果A与B相互独立，
则，故D正确．
故选：BCD．
15．4支足球队进行单循环比赛（任两支球队恰进行一场比赛），任两支球队之间胜率都是．单循环比赛结束，以获胜的场次数作为该队的成绩，成绩按从大到小排名次顺序，成绩相同则名次相同．下列结论中正确的是（ ）
A．恰有四支球队并列第一名为不可能事件B．有可能出现恰有三支球队并列第一名
C．恰有两支球队并列第一名的概率为D．只有一支球队名列第一名的概率为
【答案】ABD
【分析】4支足球队进行单循环比赛总的比赛共有场比赛，比赛的所有结果共有种；
选项A，这6场比赛中不满足4支球队得分相同的的情况；
选项B，举特例说明即可；
选项C，在6场比赛中，从中选2支球队并列第一名有种可能，再分类计数相互获胜的可能数，最后由古典概型计算概率；
选项D，只有一支球队名列第一名，则该球队应赢了其他三支球队，由古典概型问题计算即可.
【解析】4支足球队进行单循环比赛总的比赛共有场比赛，比赛的所有结果共有种；
选项A，这6场比赛中若4支球队优先各赢一场，则还有2场必然有2支或1支队伍获胜，那么所得分值不可能都一样，故是不可能事件，正确；
选项B，其中6场比赛中，依次获胜的可以是，此时3队都获得2分，并列第一名，正确；
选项C，在6场比赛中，从中选2支球队并列第一名有种可能，若选中a，b，其中第一类a赢b，有a,b,c,d,a,b和a,b,d,c,a,b两种情况，同理第二类b赢a，也有两种，故恰有两支球队并列第一名的概率为，错误；
选项D，从4支球队中选一支为第一名有4种可能；这一支球队比赛的3场应都赢，则另外3场的可能有种，故只有一支球队名列第一名的概率为，正确.
故选：ABD
【点睛】本题考查利用计数原理解决实际问题的概率问题，还考查了事件成立与否的判定，属于较难题.
16．在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“两次记录的数字之和为偶数”，事件B为“第一次记录的数字为偶数”；事件C为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是（ ）
A．事件B与事件C是互斥事件
B．事件A与事件B是相互独立事件
C．
D．
【答案】BC
【分析】利用定义判断选项A的真假，利用公式计算判断选项BCD的真假，即得解.
【解析】对于A，事件与事件不是互斥事件，因为它们有可能同时发生，如，第一次和第二次都是数字4 ，故选项A错误；
对于B，对于事件与事件，,事件与事件是相互独立事件,故选项B正确；
对于C，,所以，故选项C正确；
对于D，事件表示第一次记录的数字为偶数，第二次记录的数字为偶数，故，故D错误.
故选：BC．
三、填空题
17．某小组有3名男生和2名女生，从中任选出2名同学去参加演讲比赛，有下列4对事件：
①至少有1名男生和至少有1名女生，②恰有1名男生和恰有2名男生，
③至少有1名男生和全是男生，④至少有1名男生和全是女生，
其中为互斥事件的序号是__．
【答案】②④
【分析】互斥事件是指不能同时发生的事件，由此判断各个选项中的两件事是否能同时发生，从而作出判断．
【解析】互斥事件是指不能同时发生的事件，
①至少有1名男生和至少有1名女生，不是互斥事件，当取出的2个人正好是1名男生和1名女生时，这两件事同时发生了．
②恰有1名男生和恰有2名男生，这两件事不能同时发生，故是互斥事件．
③至少有1名男生和全是男生，不是互斥事件，因为“至少有1名男生”包含了“全是男生”的情况．
④至少有1名男生和全是女生，是互斥事件，因为这两件事不能同时发生．
故答案为：②④．
18．如果事件与是互斥事件，且事件发生的概率是0.64，事件发生的概率是事件发生的概率的3倍，则事件发生的概率为___．
【答案】0.16/
【分析】设事件发生的概率为，则，再由互斥事件的并事件的概率加法公式求解．
【解析】设事件发生的概率为，则，
事件与是互斥事件，则，．
故答案为：0.16．
19．某学生参与一种答题游戏，需要从A，B，C三道试题中选出一道进行回答，回答正确即可获得次品．若该学生选择A，B，C的概率分别为0.3，0.4，0.3，答对A，B，C的概率分别为0.4，0.5，0.6，则其获得奖品的概率为_______．
【答案】0.5
【分析】利用互斥事件和独立事件的概率公式求解即可.
【解析】该学生获得奖品的概率为．
故答案为：0.5.
20．甲和乙两个箱子各装有10个球，其中甲箱中有6个红球、4个白球，乙箱中有8个红球、2个白球.掷一枚质地均匀的骰子，如果出现点数为1或2，从甲箱子随机摸出一个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱子随机摸出一个球.则摸到红球的概率为______.
【答案】
【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式分别求出从甲箱，乙箱摸出红球的概率，再根据互斥事件的概率加法公式，即可求解．
【解析】掷到点数为1，2的概率为，从甲箱子摸到红球的概率为，
掷到点数为3，4，5，6的概率为，从乙箱子摸到红球的概率为，
故摸出红球的概率．
故答案为：.
四、解答题
21．柜子里有双不同的鞋，如果从中随机取出只，那么
(1)写出试验的样本空间．
(2)求事件“取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）列举出所有可能的情况即可得到样本空间；
（2）列举出事件所有可能的结果，利用古典概型概率公式可求得结果.
【解析】（1）记第双鞋左右脚编号为，第双鞋左右脚编号为，第双鞋左右脚编号为，
则样本空间为.
（2）由（1）知：，
，，
.
22．在甲、乙两个盒子中分别装有编号为1，2，3，4 的4个球，现从甲、乙两个盒子中各取出一个球，每个球被取出的可能性相等.
(1)请列出所有可能的结果；
(2)求取出的两个球的编号恰为相邻整数的概率；
(3)求取出的两个球的编号之和与编号之积都不小于4的概率.
【答案】(1)答案见解析；
(2)；
(3).
【分析】（1）列举法写出所有基本事件即可；
（2）求出满足条件的基本事件的个数，利用古典概型求解；
（3）求出满足两个球的编号之和与编号之积都不小于4的事件的个数，利用古典概型求解.
【解析】（1）从甲、乙两个盒子中各取出一个球，所有可能的结果为：
，，，，，，，，，，，，，，，，共16种情况.
（2）设“取出的两个球的编号恰为相邻整数”为事件，
事件的所有可能的结果为：，，，，，，共6种情况，
∴.
（3）设“取出的两个球的编号之和与编号之积都不小于4”为事件，
事件的所有可能的结果为：，，，，，，，，，，，共11种情况，
∴.
23．某工厂为了保障安全生产，举行技能测试，甲、乙、丙3名技术工人组成一队参加技能测试，甲通过测试的概率是0.8，乙通过测试的概率为0.9，丙通过测试的概率为0.5，假定甲、乙、丙3人是否通过测试相互之间没有影响.
(1)求甲、乙、丙3名工人都通过测试的概率；
(2)求甲、乙、丙3人中恰有2人通过测试的概率.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据概率乘法公式进行求解即可；
（2）根据概率加法公式和乘法公式进行求解即可.
【解析】（1）设甲、乙、丙3人通过测试分别为事件，，，
则，，.
∴.
（2）甲、乙、丙3人中恰有2人通过测试，等价于恰有1人未通过测试，
∴
.
24．设A、B、C三个事件两两相互独立，事件A发生的概率是，A、B、C同时发生的概率是，A、B、C都不发生的概率是.
(1)试分别求出事件B和事件C发生的概率；
(2)试求A、B、C只有一个发生的概率.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式和对立事件概率公式列出方程组，求出事件B和事件C发生的概率；（2）在第一问的基础上利用独立事件和对立事件概率公式进行求解.
(1)
由题意得：，
，即，
解得：或
(2)
设A、B、C只有一个发生的概率为P，
当时，
则；
当时，同理可得：，
综上：A、B、C只有一个发生的概率为
25．某新能源汽车制造公司，为鼓励消费者购买其生产的新能源汽车，约定从今年元月开始，凡购买一辆该品牌汽车，在行驶三年后，公司将给予适当金额的购车补贴．某调研机构对已购买该品牌汽车的消费者，就购车补贴金额的心理预期值进行了抽样调查，得其样本频率分布直方图如图所示．
(1)求实数的值；
(2)估计已购买该品牌汽车的消费群体对购车补贴金额的心理预期值的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数；（精确到0.01）
(3)现在要从购车补贴金额的心理预期值在间用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行调查，求抽到2人中购车补贴金额的心理预期值都在间的概率．
【答案】(1)；
(2)平均数的估计值为3.5万元，中位数的估计值为3.33万元；
(3).
【分析】（1）由频率分布直方图所有频率和为1可求得；
（2）利用频率分布直方图中每组数据区间的中点值乘以相应频率相加可求得平均数，判断中位数对应的区间，求出频率0.5对应的值即为中位数；
（3）先算出从购车补贴金额的心理预期值在 的6人中，在 间的有4人，然后根据列举法列出所有可能的基本事件15种，选出都在预期值间的情况6种，利用古典概型公式计算即可。
【解析】（1）由题意知，，解得．
（2）平均数的估计值为
万元
因为，则中位数在区间（3，4）内．
设中位数为，则，
得，所以中位数的估计值为3.33万元．
（3）从购车补贴金额的心理预期值在[3，5）间用分层抽样的方法抽取6人，则购车补贴金额的心理预期值在[3，4）间的有4人，记为a，b，c，d，购车补贴金额的心理预期值在[4，5）间的有2人，记为A，B，则基本事件有（a，b），（a，c），（a，d），（a，A），（a，B），（b，c），（b，d），（b，A），（b，B），（c，d），（c，A），（c，B）（d，A），（d，B），（A，B），共15种情况．
其中购车补贴金额的心理预期值都在[3，4）间有（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d），共6种情况，所以抽到2人中购车补贴金额的心理预期值都在[3，4）间的概率．
26．猜灯谜又称打灯谜，是我国从古代就开始流传的元宵节特色活动.在一次元宵节猜灯谜活动中，共有20道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了12道，乙同学猜对了8道，丙同学猜对了道.假设每道灯谜被猜对的可能性都相等.
(1)任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率；
(2)任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求的值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由题设求出甲、乙、丙猜对或错的概率值，应用独立事件乘法公式、互斥事件加法求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率；
（2）利用对立事件的概率求法及独立事件乘法公式列方程求.
(1)
设“任选一道灯谜甲猜对”，“任选一道灯谜乙猜对”，“任选一道灯谜丙猜对”.
则，，，故，，.
“甲，乙两位同学恰有一个人猜对”，且与互斥.
每位同学独立竞猜，故，互相独立，则与，与，与均相互独立.
所以.
答：任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率为.
(2)
设“甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对”，则.
所以.
解得.
27．某工厂生产的每件产品所用原材料的质量（单位：千克）是一定值，每件产品的价格是以长度（单位：米）计算的，产品越长也就越细，要求工人的技术水平越高，产品价格也就越高，但市场对各种长度的产品都有需求.为了预测市场需求并合理安排生产任务，查阅以往售出的产品的长度，随机抽取了件产品，并将得到的数据按如下方式分为组：、、、，绘制成如下的频率分布直方图：
工厂今年一月份按频率分布直方图提供的数据生产了件产品.
(1)求今年一月份生产的产品长度在的件数；
(2)现从和两组产品中以分层抽样的方式抽取件产品，客户在这件产品中再随机抽取件，求这件产品在和两组中各有件的概率.
【答案】(1)件
(2)
【分析】（1）将产品长度在的频率乘以可得结果；
（2）分析可知，在的产品有（件），设编号分别为、、，在的产品有（件），编号分别为、、、，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【解析】（1）由频率分布直方图可得，产品长度在的有（件）.
（2）由题可知，按分层抽样抽取的件产品中，
在的产品有（件），设编号分别为、、
在的产品有（件），编号分别为、、、，
则在件产品中随机抽取件，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、
、、、、、、、，共有个基本事件，
其中事件“抽到的件产品在和两组中各有件”所包含的基本事件有：
、、、、、、、、、
、、，共个基本事件，
故所求概率为.
28．随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”证件之一，若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试．在每一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试，若5次都没有通过，则需要重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费，某驾校通过几年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，女性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，现有这个驾校的一对夫妻学员同时报名参加驾驶证科目二考试，若这对夫妻每人每次是否通过科目二考试相互独立，他们参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止．
(1)求这对夫妻在本次报名参加科目二考试通过且都不需要交补考费的概率；
(2)求这对夫妻在本次报名参加科目二考试通过且产生的补考费用之和为200元的概率．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）分别表示丈夫和妻子第i次通过考试的事件，再将夫妻二人都不需要交补考费的事件用表示，然后利用互斥事件和相互独立事件的概率公式计算作答.
（2）将夫妻二人共交200元补考费的事件用（1）中事件表示，再利用互斥事件和相互独立事件的概率公式计算作答.
【解析】（1）分别表示丈夫和妻子第i次通过考试的事件，则，
夫妻二人都不需要交补考费的事件，
则，
所以这对夫妻在本次报名参加科目二考试通过且都不需要交补考费的概率是.
（2）由（1）知，夫妻二人共交200元补考费的事件，
则，
所以这对夫妻在本次报名参加科目二考试通过且产生的补考费用之和为200元的概率.
29．实行“垃圾分类”能最大限度地减少垃圾处置量，实现垃圾资源利用，改善垃圾资源环境.2019年下半年以来，全国各地区陆续出合了“垃圾分类”的相关管理条例.某部门在某小区年龄处于岁的人中随机地抽取 人，进行了“垃圾分类”相关知识掌握和实施情况的调查，并把达到“垃圾分类”标准的人称为“环保族”，得到如图所示各年龄段人数的频率分布直方图和表中的统计数据.
(1)求 ， ， 的值；
(2)根据频率分布直方图，估计这 人年龄的平均值（同一组数据用该区间的中点值代替，结果按四舍五入保留整数）；
(3)从年龄段在的“环保族”中采取分层随机抽样的方法抽取9人进行专访，并在这9人中选取2人作为记录员，求选取的2名记录员中至少有1人年龄在中的概率.
【答案】(1)，，.
(2)估计这 人年龄的平均值为.
(3)选取的 名记录员中至少有 人年龄在中的概率.
【分析】（1）由频率分布直方图和频数分布表能直接求出，，；
（2）根据频率分布直方图，能直接求这人年龄的平均值；
（3）从年龄段在的“环保族”中采取分层随机抽样的方法抽取9人进行专访，
年龄段在的“环保族”中选（人），分别记为，，，， ；
年龄段在的“环保族”中选（人），分别记为，，，.
在这 人中选取 人作为记录员，利用列举法列出所有的基本事件，
然后利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【解析】（1）解：由题意得：
，
，
，
所以，，.
（2）根据频率分直方图，估计这 人年龄的平均值为：
.
所以估计这 人年龄的平均值为 .
（3）从年龄段在的“环保族”中采取分层随机抽样的方法抽取9人进行专访，
从年龄段在的“环保族”中选（人），分别记为，，，， .
从年龄段在的“环保族”中选（人），分别记为，，，.
在这 人中选取 人作为记录员，所有的基本事件有，，，，
，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，，
，共36种.
选取的2名记录员中至少有1人年龄在中包含的基本事件有，，
，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，
，，，，共26种.
因此，选取的2名记录员中至少有1人年龄在中的概率，
所以选取的2名记录员中至少有1人年龄在中的概率.
30．足球号称世界第一大体育运动，卡塔尔世界杯刚刚落下帷幕．主办方为了调查球迷对本次世界杯的满意度，从来自本地（地区）和外地（地区）的球迷中，分别随机调查了名球迷，得到他们对本届世界杯的满意度评分，如茎叶图所示：
(1)设表示地区名球迷满意度的方差，表示地区名球迷满意度的方差，则_____；（用“”或“”填空，不要求写出计算过程）；
(2)计算地区的分位数；
(3)根据满意度评分，将满意度从低到高分为三个等级：
从地区和地区分别随机抽取名球迷，记事件：“地区球迷的满意度等级高于地区球迷的满意度等级”，根据所给数据，用调查样本的频率估计地区总体概率，求的概率.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据样本数据的集中程度可得出、的大小关系；
（2）利用百分位数的定义可计算出地区分位数；
（3）设事件分别表示抽取地区名球迷的满意度为级，则、、两两互斥，设事件分别表示抽取地区名球迷的满意度为级，则、、两两互斥，可得，利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得的值.
【解析】（1）解：因为地区的数据更集中，则地区的方差越小，则.
（2）解：设地区的个数据由小到大依次为、、、，
由，得分位数等于．
（3）解：设事件分别表示抽取地区名球迷的满意度为级，则、、两两互斥，
设事件分别表示抽取地区名球迷的满意度为级，则、、两两互斥，
且有与相互独立，由题意得，，，，，，
又有，且、、互斥，
故
．
31．某班同学利用春节进行社会实践，对本地岁的人群随机抽取人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，将生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图．
（一）人数统计表 （二）各年龄段人数频率分布直方图
(1)在答题卡给定的坐标系中补全频率分布直方图，并求出、、的值；
(2)从岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动．若将这6个人通过抽签分成甲、乙两组，每组的人数相同，求岁中被抽取的人恰好又分在同一组的概率．
【答案】(1)频率分布直方图见解析；，，；
(2)
【分析】（1）先根据频率分布直方图中所有小长方形面积和为1得第二组的频率，除以组距得高，再补全直方图，根据频率等于频数除以总数求得、、
（2）先根据分层抽样确定两区间抽取人数，利用列举法确定总的基本事件数，以及岁中被抽取的人恰好又分在同一组的基本事件数，最后根据古典概型概率公式求结果.
（1）
结合频率分布直方图可知，第二组的频率为，
所以第二组高为．故补全频率分布直方图如下：
结合人数统计表与频率分布直方图，可知第一组的人数为，频率为，所以；
因为第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为，所以；
因为第四组的频率为，所以第四组的人数为，所以．
（2）
因为岁年龄段的“低碳族”与岁年龄段的“低碳族”的比为，
所以采用分层抽样法抽取6人，则在岁中抽取4人，在岁中抽取2人．
设年龄在中被抽取的4个人分别为：；
年龄在岁中被抽取的2个人分别为：；
则总的基本事件有：,,,,,……，共20个；
记“岁中被抽取的人恰好有分在同一组” 为事件C，而事件C包含的基本事件有8个；
所以.
【点睛】频率分布直方图中小长方形面积等于对应区间的概率,所有小长方形面积之和为1; 频率分布直方图中组中值与对应区间概率乘积的和为平均数; 频率分布直方图中小长方形面积之比等于对应概率之比,也等于对应频数之比.
组数
分组
“环保族”人数
占本组的频率
第一组
45
0.75
第二组
25
第三组
20
0.5
第四组
0.2
第五组
3
0.1
满意度评分
低于分
分到分
不低于分
满意度等级
级（不满意）
级（满意）
级（非常满意）
序号
分组（岁）
本组中“低碳族”人数
“低碳族”人数在本组所占的比例
1
[25, 30)
120
0.6
2
[30, 35)
195
p
3
[35, 40)
100
0.5
4
[40, 45)
a
0.4
5
[45, 50)
30
0.3
6
[55, 60)
15
0.3
1．下列事件中，随机事件的个数是（ ）
①未来某年8月18日，北京市不下雨；
②在标准大气压下，水在4℃时结冰；
③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰好取到1号签；
④任取，则.
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据各项的描述，判断随机事件、必然事件、不可能事件，进而确定随机事件的个数.
【解析】①未来某年8月18日，北京市不下雨，属于随机事件；
②在标准大气压下，水在4℃时结冰，属于不可能事件；
③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签，属于随机事件；
④任取，则，属于必然事件；
所以属于随机事件的有①③，即随机事件的个数是.
故选：B
2．一个家庭有两个小孩，则样本空间为（ ）
A．{(男，女)，(男，男)，(女，女)}
B．{(男，女)，(女，男)}
C．{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}
D．{(男，男)，(女，女)}
【答案】C
【分析】列举出所有可能结果，由此可得样本空间.
【解析】两个小孩的所有结果是：男男，男女，女男，女女，
则所有样本空间为{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}．
故选：C.
3．从含有三件正品和一件次品的产品中任取两件，则取出的两件中恰有一件次品的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据古典概型概率计算公式直接计算.
【解析】有三件正品（用，，表示）和一件次品（用表示）的产品中任取两件的样本空间，恰有一件次品，
由古典概型得，
故选：D.
4．甲、乙、丙三人玩传球游戏，每个人都等可能地把球传给另一人，由甲开始传球，作为第一次传球，经过3次传球后，球回到甲手中的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据古典概型运算公式进行求解即可.
【解析】设甲、乙、丙三人用，
由题意可知：传球的方式有以下形式，
，
所求概率为.
故选：C
5．已知事件A，B，C两两互斥，若，，，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据事件A，，两两互斥，求出，进而利用求出答案.
【解析】因为事件A，，两两互斥，所以，
所以.
故选：B．
6．设某种产品分两道独立工序生产，第一道工序的次品率为，第二道工序的次品率为，生产这种产品只要有一道工序出次品就将生产次品，则该产品的次品率是（ ）
A．0.873B．0.13C．0.127D．0.03
【答案】C
【分析】求出正品率，再用1减去正品率，即得次品率.
【解析】由题意，次品率为.
故选：C
7．现有甲､乙､丙三个工厂加工的同种产品各100件，按标准分为一､二两个等级､其中甲､乙､丙三个工厂的一等品各有60件､70件､80件.从这300件产品中任选一件产品，则下列说法错误的是（ ）
A．选中的产品是甲厂的一等品与选中的产品是乙厂的二等品互斥
B．选中的产品是一等品的概率为
C．选中的产品是丙厂生产的二等品的概率为
D．选中的产品是丙厂生产的产品与选中的产品是二等品相互独立
【答案】D
【分析】运用互斥事件、独立事件的定义可判断A项、D项，运用古典概型求概率可判断B项、C项.
【解析】对于A项， “选中的产品是甲厂的一等品”记为事件A，“选中的产品是乙厂的二等品”记为事件B，
则，
所以选中的产品是甲厂的一等品与选中的产品是乙厂的二等品互斥，故A项正确；
对于B项，选中的产品是一等品的概率为，故B项正确；
对于C项，选中的产品是丙厂生产的二等品的概率为，故C项正确；
对于D项，“选中的产品是丙厂生产的产品”记为事件C，“选中的产品是二等品”记为事件D，
则，
由B项知，，
由C项知，，
所以，
所以选中的产品是丙厂生产的产品与选中的产品是二等品不互相独立，故D项不成立.
故选：D.
8．某滑冰馆统计了某小区居民在该滑冰馆一个月的锻炼天数，得到如图所示的频率分布直方图（将频率视为概率），则下列说法正确的是（ ）
A．该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数在区间内的最少
B．估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数超过15天的概率为0.465
C．估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的中位数为16
D．估计小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的平均值为15
【答案】B
【分析】根据直方图写出对应该滑冰馆的锻炼天数区间的频率，再结合各选项的描述及中位数、平均数的求法判断正误．
【解析】由图知：、、、、、的频率分别为、、、、、，
对于A：内的天数最少，故A错误；
对于B：估计锻炼天数超过15天的概率为，故B正确；
对于C：由、、频率和为，设中位数为x，
则，可得，故C错误；
对于D：平均天数为天，故D错误；
故选：B．
9．如图，随机事件A，B互斥，记分别为事件A，B的对立事件，那么（ ）
A．A∪B是必然事件
B．∪是必然事件
C．与一定互斥
D．与一定不互斥
【答案】B
【分析】用集合的思想看事件的Venn图即可的解.
【解析】由Venn图可知A，B互斥，即为不可能事件，∪是必然事件，
故选：B.
10．小刚参与一种答题游戏，需要解答A，B，C三道题．已知他答对这三道题的概率分别为a，a，，且各题答对与否互不影响，若他恰好能答对两道题的概率为，则他三道题都答错的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】记小刚解答A，B，C三道题正确分别为事件D，E，F，并利用D，E，F构造相应的事件，根据概率加法公式与乘法公式求解相应事件的概率.
【解析】记小刚解答A，B，C三道题正确分别为事件D，E，F，且D，E，F相互独立，
且.
恰好能答对两道题为事件，且两两互斥，
所以
，
整理得，他三道题都答错为事件，
故.
故选：C.
11．四张卡片的正面分别写上，，，，现将这四张卡片反过来，小明从中任意抽取两张，则所抽到的两张卡片所书写函数周期相同的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】确定各个函数的周期，的周期为，的周期为，不是周期函数，周期为，再计算概率得到答案.
【解析】的图像是由的图像轴下方的部分向上翻折形成，故周期为；
的周期为，的周期为，故的周期为；
不是周期函数，故不是周期函数，
，画出函数图像，如图所示：
根据图像知函数周期为.
设四张卡片分别为1，2，3，4，则共有6种选择，
满足条件的只有1种，故所抽到的两张卡片所书写函数周期相同的概率为.
故选：B
12．对于一个古典概型的样本空间和事件A，B，C，D，其中，，，，，，，，则（ ）
A．A与B不互斥B．A与D互斥但不对立
C．C与D互斥D．A与C相互独立
【答案】D
【分析】由已知条件结合事件的运算判断事件间的互斥、对立关系，根据的关系判断事件是否独立.
【解析】由，，，即，故A、B互斥，A错误；
由，A、D互斥且对立，B错误；
又，，则，C与D不互斥，C错误；
由，，，
所以，即A与C相互独立，D正确.
故选：D
二、多选题
13．下列有关古典概型的说法中，正确的是（ ）
A．试验的样本空间的样本点总数有限
B．每个事件出现的可能性相等
C．每个样本点出现的可能性相等
D．已知样本点总数为，若随机事件包含个样本点，则事件发生的概率
【答案】ACD
【分析】根据古典概型的定义逐项判断即可.
【解析】由古典概型概念可知：试验的样本空间的样本点总数有限；每个样本点出现的可能性相等.
故AC正确；每个事件不一定是样本点，可能包含若干个样本点，所以B不正确；
根据古典概型的概率计算公式可知D正确．
故选：ACD
14．下面结论正确的是（ ）
A．若事件A与B是互斥事件，则A与也是互斥事件
B．若事件A与B是相互独立事件，则与也是相互独立事件
C．若，，A与B相互独立，那么
D．若，，A与B相互独立，那么
【答案】BCD
【分析】由相互独立和互斥事件的定义可判断A、B；由相互独立的乘法公式和对立事件的定义可判断C，D.
【解析】对于A，由互斥事件的定义可知，事件A，B互斥，
但是A与也是互斥事件不成立，故A错误；
对于B，若A与B相互独立，则A与，B与，与都是相互独立事件，故B正确；
对于C，如果A与B相互独立，则
，故C正确；
对于D，如果A与B相互独立，
则，故D正确．
故选：BCD．
15．4支足球队进行单循环比赛（任两支球队恰进行一场比赛），任两支球队之间胜率都是．单循环比赛结束，以获胜的场次数作为该队的成绩，成绩按从大到小排名次顺序，成绩相同则名次相同．下列结论中正确的是（ ）
A．恰有四支球队并列第一名为不可能事件B．有可能出现恰有三支球队并列第一名
C．恰有两支球队并列第一名的概率为D．只有一支球队名列第一名的概率为
【答案】ABD
【分析】4支足球队进行单循环比赛总的比赛共有场比赛，比赛的所有结果共有种；
选项A，这6场比赛中不满足4支球队得分相同的的情况；
选项B，举特例说明即可；
选项C，在6场比赛中，从中选2支球队并列第一名有种可能，再分类计数相互获胜的可能数，最后由古典概型计算概率；
选项D，只有一支球队名列第一名，则该球队应赢了其他三支球队，由古典概型问题计算即可.
【解析】4支足球队进行单循环比赛总的比赛共有场比赛，比赛的所有结果共有种；
选项A，这6场比赛中若4支球队优先各赢一场，则还有2场必然有2支或1支队伍获胜，那么所得分值不可能都一样，故是不可能事件，正确；
选项B，其中6场比赛中，依次获胜的可以是，此时3队都获得2分，并列第一名，正确；
选项C，在6场比赛中，从中选2支球队并列第一名有种可能，若选中a，b，其中第一类a赢b，有a,b,c,d,a,b和a,b,d,c,a,b两种情况，同理第二类b赢a，也有两种，故恰有两支球队并列第一名的概率为，错误；
选项D，从4支球队中选一支为第一名有4种可能；这一支球队比赛的3场应都赢，则另外3场的可能有种，故只有一支球队名列第一名的概率为，正确.
故选：ABD
【点睛】本题考查利用计数原理解决实际问题的概率问题，还考查了事件成立与否的判定，属于较难题.
16．在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“两次记录的数字之和为偶数”，事件B为“第一次记录的数字为偶数”；事件C为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是（ ）
A．事件B与事件C是互斥事件
B．事件A与事件B是相互独立事件
C．
D．
【答案】BC
【分析】利用定义判断选项A的真假，利用公式计算判断选项BCD的真假，即得解.
【解析】对于A，事件与事件不是互斥事件，因为它们有可能同时发生，如，第一次和第二次都是数字4 ，故选项A错误；
对于B，对于事件与事件，,事件与事件是相互独立事件,故选项B正确；
对于C，,所以，故选项C正确；
对于D，事件表示第一次记录的数字为偶数，第二次记录的数字为偶数，故，故D错误.
故选：BC．
三、填空题
17．某小组有3名男生和2名女生，从中任选出2名同学去参加演讲比赛，有下列4对事件：
①至少有1名男生和至少有1名女生，②恰有1名男生和恰有2名男生，
③至少有1名男生和全是男生，④至少有1名男生和全是女生，
其中为互斥事件的序号是__．
【答案】②④
【分析】互斥事件是指不能同时发生的事件，由此判断各个选项中的两件事是否能同时发生，从而作出判断．
【解析】互斥事件是指不能同时发生的事件，
①至少有1名男生和至少有1名女生，不是互斥事件，当取出的2个人正好是1名男生和1名女生时，这两件事同时发生了．
②恰有1名男生和恰有2名男生，这两件事不能同时发生，故是互斥事件．
③至少有1名男生和全是男生，不是互斥事件，因为“至少有1名男生”包含了“全是男生”的情况．
④至少有1名男生和全是女生，是互斥事件，因为这两件事不能同时发生．
故答案为：②④．
18．如果事件与是互斥事件，且事件发生的概率是0.64，事件发生的概率是事件发生的概率的3倍，则事件发生的概率为___．
【答案】0.16/
【分析】设事件发生的概率为，则，再由互斥事件的并事件的概率加法公式求解．
【解析】设事件发生的概率为，则，
事件与是互斥事件，则，．
故答案为：0.16．
19．某学生参与一种答题游戏，需要从A，B，C三道试题中选出一道进行回答，回答正确即可获得次品．若该学生选择A，B，C的概率分别为0.3，0.4，0.3，答对A，B，C的概率分别为0.4，0.5，0.6，则其获得奖品的概率为_______．
【答案】0.5
【分析】利用互斥事件和独立事件的概率公式求解即可.
【解析】该学生获得奖品的概率为．
故答案为：0.5.
20．甲和乙两个箱子各装有10个球，其中甲箱中有6个红球、4个白球，乙箱中有8个红球、2个白球.掷一枚质地均匀的骰子，如果出现点数为1或2，从甲箱子随机摸出一个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱子随机摸出一个球.则摸到红球的概率为______.
【答案】
【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式分别求出从甲箱，乙箱摸出红球的概率，再根据互斥事件的概率加法公式，即可求解．
【解析】掷到点数为1，2的概率为，从甲箱子摸到红球的概率为，
掷到点数为3，4，5，6的概率为，从乙箱子摸到红球的概率为，
故摸出红球的概率．
故答案为：.
四、解答题
21．柜子里有双不同的鞋，如果从中随机取出只，那么
(1)写出试验的样本空间．
(2)求事件“取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）列举出所有可能的情况即可得到样本空间；
（2）列举出事件所有可能的结果，利用古典概型概率公式可求得结果.
【解析】（1）记第双鞋左右脚编号为，第双鞋左右脚编号为，第双鞋左右脚编号为，
则样本空间为.
（2）由（1）知：，
，，
.
22．在甲、乙两个盒子中分别装有编号为1，2，3，4 的4个球，现从甲、乙两个盒子中各取出一个球，每个球被取出的可能性相等.
(1)请列出所有可能的结果；
(2)求取出的两个球的编号恰为相邻整数的概率；
(3)求取出的两个球的编号之和与编号之积都不小于4的概率.
【答案】(1)答案见解析；
(2)；
(3).
【分析】（1）列举法写出所有基本事件即可；
（2）求出满足条件的基本事件的个数，利用古典概型求解；
（3）求出满足两个球的编号之和与编号之积都不小于4的事件的个数，利用古典概型求解.
【解析】（1）从甲、乙两个盒子中各取出一个球，所有可能的结果为：
，，，，，，，，，，，，，，，，共16种情况.
（2）设“取出的两个球的编号恰为相邻整数”为事件，
事件的所有可能的结果为：，，，，，，共6种情况，
∴.
（3）设“取出的两个球的编号之和与编号之积都不小于4”为事件，
事件的所有可能的结果为：，，，，，，，，，，，共11种情况，
∴.
23．某工厂为了保障安全生产，举行技能测试，甲、乙、丙3名技术工人组成一队参加技能测试，甲通过测试的概率是0.8，乙通过测试的概率为0.9，丙通过测试的概率为0.5，假定甲、乙、丙3人是否通过测试相互之间没有影响.
(1)求甲、乙、丙3名工人都通过测试的概率；
(2)求甲、乙、丙3人中恰有2人通过测试的概率.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据概率乘法公式进行求解即可；
（2）根据概率加法公式和乘法公式进行求解即可.
【解析】（1）设甲、乙、丙3人通过测试分别为事件，，，
则，，.
∴.
（2）甲、乙、丙3人中恰有2人通过测试，等价于恰有1人未通过测试，
∴
.
24．设A、B、C三个事件两两相互独立，事件A发生的概率是，A、B、C同时发生的概率是，A、B、C都不发生的概率是.
(1)试分别求出事件B和事件C发生的概率；
(2)试求A、B、C只有一个发生的概率.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式和对立事件概率公式列出方程组，求出事件B和事件C发生的概率；（2）在第一问的基础上利用独立事件和对立事件概率公式进行求解.
(1)
由题意得：，
，即，
解得：或
(2)
设A、B、C只有一个发生的概率为P，
当时，
则；
当时，同理可得：，
综上：A、B、C只有一个发生的概率为
25．某新能源汽车制造公司，为鼓励消费者购买其生产的新能源汽车，约定从今年元月开始，凡购买一辆该品牌汽车，在行驶三年后，公司将给予适当金额的购车补贴．某调研机构对已购买该品牌汽车的消费者，就购车补贴金额的心理预期值进行了抽样调查，得其样本频率分布直方图如图所示．
(1)求实数的值；
(2)估计已购买该品牌汽车的消费群体对购车补贴金额的心理预期值的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数；（精确到0.01）
(3)现在要从购车补贴金额的心理预期值在间用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行调查，求抽到2人中购车补贴金额的心理预期值都在间的概率．
【答案】(1)；
(2)平均数的估计值为3.5万元，中位数的估计值为3.33万元；
(3).
【分析】（1）由频率分布直方图所有频率和为1可求得；
（2）利用频率分布直方图中每组数据区间的中点值乘以相应频率相加可求得平均数，判断中位数对应的区间，求出频率0.5对应的值即为中位数；
（3）先算出从购车补贴金额的心理预期值在 的6人中，在 间的有4人，然后根据列举法列出所有可能的基本事件15种，选出都在预期值间的情况6种，利用古典概型公式计算即可。
【解析】（1）由题意知，，解得．
（2）平均数的估计值为
万元
因为，则中位数在区间（3，4）内．
设中位数为，则，
得，所以中位数的估计值为3.33万元．
（3）从购车补贴金额的心理预期值在[3，5）间用分层抽样的方法抽取6人，则购车补贴金额的心理预期值在[3，4）间的有4人，记为a，b，c，d，购车补贴金额的心理预期值在[4，5）间的有2人，记为A，B，则基本事件有（a，b），（a，c），（a，d），（a，A），（a，B），（b，c），（b，d），（b，A），（b，B），（c，d），（c，A），（c，B）（d，A），（d，B），（A，B），共15种情况．
其中购车补贴金额的心理预期值都在[3，4）间有（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d），共6种情况，所以抽到2人中购车补贴金额的心理预期值都在[3，4）间的概率．
26．猜灯谜又称打灯谜，是我国从古代就开始流传的元宵节特色活动.在一次元宵节猜灯谜活动中，共有20道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了12道，乙同学猜对了8道，丙同学猜对了道.假设每道灯谜被猜对的可能性都相等.
(1)任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率；
(2)任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求的值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由题设求出甲、乙、丙猜对或错的概率值，应用独立事件乘法公式、互斥事件加法求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率；
（2）利用对立事件的概率求法及独立事件乘法公式列方程求.
(1)
设“任选一道灯谜甲猜对”，“任选一道灯谜乙猜对”，“任选一道灯谜丙猜对”.
则，，，故，，.
“甲，乙两位同学恰有一个人猜对”，且与互斥.
每位同学独立竞猜，故，互相独立，则与，与，与均相互独立.
所以.
答：任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率为.
(2)
设“甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对”，则.
所以.
解得.
27．某工厂生产的每件产品所用原材料的质量（单位：千克）是一定值，每件产品的价格是以长度（单位：米）计算的，产品越长也就越细，要求工人的技术水平越高，产品价格也就越高，但市场对各种长度的产品都有需求.为了预测市场需求并合理安排生产任务，查阅以往售出的产品的长度，随机抽取了件产品，并将得到的数据按如下方式分为组：、、、，绘制成如下的频率分布直方图：
工厂今年一月份按频率分布直方图提供的数据生产了件产品.
(1)求今年一月份生产的产品长度在的件数；
(2)现从和两组产品中以分层抽样的方式抽取件产品，客户在这件产品中再随机抽取件，求这件产品在和两组中各有件的概率.
【答案】(1)件
(2)
【分析】（1）将产品长度在的频率乘以可得结果；
（2）分析可知，在的产品有（件），设编号分别为、、，在的产品有（件），编号分别为、、、，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【解析】（1）由频率分布直方图可得，产品长度在的有（件）.
（2）由题可知，按分层抽样抽取的件产品中，
在的产品有（件），设编号分别为、、
在的产品有（件），编号分别为、、、，
则在件产品中随机抽取件，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、
、、、、、、、，共有个基本事件，
其中事件“抽到的件产品在和两组中各有件”所包含的基本事件有：
、、、、、、、、、
、、，共个基本事件，
故所求概率为.
28．随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”证件之一，若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试．在每一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试，若5次都没有通过，则需要重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费，某驾校通过几年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，女性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，现有这个驾校的一对夫妻学员同时报名参加驾驶证科目二考试，若这对夫妻每人每次是否通过科目二考试相互独立，他们参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止．
(1)求这对夫妻在本次报名参加科目二考试通过且都不需要交补考费的概率；
(2)求这对夫妻在本次报名参加科目二考试通过且产生的补考费用之和为200元的概率．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）分别表示丈夫和妻子第i次通过考试的事件，再将夫妻二人都不需要交补考费的事件用表示，然后利用互斥事件和相互独立事件的概率公式计算作答.
（2）将夫妻二人共交200元补考费的事件用（1）中事件表示，再利用互斥事件和相互独立事件的概率公式计算作答.
【解析】（1）分别表示丈夫和妻子第i次通过考试的事件，则，
夫妻二人都不需要交补考费的事件，
则，
所以这对夫妻在本次报名参加科目二考试通过且都不需要交补考费的概率是.
（2）由（1）知，夫妻二人共交200元补考费的事件，
则，
所以这对夫妻在本次报名参加科目二考试通过且产生的补考费用之和为200元的概率.
29．实行“垃圾分类”能最大限度地减少垃圾处置量，实现垃圾资源利用，改善垃圾资源环境.2019年下半年以来，全国各地区陆续出合了“垃圾分类”的相关管理条例.某部门在某小区年龄处于岁的人中随机地抽取 人，进行了“垃圾分类”相关知识掌握和实施情况的调查，并把达到“垃圾分类”标准的人称为“环保族”，得到如图所示各年龄段人数的频率分布直方图和表中的统计数据.
(1)求 ， ， 的值；
(2)根据频率分布直方图，估计这 人年龄的平均值（同一组数据用该区间的中点值代替，结果按四舍五入保留整数）；
(3)从年龄段在的“环保族”中采取分层随机抽样的方法抽取9人进行专访，并在这9人中选取2人作为记录员，求选取的2名记录员中至少有1人年龄在中的概率.
【答案】(1)，，.
(2)估计这 人年龄的平均值为.
(3)选取的 名记录员中至少有 人年龄在中的概率.
【分析】（1）由频率分布直方图和频数分布表能直接求出，，；
（2）根据频率分布直方图，能直接求这人年龄的平均值；
（3）从年龄段在的“环保族”中采取分层随机抽样的方法抽取9人进行专访，
年龄段在的“环保族”中选（人），分别记为，，，， ；
年龄段在的“环保族”中选（人），分别记为，，，.
在这 人中选取 人作为记录员，利用列举法列出所有的基本事件，
然后利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【解析】（1）解：由题意得：
，
，
，
所以，，.
（2）根据频率分直方图，估计这 人年龄的平均值为：
.
所以估计这 人年龄的平均值为 .
（3）从年龄段在的“环保族”中采取分层随机抽样的方法抽取9人进行专访，
从年龄段在的“环保族”中选（人），分别记为，，，， .
从年龄段在的“环保族”中选（人），分别记为，，，.
在这 人中选取 人作为记录员，所有的基本事件有，，，，
，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，，
，共36种.
选取的2名记录员中至少有1人年龄在中包含的基本事件有，，
，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，
，，，，共26种.
因此，选取的2名记录员中至少有1人年龄在中的概率，
所以选取的2名记录员中至少有1人年龄在中的概率.
30．足球号称世界第一大体育运动，卡塔尔世界杯刚刚落下帷幕．主办方为了调查球迷对本次世界杯的满意度，从来自本地（地区）和外地（地区）的球迷中，分别随机调查了名球迷，得到他们对本届世界杯的满意度评分，如茎叶图所示：
(1)设表示地区名球迷满意度的方差，表示地区名球迷满意度的方差，则_____；（用“”或“”填空，不要求写出计算过程）；
(2)计算地区的分位数；
(3)根据满意度评分，将满意度从低到高分为三个等级：
从地区和地区分别随机抽取名球迷，记事件：“地区球迷的满意度等级高于地区球迷的满意度等级”，根据所给数据，用调查样本的频率估计地区总体概率，求的概率.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据样本数据的集中程度可得出、的大小关系；
（2）利用百分位数的定义可计算出地区分位数；
（3）设事件分别表示抽取地区名球迷的满意度为级，则、、两两互斥，设事件分别表示抽取地区名球迷的满意度为级，则、、两两互斥，可得，利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得的值.
【解析】（1）解：因为地区的数据更集中，则地区的方差越小，则.
（2）解：设地区的个数据由小到大依次为、、、，
由，得分位数等于．
（3）解：设事件分别表示抽取地区名球迷的满意度为级，则、、两两互斥，
设事件分别表示抽取地区名球迷的满意度为级，则、、两两互斥，
且有与相互独立，由题意得，，，，，，
又有，且、、互斥，
故
．
31．某班同学利用春节进行社会实践，对本地岁的人群随机抽取人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，将生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图．
（一）人数统计表 （二）各年龄段人数频率分布直方图
(1)在答题卡给定的坐标系中补全频率分布直方图，并求出、、的值；
(2)从岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动．若将这6个人通过抽签分成甲、乙两组，每组的人数相同，求岁中被抽取的人恰好又分在同一组的概率．
【答案】(1)频率分布直方图见解析；，，；
(2)
【分析】（1）先根据频率分布直方图中所有小长方形面积和为1得第二组的频率，除以组距得高，再补全直方图，根据频率等于频数除以总数求得、、
（2）先根据分层抽样确定两区间抽取人数，利用列举法确定总的基本事件数，以及岁中被抽取的人恰好又分在同一组的基本事件数，最后根据古典概型概率公式求结果.
（1）
结合频率分布直方图可知，第二组的频率为，
所以第二组高为．故补全频率分布直方图如下：
结合人数统计表与频率分布直方图，可知第一组的人数为，频率为，所以；
因为第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为，所以；
因为第四组的频率为，所以第四组的人数为，所以．
（2）
因为岁年龄段的“低碳族”与岁年龄段的“低碳族”的比为，
所以采用分层抽样法抽取6人，则在岁中抽取4人，在岁中抽取2人．
设年龄在中被抽取的4个人分别为：；
年龄在岁中被抽取的2个人分别为：；
则总的基本事件有：,,,,,……，共20个；
记“岁中被抽取的人恰好有分在同一组” 为事件C，而事件C包含的基本事件有8个；
所以.
【点睛】频率分布直方图中小长方形面积等于对应区间的概率,所有小长方形面积之和为1; 频率分布直方图中组中值与对应区间概率乘积的和为平均数; 频率分布直方图中小长方形面积之比等于对应概率之比,也等于对应频数之比.
组数
分组
“环保族”人数
占本组的频率
第一组
45
0.75
第二组
25
第三组
20
0.5
第四组
0.2
第五组
3
0.1
满意度评分
低于分
分到分
不低于分
满意度等级
级（不满意）
级（满意）
级（非常满意）
序号
分组（岁）
本组中“低碳族”人数
“低碳族”人数在本组所占的比例
1
[25, 30)
120
0.6
2
[30, 35)
195
p
3
[35, 40)
100
0.5
4
[40, 45)
a
0.4
5
[45, 50)
30
0.3
6
[55, 60)
15
0.3
相关试卷
专题10 统计-2023-2024学年高一数学下学期期中期末重难点冲刺（苏教版2019必修第二册）： 这是一份专题10 统计-2023-2024学年高一数学下学期期中期末重难点冲刺（苏教版2019必修第二册），文件包含专题10统计原卷版docx、专题10统计解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共40页， 欢迎下载使用。
专题09 立体几何初步（难点）-2023-2024学年高一数学下学期期中期末重难点冲刺（苏教版2019必修第二册）： 这是一份专题09 立体几何初步（难点）-2023-2024学年高一数学下学期期中期末重难点冲刺（苏教版2019必修第二册），文件包含专题09立体几何初步难点原卷版docx、专题09立体几何初步难点解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共53页， 欢迎下载使用。
专题07 复数-2023-2024学年高一数学下学期期中期末重难点冲刺（苏教版2019必修第二册）： 这是一份专题07 复数-2023-2024学年高一数学下学期期中期末重难点冲刺（苏教版2019必修第二册），文件包含专题07复数原卷版docx、专题07复数解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共38页， 欢迎下载使用。
