特训01 期中压轴题（江苏精选归纳）-2023-2024学年高一数学下学期期中期末重难点冲刺（苏教版2019必修第二册）

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1．（2022春·江苏苏州·高一江苏省沙溪高级中学校考期中）在锐角中，，点为的外心.
(1)若，求的最大值；
(2)若，
（i）求证：；
（ii）求的取值范围.
2．（2022春·江苏苏州·高一星海实验中学校考期中）如图，在中，点为中点，点为的三等分点，且靠近点，设，，，，且，与交于点.
(1)求；
(2)若点为线段上的任意一点，连接，求的取值范围.
3．（2022春·江苏淮安·高一江苏省郑梁梅高级中学校考阶段练习）如图所示，是的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于，两点.
(1)求证：；
(2)设，，，，求的值；
(3)如果是边长为的等边三角形，求的取值范围.
4．（2021春·江苏泰州·高一泰州中学校考期中）在△中，满足：，M是的中点.
（1）若O是线段上任意一点，且，求的最小值；
（2）若点P是内一点，且，，，求的最小值.
5．（2021春·江苏南京·高一金陵中学校考阶段练习）如图，在直角梯形中，为上靠近B的三等分点，交于为线段上的一个动点．
（1）用和表示；
（2）求；
（3）设，求的取值范围．
6．（2020秋·江苏无锡·高三校考阶段练习）已知，，设.
（1）当时，求的值域；
（2）若锐角满足，且不等式恒成立，求的取值范围.
7．（2021春·江苏常州·高一常州市北郊高级中学校考阶段练习）在中，满足：，M是的中点.
（1）若，求向量与向量的夹角的余弦值；
（2）若O是线段上任意一点，且，求的最小值：
（3）若点P是内一点，且，，，求的最小值.
8．（2022秋·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考开学考试）
是边长为1的正三角形，点四等分线段（如图所示）．
(1)求的值；
(2)若是线段的等分点，，其中，，，求的值；
(3)为边上一动点，当取最小值时，求的长．
9．（2022春·江苏无锡·高一江苏省天一中学校考期中）已知平面直角坐标系中，点，点（其中a，b为常数，且），点O为坐标原点.如图所示，设点是线段的n等分点，其中，
(1)当时，求的值（用含a，b的式子表示）；
(2)当时，求的最小值.
（说明：可能用到的计算公式：.）
10．（2022春·江苏南通·高一统考期末）由两角和差公式我们得到倍角公式，实际上也可以表示为的三次多项式．
(1)试用表示
(2)求的值
(3)已知方程在上有三个根，记为，，，求证：．
11．（2022秋·江苏盐城·高三盐城市伍佑中学校考阶段练习）如图，扇形AOB的圆心角为，半径为1．点P是上任一点，设．
(1)记，求的表达式；
(2)若，求的取值范围．
12．（2022春·江苏宿迁·高一统考期中）如图，风景区的形状是如图所示的扇形OAB区域，其半径为4千米，圆心角为60°，点C在弧AB上．现在风景区中规划三条商业街道DE、CD、CE，要求街道DC与OA平行，交OB于点D，街道DE与OA垂直（垂足E在OA上）．
(1)如果弧BC的长为弧CA长的三分之一，求三条商业街道围成的△CDE的面积；
(2)试求街道CE长度的最小值．
13．（2022春·江苏淮安·高一金湖中学校联考期中）随着私家车的逐渐增多，居民小区“停车难”问题日益突出．本市某居民小区为缓解“停车难”问题，拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的入口和进入后的直角转弯处的平面设计示意图．
(1)按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据该图1所示数据计算限定高度CD的值．（精确到0.1m）（下列数据提供参考：，，）
(2)在车库内有一条直角拐弯车道，车道的平面图如图2所示，车道宽为3米，现有一辆转动灵活的小汽车，在其水平截面图为矩形ABCD，它的宽AD为1.8米，直线CD与直角车道的外壁相交于E、F．
①若小汽车卡在直角车道内（即A、B分别在PE、PF上，点O在CD上）（rad），求水平截面的长（即AB的长，用表示）
②若小汽车水平截面的长为4.4米，问此车是否能顺利通过此直角拐弯车道？
14．（2022春·江苏苏州·高一常熟中学校考阶段练习）已知函数．
(1)当时，求的值域；
(2)当，时，设，且关于直线对称，当时，方程恰有两个不等的实根，求实数的取值范围；
(3)当，，时，若实数，，使得对任意实数恒成立，求的值．
15．（2021春·江苏扬州·高一扬州大学附属中学校考阶段练习）阅读下面材料：
，解答下列问题：
（1）用表示；
（2）若函数，，求的值域.
16．（2021春·江苏·高一校联考期中）定义：为实数对的“正弦方差”.
（1）若，证明：实数对的“正弦方差”的值是与无关的定值；
（2）若，若实数对的“正弦方差”的值是与无关的定值，求值.
17．（2022春·江苏南京·高一校考阶段练习）已知函数，（）的最小正周期为．任取，若函数在区间上的最大值为，最小是为，记．
（1）求的解析式及对称轴方程；
（2）当时，求函数的解析式；
（3）设函数，，其中为参数，且满足关于的不等式有解．若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围．
18．（2020秋·江苏连云港·高一江苏省板浦高级中学校考期末）如图，在半径为，圆心角为60°的扇形的弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点N，M在OB上，设矩形PNMQ的面积为y.

（1）按下列要求写出函数的关系式：
①设PN＝x，将y表示成x的函数关系式；
②设∠POB＝θ，将y表示成θ的函数关系式；
（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，求出y的最大值.
19．（2021春·江苏扬州·高一仪征中学校考阶段练习）已知向量，，函数，，.
（1）当时，求的值；
（2）若的最小值为，求实数的值；
（3）是否存在实数，使函数，有四个不同的零点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.
20．（2021春·江苏南通·高一统考期末）已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数.
（1）设函数，试求的伴随向量；
（2）记向量的伴随函数为，求当且时的值；
（3）由（1）中函数的图象（纵坐标不变）横坐标伸长为原来的2倍，再把整个图象向右平移个单位长度得到的图象，已知，，问在的图象上是否存在一点P，使得.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.
21．（2021春·江苏·高一吴江中学校考阶段练习）设为坐标原点，定义非零向量，的“相伴函数”为，
向量，称为函数的“相伴向量”．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为．
(1)设函数，求证：；
(2)记，的“相伴函数”为，若函数，，与直线有且仅有四个不同的交点，求实数的取值范围；
(3)已知点，满足，向量的“相伴函数”在处取得最大值．当点运动时，求的取值范围．
22．（2023春·江苏无锡·高一江苏省太湖高级中学校考阶段练习）在路边安装路灯，灯柱与地面垂直（满足），灯杆与灯柱所在平面与道路垂直，且，路灯采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知，路宽．设灯柱高，．
(1)当时，求四边形的面积；
(2)求灯柱的高（用表示）；
(3)若灯杆与灯柱所用材料相同，记此用料长度和为，求关于的函数表达式，并求出的最小值．
23．（2023·江苏·高一专题练习）燕山公园计划改造一块四边形区域铺设草坪，其中百米，百米，，，草坪内需要规划条人行道、、、以及两条排水沟、，其中、、分别为边、、的中点．
(1)若，求的余弦值；
(2)若，求排水沟的长；
(3)当变化时，求条人行道总长度的最大值．（单位百米）
24．（2022秋·江苏常州·高二常州市北郊高级中学校考开学考试）如图，某公园改建一个三角形池塘，，百米，百米，现准备养一批观赏鱼供游客观赏.
(1)若在△ABC内部取一点P，建造连廊供游客观赏，方案一如图①，使得点P是等腰三角形PBC的顶点，且，求连廊的长（单位为百米）；
(2)若分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，并建造连廊，使得△DEF变成池中池，放养更名贵的鱼类供游客观赏：方案二如图②，使得△DEF为正三角形，设为图②中△DEF的面积，求的最小值；方案三如图③，使得DE平行于AB，且EF垂直于DE，设为图③中△DEF的面积，求的取值范围.
25．（2022春·江苏常州·高一统考期末）在中，角，，所对的边分别为，，.已知，，是边上一点.
(1)求的值；
(2)若.
①求证：平分；
②求面积的最大值及此时的长.
26．（2022春·江苏南京·高一统考期末）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝6，P，Q为边BC上两点，＝2，∠CAQ＝．
(1)求AQ的长；
(2)过线段AP中点E作一条直线l，分别交边AB，AC于M，N两点，设，（xy≠0），求x+y的最小值．
27．（2021春·江苏无锡·高一校考阶段练习）某农场有一块等腰直角三角形的空地ABC，其中斜边BC的长度为400米，为迎接“五一“观光游，欲在边界BC上选择一点P，修建现赏小径PM，PN，其中M，N分别在边界AB，AC上，小径PM，PN与边界BC的夹角都是60°，区域PMB和区域PNC内种植郁金香，区域AMPN内种植月季花，
(1)探究“赏小径PM，PN的长度之和是否为定值?请说明理由
(2)为深度体验观赏，准备在月季花区域内修建小径MN，当点P在何处时，三条小径（PM，PN，MN）的长度之和最小?
(3)求郁金香区域面积之和的最小值.
28．（2022春·江苏南京·高一南京师大附中校考期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，.
(1)求证：是直角三角形；
(2)已知，，点P，Q是边AC上的两个动点（P，Q不重合），记.
①当时，设的面积为，求的最小值；
②记，.问：是否存在实常数和，对于所有满足题意的，，都有成立？若存在，求出和的值；若不存在，说明理由.
29．（2022春·江苏苏州·高一苏州市相城区陆慕高级中学校考阶段练习）现有长度分别为1，2，3，4的线段各1条，将它们全部用上，首尾依次相连地放在桌面上，可组成周长为10的三角形或四边形.
（1）求出所有可能的三角形的面积；
（2）如图，已知平面凸四边形中，，，，.
①求满足的数量关系；
②求四边形面积的最大值，并指出面积最大时的值.
30．（2022春·江苏苏州·高一校考期中）如图，在圆O的内接四边形中，，记的面积为，的面积为，.
（1）若，求的值；
（2）若，求的最大值；
（3）若，求的最大值，并写出此时的值.
31．（2021春·江苏南京·高一金陵中学校考阶段练习）（1）在复数范围内解方程（为虚数单位）
（2）设是虚数，是实数，且
（i）求的值及的实部的取值范围；
（ii）设，求证：为纯虚数；
（iii）在（ii）的条件下求的最小值．