华师一附中2024届高三数学选填专项训练（2）

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，集合，定义，则子集的个数是（ ）
A．B．C．D．10
【答案】B
【详解】因为，，所以，，
又，
则有2种情况，有5种情况，则由乘法原理可得的元素个数有个，
所以子集的个数是.
故选：B
2.已知，则关于命题“，使得”的叙述正确的是（ ）
A．假命题，它的否定形式是“，使得”
B．假命题，它的否定形式是“，使得”
C．真命题，它的否定形式是“，使得”
D．真命题，它的否定形式是“，使得”
【答案】B
【详解】，，当且仅当时取等号，
当时，，当且仅当时取等号，
显然，，因此时，不存在，使得成立，
所以命题“，使得”是假命题，其否定为“，使得”.
故选：B
3.已知是等比数列，则“，”是“为递增数列”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】因为是等比数列，设公比为，则，
当，时，，即，
若，则或，
注意到，当时，，与假设矛盾，舍去，
故，此时，则为递增数列；
若，则，
注意到，当时，，与假设矛盾，舍去，
故，此时，则为递增数列；
综上：当，时，为递增数列，即充分性成立；
当为递增数列时，，即，成立，即必要性成立；
所以“，”是“为递增数列”的充分必要条件.
故选：C.
4.若，且为钝角，则（ ）
A．有最小值B．有最小值
C．有最大值D．有最大值
【答案】C
【详解】解：因为，则，
所以，
即，于是有，
所以，
因为为钝角，所以，于是有，
当且仅当，即时等号成立，所以有最大值，无最小值.
故选：C.
5.已知表示不超过的最大整数，例如，，方程的解集为，集合，且，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】由题意可得，解得或 ，
所以或，
所以
，
当时，，由，
则，解得；
当时，，此时不成立，故不取；
当时，，
则，解得，
综上所述，实数的取值范围是.
故选：D
6.函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因，又当时，，
当，，时，，
则，
，
当，，时，，
则，
，
作出函数的大致图象，
对任意，都有，
设的最大值为，则，且，所以，解得
所以m的最大值为.
故选：A.
7.已知函数（为自然对数的底数），则函数的零点个数为（ ）
A．3B．5C．7D．9
【答案】C
【详解】设，令可得：,
对于，，故在处切线的斜率值为，
设与相切于点，
切线斜率，则切线方程为：，
即，解得：；
由于，故作出与图象如下图所示，
与有四个不同交点，即与有四个不同交点，
设三个交点为，由图象可知：，
作出函数的图象如图，
由此可知与无交点，与有三个不同交点，与各有两个不同交点，
的零点个数为7个，
故选：C
8.已知函数，，记函数，若函数恰有三个不同的零点，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由的解析式，可知在上单调递增，
且值域为，在上单调递增，且值域为，
函数的图像如图所示，
所以在的值域上，任意函数值都有两个值与之对应，
在值域上，任意函数值都有一个值与之对应.
要使恰有三个不同的零点，
则与的交点的横坐标一个在上，另一个在上，
由的图像开口向上且对称轴为，易知，
此时，且，
结合的图像及，得，
则，
所以，且，
令，，则.
当时，单调递增；当时，单调递减.
所以，故的最大值为.
二、多选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的，后又经历了贝努利､欧拉等人的改译.1821年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着确定时，则称最初的变数叫自变量，其他的变数叫做函数．德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨．后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地，设是两个非空的数集，如果按某种对应法则，对于集合中的每一个元素，在集合中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应叫做从到的一个函数”．下列对应法则满足函数定义的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【详解】解：对于A中，令，可得，则，所以不满足函数的定义，所以A不正确；
对于B中，令，则，则，满足函数的定义，所以B正确；
对于C中，令，则，所以，满足函数的定义，所以C正确；
对于D中，由于函数中的每一个值，都有唯一的一个与之对应，
所以满足函数的定义，所以D正确.
故选：BCD.
10.在平面直角坐标系中，点到两个定点，的距离的积等于，记点的轨迹为曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．曲线关于坐标轴对称B．周长的最小值为
C．面积的最大值为D．点到原点距离的最小值为
【答案】ABD
【详解】对于A：设，由得，即，
以替换方程不变，替换方程不变，所以曲线关于坐标轴对称，故A正确；
对于B，的周长，
当且仅当时等号成立，故B正确；
对于C，
，当且仅当时，等号成立.
所以当，即时，取得最大值，
所以的最大面积为，故C错误；
对于D，由，
即，即，即,
当且仅当，即时等号成立，故D正确.
故选：ABD
11.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为七界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如：，，又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（ ）
A．， B．，
C．，，若，则有 D．方程的解集为
【答案】BCD
【详解】对于A：取，，故A错误；
对于B：设,
，
当时，，，则 ，
则，,故当时成立.
当时，，则 ，
则，故当时成立.
综上B正确.
对于C：设，则，，则，因此，故C正确;
对于D：由知，一定为整数且 ，
所以，所以，所以 ，
由得，
由解得 ，只能取，
由解得 或(舍)，故，
所以或，
当时，当时，
所以方程的解集为，
故选：BCD.
12.已知函数，函数的图象在点和点处的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，若，则（ ）
A． B．的取值范围是
C．直线AM与BN的交点的横坐标恒为1 D．的取值范围是
【答案】ABD
【详解】不妨设，，则，，
当时，
当时
由导数的几何意义知，．
因为的图象在A，B两点处的切线互相垂直，所以，即．
对于A，因为，所以A正确．
对于B，因为：，：，
则，，所以，所以B正确．
对于C，当时，，
即直线AM与BN的交点的横坐标恒小于1，所以C错误．
对于D，，所以D正确．
故选：ABD．
12.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 对于函数,其中,若的定义域与值域相同,则非零实数a的值为 .
【答案】-4
【详解】函数，其中
若，由于，即，
∴对于正数b，的定义域为:，
但的值域，故，不合要求.
若，对于正数b，的定义域为.
由于此时，故函数的值域.
由题意，有，由于，所以.
故答案为：﹣4
14.已知定义在整数集合上的函数，对任意的，，都有且，则 .
【答案】
【详解】中，
令得：，
所以，故，即，
所以，将代替得：，从而得到，
即为周期为6的函数，
由于，
故，
中，
令得：，因为，所以，
令得：，因为，所以，
令得：，即，解得：，
令得：，即，解得：，
令得：，即，解得：，
从而，
故.
故答案为：.
15.已知函数，记在R上的最小值为，则的最大值为__________.
【答案】1
【详解】，，
当，即时，，函数在上单调递减，
在上单调递增，
，，，，
当且，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，
，
当，即时，，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
综上，
当时，，
所以.
16.、分别是曲线和上任意两点，则最小为 .
【答案】
【分析】设点，，表示出，根据基本不等式得出.然后证明以及，结合零点存在定理得出等号成立时的取值，检验满足基本不等式等号成立的条件，即可得出答案.
【详解】因为，
当且仅当时，等号成立，所以.
设点，分别是两曲线上的动点，
则
，（*）
当且仅当时，等号成立.
由，
令，则.
由，可得.
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增.
所以在处取得极小值，也是最小值，
所以.
令，显然单调递增.
又，所以，当且仅当时等号成立.
令，则.
由，可得.
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增.
所以在处取得极小值，也是最小值，
所以，所以，当且仅当时等号成立.
因为当，时，有，，
即满足基本不等式（*）成立的条件，
所以，
所以.
故答案为：.
2024届高三数学选填题专项训练（二）答题卡
姓名 分数

选择题

填空题
13 . 14.
15. . 16. ,
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12