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初中数学苏科版七年级下册12.2 证明同步练习题
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这是一份初中数学苏科版七年级下册12.2 证明同步练习题，共24页。
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，其中选择8道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022秋•绿园区期末）如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1＝85°，∠2＝50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是（ ）
A．15°B．25°C．35°D．50°
2．（2022春•五华县期末）如图，要使AD∥BC，则需要添加的条件是（ ）
A．∠A＝∠CBEB．∠A＝∠CC．∠C＝∠CBED．∠A+∠D＝180°
3．（2022•南通模拟）如图，下列四个选项中不能判断AD∥BC的是（ ）
A．∠1＝∠3B．∠B+∠BAD＝180°
C．∠D＝∠5D．∠2＝∠4
4．（2022•十堰模拟）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，下列能判定DE∥AC的条件是（ ）
A．∠1＝∠3B．∠3＝∠CC．∠2＝∠4D．∠1+∠2＝180°
5．（2022春•洪山区期末）如图，给出下列几个条件：①∠1＝∠4；②∠3＝∠5；③∠2+∠5＝180°；④∠2+∠4＝180°，不能判断直线a∥b的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
6．（2022春•阳谷县期末）如图，下列不能判定DE∥BC的条件是（ ）
A．∠B＝∠ADEB．∠2＝∠4
C．∠1＝∠3D．∠ACB+∠DEC＝180°
7．（2022春•常州期末）甲、乙、丙3人从图书馆各借了一本书（如下表所示），他们相约在每个星期天相互交换读完的书，经过数次交换后，他们都读完了这3本书．已知甲读的第三本书是乙读的第二本书，则丙读的第二本书是（ ）
A．书AB．书BC．书CD．无法确定
8．（2022•工业园区校级自主招生）甲、乙、丙共3人参加三项知识竞赛，每项知识竞赛第一名到第三名的分数依次为10，5，3．竞赛全部结束后，甲获得其中两项的第一名及总分第一名，则下列说法错误的是（ ）
A．第二名、第三名的总分之和为29分或31分
B．第二名的总分可能超过18分
C．第三名的总分共有3种情形
D．第三名不可能获得其中任何一场比赛的第一名
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上
9．（2022春•恩施市期末）如图，下列条件：①∠1＝∠2；②∠BAD+∠ADC＝180°；③∠ABC＝∠ADC；④∠3＝∠4；其中能判定AB∥CD的是 （填序号）．
10．（2022春•肥城市期中）如图，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，要使AB∥CD，则∠E的大小为 ．
11．（2022春•黄陂区期中）如图，在四边形ABCD中，点E是AB延长线上一点，请添加一个条件，使AB∥CD，那么可以添加的条件是 （写出一个即可）．
12．（2022春•济南期中）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，若满足条件 ，则有AE∥BF（要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可）
13．（2023春•饶平县校级期末）如图，下列条件中：
（1）∠B+∠BCD＝180°；
（2）∠1＝∠2；
（3）∠3＝∠4；
（4）∠B＝∠5，能判定AB∥CD的条件个数有 个．
14．（2013秋•翠屏区校级期末）如图，AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+…+∠2n＝ 度．
15．（2016春•新昌县校级期中）如图，a∥b，直线a，b被直线c所截，AC1，BC1分别平分∠EAB，∠FBA，AC2，BC2分别平分∠EAC1，∠FBC1；AC3，BC3分别平分∠EAC2，∠FBC2交于点C3…依次规律，得点∁n，则∠C3＝ 度，∠∁n＝ 度．
16．（2019春•桥西区期末）两条平行直线上各有n个点，用这对点按如下的规则连接线段：①平行线之间的点在连线最段时，可以有共同的端点，但不能有其它交点；②符合①要求的线段必须全部画出．图1展示了当n＝1时的情况，此时图中三角形的个数为0；图2展示了当n＝2时的一种情况，此时图中三角形的个数为2；图3展示了当n＝3时的一种情况，此时图中三角形的个数为4；试猜想当n＝2018时，按照上述规则画出的图形中，三角形最少有 个．
三、解答题（本大题共8小题，共68分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2023春•广陵区校级期末）（1）如图，已知∠A＝∠C，若AB∥CD，则BC∥AD．请说明理由．
理由如下：
∵AB∥CD（已知），
∴∠ABE＝∠ （ ）．
∵∠A＝∠C（已知），
∴ （ ）．
∴BC∥AD（ ）．
（2）请写出问题（1）的逆命题，并判断它是真命题还是假命题，真命题请写出证明过程，假命题举出反例．
18．（2022春•靖江市期末）已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，E为边AB上一点，F为边BC上一点，连接AF交CE于点G，给出以下信息；①CE⊥AB，②∠CGF＝∠CFG，③AF平分∠BAC．请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条作为结论组成一个命题．试判断这个命题是否正确，并说明理由．
你选择的条件是 ；结论是 （只要填写序号）．
19．（2022春•海门市期末）如图，有三个论断：①∠1＝∠2；②∠B＝∠C；③∠A＝∠D，请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个真命题，并加以证明．
已知： ．结论： ．
20．（2022春•镇江期末）【阅读】在证明命题“如果a＞b＞0，c＜0，那么a2+bc＞ab+ac”时，小明的证明方法如下：
证明：∵a＞b＞0，
∴a2＞ .∴a2+bc＞ ．
∵a＞b，c＜0，
∴bc＞ .∴ab+bc＞ ．
∴a2+bc＞ab+ac．
【问题解决】
（1）请将上面的证明过程填写完整；
（2）有以下几个条件：①a＞b，②a＜b，③a＜0，④b＜0．
请从中选择两个作为已知条件，得出结论|a|＞|b|．
你选择的条件序号是 ，并给出证明过程．
21．（2022春•姜堰区期末）如图，
直线EF分别交直线AB、CD于点M、N，AB∥CD，请从以下信息：
①MG平分∠EMB；
②NH平分∠CNF；
③MG∥NH中选择两个作为补充条件，剩下的作为结论组成一个真命题，并加以证明．
你选择 作为补充条件， 作为结论．（只填序号）
22．（2022春•兴化市期末）如图，已知直线EF∥GH，给出下列信息：
①AC⊥BC；②BC平分∠DCH；③∠ACD＝∠DAC．
（1）请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 ，结论是 （只要填写序号），并说明理由；
（2）在（1）的条件下，若∠ACG比∠BCH的2倍少3度，求∠DAC的度数．
23．（2019春•江城区期中）（1）如图，设DE∥BC，∠1＝∠3，CD⊥AB，求证：FG⊥AB；
（2）若把（1）的题设中的DE∥BC”与结论中的“FG⊥AB”对调后，命题还成立吗？说明理由；
（3）若把（1）的题设中的“∠1＝∠3”与结论中的“FG⊥AB”对调后，命题还成立吗？说明理由．
24．（2020春•赣榆区期末）在数学课本中，有这样一道题：
如图1，AB∥CD，试用不同的方法证明∠B+∠C＝∠BEC
（1）某同学写出了该命题的逆命题，请你帮他把逆命题的证明过程补充完整．
已知：如图1，∠B+∠C＝∠BEC
求证：AB∥CD
证明：如图2，过点E，作EF∥AB
∴∠B＝∠
∵∠B+∠C＝∠BEC，∠BEF+∠FEC＝∠BEC（已知）
∴∠B+∠C＝∠BEF+∠FEC（等量代换）
∴∠ ＝∠ （等式性质）
∴EF∥
∵EF∥AB
∴AB∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）
（2）如图3，已知AB∥CD，在∠BCD的平分线上取两个点M、N，使得∠BMN＝∠BNM，求证：∠CBM＝∠ABN．
（3）如图4，已知AB∥CD，点E在BC的左侧，∠ABE，∠DCE的平分线相交于点F．请直接写出∠E与∠F之间的等量关系．
甲
乙
丙
书A
书B
书C
专题12..2证明专项提升训练
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，其中选择8道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022秋•绿园区期末）如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1＝85°，∠2＝50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是（ ）
A．15°B．25°C．35°D．50°
【分析】根据同位角相等两直线平行，求出旋转后∠2的同位角的度数，然后用∠1减去即可得到木条a旋转的度数．
【解答】解：∵∠AOC＝∠2＝50°时，OA∥b，
∴要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是85°﹣50°＝35°．
故选：C．
2．（2022春•五华县期末）如图，要使AD∥BC，则需要添加的条件是（ ）
A．∠A＝∠CBEB．∠A＝∠CC．∠C＝∠CBED．∠A+∠D＝180°
【分析】依据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，即可得到添加的条件．
【解答】解：A、∵∠A＝∠CBE，∴AD∥BF，符合题意；
B、由∠A＝∠C无法得到AD∥BF，不符合题意；
C、由∠C＝∠CBE，只能得到AB∥CD，无法得到AD∥BF，不符合题意；
D、由∠A+∠D＝180°，只能得到AB∥CD，无法得到AD∥BF，不符合题意；
故选：A．
3．（2022•南通模拟）如图，下列四个选项中不能判断AD∥BC的是（ ）
A．∠1＝∠3B．∠B+∠BAD＝180°
C．∠D＝∠5D．∠2＝∠4
【分析】直接利用平行线的判定定理分析得出答案．
【解答】解：A、∵∠1＝∠3，
∴AD∥BC，故此选项不符合题意；
B、∵∠B+∠BAD＝180°，
∴AD∥BC，故此选项不符合题意；
C、∵∠D＝∠5，
∴AD∥BC，故此选项不符合题意；
D、∵∠2＝∠4，
∴AB∥CD，故此选项符合题意；
故选：D．
4．（2022•十堰模拟）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，下列能判定DE∥AC的条件是（ ）
A．∠1＝∠3B．∠3＝∠CC．∠2＝∠4D．∠1+∠2＝180°
【分析】直接利用平行线的判定方法分别分析得出答案．
【解答】解：A、当∠1＝∠3时，EF∥BC，不符合题意；
B、当∠3＝∠C时，DE∥AC，符合题意；
C、当∠2＝∠4时，无法得到DE∥AC，不符合题意；
D、当∠1+∠2＝180°时，EF∥BC，不符合题意．
故选：B．
5．（2022春•洪山区期末）如图，给出下列几个条件：①∠1＝∠4；②∠3＝∠5；③∠2+∠5＝180°；④∠2+∠4＝180°，不能判断直线a∥b的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据平行线的判定方法，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：①∵∠1＝∠4，
∴a∥b；
②∵∠3＝∠5，
∴a∥b，
③∵∠2+∠5＝180°，
∴a∥b，
④∠2+∠4＝180°，不能判断直线a∥b．
故不能判断直线a∥b的有1个．
故选：A．
6．（2022春•阳谷县期末）如图，下列不能判定DE∥BC的条件是（ ）
A．∠B＝∠ADEB．∠2＝∠4
C．∠1＝∠3D．∠ACB+∠DEC＝180°
【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．依据平行线的判定方法进行判断即可．
【解答】解：A、∠B＝∠ADE，能判定DE∥BC，不符合题意；
B、∠2＝∠4，能判定DE∥BC，不符合题意；
C、∠1＝∠3，能判定DF∥EC，符合题意；
D、∠ACB+∠DEC＝180°，能判定DE∥BC，不符合题意．
故选：C．
7．（2022春•常州期末）甲、乙、丙3人从图书馆各借了一本书（如下表所示），他们相约在每个星期天相互交换读完的书，经过数次交换后，他们都读完了这3本书．已知甲读的第三本书是乙读的第二本书，则丙读的第二本书是（ ）
A．书AB．书BC．书CD．无法确定
【分析】根据甲、乙、丙3人从图书馆各借了一本书，在每个星期天相互交换读完的书，得出3人交换书的所有情况，进而得出乙读的第一本书是甲读的第二本书．
【解答】解：∵3人分别读了A，B，C三本书，则
甲：A，B，C，
乙：B，C，A，
丙：C，A，B，
∵甲读的第三本书是乙读的第二本书，
∴丙读的第二本书是甲的第一本书．
故选：A．
8．（2022•工业园区校级自主招生）甲、乙、丙共3人参加三项知识竞赛，每项知识竞赛第一名到第三名的分数依次为10，5，3．竞赛全部结束后，甲获得其中两项的第一名及总分第一名，则下列说法错误的是（ ）
A．第二名、第三名的总分之和为29分或31分
B．第二名的总分可能超过18分
C．第三名的总分共有3种情形
D．第三名不可能获得其中任何一场比赛的第一名
【分析】根据给定条件按甲的得分情况分类，再求出第二名、第三名的得分即可判断作答．
【解答】解：依题意，甲的得分情况有两种：10，10，5或10，10，3，
显然3人的总得分为54分，甲得分为10，10，5时，第二名、第三名的总分之和为29分，
甲得分为10，10，3时，第二名、第三名的总分之和为31分，A正确；
甲得分为10，10，5时，第二名得分有三种情况：5，5，10；5，3，10；3，3，10，总分分别为20分，18分，16分，
第三名得分对应有三种情况：3，3，3；3，5，3；5，5，3，总分分别为9分，11 分，13分，
甲得分为10，10，3时，第二名得分有三种情况：5，5，10；5，3，10；3，3，10，总分分别为20分，18 分，16分，
第三名得分对应有三种情况：3，3，5；3，5，5；5，5，5，总分分别为11 分，13分，15分，
选项B，D正确，第三名总分有4种情况，C不正确．
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上
9．（2022春•恩施市期末）如图，下列条件：①∠1＝∠2；②∠BAD+∠ADC＝180°；③∠ABC＝∠ADC；④∠3＝∠4；其中能判定AB∥CD的是 ①② （填序号）．
【分析】根据平行线的判定方法分别进行分析即可．
【解答】解：①∵∠1＝∠2，∴AB∥CD；
②∵∠BAD+∠ADC＝180°，∴AB∥CD；
③∵∠ABC＝∠ADC，不能判定AB∥CD；
④∵∠3＝∠4，∴AD∥BC；
故答案为：①②．
10．（2022春•肥城市期中）如图，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，要使AB∥CD，则∠E的大小为 90° ．
【分析】由AB∥CD，根据平行线的性质，可得∠BAC+∠ACB＝180°，又由AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，可得∠1+∠2的值，继而求得答案．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACB＝180°，
∵AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，
∴∠1＝∠BAC，∠2＝∠ACB，
∴∠1+∠2＝（∠BAC+∠ACB）＝90°，
∴∠E＝180°﹣（∠1+∠2）＝90°．
故答案为：90°．
11．（2022春•黄陂区期中）如图，在四边形ABCD中，点E是AB延长线上一点，请添加一个条件，使AB∥CD，那么可以添加的条件是 ∠A+∠D＝180° （写出一个即可）．
【分析】直接利用平行线的判定方法得出答案．
【解答】解：当∠A+∠D＝180°时，则AB∥CD．
故答案为：∠A+∠D＝180°（答案不唯一）．
12．（2022春•济南期中）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，若满足条件 ∠5＝∠A ，则有AE∥BF（要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可）
【分析】根据平行线的判定：同位角相等，两直线平行是解决问题的关键．
【解答】解：满足条件为：∠5＝∠A（答案不唯一），理由如下：
∵∠5＝∠A，
∴AE∥BF（同位角相等，两直线平行），
故答案为：∠5＝∠A（答案不唯一）．
13．（2023春•饶平县校级期末）如图，下列条件中：
（1）∠B+∠BCD＝180°；
（2）∠1＝∠2；
（3）∠3＝∠4；
（4）∠B＝∠5，能判定AB∥CD的条件个数有 3 个．
【分析】根据平行线的判定定理即可判断．
【解答】解：（1）∠B+∠BCD＝180°，则AB∥CD；
（2）∠1＝∠2，则AD∥BC；
（3）∠3＝∠4，则AB∥CD；
（4）∠B＝∠5，则AB∥CD，
故能判定AB∥CD的条件个数有3个．
故答案为：3．
14．（2013秋•翠屏区校级期末）如图，AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+…+∠2n＝ 180（2n﹣1） 度．
【分析】本题主要利用两直线平行，同旁内角互补进行做题．
【解答】解：在转折的地方依次作AB的平行线，
根据两直线平行，同旁内角互补得∠1+∠2+∠3+…+∠2n＝180（2n﹣1）度．
故填180（2n﹣1）．
15．（2016春•新昌县校级期中）如图，a∥b，直线a，b被直线c所截，AC1，BC1分别平分∠EAB，∠FBA，AC2，BC2分别平分∠EAC1，∠FBC1；AC3，BC3分别平分∠EAC2，∠FBC2交于点C3…依次规律，得点∁n，则∠C3＝ 22.5 度，∠∁n＝ 度．
【分析】根据a∥b以及AC1，BC1分别平分∠EAB，即可得出∴∠C1＝90°，写出部分∠∁n的度数，根据数据的变化找出变化规律“∠∁n＝°”，依此规矩即可得出结论．
【解答】解：∵a∥b，
∴∠EAB+∠ABF＝180°，
∵AC1，BC1分别平分∠EAB，
∴∠C1＝90°．
观察，发现规律：∠C1＝90°，∠C2＝∠C1＝45°，∠C3＝∠C2＝22.5°，∠C4＝∠C3＝11.25°，…，
∴∠∁n＝°．
故答案为：22.5；．
16．（2019春•桥西区期末）两条平行直线上各有n个点，用这对点按如下的规则连接线段：①平行线之间的点在连线最段时，可以有共同的端点，但不能有其它交点；②符合①要求的线段必须全部画出．图1展示了当n＝1时的情况，此时图中三角形的个数为0；图2展示了当n＝2时的一种情况，此时图中三角形的个数为2；图3展示了当n＝3时的一种情况，此时图中三角形的个数为4；试猜想当n＝2018时，按照上述规则画出的图形中，三角形最少有 4034 个．
【分析】探究规律，利用规律解决问题即可．
【解答】解：当n＝1时的情况，此时图中三角形的个数为0，有0＝2（1﹣1）．
当n＝2时的一种情况，此时图中三角形的个数为2，有2＝2（2﹣1）．
…
故当有n对点时，最少可以画2（n﹣1）个三角形．
∴n＝2018时，有2×2017＝4034个三角形．
故答案为4034．
三、解答题（本大题共8小题，共68分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2023春•广陵区校级期末）（1）如图，已知∠A＝∠C，若AB∥CD，则BC∥AD．请说明理由．
理由如下：
∵AB∥CD（已知），
∴∠ABE＝∠ C （ 两直线平行，同位角相等 ）．
∵∠A＝∠C（已知），
∴ ∠ABE＝∠A （ 等量代换 ）．
∴BC∥AD（ 内错角相等，两直线平行 ）．
（2）请写出问题（1）的逆命题，并判断它是真命题还是假命题，真命题请写出证明过程，假命题举出反例．
【分析】（1）根据平行线的判定定理和性质定理证明即可；
（2）根据逆命题的概念写出原命题的逆命题，根据平行线的判定定理和性质定理证明即可．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD（已知），
∴∠ABE＝∠C（两直线平行，同位角相等），
∵∠A＝∠C（已知），
∴∠ABE＝∠A（等量代换），
∴BC∥AD （内错角相等，两直线平行）；
（2）问题（1）的逆命题，已知∠A＝∠C，若BC∥AD，则AB∥CD，它是真命题，
证明：∵BC∥AD，（已知），
∴∠ABE＝∠A（两直线平行，内错角相等），
∵∠A＝∠C（已知），
∴∠ABE＝∠C（等量代换），
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．
18．（2022春•靖江市期末）已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，E为边AB上一点，F为边BC上一点，连接AF交CE于点G，给出以下信息；①CE⊥AB，②∠CGF＝∠CFG，③AF平分∠BAC．请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条作为结论组成一个命题．试判断这个命题是否正确，并说明理由．
你选择的条件是 ①② ；结论是 ③ （只要填写序号）．
【分析】以①②为条件，蝴蝶型三角形CFG和AEG（或8字型），可通过直角三角形两锐角互余及等量代换推出∠GAE＝∠CAF．
【解答】解：①②，③．
理由如下：∵∠CGF＝∠CFG，∠CGF＝∠AGE，
∴∠CFG＝∠AGE，
∵CE⊥AB，∠ACB＝90°，
∴∠AGE+∠GAE＝90°，∠CFA+∠CAF＝90°，
∴∠GAE＝∠CAF，
∴BE平分∠ABC．
19．（2022春•海门市期末）如图，有三个论断：①∠1＝∠2；②∠B＝∠C；③∠A＝∠D，请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个真命题，并加以证明．
已知： ①② ．结论： ③ ．
【分析】根据题意，请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，根据平行线的判定和性质及对顶角相等进行证明．
【解答】解：已知：①∠1＝∠2，②∠B＝∠C；结论：③∠A＝∠D；
证明：∵∠1＝∠3，
又∵∠1＝∠2，
∴∠3＝∠2，
∴EC∥BF，
∴∠AEC＝∠B，
又∵∠B＝∠C，
∴∠AEC＝∠C，
∴AB∥CD，
∴∠A＝∠D．
故答案为：①，②；③；
20．（2022春•镇江期末）【阅读】在证明命题“如果a＞b＞0，c＜0，那么a2+bc＞ab+ac”时，小明的证明方法如下：
证明：∵a＞b＞0，
∴a2＞ ab .∴a2+bc＞ ab+bc ．
∵a＞b，c＜0，
∴bc＞ ac .∴ab+bc＞ ab+ac ．
∴a2+bc＞ab+ac．
【问题解决】
（1）请将上面的证明过程填写完整；
（2）有以下几个条件：①a＞b，②a＜b，③a＜0，④b＜0．
请从中选择两个作为已知条件，得出结论|a|＞|b|．
你选择的条件序号是 ②④． ，并给出证明过程．
【分析】（1）根据不等式的基本性质填空；
（2）根据两个负数，绝对值大的反而小解答即可．
【解答】（1）证明：∵a＞b＞0，
∴a2＞ab，
.∴a2+bc＞ab+bc，
∵a＞b，c＜0，
∴bc＞ac，
∴ab+bc＞ab+ac，
∴a2+bc＞ab+ac，
故答案为：ab，ab+bc，ac，ab+ac；
（2）∵a＜b，b＜0，
∴|a|＞|b|，依据：两个负数，绝对值大的反而小，
故答案为：②④．
21．（2022春•姜堰区期末）如图，
直线EF分别交直线AB、CD于点M、N，AB∥CD，请从以下信息：
①MG平分∠EMB；
②NH平分∠CNF；
③MG∥NH中选择两个作为补充条件，剩下的作为结论组成一个真命题，并加以证明．
你选择 ①② 作为补充条件， ③ 作为结论．（只填序号）
【分析】选择①②为补充条件，则有结论③；设直线HN交AB于P，如图，根据平行线的性质可证明∠BME＝∠CNF，再根据角平分线的性质得到∠EMG＝∠FNH，然后证明∠EMG＝∠ENP，从而得到MG∥NH．
【解答】解：补充条件：①②，结论：③．
证明：设直线HN交AB于P，如图，
∵AB∥CD，
∴∠EMB＝∠DNE，
∵∠DNE＝∠CNF，
∴∠BME＝∠CNF，
∵MG平分∠EMB，NH平分∠CNF，
∴∠EMG＝EMB，∠FNH＝∠CNF，
∴∠EMG＝∠FNH，
∵∠FNH＝∠ENP，
∴∠EMG＝∠ENP，
∴MG∥NH．
故答案为：①②；③．
22．（2022春•兴化市期末）如图，已知直线EF∥GH，给出下列信息：
①AC⊥BC；②BC平分∠DCH；③∠ACD＝∠DAC．
（1）请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 ②③ ，结论是 ① （只要填写序号），并说明理由；
（2）在（1）的条件下，若∠ACG比∠BCH的2倍少3度，求∠DAC的度数．
【分析】（1）选择的条件是②③，结论是①，由EF∥GH，得∠ACG＝∠DAC，从而∠ACG＝∠ACD，又BC平分∠DCH，得∠DCB＝∠BCH，即可得∠ACB＝90°，故AC⊥BC；
（2）设∠BCH＝x°，可得x°+（2x﹣3）°＝90°，即可解得∠ACG＝（2x﹣3）°＝59°，故∠DAC＝∠ACG＝59°．
【解答】解：（1）选择的条件是②③，结论是①，理由如下：
∵EF∥GH，
∴∠ACG＝∠DAC，
∵∠ACD＝∠DAC，
∴∠ACG＝∠ACD，
∵BC平分∠DCH，
∴∠DCB＝∠BCH，
∴∠ACG+∠BCH＝∠ACD+∠DCB＝×180°＝90°，
即∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC；
（2）设∠BCH＝x°，则∠ACG＝（2x﹣3）°，
∵∠ACG+∠BCH＝90°，
∴x°+（2x﹣3）°＝90°，
解得x＝31，
∴∠ACG＝（2x﹣3）°＝59°，
∴∠DAC＝∠ACG＝59°．
23．（2019春•江城区期中）（1）如图，设DE∥BC，∠1＝∠3，CD⊥AB，求证：FG⊥AB；
（2）若把（1）的题设中的DE∥BC”与结论中的“FG⊥AB”对调后，命题还成立吗？说明理由；
（3）若把（1）的题设中的“∠1＝∠3”与结论中的“FG⊥AB”对调后，命题还成立吗？说明理由．
【分析】（1）根据平行线的性质推出∠1＝∠2，求出∠2＝∠3，根据平行线的判定得出CD∥FG，根据平行线的性质得出即可；
（2）求出CD∥FG，根据平行线的性质得出∠2＝∠3，求出∠1＝∠2，根据平行线的判定得出即可；
（3）求出CD∥FG，根据平行线的性质得出∠2＝∠3，∠1＝∠2，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵DE∥BC，
∴∠1＝∠2，
∵∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴CD∥FG，
∵CD⊥AB，
∴FG⊥AB；
（2）成立，
理由是：∵FG⊥AB，CD⊥AB，
∴CD∥FG，
∴∠2＝∠3，
∵∠1＝∠3，
∴∠1＝∠2，
∴DE∥BC；
（3）成立，
理由是：∵FG⊥AB，CD⊥AB，
∴CD∥FG，
∴∠2＝∠3，
∵DE∥BC，
∴∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3．
24．（2020春•赣榆区期末）在数学课本中，有这样一道题：
如图1，AB∥CD，试用不同的方法证明∠B+∠C＝∠BEC
（1）某同学写出了该命题的逆命题，请你帮他把逆命题的证明过程补充完整．
已知：如图1，∠B+∠C＝∠BEC
求证：AB∥CD
证明：如图2，过点E，作EF∥AB
∴∠B＝∠ BEF
∵∠B+∠C＝∠BEC，∠BEF+∠FEC＝∠BEC（已知）
∴∠B+∠C＝∠BEF+∠FEC（等量代换）
∴∠ C ＝∠ CEF （等式性质）
∴EF∥ CD
∵EF∥AB
∴AB∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）
（2）如图3，已知AB∥CD，在∠BCD的平分线上取两个点M、N，使得∠BMN＝∠BNM，求证：∠CBM＝∠ABN．
（3）如图4，已知AB∥CD，点E在BC的左侧，∠ABE，∠DCE的平分线相交于点F．请直接写出∠E与∠F之间的等量关系．
【分析】（1）过E作EF∥AB，则∠B＝∠BEF，证出∠D＝∠DEF，得出EF∥CD，即可得出结论；
（2）过点N作NG∥AB，交BM于点G，则NG∥AB∥CD，由平行线的性质得出∠ABN＝∠BNG，∠GNC＝∠NCD，由三角形的外角性质得出∠BMN＝∠BCM+∠CBM，证出∠BCM+∠CBM＝∠BNG+∠GNC，得出∠BCM+∠CBM＝∠ABN+∠NCD，由角平分线得出∠BCM＝∠NCD，即可得出结论；
（3）如图4，分别过E，F作EG∥AB，FH∥AB，则EG∥CD，FH∥CD，
根据平行线的性质和角平分线的定义即可得到结论．
【解答】（1）证明：如图2，过点E，作EF∥AB，
∴∠B＝∠BEF，
∵∠B+∠C＝∠BEC，∠BEF+∠FEC＝∠BEC（已知），
∴∠B+∠C＝∠BEF+∠FEC（等量代换），
∴∠C＝∠CEF（等式性质），
∴EF∥CD，
∵EF∥AB，
∴AB∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）；
故答案为：BEF，C，CEF，CD；
（2）证明：过点N作NG∥AB，交BM于点G，如图3所示：
则NG∥AB∥CD，
∴∠ABN＝∠BNG，∠GNC＝∠NCD，
∵∠BMN是△BCM的一个外角，
∴∠BMN＝∠BCM+∠CBM，
又∵∠BMN＝∠BNM，∠BNM＝∠BNG+∠GNC，
∴∠BCM+∠CBM＝∠BNG+∠GNC，
∴∠BCM+∠CBM＝∠ABN+∠NCD，
∵CN平分∠BCD，
∴∠BCM＝∠NCD，
∴∠CBM＝∠ABN；
（3）解：∠BEC＝2∠BFC，
理由：如图4，分别过E，F作EG∥AB，FH∥AB，则EG∥CD，FH∥CD，
∴∠BEG＝∠ABE，∠CEG＝∠DCE，
∴∠BEC＝∠BEG+∠CEG＝∠ABE+∠DCE，
同理可得∠BFC＝∠ABF+∠DCF，
∵∠ABE，∠DCE的平分线相交于点F，
∴∠ABE＝2∠ABF，∠DCE＝2∠DCF，
∴∠BEC＝2（∠ABF+∠DCF）＝2∠BFC．
甲
乙
丙
书A
书B
书C
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，其中选择8道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022秋•绿园区期末）如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1＝85°，∠2＝50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是（ ）
A．15°B．25°C．35°D．50°
2．（2022春•五华县期末）如图，要使AD∥BC，则需要添加的条件是（ ）
A．∠A＝∠CBEB．∠A＝∠CC．∠C＝∠CBED．∠A+∠D＝180°
3．（2022•南通模拟）如图，下列四个选项中不能判断AD∥BC的是（ ）
A．∠1＝∠3B．∠B+∠BAD＝180°
C．∠D＝∠5D．∠2＝∠4
4．（2022•十堰模拟）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，下列能判定DE∥AC的条件是（ ）
A．∠1＝∠3B．∠3＝∠CC．∠2＝∠4D．∠1+∠2＝180°
5．（2022春•洪山区期末）如图，给出下列几个条件：①∠1＝∠4；②∠3＝∠5；③∠2+∠5＝180°；④∠2+∠4＝180°，不能判断直线a∥b的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
6．（2022春•阳谷县期末）如图，下列不能判定DE∥BC的条件是（ ）
A．∠B＝∠ADEB．∠2＝∠4
C．∠1＝∠3D．∠ACB+∠DEC＝180°
7．（2022春•常州期末）甲、乙、丙3人从图书馆各借了一本书（如下表所示），他们相约在每个星期天相互交换读完的书，经过数次交换后，他们都读完了这3本书．已知甲读的第三本书是乙读的第二本书，则丙读的第二本书是（ ）
A．书AB．书BC．书CD．无法确定
8．（2022•工业园区校级自主招生）甲、乙、丙共3人参加三项知识竞赛，每项知识竞赛第一名到第三名的分数依次为10，5，3．竞赛全部结束后，甲获得其中两项的第一名及总分第一名，则下列说法错误的是（ ）
A．第二名、第三名的总分之和为29分或31分
B．第二名的总分可能超过18分
C．第三名的总分共有3种情形
D．第三名不可能获得其中任何一场比赛的第一名
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上
9．（2022春•恩施市期末）如图，下列条件：①∠1＝∠2；②∠BAD+∠ADC＝180°；③∠ABC＝∠ADC；④∠3＝∠4；其中能判定AB∥CD的是 （填序号）．
10．（2022春•肥城市期中）如图，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，要使AB∥CD，则∠E的大小为 ．
11．（2022春•黄陂区期中）如图，在四边形ABCD中，点E是AB延长线上一点，请添加一个条件，使AB∥CD，那么可以添加的条件是 （写出一个即可）．
12．（2022春•济南期中）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，若满足条件 ，则有AE∥BF（要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可）
13．（2023春•饶平县校级期末）如图，下列条件中：
（1）∠B+∠BCD＝180°；
（2）∠1＝∠2；
（3）∠3＝∠4；
（4）∠B＝∠5，能判定AB∥CD的条件个数有 个．
14．（2013秋•翠屏区校级期末）如图，AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+…+∠2n＝ 度．
15．（2016春•新昌县校级期中）如图，a∥b，直线a，b被直线c所截，AC1，BC1分别平分∠EAB，∠FBA，AC2，BC2分别平分∠EAC1，∠FBC1；AC3，BC3分别平分∠EAC2，∠FBC2交于点C3…依次规律，得点∁n，则∠C3＝ 度，∠∁n＝ 度．
16．（2019春•桥西区期末）两条平行直线上各有n个点，用这对点按如下的规则连接线段：①平行线之间的点在连线最段时，可以有共同的端点，但不能有其它交点；②符合①要求的线段必须全部画出．图1展示了当n＝1时的情况，此时图中三角形的个数为0；图2展示了当n＝2时的一种情况，此时图中三角形的个数为2；图3展示了当n＝3时的一种情况，此时图中三角形的个数为4；试猜想当n＝2018时，按照上述规则画出的图形中，三角形最少有 个．
三、解答题（本大题共8小题，共68分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2023春•广陵区校级期末）（1）如图，已知∠A＝∠C，若AB∥CD，则BC∥AD．请说明理由．
理由如下：
∵AB∥CD（已知），
∴∠ABE＝∠ （ ）．
∵∠A＝∠C（已知），
∴ （ ）．
∴BC∥AD（ ）．
（2）请写出问题（1）的逆命题，并判断它是真命题还是假命题，真命题请写出证明过程，假命题举出反例．
18．（2022春•靖江市期末）已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，E为边AB上一点，F为边BC上一点，连接AF交CE于点G，给出以下信息；①CE⊥AB，②∠CGF＝∠CFG，③AF平分∠BAC．请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条作为结论组成一个命题．试判断这个命题是否正确，并说明理由．
你选择的条件是 ；结论是 （只要填写序号）．
19．（2022春•海门市期末）如图，有三个论断：①∠1＝∠2；②∠B＝∠C；③∠A＝∠D，请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个真命题，并加以证明．
已知： ．结论： ．
20．（2022春•镇江期末）【阅读】在证明命题“如果a＞b＞0，c＜0，那么a2+bc＞ab+ac”时，小明的证明方法如下：
证明：∵a＞b＞0，
∴a2＞ .∴a2+bc＞ ．
∵a＞b，c＜0，
∴bc＞ .∴ab+bc＞ ．
∴a2+bc＞ab+ac．
【问题解决】
（1）请将上面的证明过程填写完整；
（2）有以下几个条件：①a＞b，②a＜b，③a＜0，④b＜0．
请从中选择两个作为已知条件，得出结论|a|＞|b|．
你选择的条件序号是 ，并给出证明过程．
21．（2022春•姜堰区期末）如图，
直线EF分别交直线AB、CD于点M、N，AB∥CD，请从以下信息：
①MG平分∠EMB；
②NH平分∠CNF；
③MG∥NH中选择两个作为补充条件，剩下的作为结论组成一个真命题，并加以证明．
你选择 作为补充条件， 作为结论．（只填序号）
22．（2022春•兴化市期末）如图，已知直线EF∥GH，给出下列信息：
①AC⊥BC；②BC平分∠DCH；③∠ACD＝∠DAC．
（1）请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 ，结论是 （只要填写序号），并说明理由；
（2）在（1）的条件下，若∠ACG比∠BCH的2倍少3度，求∠DAC的度数．
23．（2019春•江城区期中）（1）如图，设DE∥BC，∠1＝∠3，CD⊥AB，求证：FG⊥AB；
（2）若把（1）的题设中的DE∥BC”与结论中的“FG⊥AB”对调后，命题还成立吗？说明理由；
（3）若把（1）的题设中的“∠1＝∠3”与结论中的“FG⊥AB”对调后，命题还成立吗？说明理由．
24．（2020春•赣榆区期末）在数学课本中，有这样一道题：
如图1，AB∥CD，试用不同的方法证明∠B+∠C＝∠BEC
（1）某同学写出了该命题的逆命题，请你帮他把逆命题的证明过程补充完整．
已知：如图1，∠B+∠C＝∠BEC
求证：AB∥CD
证明：如图2，过点E，作EF∥AB
∴∠B＝∠
∵∠B+∠C＝∠BEC，∠BEF+∠FEC＝∠BEC（已知）
∴∠B+∠C＝∠BEF+∠FEC（等量代换）
∴∠ ＝∠ （等式性质）
∴EF∥
∵EF∥AB
∴AB∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）
（2）如图3，已知AB∥CD，在∠BCD的平分线上取两个点M、N，使得∠BMN＝∠BNM，求证：∠CBM＝∠ABN．
（3）如图4，已知AB∥CD，点E在BC的左侧，∠ABE，∠DCE的平分线相交于点F．请直接写出∠E与∠F之间的等量关系．
甲
乙
丙
书A
书B
书C
专题12..2证明专项提升训练
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，其中选择8道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022秋•绿园区期末）如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1＝85°，∠2＝50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是（ ）
A．15°B．25°C．35°D．50°
【分析】根据同位角相等两直线平行，求出旋转后∠2的同位角的度数，然后用∠1减去即可得到木条a旋转的度数．
【解答】解：∵∠AOC＝∠2＝50°时，OA∥b，
∴要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是85°﹣50°＝35°．
故选：C．
2．（2022春•五华县期末）如图，要使AD∥BC，则需要添加的条件是（ ）
A．∠A＝∠CBEB．∠A＝∠CC．∠C＝∠CBED．∠A+∠D＝180°
【分析】依据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，即可得到添加的条件．
【解答】解：A、∵∠A＝∠CBE，∴AD∥BF，符合题意；
B、由∠A＝∠C无法得到AD∥BF，不符合题意；
C、由∠C＝∠CBE，只能得到AB∥CD，无法得到AD∥BF，不符合题意；
D、由∠A+∠D＝180°，只能得到AB∥CD，无法得到AD∥BF，不符合题意；
故选：A．
3．（2022•南通模拟）如图，下列四个选项中不能判断AD∥BC的是（ ）
A．∠1＝∠3B．∠B+∠BAD＝180°
C．∠D＝∠5D．∠2＝∠4
【分析】直接利用平行线的判定定理分析得出答案．
【解答】解：A、∵∠1＝∠3，
∴AD∥BC，故此选项不符合题意；
B、∵∠B+∠BAD＝180°，
∴AD∥BC，故此选项不符合题意；
C、∵∠D＝∠5，
∴AD∥BC，故此选项不符合题意；
D、∵∠2＝∠4，
∴AB∥CD，故此选项符合题意；
故选：D．
4．（2022•十堰模拟）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，下列能判定DE∥AC的条件是（ ）
A．∠1＝∠3B．∠3＝∠CC．∠2＝∠4D．∠1+∠2＝180°
【分析】直接利用平行线的判定方法分别分析得出答案．
【解答】解：A、当∠1＝∠3时，EF∥BC，不符合题意；
B、当∠3＝∠C时，DE∥AC，符合题意；
C、当∠2＝∠4时，无法得到DE∥AC，不符合题意；
D、当∠1+∠2＝180°时，EF∥BC，不符合题意．
故选：B．
5．（2022春•洪山区期末）如图，给出下列几个条件：①∠1＝∠4；②∠3＝∠5；③∠2+∠5＝180°；④∠2+∠4＝180°，不能判断直线a∥b的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据平行线的判定方法，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：①∵∠1＝∠4，
∴a∥b；
②∵∠3＝∠5，
∴a∥b，
③∵∠2+∠5＝180°，
∴a∥b，
④∠2+∠4＝180°，不能判断直线a∥b．
故不能判断直线a∥b的有1个．
故选：A．
6．（2022春•阳谷县期末）如图，下列不能判定DE∥BC的条件是（ ）
A．∠B＝∠ADEB．∠2＝∠4
C．∠1＝∠3D．∠ACB+∠DEC＝180°
【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．依据平行线的判定方法进行判断即可．
【解答】解：A、∠B＝∠ADE，能判定DE∥BC，不符合题意；
B、∠2＝∠4，能判定DE∥BC，不符合题意；
C、∠1＝∠3，能判定DF∥EC，符合题意；
D、∠ACB+∠DEC＝180°，能判定DE∥BC，不符合题意．
故选：C．
7．（2022春•常州期末）甲、乙、丙3人从图书馆各借了一本书（如下表所示），他们相约在每个星期天相互交换读完的书，经过数次交换后，他们都读完了这3本书．已知甲读的第三本书是乙读的第二本书，则丙读的第二本书是（ ）
A．书AB．书BC．书CD．无法确定
【分析】根据甲、乙、丙3人从图书馆各借了一本书，在每个星期天相互交换读完的书，得出3人交换书的所有情况，进而得出乙读的第一本书是甲读的第二本书．
【解答】解：∵3人分别读了A，B，C三本书，则
甲：A，B，C，
乙：B，C，A，
丙：C，A，B，
∵甲读的第三本书是乙读的第二本书，
∴丙读的第二本书是甲的第一本书．
故选：A．
8．（2022•工业园区校级自主招生）甲、乙、丙共3人参加三项知识竞赛，每项知识竞赛第一名到第三名的分数依次为10，5，3．竞赛全部结束后，甲获得其中两项的第一名及总分第一名，则下列说法错误的是（ ）
A．第二名、第三名的总分之和为29分或31分
B．第二名的总分可能超过18分
C．第三名的总分共有3种情形
D．第三名不可能获得其中任何一场比赛的第一名
【分析】根据给定条件按甲的得分情况分类，再求出第二名、第三名的得分即可判断作答．
【解答】解：依题意，甲的得分情况有两种：10，10，5或10，10，3，
显然3人的总得分为54分，甲得分为10，10，5时，第二名、第三名的总分之和为29分，
甲得分为10，10，3时，第二名、第三名的总分之和为31分，A正确；
甲得分为10，10，5时，第二名得分有三种情况：5，5，10；5，3，10；3，3，10，总分分别为20分，18分，16分，
第三名得分对应有三种情况：3，3，3；3，5，3；5，5，3，总分分别为9分，11 分，13分，
甲得分为10，10，3时，第二名得分有三种情况：5，5，10；5，3，10；3，3，10，总分分别为20分，18 分，16分，
第三名得分对应有三种情况：3，3，5；3，5，5；5，5，5，总分分别为11 分，13分，15分，
选项B，D正确，第三名总分有4种情况，C不正确．
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上
9．（2022春•恩施市期末）如图，下列条件：①∠1＝∠2；②∠BAD+∠ADC＝180°；③∠ABC＝∠ADC；④∠3＝∠4；其中能判定AB∥CD的是 ①② （填序号）．
【分析】根据平行线的判定方法分别进行分析即可．
【解答】解：①∵∠1＝∠2，∴AB∥CD；
②∵∠BAD+∠ADC＝180°，∴AB∥CD；
③∵∠ABC＝∠ADC，不能判定AB∥CD；
④∵∠3＝∠4，∴AD∥BC；
故答案为：①②．
10．（2022春•肥城市期中）如图，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，要使AB∥CD，则∠E的大小为 90° ．
【分析】由AB∥CD，根据平行线的性质，可得∠BAC+∠ACB＝180°，又由AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，可得∠1+∠2的值，继而求得答案．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACB＝180°，
∵AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，
∴∠1＝∠BAC，∠2＝∠ACB，
∴∠1+∠2＝（∠BAC+∠ACB）＝90°，
∴∠E＝180°﹣（∠1+∠2）＝90°．
故答案为：90°．
11．（2022春•黄陂区期中）如图，在四边形ABCD中，点E是AB延长线上一点，请添加一个条件，使AB∥CD，那么可以添加的条件是 ∠A+∠D＝180° （写出一个即可）．
【分析】直接利用平行线的判定方法得出答案．
【解答】解：当∠A+∠D＝180°时，则AB∥CD．
故答案为：∠A+∠D＝180°（答案不唯一）．
12．（2022春•济南期中）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，若满足条件 ∠5＝∠A ，则有AE∥BF（要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可）
【分析】根据平行线的判定：同位角相等，两直线平行是解决问题的关键．
【解答】解：满足条件为：∠5＝∠A（答案不唯一），理由如下：
∵∠5＝∠A，
∴AE∥BF（同位角相等，两直线平行），
故答案为：∠5＝∠A（答案不唯一）．
13．（2023春•饶平县校级期末）如图，下列条件中：
（1）∠B+∠BCD＝180°；
（2）∠1＝∠2；
（3）∠3＝∠4；
（4）∠B＝∠5，能判定AB∥CD的条件个数有 3 个．
【分析】根据平行线的判定定理即可判断．
【解答】解：（1）∠B+∠BCD＝180°，则AB∥CD；
（2）∠1＝∠2，则AD∥BC；
（3）∠3＝∠4，则AB∥CD；
（4）∠B＝∠5，则AB∥CD，
故能判定AB∥CD的条件个数有3个．
故答案为：3．
14．（2013秋•翠屏区校级期末）如图，AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+…+∠2n＝ 180（2n﹣1） 度．
【分析】本题主要利用两直线平行，同旁内角互补进行做题．
【解答】解：在转折的地方依次作AB的平行线，
根据两直线平行，同旁内角互补得∠1+∠2+∠3+…+∠2n＝180（2n﹣1）度．
故填180（2n﹣1）．
15．（2016春•新昌县校级期中）如图，a∥b，直线a，b被直线c所截，AC1，BC1分别平分∠EAB，∠FBA，AC2，BC2分别平分∠EAC1，∠FBC1；AC3，BC3分别平分∠EAC2，∠FBC2交于点C3…依次规律，得点∁n，则∠C3＝ 22.5 度，∠∁n＝ 度．
【分析】根据a∥b以及AC1，BC1分别平分∠EAB，即可得出∴∠C1＝90°，写出部分∠∁n的度数，根据数据的变化找出变化规律“∠∁n＝°”，依此规矩即可得出结论．
【解答】解：∵a∥b，
∴∠EAB+∠ABF＝180°，
∵AC1，BC1分别平分∠EAB，
∴∠C1＝90°．
观察，发现规律：∠C1＝90°，∠C2＝∠C1＝45°，∠C3＝∠C2＝22.5°，∠C4＝∠C3＝11.25°，…，
∴∠∁n＝°．
故答案为：22.5；．
16．（2019春•桥西区期末）两条平行直线上各有n个点，用这对点按如下的规则连接线段：①平行线之间的点在连线最段时，可以有共同的端点，但不能有其它交点；②符合①要求的线段必须全部画出．图1展示了当n＝1时的情况，此时图中三角形的个数为0；图2展示了当n＝2时的一种情况，此时图中三角形的个数为2；图3展示了当n＝3时的一种情况，此时图中三角形的个数为4；试猜想当n＝2018时，按照上述规则画出的图形中，三角形最少有 4034 个．
【分析】探究规律，利用规律解决问题即可．
【解答】解：当n＝1时的情况，此时图中三角形的个数为0，有0＝2（1﹣1）．
当n＝2时的一种情况，此时图中三角形的个数为2，有2＝2（2﹣1）．
…
故当有n对点时，最少可以画2（n﹣1）个三角形．
∴n＝2018时，有2×2017＝4034个三角形．
故答案为4034．
三、解答题（本大题共8小题，共68分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2023春•广陵区校级期末）（1）如图，已知∠A＝∠C，若AB∥CD，则BC∥AD．请说明理由．
理由如下：
∵AB∥CD（已知），
∴∠ABE＝∠ C （ 两直线平行，同位角相等 ）．
∵∠A＝∠C（已知），
∴ ∠ABE＝∠A （ 等量代换 ）．
∴BC∥AD（ 内错角相等，两直线平行 ）．
（2）请写出问题（1）的逆命题，并判断它是真命题还是假命题，真命题请写出证明过程，假命题举出反例．
【分析】（1）根据平行线的判定定理和性质定理证明即可；
（2）根据逆命题的概念写出原命题的逆命题，根据平行线的判定定理和性质定理证明即可．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD（已知），
∴∠ABE＝∠C（两直线平行，同位角相等），
∵∠A＝∠C（已知），
∴∠ABE＝∠A（等量代换），
∴BC∥AD （内错角相等，两直线平行）；
（2）问题（1）的逆命题，已知∠A＝∠C，若BC∥AD，则AB∥CD，它是真命题，
证明：∵BC∥AD，（已知），
∴∠ABE＝∠A（两直线平行，内错角相等），
∵∠A＝∠C（已知），
∴∠ABE＝∠C（等量代换），
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．
18．（2022春•靖江市期末）已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，E为边AB上一点，F为边BC上一点，连接AF交CE于点G，给出以下信息；①CE⊥AB，②∠CGF＝∠CFG，③AF平分∠BAC．请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条作为结论组成一个命题．试判断这个命题是否正确，并说明理由．
你选择的条件是 ①② ；结论是 ③ （只要填写序号）．
【分析】以①②为条件，蝴蝶型三角形CFG和AEG（或8字型），可通过直角三角形两锐角互余及等量代换推出∠GAE＝∠CAF．
【解答】解：①②，③．
理由如下：∵∠CGF＝∠CFG，∠CGF＝∠AGE，
∴∠CFG＝∠AGE，
∵CE⊥AB，∠ACB＝90°，
∴∠AGE+∠GAE＝90°，∠CFA+∠CAF＝90°，
∴∠GAE＝∠CAF，
∴BE平分∠ABC．
19．（2022春•海门市期末）如图，有三个论断：①∠1＝∠2；②∠B＝∠C；③∠A＝∠D，请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个真命题，并加以证明．
已知： ①② ．结论： ③ ．
【分析】根据题意，请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，根据平行线的判定和性质及对顶角相等进行证明．
【解答】解：已知：①∠1＝∠2，②∠B＝∠C；结论：③∠A＝∠D；
证明：∵∠1＝∠3，
又∵∠1＝∠2，
∴∠3＝∠2，
∴EC∥BF，
∴∠AEC＝∠B，
又∵∠B＝∠C，
∴∠AEC＝∠C，
∴AB∥CD，
∴∠A＝∠D．
故答案为：①，②；③；
20．（2022春•镇江期末）【阅读】在证明命题“如果a＞b＞0，c＜0，那么a2+bc＞ab+ac”时，小明的证明方法如下：
证明：∵a＞b＞0，
∴a2＞ ab .∴a2+bc＞ ab+bc ．
∵a＞b，c＜0，
∴bc＞ ac .∴ab+bc＞ ab+ac ．
∴a2+bc＞ab+ac．
【问题解决】
（1）请将上面的证明过程填写完整；
（2）有以下几个条件：①a＞b，②a＜b，③a＜0，④b＜0．
请从中选择两个作为已知条件，得出结论|a|＞|b|．
你选择的条件序号是 ②④． ，并给出证明过程．
【分析】（1）根据不等式的基本性质填空；
（2）根据两个负数，绝对值大的反而小解答即可．
【解答】（1）证明：∵a＞b＞0，
∴a2＞ab，
.∴a2+bc＞ab+bc，
∵a＞b，c＜0，
∴bc＞ac，
∴ab+bc＞ab+ac，
∴a2+bc＞ab+ac，
故答案为：ab，ab+bc，ac，ab+ac；
（2）∵a＜b，b＜0，
∴|a|＞|b|，依据：两个负数，绝对值大的反而小，
故答案为：②④．
21．（2022春•姜堰区期末）如图，
直线EF分别交直线AB、CD于点M、N，AB∥CD，请从以下信息：
①MG平分∠EMB；
②NH平分∠CNF；
③MG∥NH中选择两个作为补充条件，剩下的作为结论组成一个真命题，并加以证明．
你选择 ①② 作为补充条件， ③ 作为结论．（只填序号）
【分析】选择①②为补充条件，则有结论③；设直线HN交AB于P，如图，根据平行线的性质可证明∠BME＝∠CNF，再根据角平分线的性质得到∠EMG＝∠FNH，然后证明∠EMG＝∠ENP，从而得到MG∥NH．
【解答】解：补充条件：①②，结论：③．
证明：设直线HN交AB于P，如图，
∵AB∥CD，
∴∠EMB＝∠DNE，
∵∠DNE＝∠CNF，
∴∠BME＝∠CNF，
∵MG平分∠EMB，NH平分∠CNF，
∴∠EMG＝EMB，∠FNH＝∠CNF，
∴∠EMG＝∠FNH，
∵∠FNH＝∠ENP，
∴∠EMG＝∠ENP，
∴MG∥NH．
故答案为：①②；③．
22．（2022春•兴化市期末）如图，已知直线EF∥GH，给出下列信息：
①AC⊥BC；②BC平分∠DCH；③∠ACD＝∠DAC．
（1）请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 ②③ ，结论是 ① （只要填写序号），并说明理由；
（2）在（1）的条件下，若∠ACG比∠BCH的2倍少3度，求∠DAC的度数．
【分析】（1）选择的条件是②③，结论是①，由EF∥GH，得∠ACG＝∠DAC，从而∠ACG＝∠ACD，又BC平分∠DCH，得∠DCB＝∠BCH，即可得∠ACB＝90°，故AC⊥BC；
（2）设∠BCH＝x°，可得x°+（2x﹣3）°＝90°，即可解得∠ACG＝（2x﹣3）°＝59°，故∠DAC＝∠ACG＝59°．
【解答】解：（1）选择的条件是②③，结论是①，理由如下：
∵EF∥GH，
∴∠ACG＝∠DAC，
∵∠ACD＝∠DAC，
∴∠ACG＝∠ACD，
∵BC平分∠DCH，
∴∠DCB＝∠BCH，
∴∠ACG+∠BCH＝∠ACD+∠DCB＝×180°＝90°，
即∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC；
（2）设∠BCH＝x°，则∠ACG＝（2x﹣3）°，
∵∠ACG+∠BCH＝90°，
∴x°+（2x﹣3）°＝90°，
解得x＝31，
∴∠ACG＝（2x﹣3）°＝59°，
∴∠DAC＝∠ACG＝59°．
23．（2019春•江城区期中）（1）如图，设DE∥BC，∠1＝∠3，CD⊥AB，求证：FG⊥AB；
（2）若把（1）的题设中的DE∥BC”与结论中的“FG⊥AB”对调后，命题还成立吗？说明理由；
（3）若把（1）的题设中的“∠1＝∠3”与结论中的“FG⊥AB”对调后，命题还成立吗？说明理由．
【分析】（1）根据平行线的性质推出∠1＝∠2，求出∠2＝∠3，根据平行线的判定得出CD∥FG，根据平行线的性质得出即可；
（2）求出CD∥FG，根据平行线的性质得出∠2＝∠3，求出∠1＝∠2，根据平行线的判定得出即可；
（3）求出CD∥FG，根据平行线的性质得出∠2＝∠3，∠1＝∠2，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵DE∥BC，
∴∠1＝∠2，
∵∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴CD∥FG，
∵CD⊥AB，
∴FG⊥AB；
（2）成立，
理由是：∵FG⊥AB，CD⊥AB，
∴CD∥FG，
∴∠2＝∠3，
∵∠1＝∠3，
∴∠1＝∠2，
∴DE∥BC；
（3）成立，
理由是：∵FG⊥AB，CD⊥AB，
∴CD∥FG，
∴∠2＝∠3，
∵DE∥BC，
∴∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3．
24．（2020春•赣榆区期末）在数学课本中，有这样一道题：
如图1，AB∥CD，试用不同的方法证明∠B+∠C＝∠BEC
（1）某同学写出了该命题的逆命题，请你帮他把逆命题的证明过程补充完整．
已知：如图1，∠B+∠C＝∠BEC
求证：AB∥CD
证明：如图2，过点E，作EF∥AB
∴∠B＝∠ BEF
∵∠B+∠C＝∠BEC，∠BEF+∠FEC＝∠BEC（已知）
∴∠B+∠C＝∠BEF+∠FEC（等量代换）
∴∠ C ＝∠ CEF （等式性质）
∴EF∥ CD
∵EF∥AB
∴AB∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）
（2）如图3，已知AB∥CD，在∠BCD的平分线上取两个点M、N，使得∠BMN＝∠BNM，求证：∠CBM＝∠ABN．
（3）如图4，已知AB∥CD，点E在BC的左侧，∠ABE，∠DCE的平分线相交于点F．请直接写出∠E与∠F之间的等量关系．
【分析】（1）过E作EF∥AB，则∠B＝∠BEF，证出∠D＝∠DEF，得出EF∥CD，即可得出结论；
（2）过点N作NG∥AB，交BM于点G，则NG∥AB∥CD，由平行线的性质得出∠ABN＝∠BNG，∠GNC＝∠NCD，由三角形的外角性质得出∠BMN＝∠BCM+∠CBM，证出∠BCM+∠CBM＝∠BNG+∠GNC，得出∠BCM+∠CBM＝∠ABN+∠NCD，由角平分线得出∠BCM＝∠NCD，即可得出结论；
（3）如图4，分别过E，F作EG∥AB，FH∥AB，则EG∥CD，FH∥CD，
根据平行线的性质和角平分线的定义即可得到结论．
【解答】（1）证明：如图2，过点E，作EF∥AB，
∴∠B＝∠BEF，
∵∠B+∠C＝∠BEC，∠BEF+∠FEC＝∠BEC（已知），
∴∠B+∠C＝∠BEF+∠FEC（等量代换），
∴∠C＝∠CEF（等式性质），
∴EF∥CD，
∵EF∥AB，
∴AB∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）；
故答案为：BEF，C，CEF，CD；
（2）证明：过点N作NG∥AB，交BM于点G，如图3所示：
则NG∥AB∥CD，
∴∠ABN＝∠BNG，∠GNC＝∠NCD，
∵∠BMN是△BCM的一个外角，
∴∠BMN＝∠BCM+∠CBM，
又∵∠BMN＝∠BNM，∠BNM＝∠BNG+∠GNC，
∴∠BCM+∠CBM＝∠BNG+∠GNC，
∴∠BCM+∠CBM＝∠ABN+∠NCD，
∵CN平分∠BCD，
∴∠BCM＝∠NCD，
∴∠CBM＝∠ABN；
（3）解：∠BEC＝2∠BFC，
理由：如图4，分别过E，F作EG∥AB，FH∥AB，则EG∥CD，FH∥CD，
∴∠BEG＝∠ABE，∠CEG＝∠DCE，
∴∠BEC＝∠BEG+∠CEG＝∠ABE+∠DCE，
同理可得∠BFC＝∠ABF+∠DCF，
∵∠ABE，∠DCE的平分线相交于点F，
∴∠ABE＝2∠ABF，∠DCE＝2∠DCF，
∴∠BEC＝2（∠ABF+∠DCF）＝2∠BFC．
甲
乙
丙
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书B
书C
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