甘肃省民乐县第一中学2024届高三上学期第二次诊断（期中）考试数学试卷(含答案)

这是一份甘肃省民乐县第一中学2024届高三上学期第二次诊断（期中）考试数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．设全集,集合,,则( )
A.B.C.D.
2．一元二次方程,()有一个正根和一个负根的充分而不必要条件是( )
A.B.C.D.
3．已知点是角终边上一点,则( )
A.B.C.D.
4．设是等差数列的前n项和,若,则( )
A.B.C.D.
5．函数的大致图象为( )
A.B.
C.D.
6．为捍卫国家南海主权,我海军在南海海域进行例行巡逻.某天,一艘巡逻舰从海岛出发,沿南偏东的方向航行40海里后到达海岛B,然后再从海岛B出发,沿北偏东的方向航行了海里到达海岛C,若巡逻舰从海岛A出发沿直线到达海岛C,则航行的方向和路程(单位:海里)分别为( )
A.北偏东,B.北偏东,
C.北偏东,D.北偏东,
7．设等差数列,的前n项和分别为,,若,则为( )
A.3B.4C.5D.6
8．设,,,则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知等差数列是递增数列,且,其前n项和为,则下列选择项正确的是( )
A.B.当时,取得最小值
C.D.当时,的最小值为8
10．下列说法正确的有( )
A.在中,
B.在中,若,则为等腰三角形
C.中,是的充要条件
D.在中,若,则
11．已知函数,则( )
A.是偶函数B.在区间上单调递减
C.在区间上有四个零点D.的值域为
12．已知函数,,使方程有4个不同的解析:分别记为,,,,其中,则下列说法正确的是( ).
A.B.
C.D.的最小值为14
三、填空题
13．已知在上的最大值为M,最小值为m,若,则______.
14．若,则__________.
15．将数列与的公共项从小到大排列得到数列,则的前n项和为________.
16．函数是定义在上的奇函数,,当时,,不等式的解集为__________.
四、解答题
17．记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.
（1）求C;
（2）若,,求的面积.
18．问题:设公差不为零的等差数列的前n项和为,且,________.
下列三个条件:①,,成等比数列;
②;
③.从上述三个条件中,任选一个补充在上面的问题中,并解答.
（1）求数列的通项公式;
（2）若,数列的前n项和为,求证:.
19．已知函数.若函数在处有极值.
（1）求的单调递减区间;
（2）求函数在上的最大值和最小值.
20．已知函数,.
（1）求的最小正周期和单调区间;
（2）求在闭区间上的最大值和最小值.
21．已知等差数列的前n项和为,且满足,.
（1）求数列的通项公式;
（2）设,数列的前n项和为,求.
22．设函数.
（1）讨论的导函数的零点的个数;
（2）证明:当时
参考答案
1．答案：D
解析：因为,所以,
所以.
故选:D.
2．答案：C
解析：因为一元二次方程,()有一个正根和一个负根,
所以,解得,
所以一元二次方程,()有一个正根和一个负根的充分而不必要条件可以是.
故选:C.
3．答案：D
解析：依题意点P的坐标为,,;
故选:D.
4．答案：A
解析：由等差数列的性质可知,,,成等差数列,
,即,,
,,∴,,
.
故选:A.
5．答案：D
解析：函数的定义域为,
由,
则偶函数,图象关于y轴对称,故排除A,C,
又,故排除B,
故选:D.
6．答案：C
解析：作出示意图如图所示,
根据题意,,,,
根据余弦定理,
因为,
所以
,
因为,所以
,
因为为锐角,所以,
所以从海岛A出发沿直线到达海岛C,航行的方向是北偏东,
航行的距离是海里,
故选:C
7．答案：C
解析：是等差数列,则,
.
故选:C.
8．答案：C
解析：方法一:构造法
设,因为,
当时,,当时,
所以函数在单调递减,在上单调递增,
所以,所以,故,即,
所以,所以,故,所以,
故,
设,则,
令,,
当时,,函数单调递减,
当时,,函数单调递增,
又,
所以当时,,
所以当时,,函数单调递增,
所以,即,所以
故选:C.
方法二:比较法
,,,
①,
令,,
则,
故在上单调递减,
可得,即,所以;
②,
令,,
则,
令,所以,
所以在上单调递增,可得,即,
所以在上单调递增,可得,即,所以.
故
9．答案：ACD
解析：由题意,设等差数列的公差为d,
因为,可得,解得,
又由等差数列是递增数列,得,则,故AC正确;
因为,
由二次函数的性质知,对称轴为,开口向上,
所以,当或4时最小,故B错误;
令,解得或,即时n的最小值为8,故D正确.
故选:ACD.
10．答案：AC
解析：由正弦定理
可得:
即成立,
故选项A正确;
由可得或,
即或,
则是等腰三角形或直角三角形,
故选项B错误;
在中,由正弦定理可得
,
则是的充要条件,
故选项C正确;
在中,若,则或,
故选项D错误.
故选:AC.
11．答案：ABD
解析：对于A:其定义域为R,,即函数是偶函数,故A正确;
对于B:时,,由正弦函数的单调性可知,在区间上单调递减,故B正确;
对于C:时,,,此时,可得或,因为是偶函数,所以在区间上的零点为,0,,故C错误;
对于D:当,且,时,,,.
当,且,时,,.
又是偶函数,所以函数的值域为,故D正确;
故选:ABD
12．答案： AC
解析：如图,时,方程存在4个不同根,
当时,,,
时,得
即,由正弦函数对称性知,
,
在上单调递增,所以;
,
在上单调递减,所以,无最小值,
故选:AC
13．答案： −2或−4
解析：二次函数的对称轴为:,
当时,即,函数在上单调递增,
所以,,由,得,不满足,舍去;
当时,即时,函数在上单调递减,
所以,,由,得,不满足,舍去,
当时,则,此时,
若时,即时,,
由,得,或舍去,
若时,即,,
由,得,或舍去,
综上所述:或,
故答案为:−2或−4
14．答案：
解析：由题意
故答案为:
15．答案：
解析：因为数列是以1为首项,以2为公差的等差数列,
数列是以1首项,以3为公差的等差数列,
所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项,以6为公差的等差数列,
所以的前n项和为,
故答案为:.
16．答案：
解析：因为函数是定义在上的奇函数,
所以,
因为当时,,
所以,解得,
所以当时,,
当时,
所以由二次函数的性质得时,函数单调递减,在上单调递减
易知
当,时,原不等式,解得;
当,时,无实数解;
当,,无实数解;
当,,即时,原不等式,解得;
当,即时,,,满足题意;
当,即时,,,不满足题意.
综上,原不等式的解集为:
故答案为:
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）由正弦定理得,
得.
因为,所以,所以,即.
（2）由余弦定理得,得,
所以,故的面积为.
18．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）设等差数列的公差为.
选条件①:,,,成等比数列,
,解得,
故数列的通项公式为.
选条件②:,,
,解得,
故数列的通项公式为.
选条件③:,,
,解得,
故数列的通项公式为.
（2）证明:,
.
19．答案：（1）;
（2）,.
解析：（1）,
,
依题意有即,解得
,
由,得,
函数的单调递减区间
（2）由（1）知
,
令,解得,.
当x变化时,,的变化情况如下表:
由上表知,函数在上单调递减,在上单调递增.
故可得,
又,.
.
综上可得函数在上的最大值和最小值分别为8和.
20．答案：（1）最小正周期为,单调递增区间是,单调递减区间是;
（2）最小值为,最大值为
解析：（1）由
,
的最小正周期为,
由,得,
由,得
函数单调增区间为,函数单调减区间为;
（2）由于,
所以,
所以,
故,
故函数的最小值为,函数的最大值为.
21．答案：（1）;
（2）
解析：（1）设数列的公差为d,
,,,,
,.
（2）由（1）可知,
数列的前n项和为,
,
两式作差,得,
.
22．答案：（1）当时,没有零点;当时,存在唯一零点.
（2）见解析
解析：（1）的定义域为,.
当时,,没有零点;
当时,因为单调递增,单调递增,所以在单调递增.又,当b满足且时,,故当时,存在唯一零点.
（2）由（1）,可设在的唯一零点为,当时,;
当时,.
故在单调递减,在单调递增,所以当时,取得最小值,最小值为.
由于,所以.
故当时,.
x
1
2
-
0
+
8
极小值
2