黑龙江省哈尔滨市六校2023-2024学年高二上学期1月期末联考数学试卷(含答案)

这是一份黑龙江省哈尔滨市六校2023-2024学年高二上学期1月期末联考数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知数列满足,,则( )
A.B.0C.D.2
2．焦点在直线上的抛物线的标准方程为( )
A.或B.或
C.或D.或
3．若双曲线的一条渐近线经过点,则双曲线的离心率为( )
A.B.C.D.
4．阿基米德不仅是著名的物理学家,也是著名的数学家,他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若焦点在x轴上的椭圆C的离心率为,面积为,则椭圆C的标准方程为( )
A.B. C. D.
5．记为等比数列的前n项和,若,,则( )
A.48B.81C.93D.243
6．经过第一、二、三象限的直线与圆相交于A,B两点,若,则ab的最大值是( )
A.8B.4C.2D.1
7．已知等差数列 与等差数列的前n项和分别为与,且,则( )
A.B.C.D.
8．已知,直线与的交点P在圆上,则r的最大值是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知直线,则( )
A.l不过原点B.l的横截距为
C.l的斜率为D.l与坐标轴围成的三角形的面积为3
10．如图,四边形ABCD,ABEF都是边长为2的正方形,平面平面ABEF,P,Q分别是线段AE,BD的中点,则( )
A.B.异面直线AQ,PF所成角
C.点P到直线DF的距离为D.的面积是
11．某高中通过甲、乙两家餐厅给1920名学生提供午餐,通过调查发现：开学后第一天有的学生到甲餐厅就餐,剩余的学生到乙餐厅就餐,从第二天起,在前一天选择甲餐厅就餐的学生中,次日会有的学生继续选择甲餐厅,在前一天选择乙餐厅就餐的学生中,次日会有的学生选择甲餐厅．设开学后第n天选择甲餐厅就餐的学生比例为,则( )
A.
B.是等比数列
C.第100天选择甲餐厅就餐的学生比例约为
D.开学后第一个星期（7天）中在甲餐厅就过餐的有5750人次
12．经过抛物线的焦点F的直线l交C于A,B两点,O为坐标原点,设,,的最小值是4,则下列说法正确的是( )
A.
B.
C.若点是线段AB的中点,则直线l的方程为
D. 若,则直线l的倾斜角为60°
三、填空题
13．若方程表示双曲线,则实数m的取值范围是__________.
14．已知等差数列的项数为,其中奇数项之和为140,偶数项之和为120,则数列的项数是_________.
15．在四面体ABCD中,,,,,则__________．
16．在各项均为正数的等差数列中,,,,成等比数列,保持数列中各项先后顺序不变,在与（,2,···）之间插入个3,使它们和原数列的项构成一个新的数列,记的前n项和为,则_________.
四、解答题
17．已知的圆心为,且过点．
（1）求的标准方程;
（2）若直线l与相切于点A,求l的方程．
18．已知是各项均为正数的等比数列,其前n项和为,,,,成等差数列.
（1）求数列的通项公式;
（2）若,求数列的前n项和.
19．如图,在四棱锥中,AC与BD交于点O,平面ABCD,,.
（1）求证：平面PAC;
（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.
20．已知P是离心率为的椭圆上任意一点,F是椭圆C的右焦点,且的最小值是1.
（1）求椭圆C的方程;
（2）过点F的直线l与椭圆C相交于A,B两点,若,求直线l的方程.
21．已知数列的前n项和为,且满足,等差数列满足,.
（1）求数列,的通项公式;
（2）设,求数列的前n项和.
22．已知,分别是双曲线的左、右焦点,,点到C的渐近线的距离为3.
（1）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程;
（2）已知点O为坐标原点,动直线l与C相切,若l与C的两条渐近线交于A,B两点,求证：的面积为定值.
参考答案
1．答案：B
解析：由,
可得,
,
,
因此为周期数列,且周期为3,
故,
故选：B
2．答案：C
解析：直线与坐标轴的交点为以及,
所以抛物线的焦点为或,
当焦点为,此时抛物线方程为,
当焦点为时,此时抛物线的方程为,
故选：C.
3．答案：A
解析：由题意得的渐近线方程为,
显然在上,故,
故,
即双曲线的离心率为.
故选：A.
4．答案：C
解析：设椭圆的标准方程为,焦距为,
依题意有,解得,
椭圆的标准方程为,
故选：C．
5．答案：C
解析：设等比数列的公比为q,因为,,
若,则,得,则,故,
则,所以,
所以,所以.
故选：C.
6．答案：B
解析：因为圆,即,
圆心为,半径为3,且,
则直线l经过圆心,即,所以,
又直线l经过第一、二、三象限,则,即,
则,当且仅当时,等号成立,
所以ab的最大值是4.
故选：B.
7．答案：D
解析：因为数列、都是等差数列, 所以,
又,,
故,,即有,
在中,令,得,
故.
故选：D.
8．答案：A
解析：,所以直线恒过点,
,所以直线恒过点,
由两条直线的方程可以判断直线与直线互相垂直,
因此点P在以为直径的圆上,线段中点为,
半径为,
圆C的圆心为,半径为,
由已知条件可知点P在圆上,
所以圆C与圆D相交或相切,,
因此有,
解得：,所以则r的最大值是,
故选：A.
9．答案：AC
解析：已知直线：,
对于A,原点不满足直线方程,故不过原点,故A正确;
对于B,当时,,故l的横截距为,故B不正确;
对于C,直线l的方程可化为,则l的斜率为,故C正确;
对于D,当时,,则l与坐标轴围成的三角形的面积为,故D不正确.
故选：AC.
10．答案：ABD
解析：由题可得：AB,AD,AF两两垂直,
以A为坐标原点,AD,AB,AF所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系如图所示,
则,,,,,
对于A,因为P,Q分别是线段AE,BD的中点,所以,,
所以,,又PQ,DF不共线,所以,故A正确;
对于B,,1,,,设异面直线AQ,PF所成角为,
则,
又因为,所以,即异面直线AQ,PF所成角为,故B正确;
对于C,由,,得,
所以点P到直线DF的距离为,故C不正确;
对于D,因为,所以Q到DF的距离即为P到DF的距离,
所以的面积．故D正确．
故选：ABD．
11．答案：ABD
解析：依题意,当时,,A正确;
当时,,又,即,
因此数列是以为首项,为公比的等比数列,B正确;
显然,即,则,C错误;
显然,又有1920名学生,
所以开学后第一个星期（7天）中在甲餐厅就过餐的有人次,D正确．
故选：ABD.
12．答案：BCD
解析：由题焦点,直线l的斜率存在且不为零,
可设直线l的方程为,
联立,得,
所以,
则,
则,
当时,等号成立,
所以,,抛物线方程为,
所以,
则,故A错误;
又,
所以,
,
所以,故B正确;
若点是线段AB的中点,
则,即,
所以直线l的方程为,C正确;
若,则,
即,
所以,
又,所以,
化为,
解得,或（舍）,
又,故,
所以,
所以直线l的斜率为,
直线的倾斜角为60°,故D正确,
故选：BCD.
13．答案：
解析：若方程表示双曲线,显然,
则由可得,
故,
故答案为：.
14．答案：13
解析：设等差数列的公差为d,
因为等差数列的项奇数项之和为140,偶数项之和为120,
所以有,
故答案为：13.
15．答案：
解析：因为,所以,
又,所以,
所以.
又,,所以,
所以.
又,所以．
故答案为：.
16．答案：348
解析：设公差为,由题意得,
即,解得,
解得或（舍去）,
故,,
则,,,,
,,,
,,,
,,
故.
故答案为：348.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题可知,的半径为,
所以的标准方程为.
（2）因为直线l与相切于点A,且,
所以,所以,
由点斜式得,,整理得,.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）设等比数列的公差为q,则,
由,,成等差数列可得,即,
又,所以,即,解得或（舍）,
所以;
（2）由（1）可得,所以,
所以.
19．答案：（1）证明过程见解析
（2）
解析：（1）设,所以,
因此,
由余弦定理可知,,
因为,所以,
因此,于有,
因此有,即,而,
所以,因此,即,
因为平面ABCD,平面ABCD,
所以,因为,PO,平面PAC,
所以平面PAC;
（2）因为平面ABCD,平面ABCD,
所以,由（1）知,,
所以建立如图所示的空间直角坐标系,
因为,,所以,
即,
于是,,,
,,
设平面PCD的法向量为,
则有,
所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为,
即直线PB与平面PCD所成角的正弦值.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意得,,故,
又,故,
设,,则,即,
,
故当时,取得最小值,最小值为,
故,
则,,椭圆方程为;
（2）当过点F的直线l的斜率为0时,,不合要求,
当过点F的直线l的斜率不为0时,设为,
联立得,
恒成立,
设,,则,
故,
故,解得,
故直线l方程为.
21．答案：（1）,
（2）
解析：（1）由,
当,时,由,
两式相减,得,
因此数列是以2为首项,为公式的等比数列,
即,
设等差数列的公差为d,
因为,所以,
因此,
即,;
（2）由（1）可知,,
所以,
设数列前n项和为,
则有,
,
两式相减,得
即,
因此.
22．答案：（1）双曲线C的标准方程为,渐近线方程为
（2）证明过程见解析.
解析：（1）因为,所以,因为,渐近线为,
即则到C的渐近线的距离为可表示为,
所以,
所以双曲线C的标准方程为,渐近线方程为.
（2）①当直线经过双曲线的顶点时直线AB的斜率不存在,此时直线方程为,
此时易得,点O到直线AB的距离为1,所以此时
②当直线AB的斜率存在时设直线AB为,
由得
因为直线于双曲线相切,所以且,
整理得且,即
由得,则
同理得到
所以
点O到直线的距离
所以
所以的面积为定值3.