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高中物理人教版 (2019)必修 第三册5 带电粒子在电场中的运动习题
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这是一份高中物理人教版 (2019)必修 第三册5 带电粒子在电场中的运动习题，共34页。
考点1：带电粒子的加速
【考点引入】在真空中有一对平行金属板，由于接上电池组而带电，两板间电势差为U，若一个质量为m、带正电荷q的粒子，以初速度v0从正极板附近向负极板运动。
试结合上述情境讨论：
（1）怎样计算它到达负极板时的速度？
（2）若粒子带的是负电荷(初速度为v0)，将做匀减速直线运动，如果能到达负极板，其速度如何？
（3）上述问题中，两块金属板是平行的，两板间的电场是匀强电场，如果两金属板是其他形状，中间的电场不再均匀，上面的结果是否仍然适用？为什么？
1．带电粒子的分类及受力特点
（1）电子、质子、α粒子、离子等基本粒子，一般都不考虑重力。
（2）质量较大的微粒：带电小球、带电油滴、带电颗粒等，除有说明或有明确的暗示外，处理问题时一般都不能忽略重力。
2．处理带电粒子在电场中加速问题的两种方法
可以从动力学和功能关系两个角度分析如下：
【例1】如图所示，一个质子以初速度v0＝5×106 m/s水平射入一个由两块带电的平行金属板组成的区域。两板距离为20 cm，设金属板之间电场是匀强电场，电场强度为3×105 N/C。质子质量m＝1.67×10－27 kg，电荷量q＝1.60×10－19 C。求质子由板上小孔射出时的速度大小。
【变式训练】
上例中，若质子刚好不能从小孔中射出，其他条件不变，则金属板之间的电场强度至少为多大？方向如何？
【技巧与方法】
分析带电粒子在电场中加速运动的两种思路
1 牛顿第二定律和运动学公式
qeq \f(U,d)＝ma，得a＝eq \f(qU,md)；v2－veq \\al(2,0)＝2ad，
2 动能定理
qU＝eq \f(1,2)mv2－eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)，
【针对训练】
【变式1】（多选）一平行板电容器充电后与电源断开，从负极板上某处由静止释放一个电子，设其到达正极板的速度为v1，运动过程中加速度为a1，现将两板间距离增为原来的2倍，再从负极板处由静止释放一个电子，设其到达正极板的速度为v2，运动过程中加速度为a2，则（ ）
A. a1∶a2=1∶1B. a1∶a2=2∶1C. v1∶v2=1∶2D. v1∶v2=1∶
【变式2】（多选）如图所示，电子由静止开始从A板向B板运动，当到达B极板时速度为v，保持两板间电压不变，则（ ）
A. 当增大两板间距离时，v增大
B. 当减小两板间距离时，v增大
C. 当改变两板间距离时，v不变
D. 当增大两板间距离时，电子在两板间运动的时间也增大
【变式3】如图所示，平行板电容器两板间的距离为d，电势差为U。一质量为m、带电荷量为q的α粒子，在电场力的作用下由静止开始从正极板A向负极板B运动。
（1）比较α粒子所受电场力和重力的大小，说明重力能否忽略不计（α粒子质量是质子质量的4倍，即m＝4×1.67×10－27 kg，电荷量是质子的2倍）。
（2）α粒子的加速度是多大（结果用字母表示）？在电场中做何种运动？
（3）计算粒子到达负极板时的速度大小．（结果用字母表示，尝试用不同的方法求解）
考点2：带电粒子在电场中的偏转
1．带电粒子在匀强电场中偏转的基本规律
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(vx＝v0 l＝v0t初速度方向,vy＝at y＝\f(1,2)at2电场线方向))
2．偏转位移和偏转角
（1）粒子离开电场时的偏转位移y＝eq \f(1,2)at2＝eq \f(1,2)eq \f(qU,md)＝eq \f(qUl2,2mdv\\al(2,0))。
（2）粒子离开电场时的偏转角tan θ＝eq \f(vy,v0)＝eq \f(qUl,mdv\\al(2,0))。
（3）粒子离开电场时位移与初速度夹角的正切值tan α＝eq \f(y,l)＝eq \f(qUl,2mdv\\al(2,0))。
3．两个常用的推论
（1）粒子射出电场时好像从板长l的eq \f(1,2)处沿直线射出，即x＝eq \f(y,tan θ)＝eq \f(l,2)。
（2）位移方向与初速度方向夹角的正切值为速度偏转角正切值的eq \f(1,2)，即tan α＝eq \f(1,2)tan θ。
4．运动轨迹：抛物线。
【例2】 一束电子流在经U＝5 000 V的加速电压加速后，在距两极板等距离处垂直进入平行板间的匀强电场，如图所示。若两板间距d＝1.0 cm，板长l＝5.0 cm，那么要使电子能从平行板间飞出，两个极板上最大能加多大电压？
【变式训练】
上例中，若使电子打到下板中间，其他条件不变，则两个极板上需要加多大的电压？
【技巧与方法】
带电粒子在电场中运动问题的处理方法
带电粒子在电场中运动的问题实质上是力学问题的延续，从受力角度看，带电粒子与一般物体相比多受到一个电场力；从处理方法上看，仍可利用力学中的规律分析，如选用平衡条件、牛顿定律、动能定理、功能关系、能量守恒等。
【针对训练】
【变式1】如图所示为示波管中偏转电极的示意图，间距为d，长度为l的平行板A、B加上电压后，可在A、B之间的空间中（设为真空）产生电场（设为匀强电场）。在距A、B两平行板等距离的O点处，有一电荷量为＋q、质量为m的粒子以初速度v0沿水平方向（与A、B板平行）射入，不计重力，要使此粒子能从C处射出，则A、B间的电压应为（ ）
A. B. C. D.
【变式2】如图所示为示波管中偏转电极的示意图，间距为d，长度为l的平行板A、B加上电压后，可在A、B之间的空间中(设为真空)产生电场(设为匀强电场)。在距A、B等距离处的O点，有一电荷量为＋q，质量为m的粒子以初速度v0沿水平方向(与A、B板平行)射入(图中已标出)，不计重力，要使此粒子能从C处射出，则A、B间的电压应为( )
A．eq \f(mv\\al(2,0)d2,ql2) B．eq \f(mv\\al(2,0)l2,qd2) C．eq \f(lmv0,qd) D．qeq \f(v0,dl)
【变式3】一束电子流经U1＝5 000 V的加速电压加速后，在距两极板等距离处垂直进入平行板间的匀强电场，如图所示，两极板间电压U2＝400 V，两极板间距离d＝2.0 cm，板长L1＝5.0 cm。
（1）求电子在两极板间穿过时的偏移量y；
（2）若平行板的右边缘与屏的距离L2＝5 cm，求电子打在屏上的位置与中心O的距离Y（O点位于平行板水平中线的延长线上）；
（3）若另一个质量为m（不计重力）的二价负离子经同一电压U1加速，再经同一偏转电场射出，则其射出偏转电场的偏移量y′和打在屏上的偏移量Y′各是多大？
◎考点一 带电粒子的加速
1．一个只受电场力的带电微粒进入匀强电场，则该微粒的( )
A．运动速度必然增大
B．动能一定减小
C．运动加速度肯定不为零
D．一定做匀加速直线运动
2．(多选)如图所示，从F处释放一个无初速度的电子向B板方向运动，则下列对电子运动的描述中正确的是(设电源电压为U) ( )
A．电子到达B板时的动能是eU
B．电子从B板到达C板动能变化量为零
C．电子到达D板时动能是3eU
D．电子在A板和D板之间做往复运动
3．如图所示，在P板附近有一电子由静止开始向Q板运动，则关于电子到达Q时的速率与哪些因素有关，下列解释正确的是( )
A．两极板间的距离越大，加速的时间就越长，则获得的速率越大
B．两极板间的距离越小，加速的时间就越短，则获得的速率越小
C．两极板间的距离越小，加速度就越大，则获得的速率越大
D．与两极板间的距离无关，仅与加速电压U有关
4．在匀强电场中，将质子和α粒子由静止释放，若不计重力，当它们获得相同动能时，质子经历的时间t1和α粒子经历的时间t2之比为( )
A．1∶1 B．1∶2
C．2∶1D．4∶1
◎考点二 带电粒子在电场中的偏转
5．(多选)示波管的构造如图所示。如果在荧光屏上P点出现亮斑，那么示波管中的( )
A．极板X应带正电B．极板X′应带正电
C．极板Y应带正电D．极板Y′应带正电
6．如图所示，两极板与电源相连接，电子从负极板边缘垂直电场方向射入匀强电场，且恰好从正极板边缘飞出。现在使电子入射速度变为原来的两倍，而电子仍从原位置射入，且仍从正极板边缘飞出，则两极板的间距应变为原来的( )
A．2倍B．4倍
C．eq \f(1,2) D．eq \f(1,4)
7.如图所示是一个示波管工作的原理图，电子经过加速后以速度v0垂直进入偏转电场，离开电场时偏转量是h，两个平行板间距离为d，电势差为U，板长为l，每单位电压引起的偏转量eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(h,U)))叫示波管的灵敏度，若要提高其灵敏度。可采用下列哪种办法( )
A．增大两极板间的电压
B．尽可能使板长l做得短些
C．尽可能使板间距离d减小些
D．使电子入射速度v0大些
8.如图所示，a、b两个带正电的粒子以相同的速度先后垂直于电场线从同一点进入平行板间的匀强电场，a粒子打在B板的a′点，b粒子打在B板的b′点，若不计重力，则( )
A．a的电荷量一定大于b的电荷量
B．b的质量一定大于a的质量
C．a的比荷一定大于b的比荷
D．b的比荷一定大于a的比荷
9．如图所示，A、B为两块足够大的相距为d的平行金属板，接在电压为U的电源上。在A板的中央P点放置一个电子发射源，可以向各个方向释放电子。设电子的质量为m，电荷量为e，射出的初速度为v。求电子打在板上的区域面积。(不计电子的重力)
巩固提升
1．（2022·广东茂名·高二期末）（多选）示波器是一种多功能电学仪器，它是由加速电场和偏转电场组成的。如图所示，不同的带负电粒子（不计重力）在电压为的电场中由静止开始加速，从M孔射出，然后射入电压为的平行金属板间的电场中，入射方向与极板平行，在满足带负电粒子能射出平行板电场区域的条件下，则（ ）
A．若电荷量q相等，则带负电粒子在加速电场的加速度大小相等
B．若比荷相等，则带负电粒子从M孔射出的速率相等
C．若电荷量q相等，则带负电粒子射出偏转电场时的动能相等
D．若不同比荷的带负电粒子由O点射入，偏转角度相同
2．（2022·广东天河·高二期末）示波器能把肉眼看不见的电信号变换成看得见的图像，便于人们研究各种电现象的变化过程。示波器部分结构如图所示，金属丝发射出来的电子（速度可忽略）被加速后从金属板的小孔穿出，从极板正中央垂直射入偏转场偏转后射出电场。已知加速电压为U1，两板间电压为U2，板间距为d，板长为L，电子的荷质比为，求：
(1)电子进入偏转场时的速度v0的大小；
(2)若L=d=8cm，U2=400V，U1=200V。求电子离开偏转场时偏离原入射方向的侧移距离y的大小。
3．（2022·广东佛山·高二期末）如图所示，两水平放置的平行极板间电压为U，板间距离为d，极板长为L.一电荷量为q、质量为m的带负电粒子以速度从板间中点水平射入，若粒子能从另一端射出平行板，不计粒子的重力，求带电粒子：
（1）射出平行极板时速度方向与水平方向的夹角的正切值；
（2）能从平行极板间射出的最小初速度.
4．（2022·广东番禺·高二期末）如图所示，水平绝缘轨道AC由光滑段AB与粗糙段BC组成，它与竖直光滑半圆轨道CD在C点处平滑连接，其中AB处于电场区内。一带电荷量为＋q、质量为m的可视为质点的滑块从A处以水平初速度进入电场区沿轨道运动，从B点离开电场区继续沿轨道BC运动，最后从圆轨道最高点D处以水平速度v离开圆轨道。已知：轨道BC长l＝1m，圆轨道半径R＝0.1m，m＝0.01kg，，滑块与轨道BC间的动摩擦因数，重力加速度g取10，设装置处于真空环境中。求：
（1）滑块恰好能到达圆轨道D点时的速度。
（2）若滑块恰好能到达圆轨道D点，则滑块离开电场B点时的速度大小。
（3）若m/s，为使滑块能到达圆轨道最高点D处，且离开圆轨道后落在水平轨道BC上，求A、B两点间电势差应满足的条件。
5．（2022·广东潮州·高二期末）如图所示装置，电子由静止经电场加速后沿偏转板中线进入偏转电场。已知加速电极间的电压是U1=45V，偏转板间的电压是U2=9V，偏转板长l=40cm，相距d=16cm。电子的质量是m=，电量，重力忽略不计。
（1）求电子离开加速电场时的速度大小；
（2）电子能否从偏转电场右侧飞出？若能，求飞出时竖直方向分速度的大小。
6．（2022·广东南山·高二期末）XCT扫描机可用于对多种病情的探测。图甲是某种XCT机主要部分的剖面图，其中产生X射线部分的示意图如图乙所示。图乙中M、N之间有一电子束的加速电场，虚线框内为偏转元件中的匀强偏转电场，方向竖直，经调节后电子从静止开始沿带箭头的实线所示的方向前进，出电场后速度与水平方向成30°，打到水平圆形靶台上的中心点P，产生X射线（如图中带箭头的虚线所示）。已知MN两端的电压为U0，偏转电场区域水平宽度为L0，竖直高度够长，MN中电子束距离靶台竖直高度为H，忽略电子的重力影响、不考虑电子间的相互作用，不计空气阻力，电子质量为m，电量用e表示。求：
（1）经过加速电场加速后电子的速度v0的大小；
（2）偏转电场强度的大小和方向；
（3）P点到偏转电场右边界的水平距离s。
7．（2022·广东中山·高二期末）喷墨打印机的简化模型如图所示，重力可忽略的墨汁微滴，经带电室带负电，带电多少由计算机按字体笔画高低位置控制。一带电量为q，质量为m的墨汁微滴以速度v0垂直电场方向飞入偏转极板间，最终打在纸上，已知偏转板间的电压为U，两板间距为d，板长为L1，偏转板的右端距纸的距离为L2．求：
（1）墨汁微滴在偏转板间的运动时间t；
（2）墨汁微滴从偏转板间的电场射出时偏离原入射方向的距离y；
（3）不改变墨汁微滴的带电量、质量和进入偏转电场的速度v0，通过计算说明，如何调节可使打印在纸上的字体放大？
动力学角度
功能关系角度
应用
知识
牛顿第二定律以及匀变速直线运动公式
功的公式及动能定理
适用
条件
匀强电场，静电力是恒力
匀强电场、非匀强电场；静电力是恒力、变力
10.5 带电粒子在电场中的运动
考点精讲
考点1：带电粒子的加速
【考点引入】在真空中有一对平行金属板，由于接上电池组而带电，两板间电势差为U，若一个质量为m、带正电荷q的粒子，以初速度v0从正极板附近向负极板运动。
试结合上述情境讨论：
（1）怎样计算它到达负极板时的速度？
（2）若粒子带的是负电荷(初速度为v0)，将做匀减速直线运动，如果能到达负极板，其速度如何？
（3）上述问题中，两块金属板是平行的，两板间的电场是匀强电场，如果两金属板是其他形状，中间的电场不再均匀，上面的结果是否仍然适用？为什么？
【提示】（1）由动能定理有：qU＝eq \f(1,2)mv2－eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)，得
v＝eq \r(\f(2qU＋mv\\al(2,0),m))。
（2）由动能定理有：－qU＝eq \f(1,2)mv2－eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)，得
v＝eq \r(\f(mv\\al(2,0)－2qU,m))。
（3）结果仍然适用。因为不管是否为匀强电场，静电力做功都可以用W＝qU计算，动能定理仍然适用。
1．带电粒子的分类及受力特点
（1）电子、质子、α粒子、离子等基本粒子，一般都不考虑重力。
（2）质量较大的微粒：带电小球、带电油滴、带电颗粒等，除有说明或有明确的暗示外，处理问题时一般都不能忽略重力。
2．处理带电粒子在电场中加速问题的两种方法
可以从动力学和功能关系两个角度分析如下：
【例1】如图所示，一个质子以初速度v0＝5×106 m/s水平射入一个由两块带电的平行金属板组成的区域。两板距离为20 cm，设金属板之间电场是匀强电场，电场强度为3×105 N/C。质子质量m＝1.67×10－27 kg，电荷量q＝1.60×10－19 C。求质子由板上小孔射出时的速度大小。
【解析】 根据动能定理W＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,1)－eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)
而W＝qEd＝1.60×10－19×3×105×0.2 J
＝9.6×10－15 J
所以v1＝eq \r(\f(2W,m)＋v\\al(2,0))＝eq \r(\f(2×9.6×10－15,1.67×10－27)＋5×1062) m/s
≈6×106 m/s
质子飞出时的速度约为6×106 m/s。
【变式训练】
上例中，若质子刚好不能从小孔中射出，其他条件不变，则金属板之间的电场强度至少为多大？方向如何？
【解析】 根据动能定理－qE′d＝0－eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)
则E′＝eq \f(mv\\al(2,0),2qd)＝eq \f(1.67×10－27×5×1062,2×1.60×10－19×0.2) N/C≈6.5×105 N/C
方向水平向左。
【技巧与方法】
分析带电粒子在电场中加速运动的两种思路
1 牛顿第二定律和运动学公式
qeq \f(U,d)＝ma，得a＝eq \f(qU,md)；v2－veq \\al(2,0)＝2ad，
2 动能定理
qU＝eq \f(1,2)mv2－eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)，
【针对训练】
【变式1】一平行板电容器充电后与电源断开，从负极板上某处由静止释放一个电子，设其到达正极板的速度为v1，运动过程中加速度为a1，现将两板间距离增为原来的2倍，再从负极板处由静止释放一个电子，设其到达正极板的速度为v2，运动过程中加速度为a2，则（ ）
A. a1∶a2=1∶1B. a1∶a2=2∶1C. v1∶v2=1∶2D. v1∶v2=1∶
【答案】AD
【详解】AB．平行板电容器充电后与电源断开，将两板间的距离增为原来的2倍，此时电容器极板上的电荷量不变，又
所以电场强度E不变，根据公式
U=Ed
极板之间的电势差是原来的2倍，根据牛顿第二定律得
则
a1∶a2=E1∶E2=1∶1
选项A正确，B错误；
CD．电子从负极板移动到正极板的过程中，运用动能定理得
解得
若将两板间距离增为原来的2倍，则极板之间的电势差是原来的2倍，解得
选项C错误，D正确。
故选AD。
【变式2】如图所示，电子由静止开始从A板向B板运动，当到达B极板时速度为v，保持两板间电压不变，则（ ）
A. 当增大两板间距离时，v增大
B. 当减小两板间距离时，v增大
C. 当改变两板间距离时，v不变
D. 当增大两板间距离时，电子在两板间运动的时间也增大
【答案】CD
【详解】ABC．根据动能定理研究电子由静止开始从A板向B板运动列出等式：
得
v与两板间距无关，所以当改变两板间距离时，v不变，故AB错误，C正确；
D．由于两极板之间的电压不变，所以极板之间的场强为，电子的加速度为
电子在电场中一直做匀加速直线运动，由所以电子加速的时间为
由此可见，当增大两板间距离时，电子在两板间的运动时间增大，故D正确．
【变式3】如图所示，平行板电容器两板间的距离为d，电势差为U。一质量为m、带电荷量为q的α粒子，在电场力的作用下由静止开始从正极板A向负极板B运动。
（1）比较α粒子所受电场力和重力的大小，说明重力能否忽略不计（α粒子质量是质子质量的4倍，即m＝4×1.67×10－27 kg，电荷量是质子的2倍）。
（2）α粒子的加速度是多大（结果用字母表示）？在电场中做何种运动？
（3）计算粒子到达负极板时的速度大小．（结果用字母表示，尝试用不同的方法求解）
【答案】（1）见解析；（2）；初速度为0的匀加速直线运动；（3）
【详解】（1）α粒子所受电场力大、重力小；因重力远小于电场力，故可以忽略重力
（2）α粒子的加速度为a＝。在电场中做初速度为0的匀加速直线运动
（3）方法1 利用动能定理求解
由动能定理可知qU＝mv2
v＝
方法2 利用牛顿运动定律结合运动学公式求解
设粒子到达负极板时所用时间为t，则
d＝at2，v＝at，a＝
联立解得v＝
考点2：带电粒子在电场中的偏转
1．带电粒子在匀强电场中偏转的基本规律
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(vx＝v0 l＝v0t初速度方向,vy＝at y＝\f(1,2)at2电场线方向))
2．偏转位移和偏转角
（1）粒子离开电场时的偏转位移y＝eq \f(1,2)at2＝eq \f(1,2)eq \f(qU,md)＝eq \f(qUl2,2mdv\\al(2,0))。
（2）粒子离开电场时的偏转角tan θ＝eq \f(vy,v0)＝eq \f(qUl,mdv\\al(2,0))。
（3）粒子离开电场时位移与初速度夹角的正切值tan α＝eq \f(y,l)＝eq \f(qUl,2mdv\\al(2,0))。
3．两个常用的推论
（1）粒子射出电场时好像从板长l的eq \f(1,2)处沿直线射出，即x＝eq \f(y,tan θ)＝eq \f(l,2)。
（2）位移方向与初速度方向夹角的正切值为速度偏转角正切值的eq \f(1,2)，即tan α＝eq \f(1,2)tan θ。
4．运动轨迹：抛物线。
【例2】 一束电子流在经U＝5 000 V的加速电压加速后，在距两极板等距离处垂直进入平行板间的匀强电场，如图所示。若两板间距d＝1.0 cm，板长l＝5.0 cm，那么要使电子能从平行板间飞出，两个极板上最大能加多大电压？
【分析】(1)电子经电压U加速后的速度v0可由eU＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)求出。
(2)初速度v0一定时，偏转电压越大，偏转距离越大。
(3)最大偏转位移eq \f(d,2)对应最大偏转电压。
【解析】 加速过程，由动能定理得eU＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)①
进入偏转电场，电子在平行于板面的方向上做匀速运动l＝v0t②
在垂直于板面的方向做匀加速直线运动
加速度a＝eq \f(F,m)＝eq \f(eU′,dm)③
偏转距离y＝eq \f(1,2)at2 ④
能飞出的条件为y≤eq \f(d,2)⑤
联立①～⑤式解得U′≤eq \f(2Ud2,l2)＝400 V
即要使电子能飞出，所加电压最大为400 V。
【变式训练】
上例中，若使电子打到下板中间，其他条件不变，则两个极板上需要加多大的电压？
【解析】 由eU＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)
a＝eq \f(eU″,dm)
eq \f(d,2)＝eq \f(1,2)at2
eq \f(l,2)＝v0t
联立解得U″＝eq \f(8Ud2,l2)＝1 600 V。
【技巧与方法】
带电粒子在电场中运动问题的处理方法
带电粒子在电场中运动的问题实质上是力学问题的延续，从受力角度看，带电粒子与一般物体相比多受到一个电场力；从处理方法上看，仍可利用力学中的规律分析，如选用平衡条件、牛顿定律、动能定理、功能关系、能量守恒等。
【针对训练】
【变式1】如图所示为示波管中偏转电极的示意图，间距为d，长度为l的平行板A、B加上电压后，可在A、B之间的空间中（设为真空）产生电场（设为匀强电场）。在距A、B两平行板等距离的O点处，有一电荷量为＋q、质量为m的粒子以初速度v0沿水平方向（与A、B板平行）射入，不计重力，要使此粒子能从C处射出，则A、B间的电压应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】带电粒子只受电场力作用，在平行板间做类平抛运动。设粒子由O到C的运动时间为t，则有
l=v0t
设A、B间的电压为U，则偏转电极间的匀强电场的场强
粒子所受电场力
根据牛顿第二定律得粒子沿电场方向的加速度
粒子在沿电场方向做匀加速直线运动，位移为。由匀加速直线运动的规律得
解得
U=
故选A。
【变式2】如图所示为示波管中偏转电极的示意图，间距为d，长度为l的平行板A、B加上电压后，可在A、B之间的空间中(设为真空)产生电场(设为匀强电场)。在距A、B等距离处的O点，有一电荷量为＋q，质量为m的粒子以初速度v0沿水平方向(与A、B板平行)射入(图中已标出)，不计重力，要使此粒子能从C处射出，则A、B间的电压应为( )
A．eq \f(mv\\al(2,0)d2,ql2) B．eq \f(mv\\al(2,0)l2,qd2) C．eq \f(lmv0,qd) D．qeq \f(v0,dl)
【答案】A
【解析】带电粒子只受电场力作用，在平行板间做类平抛运动。设粒子由O到C的运动时间为t，则有l＝v0t。
设A、B间的电压为U，则偏转电极间的匀强电场的场强E＝eq \f(U,d)，粒子所受电场力F＝qE＝eq \f(qU,d)。
根据牛顿第二定律，得粒子沿电场方向的加速度a＝eq \f(F,m)＝eq \f(qU,md)。
粒子在沿电场方向做匀加速直线运动，位移为eq \f(1,2)d。
由匀加速直线运动的规律得eq \f(d,2)＝eq \f(1,2)at2。
解得U＝eq \f(mv\\al(2,0)d2,ql2)，选项A正确。
【变式3】一束电子流经U1＝5 000 V的加速电压加速后，在距两极板等距离处垂直进入平行板间的匀强电场，如图所示，两极板间电压U2＝400 V，两极板间距离d＝2.0 cm，板长L1＝5.0 cm。
（1）求电子在两极板间穿过时的偏移量y；
（2）若平行板的右边缘与屏的距离L2＝5 cm，求电子打在屏上的位置与中心O的距离Y（O点位于平行板水平中线的延长线上）；
（3）若另一个质量为m（不计重力）的二价负离子经同一电压U1加速，再经同一偏转电场射出，则其射出偏转电场的偏移量y′和打在屏上的偏移量Y′各是多大？
【答案】(1) 0.25 cm；(2) 0.75 cm ；(3)0.25 cm ，0.75 cm
【详解】(1)电子加速过程，由动能定理得
①
进入偏转电场，电子在平行于极板的方向上做匀速运动，
L1＝v0t②
在垂直于极板的方向上做匀加速直线运动，加速度为
③
偏移距离
④
由①②③④得
代入数据得
y＝0.25 cm
(2)由于平抛运动速度的反向延长线恰好过水平位移的中点，且离开电场后做匀速直线运动如图，由几何关系知
可得
代入数据得
Y＝0.75 cm
(3)由于
，
偏移量与粒子的质量m和电荷量q无关，故二价负离子经同样装置后
y′＝y＝0.25 cm，Y′＝Y＝0.75 cm
◎考点一 带电粒子的加速
1．一个只受电场力的带电微粒进入匀强电场，则该微粒的( )
A．运动速度必然增大
B．动能一定减小
C．运动加速度肯定不为零
D．一定做匀加速直线运动
【解析】C 带电微粒在电场中只受电场力作用，加速度不为零且恒定，C正确；微粒可能做匀变速直线运动或匀变速曲线运动，D错误；微粒做匀加速直线运动时，速度增大，动能变大；做匀减速直线运动时，速度、动能均减小，A、B错误。
2．(多选)如图所示，从F处释放一个无初速度的电子向B板方向运动，则下列对电子运动的描述中正确的是(设电源电压为U) ( )
A．电子到达B板时的动能是eU
B．电子从B板到达C板动能变化量为零
C．电子到达D板时动能是3eU
D．电子在A板和D板之间做往复运动
【解析】ABD 由eU＝EkB可知，电子到达B板时的动能为eU，A正确；因B、C两板间电势差为0，故电子从B板到达C板的过程中动能变化量为零，B正确；电子由C到D的过程中电场力做负功大小为eU，故电子到达D板时速度为零，然后又返回A板，以后重复之前的运动，C错误，D正确。
3．如图所示，在P板附近有一电子由静止开始向Q板运动，则关于电子到达Q时的速率与哪些因素有关，下列解释正确的是( )
A．两极板间的距离越大，加速的时间就越长，则获得的速率越大
B．两极板间的距离越小，加速的时间就越短，则获得的速率越小
C．两极板间的距离越小，加速度就越大，则获得的速率越大
D．与两极板间的距离无关，仅与加速电压U有关
【解析】D 由动能定理得eU＝eq \f(1,2)mv2，当两极板间的距离变化时，U不变，v就不变，与d无关，A、B、C错误，D正确。
4．在匀强电场中，将质子和α粒子由静止释放，若不计重力，当它们获得相同动能时，质子经历的时间t1和α粒子经历的时间t2之比为( )
A．1∶1 B．1∶2
C．2∶1D．4∶1
【解析】A 由动能定理可知qEl＝Ek，又l＝eq \f(1,2)at2＝eq \f(qE,2m)t2，解得t＝eq \r(\f(2mEk,q2E2))，可见，两种粒子时间之比为eq \f(t1,t2)＝eq \f(\r(\f(2mEk,q2E2)),\r(\f(2×4mEk,4q2E2)))＝eq \f(1,1)，故选项A正确。
◎考点二 带电粒子在电场中的偏转
5．(多选)示波管的构造如图所示。如果在荧光屏上P点出现亮斑，那么示波管中的( )
A．极板X应带正电B．极板X′应带正电
C．极板Y应带正电D．极板Y′应带正电
【解析】AC 根据亮斑的位置，电子偏向XY区间，说明电子受到电场力作用发生了偏转，因此极板X、极板Y均应带正电，故A、C正确。
6．如图所示，两极板与电源相连接，电子从负极板边缘垂直电场方向射入匀强电场，且恰好从正极板边缘飞出。现在使电子入射速度变为原来的两倍，而电子仍从原位置射入，且仍从正极板边缘飞出，则两极板的间距应变为原来的( )
A．2倍B．4倍
C．eq \f(1,2) D．eq \f(1,4)
【解析】C 电子在两极板间做类平抛运动，水平方向l＝v0t，t＝eq \f(l,v0)，竖直方向d＝eq \f(1,2)at2＝eq \f(qUl2,2mdv\\al(2,0))，故d2＝eq \f(qUl2,2mv\\al(2,0))，即d∝eq \f(1,v0)，故C正确。
7.如图所示是一个示波管工作的原理图，电子经过加速后以速度v0垂直进入偏转电场，离开电场时偏转量是h，两个平行板间距离为d，电势差为U，板长为l，每单位电压引起的偏转量eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(h,U)))叫示波管的灵敏度，若要提高其灵敏度。可采用下列哪种办法( )
A．增大两极板间的电压
B．尽可能使板长l做得短些
C．尽可能使板间距离d减小些
D．使电子入射速度v0大些
【解析】C 竖直方向上电子做匀加速运动a＝eq \f(qE,m)＝eq \f(qU,md)，t＝eq \f(L,v0)，故有h＝eq \f(1,2)at2＝eq \f(qUl2,2mdv\\al(2,0))，则eq \f(h,U)＝eq \f(ql2,2mdv\\al(2,0))，可知，只有C选项正确。
8.如图所示，a、b两个带正电的粒子以相同的速度先后垂直于电场线从同一点进入平行板间的匀强电场，a粒子打在B板的a′点，b粒子打在B板的b′点，若不计重力，则( )
A．a的电荷量一定大于b的电荷量
B．b的质量一定大于a的质量
C．a的比荷一定大于b的比荷
D．b的比荷一定大于a的比荷
【解析】C 粒子在电场中做类平抛运动，有h＝eq \f(1,2)·eq \f(qE,m)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,v0)))eq \s\up12(2)，得x＝v0eq \r(\f(2mh,qE))，由图得xa＜xb，故有v0eq \r(\f(2hma,Eqa))eq \f(qb,mb)，故C正确。
9．如图所示，A、B为两块足够大的相距为d的平行金属板，接在电压为U的电源上。在A板的中央P点放置一个电子发射源，可以向各个方向释放电子。设电子的质量为m，电荷量为e，射出的初速度为v。求电子打在板上的区域面积。(不计电子的重力)
【解析】 打在最边缘的电子，其初速度方向平行于金属板，在电场中做类平抛运动，在垂直于电场方向做匀速运动，即r＝vt
在平行电场方向做初速度为零的匀加速运动，即
d＝eq \f(1,2)at2
电子在平行电场方向上的加速度a＝eq \f(eE,m)＝eq \f(eU,md)
电子打在B板上的区域面积S＝πr2
联立解得S＝eq \f(2πmv2d2,eU)。
巩固提升
1．（2022·广东茂名·高二期末）示波器是一种多功能电学仪器，它是由加速电场和偏转电场组成的。如图所示，不同的带负电粒子（不计重力）在电压为的电场中由静止开始加速，从M孔射出，然后射入电压为的平行金属板间的电场中，入射方向与极板平行，在满足带负电粒子能射出平行板电场区域的条件下，则（ ）
A．若电荷量q相等，则带负电粒子在加速电场的加速度大小相等
B．若比荷相等，则带负电粒子从M孔射出的速率相等
C．若电荷量q相等，则带负电粒子射出偏转电场时的动能相等
D．若不同比荷的带负电粒子由O点射入，偏转角度相同
【答案】BCD
【解析】
【详解】
A．根据牛顿第二定律得带负电粒子在板间的加速度大小
可知电荷量相等，质量不一定相等，则加速度大小不一定相等，A错误；
B．带负电粒子从M孔射出的动能为
则负电粒子从M孔射出的速率为
可知，比荷相等，则带负电粒子从M孔射出的速率相等，B正确；
D．带电粒子进入平行金属板间做类平抛运动，设极板长度为L，板间距离为d，粒子在水平方向做匀速直线运动，则有
粒子射出电场时偏转角度正切
由上有
，
联立可得
，
可知偏转角度tanθ与比荷无关，D正确；
C．由选项D可知
又因为位移偏转角的正切值总为速度偏转角正切值的二分之一，即
由于
根据动能定理有
可知若电荷量q相等，则带负电粒子射出偏转电场时的动能相等，C正确。
故选BCD。
2．（2022·广东天河·高二期末）示波器能把肉眼看不见的电信号变换成看得见的图像，便于人们研究各种电现象的变化过程。示波器部分结构如图所示，金属丝发射出来的电子（速度可忽略）被加速后从金属板的小孔穿出，从极板正中央垂直射入偏转场偏转后射出电场。已知加速电压为U1，两板间电压为U2，板间距为d，板长为L，电子的荷质比为，求：
(1)电子进入偏转场时的速度v0的大小；
(2)若L=d=8cm，U2=400V，U1=200V。求电子离开偏转场时偏离原入射方向的侧移距离y的大小。
【详解】
(1)由动能定理得：
解得
(2)水平方向上
L=v0t
竖直方向上
又
联立解得
3．（2022·广东佛山·高二期末）如图所示，两水平放置的平行极板间电压为U，板间距离为d，极板长为L.一电荷量为q、质量为m的带负电粒子以速度从板间中点水平射入，若粒子能从另一端射出平行板，不计粒子的重力，求带电粒子：
（1）射出平行极板时速度方向与水平方向的夹角的正切值；
（2）能从平行极板间射出的最小初速度.
【详解】
解：（1）平行极板间电压为U，板间距离为d，由匀强电场的场强与电势差的关系可知
粒子在平行极板间做类平抛运动，在水平方向粒子做匀速直线运动，有
在竖直方向做初速度等于零的匀加速直线运动，有
v竖=at=
射出平行极板时速度方向与水平方向的夹角的正切值为
（2）当粒子从平行板边缘射出时，粒子的初速度最小，粒子在板间运动的时间t′
能从平行极板间射出的最小初速度
4．（2022·广东番禺·高二期末）如图所示，水平绝缘轨道AC由光滑段AB与粗糙段BC组成，它与竖直光滑半圆轨道CD在C点处平滑连接，其中AB处于电场区内。一带电荷量为＋q、质量为m的可视为质点的滑块从A处以水平初速度进入电场区沿轨道运动，从B点离开电场区继续沿轨道BC运动，最后从圆轨道最高点D处以水平速度v离开圆轨道。已知：轨道BC长l＝1m，圆轨道半径R＝0.1m，m＝0.01kg，，滑块与轨道BC间的动摩擦因数，重力加速度g取10，设装置处于真空环境中。求：
（1）滑块恰好能到达圆轨道D点时的速度。
（2）若滑块恰好能到达圆轨道D点，则滑块离开电场B点时的速度大小。
（3）若m/s，为使滑块能到达圆轨道最高点D处，且离开圆轨道后落在水平轨道BC上，求A、B两点间电势差应满足的条件。
【详解】
（1）滑块恰好能到达圆轨道D点时，根据牛顿第二定律和向心力公式得
解得
v=1m/s
（2）从B点到D点，根据动能定理
解得
vB=3m/s
（3）当电势差UAB最低时，滑块恰能经过最高点D，此时vD=1m/s
由动能定理
解得
UAB=-1600V
当电势差UAB最高时，滑块经过最高点D后做平抛运动，恰能落到B点，则由平抛运动的规律，竖直方向
水平方向
动能定理
解得
U′AB=800V
则AB间电势差满足的条件是。
5．（2022·广东潮州·高二期末）如图所示装置，电子由静止经电场加速后沿偏转板中线进入偏转电场。已知加速电极间的电压是U1=45V，偏转板间的电压是U2=9V，偏转板长l=40cm，相距d=16cm。电子的质量是m=，电量，重力忽略不计。
（1）求电子离开加速电场时的速度大小；
（2）电子能否从偏转电场右侧飞出？若能，求飞出时竖直方向分速度的大小。
【详解】
（1）设电子离开加速电场的速度为， 对于电子，在加速电场中，有
解得
（2）假设电子能从偏转电场右侧飞出，设电子在偏转电场中的加速度为a，运动时间为t，则电子在偏转电场中，由牛顿第二定律，有
解得
水平方向做匀速直线运动，所以有
解得
则偏转位移
联立解得
由于
所以电子能从偏转电场右侧飞出
因此偏出时竖直方向分速度
解得
6．（2022·广东南山·高二期末）XCT扫描机可用于对多种病情的探测。图甲是某种XCT机主要部分的剖面图，其中产生X射线部分的示意图如图乙所示。图乙中M、N之间有一电子束的加速电场，虚线框内为偏转元件中的匀强偏转电场，方向竖直，经调节后电子从静止开始沿带箭头的实线所示的方向前进，出电场后速度与水平方向成30°，打到水平圆形靶台上的中心点P，产生X射线（如图中带箭头的虚线所示）。已知MN两端的电压为U0，偏转电场区域水平宽度为L0，竖直高度够长，MN中电子束距离靶台竖直高度为H，忽略电子的重力影响、不考虑电子间的相互作用，不计空气阻力，电子质量为m，电量用e表示。求：
（1）经过加速电场加速后电子的速度v0的大小；
（2）偏转电场强度的大小和方向；
（3）P点到偏转电场右边界的水平距离s。
【详解】
（1）在加速电场中，根据动能定理有
解得
（2）电子偏转时做类平抛运动，有
联立可得
电子显负电性，根据图中电子轨迹，可知偏转电场方向竖直向上。
（3）电子离开偏转电场后水平方向和竖直方向均做匀速运动，则有
代入数据得
7．（2022·广东中山·高二期末）喷墨打印机的简化模型如图所示，重力可忽略的墨汁微滴，经带电室带负电，带电多少由计算机按字体笔画高低位置控制。一带电量为q，质量为m的墨汁微滴以速度v0垂直电场方向飞入偏转极板间，最终打在纸上，已知偏转板间的电压为U，两板间距为d，板长为L1，偏转板的右端距纸的距离为L2．求：
（1）墨汁微滴在偏转板间的运动时间t；
（2）墨汁微滴从偏转板间的电场射出时偏离原入射方向的距离y；
（3）不改变墨汁微滴的带电量、质量和进入偏转电场的速度v0，通过计算说明，如何调节可使打印在纸上的字体放大？
【详解】
（1）墨汁微滴在v0方向做匀直线运动，有
得
①
（2）偏转板间的电场强度
②
在垂直于v0方向，墨汁微滴做匀加速运动，设加速度为a，由牛顿第二定律得
Eq=ma ③
墨汁微滴从偏转板间的电场射出时偏离原入射方向的距离
④
由①②③④得
⑤
（3）微滴从偏转板间的电场射出时垂直于v0方向的分速度：
⑥
设微滴从偏转板间的电场射出时速度方向与原入射方向夹角为，有
⑦
从电场射出到打在纸上，微滴墨汁偏离原入射方向的距离
⑧
墨汁微滴从射入电场到打在纸上，偏离原入微方向的距离为
⑨
保持q、m、v0不变，当Y变大时，可使打印在纸上的字体放大，由⑨知，适当增大偏转板的电压U、减小d、增大L1或增大L2都可使打印在纸上的字体放大。
动力学角度
功能关系角度
应用
知识
牛顿第二定律以及匀变速直线运动公式
功的公式及动能定理
适用
条件
匀强电场，静电力是恒力
匀强电场、非匀强电场；静电力是恒力、变力
考点1：带电粒子的加速
【考点引入】在真空中有一对平行金属板，由于接上电池组而带电，两板间电势差为U，若一个质量为m、带正电荷q的粒子，以初速度v0从正极板附近向负极板运动。
试结合上述情境讨论：
（1）怎样计算它到达负极板时的速度？
（2）若粒子带的是负电荷(初速度为v0)，将做匀减速直线运动，如果能到达负极板，其速度如何？
（3）上述问题中，两块金属板是平行的，两板间的电场是匀强电场，如果两金属板是其他形状，中间的电场不再均匀，上面的结果是否仍然适用？为什么？
1．带电粒子的分类及受力特点
（1）电子、质子、α粒子、离子等基本粒子，一般都不考虑重力。
（2）质量较大的微粒：带电小球、带电油滴、带电颗粒等，除有说明或有明确的暗示外，处理问题时一般都不能忽略重力。
2．处理带电粒子在电场中加速问题的两种方法
可以从动力学和功能关系两个角度分析如下：
【例1】如图所示，一个质子以初速度v0＝5×106 m/s水平射入一个由两块带电的平行金属板组成的区域。两板距离为20 cm，设金属板之间电场是匀强电场，电场强度为3×105 N/C。质子质量m＝1.67×10－27 kg，电荷量q＝1.60×10－19 C。求质子由板上小孔射出时的速度大小。
【变式训练】
上例中，若质子刚好不能从小孔中射出，其他条件不变，则金属板之间的电场强度至少为多大？方向如何？
【技巧与方法】
分析带电粒子在电场中加速运动的两种思路
1 牛顿第二定律和运动学公式
qeq \f(U,d)＝ma，得a＝eq \f(qU,md)；v2－veq \\al(2,0)＝2ad，
2 动能定理
qU＝eq \f(1,2)mv2－eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)，
【针对训练】
【变式1】（多选）一平行板电容器充电后与电源断开，从负极板上某处由静止释放一个电子，设其到达正极板的速度为v1，运动过程中加速度为a1，现将两板间距离增为原来的2倍，再从负极板处由静止释放一个电子，设其到达正极板的速度为v2，运动过程中加速度为a2，则（ ）
A. a1∶a2=1∶1B. a1∶a2=2∶1C. v1∶v2=1∶2D. v1∶v2=1∶
【变式2】（多选）如图所示，电子由静止开始从A板向B板运动，当到达B极板时速度为v，保持两板间电压不变，则（ ）
A. 当增大两板间距离时，v增大
B. 当减小两板间距离时，v增大
C. 当改变两板间距离时，v不变
D. 当增大两板间距离时，电子在两板间运动的时间也增大
【变式3】如图所示，平行板电容器两板间的距离为d，电势差为U。一质量为m、带电荷量为q的α粒子，在电场力的作用下由静止开始从正极板A向负极板B运动。
（1）比较α粒子所受电场力和重力的大小，说明重力能否忽略不计（α粒子质量是质子质量的4倍，即m＝4×1.67×10－27 kg，电荷量是质子的2倍）。
（2）α粒子的加速度是多大（结果用字母表示）？在电场中做何种运动？
（3）计算粒子到达负极板时的速度大小．（结果用字母表示，尝试用不同的方法求解）
考点2：带电粒子在电场中的偏转
1．带电粒子在匀强电场中偏转的基本规律
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(vx＝v0 l＝v0t初速度方向,vy＝at y＝\f(1,2)at2电场线方向))
2．偏转位移和偏转角
（1）粒子离开电场时的偏转位移y＝eq \f(1,2)at2＝eq \f(1,2)eq \f(qU,md)＝eq \f(qUl2,2mdv\\al(2,0))。
（2）粒子离开电场时的偏转角tan θ＝eq \f(vy,v0)＝eq \f(qUl,mdv\\al(2,0))。
（3）粒子离开电场时位移与初速度夹角的正切值tan α＝eq \f(y,l)＝eq \f(qUl,2mdv\\al(2,0))。
3．两个常用的推论
（1）粒子射出电场时好像从板长l的eq \f(1,2)处沿直线射出，即x＝eq \f(y,tan θ)＝eq \f(l,2)。
（2）位移方向与初速度方向夹角的正切值为速度偏转角正切值的eq \f(1,2)，即tan α＝eq \f(1,2)tan θ。
4．运动轨迹：抛物线。
【例2】 一束电子流在经U＝5 000 V的加速电压加速后，在距两极板等距离处垂直进入平行板间的匀强电场，如图所示。若两板间距d＝1.0 cm，板长l＝5.0 cm，那么要使电子能从平行板间飞出，两个极板上最大能加多大电压？
【变式训练】
上例中，若使电子打到下板中间，其他条件不变，则两个极板上需要加多大的电压？
【技巧与方法】
带电粒子在电场中运动问题的处理方法
带电粒子在电场中运动的问题实质上是力学问题的延续，从受力角度看，带电粒子与一般物体相比多受到一个电场力；从处理方法上看，仍可利用力学中的规律分析，如选用平衡条件、牛顿定律、动能定理、功能关系、能量守恒等。
【针对训练】
【变式1】如图所示为示波管中偏转电极的示意图，间距为d，长度为l的平行板A、B加上电压后，可在A、B之间的空间中（设为真空）产生电场（设为匀强电场）。在距A、B两平行板等距离的O点处，有一电荷量为＋q、质量为m的粒子以初速度v0沿水平方向（与A、B板平行）射入，不计重力，要使此粒子能从C处射出，则A、B间的电压应为（ ）
A. B. C. D.
【变式2】如图所示为示波管中偏转电极的示意图，间距为d，长度为l的平行板A、B加上电压后，可在A、B之间的空间中(设为真空)产生电场(设为匀强电场)。在距A、B等距离处的O点，有一电荷量为＋q，质量为m的粒子以初速度v0沿水平方向(与A、B板平行)射入(图中已标出)，不计重力，要使此粒子能从C处射出，则A、B间的电压应为( )
A．eq \f(mv\\al(2,0)d2,ql2) B．eq \f(mv\\al(2,0)l2,qd2) C．eq \f(lmv0,qd) D．qeq \f(v0,dl)
【变式3】一束电子流经U1＝5 000 V的加速电压加速后，在距两极板等距离处垂直进入平行板间的匀强电场，如图所示，两极板间电压U2＝400 V，两极板间距离d＝2.0 cm，板长L1＝5.0 cm。
（1）求电子在两极板间穿过时的偏移量y；
（2）若平行板的右边缘与屏的距离L2＝5 cm，求电子打在屏上的位置与中心O的距离Y（O点位于平行板水平中线的延长线上）；
（3）若另一个质量为m（不计重力）的二价负离子经同一电压U1加速，再经同一偏转电场射出，则其射出偏转电场的偏移量y′和打在屏上的偏移量Y′各是多大？
◎考点一 带电粒子的加速
1．一个只受电场力的带电微粒进入匀强电场，则该微粒的( )
A．运动速度必然增大
B．动能一定减小
C．运动加速度肯定不为零
D．一定做匀加速直线运动
2．(多选)如图所示，从F处释放一个无初速度的电子向B板方向运动，则下列对电子运动的描述中正确的是(设电源电压为U) ( )
A．电子到达B板时的动能是eU
B．电子从B板到达C板动能变化量为零
C．电子到达D板时动能是3eU
D．电子在A板和D板之间做往复运动
3．如图所示，在P板附近有一电子由静止开始向Q板运动，则关于电子到达Q时的速率与哪些因素有关，下列解释正确的是( )
A．两极板间的距离越大，加速的时间就越长，则获得的速率越大
B．两极板间的距离越小，加速的时间就越短，则获得的速率越小
C．两极板间的距离越小，加速度就越大，则获得的速率越大
D．与两极板间的距离无关，仅与加速电压U有关
4．在匀强电场中，将质子和α粒子由静止释放，若不计重力，当它们获得相同动能时，质子经历的时间t1和α粒子经历的时间t2之比为( )
A．1∶1 B．1∶2
C．2∶1D．4∶1
◎考点二 带电粒子在电场中的偏转
5．(多选)示波管的构造如图所示。如果在荧光屏上P点出现亮斑，那么示波管中的( )
A．极板X应带正电B．极板X′应带正电
C．极板Y应带正电D．极板Y′应带正电
6．如图所示，两极板与电源相连接，电子从负极板边缘垂直电场方向射入匀强电场，且恰好从正极板边缘飞出。现在使电子入射速度变为原来的两倍，而电子仍从原位置射入，且仍从正极板边缘飞出，则两极板的间距应变为原来的( )
A．2倍B．4倍
C．eq \f(1,2) D．eq \f(1,4)
7.如图所示是一个示波管工作的原理图，电子经过加速后以速度v0垂直进入偏转电场，离开电场时偏转量是h，两个平行板间距离为d，电势差为U，板长为l，每单位电压引起的偏转量eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(h,U)))叫示波管的灵敏度，若要提高其灵敏度。可采用下列哪种办法( )
A．增大两极板间的电压
B．尽可能使板长l做得短些
C．尽可能使板间距离d减小些
D．使电子入射速度v0大些
8.如图所示，a、b两个带正电的粒子以相同的速度先后垂直于电场线从同一点进入平行板间的匀强电场，a粒子打在B板的a′点，b粒子打在B板的b′点，若不计重力，则( )
A．a的电荷量一定大于b的电荷量
B．b的质量一定大于a的质量
C．a的比荷一定大于b的比荷
D．b的比荷一定大于a的比荷
9．如图所示，A、B为两块足够大的相距为d的平行金属板，接在电压为U的电源上。在A板的中央P点放置一个电子发射源，可以向各个方向释放电子。设电子的质量为m，电荷量为e，射出的初速度为v。求电子打在板上的区域面积。(不计电子的重力)
巩固提升
1．（2022·广东茂名·高二期末）（多选）示波器是一种多功能电学仪器，它是由加速电场和偏转电场组成的。如图所示，不同的带负电粒子（不计重力）在电压为的电场中由静止开始加速，从M孔射出，然后射入电压为的平行金属板间的电场中，入射方向与极板平行，在满足带负电粒子能射出平行板电场区域的条件下，则（ ）
A．若电荷量q相等，则带负电粒子在加速电场的加速度大小相等
B．若比荷相等，则带负电粒子从M孔射出的速率相等
C．若电荷量q相等，则带负电粒子射出偏转电场时的动能相等
D．若不同比荷的带负电粒子由O点射入，偏转角度相同
2．（2022·广东天河·高二期末）示波器能把肉眼看不见的电信号变换成看得见的图像，便于人们研究各种电现象的变化过程。示波器部分结构如图所示，金属丝发射出来的电子（速度可忽略）被加速后从金属板的小孔穿出，从极板正中央垂直射入偏转场偏转后射出电场。已知加速电压为U1，两板间电压为U2，板间距为d，板长为L，电子的荷质比为，求：
(1)电子进入偏转场时的速度v0的大小；
(2)若L=d=8cm，U2=400V，U1=200V。求电子离开偏转场时偏离原入射方向的侧移距离y的大小。
3．（2022·广东佛山·高二期末）如图所示，两水平放置的平行极板间电压为U，板间距离为d，极板长为L.一电荷量为q、质量为m的带负电粒子以速度从板间中点水平射入，若粒子能从另一端射出平行板，不计粒子的重力，求带电粒子：
（1）射出平行极板时速度方向与水平方向的夹角的正切值；
（2）能从平行极板间射出的最小初速度.
4．（2022·广东番禺·高二期末）如图所示，水平绝缘轨道AC由光滑段AB与粗糙段BC组成，它与竖直光滑半圆轨道CD在C点处平滑连接，其中AB处于电场区内。一带电荷量为＋q、质量为m的可视为质点的滑块从A处以水平初速度进入电场区沿轨道运动，从B点离开电场区继续沿轨道BC运动，最后从圆轨道最高点D处以水平速度v离开圆轨道。已知：轨道BC长l＝1m，圆轨道半径R＝0.1m，m＝0.01kg，，滑块与轨道BC间的动摩擦因数，重力加速度g取10，设装置处于真空环境中。求：
（1）滑块恰好能到达圆轨道D点时的速度。
（2）若滑块恰好能到达圆轨道D点，则滑块离开电场B点时的速度大小。
（3）若m/s，为使滑块能到达圆轨道最高点D处，且离开圆轨道后落在水平轨道BC上，求A、B两点间电势差应满足的条件。
5．（2022·广东潮州·高二期末）如图所示装置，电子由静止经电场加速后沿偏转板中线进入偏转电场。已知加速电极间的电压是U1=45V，偏转板间的电压是U2=9V，偏转板长l=40cm，相距d=16cm。电子的质量是m=，电量，重力忽略不计。
（1）求电子离开加速电场时的速度大小；
（2）电子能否从偏转电场右侧飞出？若能，求飞出时竖直方向分速度的大小。
6．（2022·广东南山·高二期末）XCT扫描机可用于对多种病情的探测。图甲是某种XCT机主要部分的剖面图，其中产生X射线部分的示意图如图乙所示。图乙中M、N之间有一电子束的加速电场，虚线框内为偏转元件中的匀强偏转电场，方向竖直，经调节后电子从静止开始沿带箭头的实线所示的方向前进，出电场后速度与水平方向成30°，打到水平圆形靶台上的中心点P，产生X射线（如图中带箭头的虚线所示）。已知MN两端的电压为U0，偏转电场区域水平宽度为L0，竖直高度够长，MN中电子束距离靶台竖直高度为H，忽略电子的重力影响、不考虑电子间的相互作用，不计空气阻力，电子质量为m，电量用e表示。求：
（1）经过加速电场加速后电子的速度v0的大小；
（2）偏转电场强度的大小和方向；
（3）P点到偏转电场右边界的水平距离s。
7．（2022·广东中山·高二期末）喷墨打印机的简化模型如图所示，重力可忽略的墨汁微滴，经带电室带负电，带电多少由计算机按字体笔画高低位置控制。一带电量为q，质量为m的墨汁微滴以速度v0垂直电场方向飞入偏转极板间，最终打在纸上，已知偏转板间的电压为U，两板间距为d，板长为L1，偏转板的右端距纸的距离为L2．求：
（1）墨汁微滴在偏转板间的运动时间t；
（2）墨汁微滴从偏转板间的电场射出时偏离原入射方向的距离y；
（3）不改变墨汁微滴的带电量、质量和进入偏转电场的速度v0，通过计算说明，如何调节可使打印在纸上的字体放大？
动力学角度
功能关系角度
应用
知识
牛顿第二定律以及匀变速直线运动公式
功的公式及动能定理
适用
条件
匀强电场，静电力是恒力
匀强电场、非匀强电场；静电力是恒力、变力
10.5 带电粒子在电场中的运动
考点精讲
考点1：带电粒子的加速
【考点引入】在真空中有一对平行金属板，由于接上电池组而带电，两板间电势差为U，若一个质量为m、带正电荷q的粒子，以初速度v0从正极板附近向负极板运动。
试结合上述情境讨论：
（1）怎样计算它到达负极板时的速度？
（2）若粒子带的是负电荷(初速度为v0)，将做匀减速直线运动，如果能到达负极板，其速度如何？
（3）上述问题中，两块金属板是平行的，两板间的电场是匀强电场，如果两金属板是其他形状，中间的电场不再均匀，上面的结果是否仍然适用？为什么？
【提示】（1）由动能定理有：qU＝eq \f(1,2)mv2－eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)，得
v＝eq \r(\f(2qU＋mv\\al(2,0),m))。
（2）由动能定理有：－qU＝eq \f(1,2)mv2－eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)，得
v＝eq \r(\f(mv\\al(2,0)－2qU,m))。
（3）结果仍然适用。因为不管是否为匀强电场，静电力做功都可以用W＝qU计算，动能定理仍然适用。
1．带电粒子的分类及受力特点
（1）电子、质子、α粒子、离子等基本粒子，一般都不考虑重力。
（2）质量较大的微粒：带电小球、带电油滴、带电颗粒等，除有说明或有明确的暗示外，处理问题时一般都不能忽略重力。
2．处理带电粒子在电场中加速问题的两种方法
可以从动力学和功能关系两个角度分析如下：
【例1】如图所示，一个质子以初速度v0＝5×106 m/s水平射入一个由两块带电的平行金属板组成的区域。两板距离为20 cm，设金属板之间电场是匀强电场，电场强度为3×105 N/C。质子质量m＝1.67×10－27 kg，电荷量q＝1.60×10－19 C。求质子由板上小孔射出时的速度大小。
【解析】 根据动能定理W＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,1)－eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)
而W＝qEd＝1.60×10－19×3×105×0.2 J
＝9.6×10－15 J
所以v1＝eq \r(\f(2W,m)＋v\\al(2,0))＝eq \r(\f(2×9.6×10－15,1.67×10－27)＋5×1062) m/s
≈6×106 m/s
质子飞出时的速度约为6×106 m/s。
【变式训练】
上例中，若质子刚好不能从小孔中射出，其他条件不变，则金属板之间的电场强度至少为多大？方向如何？
【解析】 根据动能定理－qE′d＝0－eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)
则E′＝eq \f(mv\\al(2,0),2qd)＝eq \f(1.67×10－27×5×1062,2×1.60×10－19×0.2) N/C≈6.5×105 N/C
方向水平向左。
【技巧与方法】
分析带电粒子在电场中加速运动的两种思路
1 牛顿第二定律和运动学公式
qeq \f(U,d)＝ma，得a＝eq \f(qU,md)；v2－veq \\al(2,0)＝2ad，
2 动能定理
qU＝eq \f(1,2)mv2－eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)，
【针对训练】
【变式1】一平行板电容器充电后与电源断开，从负极板上某处由静止释放一个电子，设其到达正极板的速度为v1，运动过程中加速度为a1，现将两板间距离增为原来的2倍，再从负极板处由静止释放一个电子，设其到达正极板的速度为v2，运动过程中加速度为a2，则（ ）
A. a1∶a2=1∶1B. a1∶a2=2∶1C. v1∶v2=1∶2D. v1∶v2=1∶
【答案】AD
【详解】AB．平行板电容器充电后与电源断开，将两板间的距离增为原来的2倍，此时电容器极板上的电荷量不变，又
所以电场强度E不变，根据公式
U=Ed
极板之间的电势差是原来的2倍，根据牛顿第二定律得
则
a1∶a2=E1∶E2=1∶1
选项A正确，B错误；
CD．电子从负极板移动到正极板的过程中，运用动能定理得
解得
若将两板间距离增为原来的2倍，则极板之间的电势差是原来的2倍，解得
选项C错误，D正确。
故选AD。
【变式2】如图所示，电子由静止开始从A板向B板运动，当到达B极板时速度为v，保持两板间电压不变，则（ ）
A. 当增大两板间距离时，v增大
B. 当减小两板间距离时，v增大
C. 当改变两板间距离时，v不变
D. 当增大两板间距离时，电子在两板间运动的时间也增大
【答案】CD
【详解】ABC．根据动能定理研究电子由静止开始从A板向B板运动列出等式：
得
v与两板间距无关，所以当改变两板间距离时，v不变，故AB错误，C正确；
D．由于两极板之间的电压不变，所以极板之间的场强为，电子的加速度为
电子在电场中一直做匀加速直线运动，由所以电子加速的时间为
由此可见，当增大两板间距离时，电子在两板间的运动时间增大，故D正确．
【变式3】如图所示，平行板电容器两板间的距离为d，电势差为U。一质量为m、带电荷量为q的α粒子，在电场力的作用下由静止开始从正极板A向负极板B运动。
（1）比较α粒子所受电场力和重力的大小，说明重力能否忽略不计（α粒子质量是质子质量的4倍，即m＝4×1.67×10－27 kg，电荷量是质子的2倍）。
（2）α粒子的加速度是多大（结果用字母表示）？在电场中做何种运动？
（3）计算粒子到达负极板时的速度大小．（结果用字母表示，尝试用不同的方法求解）
【答案】（1）见解析；（2）；初速度为0的匀加速直线运动；（3）
【详解】（1）α粒子所受电场力大、重力小；因重力远小于电场力，故可以忽略重力
（2）α粒子的加速度为a＝。在电场中做初速度为0的匀加速直线运动
（3）方法1 利用动能定理求解
由动能定理可知qU＝mv2
v＝
方法2 利用牛顿运动定律结合运动学公式求解
设粒子到达负极板时所用时间为t，则
d＝at2，v＝at，a＝
联立解得v＝
考点2：带电粒子在电场中的偏转
1．带电粒子在匀强电场中偏转的基本规律
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(vx＝v0 l＝v0t初速度方向,vy＝at y＝\f(1,2)at2电场线方向))
2．偏转位移和偏转角
（1）粒子离开电场时的偏转位移y＝eq \f(1,2)at2＝eq \f(1,2)eq \f(qU,md)＝eq \f(qUl2,2mdv\\al(2,0))。
（2）粒子离开电场时的偏转角tan θ＝eq \f(vy,v0)＝eq \f(qUl,mdv\\al(2,0))。
（3）粒子离开电场时位移与初速度夹角的正切值tan α＝eq \f(y,l)＝eq \f(qUl,2mdv\\al(2,0))。
3．两个常用的推论
（1）粒子射出电场时好像从板长l的eq \f(1,2)处沿直线射出，即x＝eq \f(y,tan θ)＝eq \f(l,2)。
（2）位移方向与初速度方向夹角的正切值为速度偏转角正切值的eq \f(1,2)，即tan α＝eq \f(1,2)tan θ。
4．运动轨迹：抛物线。
【例2】 一束电子流在经U＝5 000 V的加速电压加速后，在距两极板等距离处垂直进入平行板间的匀强电场，如图所示。若两板间距d＝1.0 cm，板长l＝5.0 cm，那么要使电子能从平行板间飞出，两个极板上最大能加多大电压？
【分析】(1)电子经电压U加速后的速度v0可由eU＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)求出。
(2)初速度v0一定时，偏转电压越大，偏转距离越大。
(3)最大偏转位移eq \f(d,2)对应最大偏转电压。
【解析】 加速过程，由动能定理得eU＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)①
进入偏转电场，电子在平行于板面的方向上做匀速运动l＝v0t②
在垂直于板面的方向做匀加速直线运动
加速度a＝eq \f(F,m)＝eq \f(eU′,dm)③
偏转距离y＝eq \f(1,2)at2 ④
能飞出的条件为y≤eq \f(d,2)⑤
联立①～⑤式解得U′≤eq \f(2Ud2,l2)＝400 V
即要使电子能飞出，所加电压最大为400 V。
【变式训练】
上例中，若使电子打到下板中间，其他条件不变，则两个极板上需要加多大的电压？
【解析】 由eU＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)
a＝eq \f(eU″,dm)
eq \f(d,2)＝eq \f(1,2)at2
eq \f(l,2)＝v0t
联立解得U″＝eq \f(8Ud2,l2)＝1 600 V。
【技巧与方法】
带电粒子在电场中运动问题的处理方法
带电粒子在电场中运动的问题实质上是力学问题的延续，从受力角度看，带电粒子与一般物体相比多受到一个电场力；从处理方法上看，仍可利用力学中的规律分析，如选用平衡条件、牛顿定律、动能定理、功能关系、能量守恒等。
【针对训练】
【变式1】如图所示为示波管中偏转电极的示意图，间距为d，长度为l的平行板A、B加上电压后，可在A、B之间的空间中（设为真空）产生电场（设为匀强电场）。在距A、B两平行板等距离的O点处，有一电荷量为＋q、质量为m的粒子以初速度v0沿水平方向（与A、B板平行）射入，不计重力，要使此粒子能从C处射出，则A、B间的电压应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】带电粒子只受电场力作用，在平行板间做类平抛运动。设粒子由O到C的运动时间为t，则有
l=v0t
设A、B间的电压为U，则偏转电极间的匀强电场的场强
粒子所受电场力
根据牛顿第二定律得粒子沿电场方向的加速度
粒子在沿电场方向做匀加速直线运动，位移为。由匀加速直线运动的规律得
解得
U=
故选A。
【变式2】如图所示为示波管中偏转电极的示意图，间距为d，长度为l的平行板A、B加上电压后，可在A、B之间的空间中(设为真空)产生电场(设为匀强电场)。在距A、B等距离处的O点，有一电荷量为＋q，质量为m的粒子以初速度v0沿水平方向(与A、B板平行)射入(图中已标出)，不计重力，要使此粒子能从C处射出，则A、B间的电压应为( )
A．eq \f(mv\\al(2,0)d2,ql2) B．eq \f(mv\\al(2,0)l2,qd2) C．eq \f(lmv0,qd) D．qeq \f(v0,dl)
【答案】A
【解析】带电粒子只受电场力作用，在平行板间做类平抛运动。设粒子由O到C的运动时间为t，则有l＝v0t。
设A、B间的电压为U，则偏转电极间的匀强电场的场强E＝eq \f(U,d)，粒子所受电场力F＝qE＝eq \f(qU,d)。
根据牛顿第二定律，得粒子沿电场方向的加速度a＝eq \f(F,m)＝eq \f(qU,md)。
粒子在沿电场方向做匀加速直线运动，位移为eq \f(1,2)d。
由匀加速直线运动的规律得eq \f(d,2)＝eq \f(1,2)at2。
解得U＝eq \f(mv\\al(2,0)d2,ql2)，选项A正确。
【变式3】一束电子流经U1＝5 000 V的加速电压加速后，在距两极板等距离处垂直进入平行板间的匀强电场，如图所示，两极板间电压U2＝400 V，两极板间距离d＝2.0 cm，板长L1＝5.0 cm。
（1）求电子在两极板间穿过时的偏移量y；
（2）若平行板的右边缘与屏的距离L2＝5 cm，求电子打在屏上的位置与中心O的距离Y（O点位于平行板水平中线的延长线上）；
（3）若另一个质量为m（不计重力）的二价负离子经同一电压U1加速，再经同一偏转电场射出，则其射出偏转电场的偏移量y′和打在屏上的偏移量Y′各是多大？
【答案】(1) 0.25 cm；(2) 0.75 cm ；(3)0.25 cm ，0.75 cm
【详解】(1)电子加速过程，由动能定理得
①
进入偏转电场，电子在平行于极板的方向上做匀速运动，
L1＝v0t②
在垂直于极板的方向上做匀加速直线运动，加速度为
③
偏移距离
④
由①②③④得
代入数据得
y＝0.25 cm
(2)由于平抛运动速度的反向延长线恰好过水平位移的中点，且离开电场后做匀速直线运动如图，由几何关系知
可得
代入数据得
Y＝0.75 cm
(3)由于
，
偏移量与粒子的质量m和电荷量q无关，故二价负离子经同样装置后
y′＝y＝0.25 cm，Y′＝Y＝0.75 cm
◎考点一 带电粒子的加速
1．一个只受电场力的带电微粒进入匀强电场，则该微粒的( )
A．运动速度必然增大
B．动能一定减小
C．运动加速度肯定不为零
D．一定做匀加速直线运动
【解析】C 带电微粒在电场中只受电场力作用，加速度不为零且恒定，C正确；微粒可能做匀变速直线运动或匀变速曲线运动，D错误；微粒做匀加速直线运动时，速度增大，动能变大；做匀减速直线运动时，速度、动能均减小，A、B错误。
2．(多选)如图所示，从F处释放一个无初速度的电子向B板方向运动，则下列对电子运动的描述中正确的是(设电源电压为U) ( )
A．电子到达B板时的动能是eU
B．电子从B板到达C板动能变化量为零
C．电子到达D板时动能是3eU
D．电子在A板和D板之间做往复运动
【解析】ABD 由eU＝EkB可知，电子到达B板时的动能为eU，A正确；因B、C两板间电势差为0，故电子从B板到达C板的过程中动能变化量为零，B正确；电子由C到D的过程中电场力做负功大小为eU，故电子到达D板时速度为零，然后又返回A板，以后重复之前的运动，C错误，D正确。
3．如图所示，在P板附近有一电子由静止开始向Q板运动，则关于电子到达Q时的速率与哪些因素有关，下列解释正确的是( )
A．两极板间的距离越大，加速的时间就越长，则获得的速率越大
B．两极板间的距离越小，加速的时间就越短，则获得的速率越小
C．两极板间的距离越小，加速度就越大，则获得的速率越大
D．与两极板间的距离无关，仅与加速电压U有关
【解析】D 由动能定理得eU＝eq \f(1,2)mv2，当两极板间的距离变化时，U不变，v就不变，与d无关，A、B、C错误，D正确。
4．在匀强电场中，将质子和α粒子由静止释放，若不计重力，当它们获得相同动能时，质子经历的时间t1和α粒子经历的时间t2之比为( )
A．1∶1 B．1∶2
C．2∶1D．4∶1
【解析】A 由动能定理可知qEl＝Ek，又l＝eq \f(1,2)at2＝eq \f(qE,2m)t2，解得t＝eq \r(\f(2mEk,q2E2))，可见，两种粒子时间之比为eq \f(t1,t2)＝eq \f(\r(\f(2mEk,q2E2)),\r(\f(2×4mEk,4q2E2)))＝eq \f(1,1)，故选项A正确。
◎考点二 带电粒子在电场中的偏转
5．(多选)示波管的构造如图所示。如果在荧光屏上P点出现亮斑，那么示波管中的( )
A．极板X应带正电B．极板X′应带正电
C．极板Y应带正电D．极板Y′应带正电
【解析】AC 根据亮斑的位置，电子偏向XY区间，说明电子受到电场力作用发生了偏转，因此极板X、极板Y均应带正电，故A、C正确。
6．如图所示，两极板与电源相连接，电子从负极板边缘垂直电场方向射入匀强电场，且恰好从正极板边缘飞出。现在使电子入射速度变为原来的两倍，而电子仍从原位置射入，且仍从正极板边缘飞出，则两极板的间距应变为原来的( )
A．2倍B．4倍
C．eq \f(1,2) D．eq \f(1,4)
【解析】C 电子在两极板间做类平抛运动，水平方向l＝v0t，t＝eq \f(l,v0)，竖直方向d＝eq \f(1,2)at2＝eq \f(qUl2,2mdv\\al(2,0))，故d2＝eq \f(qUl2,2mv\\al(2,0))，即d∝eq \f(1,v0)，故C正确。
7.如图所示是一个示波管工作的原理图，电子经过加速后以速度v0垂直进入偏转电场，离开电场时偏转量是h，两个平行板间距离为d，电势差为U，板长为l，每单位电压引起的偏转量eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(h,U)))叫示波管的灵敏度，若要提高其灵敏度。可采用下列哪种办法( )
A．增大两极板间的电压
B．尽可能使板长l做得短些
C．尽可能使板间距离d减小些
D．使电子入射速度v0大些
【解析】C 竖直方向上电子做匀加速运动a＝eq \f(qE,m)＝eq \f(qU,md)，t＝eq \f(L,v0)，故有h＝eq \f(1,2)at2＝eq \f(qUl2,2mdv\\al(2,0))，则eq \f(h,U)＝eq \f(ql2,2mdv\\al(2,0))，可知，只有C选项正确。
8.如图所示，a、b两个带正电的粒子以相同的速度先后垂直于电场线从同一点进入平行板间的匀强电场，a粒子打在B板的a′点，b粒子打在B板的b′点，若不计重力，则( )
A．a的电荷量一定大于b的电荷量
B．b的质量一定大于a的质量
C．a的比荷一定大于b的比荷
D．b的比荷一定大于a的比荷
【解析】C 粒子在电场中做类平抛运动，有h＝eq \f(1,2)·eq \f(qE,m)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,v0)))eq \s\up12(2)，得x＝v0eq \r(\f(2mh,qE))，由图得xa＜xb，故有v0eq \r(\f(2hma,Eqa))
9．如图所示，A、B为两块足够大的相距为d的平行金属板，接在电压为U的电源上。在A板的中央P点放置一个电子发射源，可以向各个方向释放电子。设电子的质量为m，电荷量为e，射出的初速度为v。求电子打在板上的区域面积。(不计电子的重力)
【解析】 打在最边缘的电子，其初速度方向平行于金属板，在电场中做类平抛运动，在垂直于电场方向做匀速运动，即r＝vt
在平行电场方向做初速度为零的匀加速运动，即
d＝eq \f(1,2)at2
电子在平行电场方向上的加速度a＝eq \f(eE,m)＝eq \f(eU,md)
电子打在B板上的区域面积S＝πr2
联立解得S＝eq \f(2πmv2d2,eU)。
巩固提升
1．（2022·广东茂名·高二期末）示波器是一种多功能电学仪器，它是由加速电场和偏转电场组成的。如图所示，不同的带负电粒子（不计重力）在电压为的电场中由静止开始加速，从M孔射出，然后射入电压为的平行金属板间的电场中，入射方向与极板平行，在满足带负电粒子能射出平行板电场区域的条件下，则（ ）
A．若电荷量q相等，则带负电粒子在加速电场的加速度大小相等
B．若比荷相等，则带负电粒子从M孔射出的速率相等
C．若电荷量q相等，则带负电粒子射出偏转电场时的动能相等
D．若不同比荷的带负电粒子由O点射入，偏转角度相同
【答案】BCD
【解析】
【详解】
A．根据牛顿第二定律得带负电粒子在板间的加速度大小
可知电荷量相等，质量不一定相等，则加速度大小不一定相等，A错误；
B．带负电粒子从M孔射出的动能为
则负电粒子从M孔射出的速率为
可知，比荷相等，则带负电粒子从M孔射出的速率相等，B正确；
D．带电粒子进入平行金属板间做类平抛运动，设极板长度为L，板间距离为d，粒子在水平方向做匀速直线运动，则有
粒子射出电场时偏转角度正切
由上有
，
联立可得
，
可知偏转角度tanθ与比荷无关，D正确；
C．由选项D可知
又因为位移偏转角的正切值总为速度偏转角正切值的二分之一，即
由于
根据动能定理有
可知若电荷量q相等，则带负电粒子射出偏转电场时的动能相等，C正确。
故选BCD。
2．（2022·广东天河·高二期末）示波器能把肉眼看不见的电信号变换成看得见的图像，便于人们研究各种电现象的变化过程。示波器部分结构如图所示，金属丝发射出来的电子（速度可忽略）被加速后从金属板的小孔穿出，从极板正中央垂直射入偏转场偏转后射出电场。已知加速电压为U1，两板间电压为U2，板间距为d，板长为L，电子的荷质比为，求：
(1)电子进入偏转场时的速度v0的大小；
(2)若L=d=8cm，U2=400V，U1=200V。求电子离开偏转场时偏离原入射方向的侧移距离y的大小。
【详解】
(1)由动能定理得：
解得
(2)水平方向上
L=v0t
竖直方向上
又
联立解得
3．（2022·广东佛山·高二期末）如图所示，两水平放置的平行极板间电压为U，板间距离为d，极板长为L.一电荷量为q、质量为m的带负电粒子以速度从板间中点水平射入，若粒子能从另一端射出平行板，不计粒子的重力，求带电粒子：
（1）射出平行极板时速度方向与水平方向的夹角的正切值；
（2）能从平行极板间射出的最小初速度.
【详解】
解：（1）平行极板间电压为U，板间距离为d，由匀强电场的场强与电势差的关系可知
粒子在平行极板间做类平抛运动，在水平方向粒子做匀速直线运动，有
在竖直方向做初速度等于零的匀加速直线运动，有
v竖=at=
射出平行极板时速度方向与水平方向的夹角的正切值为
（2）当粒子从平行板边缘射出时，粒子的初速度最小，粒子在板间运动的时间t′
能从平行极板间射出的最小初速度
4．（2022·广东番禺·高二期末）如图所示，水平绝缘轨道AC由光滑段AB与粗糙段BC组成，它与竖直光滑半圆轨道CD在C点处平滑连接，其中AB处于电场区内。一带电荷量为＋q、质量为m的可视为质点的滑块从A处以水平初速度进入电场区沿轨道运动，从B点离开电场区继续沿轨道BC运动，最后从圆轨道最高点D处以水平速度v离开圆轨道。已知：轨道BC长l＝1m，圆轨道半径R＝0.1m，m＝0.01kg，，滑块与轨道BC间的动摩擦因数，重力加速度g取10，设装置处于真空环境中。求：
（1）滑块恰好能到达圆轨道D点时的速度。
（2）若滑块恰好能到达圆轨道D点，则滑块离开电场B点时的速度大小。
（3）若m/s，为使滑块能到达圆轨道最高点D处，且离开圆轨道后落在水平轨道BC上，求A、B两点间电势差应满足的条件。
【详解】
（1）滑块恰好能到达圆轨道D点时，根据牛顿第二定律和向心力公式得
解得
v=1m/s
（2）从B点到D点，根据动能定理
解得
vB=3m/s
（3）当电势差UAB最低时，滑块恰能经过最高点D，此时vD=1m/s
由动能定理
解得
UAB=-1600V
当电势差UAB最高时，滑块经过最高点D后做平抛运动，恰能落到B点，则由平抛运动的规律，竖直方向
水平方向
动能定理
解得
U′AB=800V
则AB间电势差满足的条件是。
5．（2022·广东潮州·高二期末）如图所示装置，电子由静止经电场加速后沿偏转板中线进入偏转电场。已知加速电极间的电压是U1=45V，偏转板间的电压是U2=9V，偏转板长l=40cm，相距d=16cm。电子的质量是m=，电量，重力忽略不计。
（1）求电子离开加速电场时的速度大小；
（2）电子能否从偏转电场右侧飞出？若能，求飞出时竖直方向分速度的大小。
【详解】
（1）设电子离开加速电场的速度为， 对于电子，在加速电场中，有
解得
（2）假设电子能从偏转电场右侧飞出，设电子在偏转电场中的加速度为a，运动时间为t，则电子在偏转电场中，由牛顿第二定律，有
解得
水平方向做匀速直线运动，所以有
解得
则偏转位移
联立解得
由于
所以电子能从偏转电场右侧飞出
因此偏出时竖直方向分速度
解得
6．（2022·广东南山·高二期末）XCT扫描机可用于对多种病情的探测。图甲是某种XCT机主要部分的剖面图，其中产生X射线部分的示意图如图乙所示。图乙中M、N之间有一电子束的加速电场，虚线框内为偏转元件中的匀强偏转电场，方向竖直，经调节后电子从静止开始沿带箭头的实线所示的方向前进，出电场后速度与水平方向成30°，打到水平圆形靶台上的中心点P，产生X射线（如图中带箭头的虚线所示）。已知MN两端的电压为U0，偏转电场区域水平宽度为L0，竖直高度够长，MN中电子束距离靶台竖直高度为H，忽略电子的重力影响、不考虑电子间的相互作用，不计空气阻力，电子质量为m，电量用e表示。求：
（1）经过加速电场加速后电子的速度v0的大小；
（2）偏转电场强度的大小和方向；
（3）P点到偏转电场右边界的水平距离s。
【详解】
（1）在加速电场中，根据动能定理有
解得
（2）电子偏转时做类平抛运动，有
联立可得
电子显负电性，根据图中电子轨迹，可知偏转电场方向竖直向上。
（3）电子离开偏转电场后水平方向和竖直方向均做匀速运动，则有
代入数据得
7．（2022·广东中山·高二期末）喷墨打印机的简化模型如图所示，重力可忽略的墨汁微滴，经带电室带负电，带电多少由计算机按字体笔画高低位置控制。一带电量为q，质量为m的墨汁微滴以速度v0垂直电场方向飞入偏转极板间，最终打在纸上，已知偏转板间的电压为U，两板间距为d，板长为L1，偏转板的右端距纸的距离为L2．求：
（1）墨汁微滴在偏转板间的运动时间t；
（2）墨汁微滴从偏转板间的电场射出时偏离原入射方向的距离y；
（3）不改变墨汁微滴的带电量、质量和进入偏转电场的速度v0，通过计算说明，如何调节可使打印在纸上的字体放大？
【详解】
（1）墨汁微滴在v0方向做匀直线运动，有
得
①
（2）偏转板间的电场强度
②
在垂直于v0方向，墨汁微滴做匀加速运动，设加速度为a，由牛顿第二定律得
Eq=ma ③
墨汁微滴从偏转板间的电场射出时偏离原入射方向的距离
④
由①②③④得
⑤
（3）微滴从偏转板间的电场射出时垂直于v0方向的分速度：
⑥
设微滴从偏转板间的电场射出时速度方向与原入射方向夹角为，有
⑦
从电场射出到打在纸上，微滴墨汁偏离原入射方向的距离
⑧
墨汁微滴从射入电场到打在纸上，偏离原入微方向的距离为
⑨
保持q、m、v0不变，当Y变大时，可使打印在纸上的字体放大，由⑨知，适当增大偏转板的电压U、减小d、增大L1或增大L2都可使打印在纸上的字体放大。
动力学角度
功能关系角度
应用
知识
牛顿第二定律以及匀变速直线运动公式
功的公式及动能定理
适用
条件
匀强电场，静电力是恒力
匀强电场、非匀强电场；静电力是恒力、变力
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