专题15 共边共角相似模型（教师版）-中考数学几何模型重点突破讲练

这是一份专题15 共边共角相似模型（教师版）-中考数学几何模型重点突破讲练，共46页。


【模型】如图，已知,要证∽,只需再知道一组对应角相等（两组对角分别相等的两三角形相似）或（两组对应边成比例且其夹角对应相等的两三角形相似）即可证明∽
【例1】如图，在中，是斜边上的高，则图中的相似三角形共有（ ）
A．1对B．2对C．3对D．4对
【答案】C
【分析】根据相似三角形的判定定理及已知即可得到存在的相似三角形．
【解析】∵∠ACB＝90°，CD⊥AB
∴△ABC∽△ACD，△ACD∽△CBD，△ABC∽△CBD
所以有三对相似三角形，
故选：C．
【例2】如图，在中，点D在AB上，请再添一个适当的条件，使，那么可添加的条件是__________．
【答案】 （答案不唯一，也可以增加条件：或）．
【分析】题目中相似的两个三角形已经有一个公共角，可以再增加一对相等的角，用两组角相等判定两三角形相似，也可以增加两组对应边成比例，利用两组边对应成比例及夹角相等判定两三角形相似．
【解析】若增加条件：∠ACD=∠ABC，
∵∠ACD=∠ABC，且∠A=∠A，
∴．
【例3】定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”．
(1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由；
(2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长．
【答案】(1)为的理想点,理由见解析
(2)或
【分析】（1）由已知可得，从而，，可证点是的“理想点”；
（2）由是的“理想点”，分三种情况：当在上时，是边上的高，根据面积法可求长度；当在上时，，对应边成比例即可求长度；不可能在上．
【解析】（1）解：点是的“理想点”，理由如下：
是中点，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
点是的“理想点”；
（2）①在上时，如图：
是的“理想点”，
或，
当时，
，
，
，即是边上的高，
当时，同理可证，即是边上的高，
在中，，，，
，
，
，
②，，
有，
“理想点” 不可能在边上，
③在边上时，如图：
是的“理想点”，
，
又，
，
，即，
，
综上所述，点是的“理想点”， 的长为或．
一、单选题
1．如图，点是的边上的一点，若添加一个条件，使与相似，则下列所添加的条件错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】在与中，已知有一对公共角∠B，只需再添加一组对应角相等，或夹已知等角的两组对应边成比例，即可判断正误．
【解析】A．已知∠B=∠B, 若，则可以证明两三角形相似，正确，不符合题意；
B．已知∠B=∠B, 若，则可以证明两三角形相似，正确，不符合题意；
C．已知∠B=∠B, 若，则可以证明两三角形相似，正确，不符合题意；
D．若，但夹的角不是公共等角∠B，则不能证明两三角形相似，错误，符合题意，
故选：D．
2．如图，在△ABC中，AD⊥BC，点D为垂足，为了证明∠BAC＝90°，以下添加的等积式中，正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】①由题意得出，证明△ADC∽△BDA，可得出∠DAC=∠ABD，则可证出结论；②不能证明△ABC与△ADC相似，得出②不符合题意；证出△ACD∽△BCA，由相似三角形的性质得出∠ADC=∠BAC=90°，可得出③符合题意；根据不能证明△ABC与△ABD相似，则可得出结论．
【解析】解：①∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°，
∵，
∴，
∴△ADC∽△BDA，
∴∠DAC=∠ABD，
∴∠ABD+∠BAD=∠DAC+∠BAD=90°，
即∠BAC=90°，
故①符合题意；
②∵AB•CD=AC•AD，
∴，
∴不能证明△ABC与△ADC相似；
故②不符合题意；
③∵，
∴，
∵∠ACD=∠BCA，
∴△ACD∽△BCA，
∴∠ADC=∠BAC=90°，
故③符合题意；
④由不能证明△ABC与△ABD相似，
故④不符合题意；
故选：B．
3．如图，D是△ABC的边AB上一点，要使△ACD∽△ABC，则具备的条件可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据相似三角形的判定条件逐一判断即可．
【解析】解：由题意得∠DAC=∠BAC，
当时，不能证明△ACD∽△ABC，故A选项不符合题意；
当时，不能证明△ACD∽△ABC，故B选项不符合题意；
当时，不能证明△ACD∽△ABC，故C选项不符合题意；
当，即时，能证明△ACD∽△ABC，故D选项符合题意；
故选D．
4．如图，D是△ABC的边AB上一点，下列条件：①∠ACD＝∠B；②；③＝；④∠B＝∠ACB，其中一定使△ABC∽△ACD的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】△ABC和△ACD有公共角∠A，然后根据相似三角形的判定方法对各个条件进行判断，从而得到答案．
【解析】∵∠DAC=∠CAB，
∴当∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB，可根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断
△ACD∽△ABC，故①④正确；
当时，可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断△ACD∽△ABC，故②正确；
当＝时，虽∠DAC=∠CAB但不是夹角，所以△ACD与△ABC不相似，故③不正确．
因此有3个正确．
故选：C．
5．如图，已知在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD为BC边的中线，过点C作CE⊥AD于点E，交AB于点F．若AC＝2，则线段EF的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】过点B作BH⊥BC，交CF的延长线于H，由勾股定理可求AD的长，由面积法可求CE，由“AAS”可证△ACD≌△CBH，可得CD＝BH＝1，AD＝CH＝，通过证明△ACF∽△BHF，可得＝，可求CF的长，即可求解．
【解析】解：如图，过点B作BH⊥BC，交CF的延长线于H，
∵AD为BC边的中线，AC＝BC＝2，
∴CD＝BD＝1，
∴AD＝＝＝，
∵，
∴CE＝＝，
∵∠ADC+∠BCH＝90°，∠BCH+∠H＝90°，
∴∠ADC＝∠H，
在△ACD和△CBH中，
，
∴△ACD≌△CBH（AAS），
∴CD＝BH＝1，AD＝CH＝，
∵AC⊥BC，BH⊥BC，
∴AC∥BH，
∴△ACF∽△BHF，
∴＝，
∴CF＝，
∴EF＝CF﹣CE＝﹣＝，
故选：B．
6．如图，在△ABC中，DEBC，过点A作AM⊥BC于M，交DE于N，若S△ADE：S△ABC＝4：9，则AN：NM的值是（ ）
A．4：9B．3：2C．9：4D．2：1
【答案】D
【分析】根据，可得，再根据，即可得到相似比，根据相似比即可得到结果．
【解析】解：∵,
∴，
∵，
∴相似比，
∵，
∴，
∴相似比，
∴，
故选：D．
7．如图，在中，点在AB边上，若，，，，则线段CD的长为（ ）
A．4B．5C．D．
【答案】C
【分析】根据已知条件可得，然后根据相似三角形的性质即可解答．
【解析】解：∠ADC＝∠ACB，，
，
，
∵，，，
∴,
，即AC=
∴，解得DC=．
故选C．
8．如图，在中，，将绕顶点A逆时针旋转至，此时点D在上，连接，线段分别交于点H、K，则下列四个结论中：①；②是等边三角形；③；④当时，；正确的是（ ）
A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③
【答案】A
【分析】①由绕顶点A逆时针旋转至，得到△AEF≌△ABC，又由∠BAD＝60°，即可证明；②由ABCD，得到∠EDH＝∠DAB＝60°，又由ADBC，得到∠AEF＝120°，进一步得∠DEH＝60°，∠DHE＝60°，结论得证；③过点H作HMAD交AB于点M，连接DM，证明△BHC、△DMH和△BHM是等边三角形，得到DH＝HM＝BH＝CH＝BC＝AD，点H为CD的中点，再证明△CKH∽△AKB，进一步得到AD＝3HK；④过点C作CN⊥AB的延长线于点N，分别用AD表示出△ACF和的面积，即可得到结论．
【解析】解：①∵将绕顶点A逆时针旋转至，
∴△AEF≌△ABC，
∴∠EAF＝∠BAC，
∵∠BAD＝60°，
∴∠CAF＝∠EAF＋∠CAD＝∠BAC＋∠CAD＝∠BAD＝60°，
故①正确；
②∵ABCD，
∴∠EDH＝∠DAB＝60°，
∵ADBC，
∴∠AEF＝∠ABC＝180°－∠BAD＝120°，
∴∠DEH＝180°－∠AEF＝60°，
∴∠DHE＝180°－∠EDH－∠DEH＝60°，
∴∠DHE＝∠EDH＝∠DEH＝60°，
∴△DEH是等边三角形，
故②正确；
③过点H作HMAD交AB于点M，连接DM，如图1，
∵△EDH是等边三角形，
∴∠BHC＝∠EHD＝60°，
∵ADBCHM，
∴∠BCH＝∠EDH＝60°，∠DHM＝∠BCH＝60°，
∴∠CBH＝180°－∠BCH－∠BHC＝60°，∠BHM＝180°－∠DHM－∠BCH＝60°，
∴△BHC是等边三角形，
∵HMADBC，
∴∠DHM＝∠BCH＝60°，∠DMH＝∠BHM＝60°，
∴∠BHC＝∠BHM＝∠DHM＝∠DMH＝60°，
∴△DMH和△BHM都是等边三角形，
∴DH＝HM＝BH＝CH＝BC＝AD，
∴点H为CD的中点，
∵∠CKH＝∠AKB，∠CHK＝∠ABK，
∴△CKH∽△AKB，
∴，
∴，
∴AD＝3HK，
∴2AD＝3HK错误，
故③错误；
④过点C作CN⊥AB的延长线于点N，如图2，则∠BNC＝90°，
∵ABCD，
∴∠DCN＝180°－∠BNC＝90°，
∵∠BCD＝60°，
∴∠BCN＝30°，
∴BN＝BC＝AD，CN＝BC＝AD，
∴AN＝AB＋BN＝2AD＋AD＝AD，
∴AC＝＝AD，
由①可知，∠CAF＝＝60°，AC＝AF，
∴△ACF是等边三角形，
∴等边三角形△ACF的高为AC＝AD，
∴ ,
∵的边AB上的高＝CN＝AD，
∴，
∴，
故④正确，
综上，①②④正确，
故选：A．
二、填空题
9．如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，若∠ACD=∠B，AD=2，BD=3，则AC的长为 ．
【答案】
【分析】证明△ACD∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【解析】解：∵AD=2，BD=3，
∴AB=AD+BD=2+3=5，
∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴，即，
解得，AC=，
故答案为：．
10．如图，，和分别是和的高，若，则与的周长之比为_____．与的面积之比为______．
【答案】 2∶3 4∶9
【分析】根据相似三角形的性质即可得到答案．
【解析】∵和分别是和的高，，，且，
∴相似比为2：3，
∴与的周长之比为2：3，
∴与的面积之比为4：9．
故答案为：2∶3；4∶9．
11．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O．点E在CD上，且DE：EC＝1：3，连接BE交AC于点F，若OF＝，则正方形的边长为_______．
【答案】7
【分析】过点E作EG⊥BD于点G，根据正方形的性质证明△BOF∽△BGE，可得，根据DE：EC=1：3，设DE=x，则EC=3x，可得DC=BC=4x，列出方程即可求出结果．
【解析】解：如图，过点E作EG⊥BD于点G，
∵正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，
∴AC⊥BD，∠BDC=45°，
∴∠BOF=∠BGE，
∵∠OBF=∠GBE，
∴△BOF∽△BGE，
∴
∵DE：EC=1：3，
设DE=x，则EC=3x，
∴DC=BC=4x，
解得4x=7，
∴BC=4x=7，
∴正方形的边长为7．
故答案为：7
12．如图，已知，，点M、N分别是、的中点，则________．
【答案】1：2
【分析】由于，得出 ，∠B=∠E，结合中线的定义得出，则可证明△ABN∽△DEN，然后根据相似三角形的性质，即可得出结果．
【解析】解：∵，
∴ ，∠B=∠E，
∵点M、N分别是、的中点，
即 ，，
，
∴△ABN∽△DEN，
，
故答案为：1：2．
13．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AF平分∠BAC，交DE于点G，交BC于点F．若∠AED＝∠B，且AG：GF＝3：2，则DE：BC＝_____．
【答案】
【分析】先证△ADE∽△ACB，再根据GA、FA分别是△ADE、△ABC的角平分线可得＝，然后再由AG：FG＝3：2可得AG：AF＝3：5即可解答．
【解析】解：∵∠DAE＝∠CAB，∠AED＝∠B，
∴△ADE∽△ACB，
∵GA、FA分别是△ADE、△ABC的角平分线，
∴＝（相似三角形的对应角平分线的比等于相似比），
∵AG：FG＝3：2，
∴AG：AF＝3：5，
∴DE：BC＝3：5．
故答案为3：5．
14．将一副三角尺（在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°；在Rt△DEF中，∠EDF＝90°，∠E＝45°）如图①摆放，点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C．将△DEF绕点D顺时针方向旋转角α（0°＜α＜60°），DE′交AC于点M，DF′交BC于点N，则＝________．
【答案】
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD＝AD＝BD＝AB，根据等边对等角求出∠ACD＝∠A，再求出∠ADC＝120°，再根据∠ADE＝∠ADC﹣∠EDF计算得30°，根据同角的余角相等求出∠PDM＝∠CDN，再根据然后求出△BCD是等边三角形，根据等边三角形的性质求出∠BCD＝60°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CPD＝60°，从而得到∠CPD＝∠BCD，再根据两组角对应相等，两三角形相似判断出△DPM和△DCN相似，再根据相似三角形对应边成比例可得结论．
【解析】解：∵∠ACB＝90°，点D为AB的中点，
∴CD＝AD＝BD＝AB，
∴∠ACD＝∠A＝30°，
∴∠ADC＝180°﹣30°×2＝120°，
∴∠ADE＝∠ADC﹣∠EDF＝120°﹣90°＝30°；
∵∠EDF＝90°，
∴∠PDM+∠E′DF＝∠CDN+∠E′DF＝90°，
∴∠PDM＝∠CDN，
∵∠B＝60°，BD＝CD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠BCD＝60°，
∵∠CPD＝∠A+∠ADE＝30°+30°＝60°，
∴∠CPD＝∠BCD，
∴△DPM∽△DCN，
∴＝，
∵∠ACD＝30°，∠CDP＝90°，
∴＝tan∠ACD＝tan30°＝，
∴＝．
故答案为：．
15．如图，△ABC中，CE⊥AB，BF⊥AC，若∠A＝60°，EF＝2，则BC＝_______．
【答案】4
【分析】先判定△AFB∽△AEC，进而证明△AEF∽△ACB，得到，再证明AB=2AF，问题即可解决．
【解析】解：∵CE⊥AB，BF⊥AC，
∴∠AFB=∠AEC=90°，
又∵∠A=∠A，
∴△AFB∽△AEC，
∴，即，
又∵∠A=∠A，
∴△AEF∽△ACB，
∴，
∵BF⊥AC，且∠A=60°，
∴∠ABF=30°，
∴AF=AB，
∴BC=2EF=4．
故答案为：4．
16．如图，在△ABC中，AB=AC=6．D是AC中点，E是BC上一点，BE=，∠AED=∠B，则CE的长为_____________．
【答案】
【分析】求出∠BAE＝∠DEC，证明△ABE∽△ECD，推出即可解决问题．
【解析】解：∵AB＝AC＝6，
∴∠B＝∠C，
∵∠AEC＝∠B＋∠BAE＝∠AED＋∠DEC，∠AED＝∠B，
∴∠BAE＝∠DEC，
∴△ABE∽△ECD，
∴，
∵CD＝AC＝3，
∴，
解得：，
故答案为：．
三、解答题
17．如图，在三角形ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿边AB运动，速度为2cm/s，点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s，如果点P、Q两动点同时运动，何时QBP与ABC相似？
【答案】经过4秒或1.6秒时，△QBC与△ABC相似
【分析】由题意可得，，根据△QBC与△ABC相似，分情况列式计算即可．
【解析】解：由题意可得，
∵∠PBQ=∠ABC，
当时，，
即，解得：；
当时，，
即，解得：；
即经过4秒或1.6秒时，△QBC与△ABC相似．
18．已知，如图，△ABC中，AB＝2，BC＝4，D为BC边上一点，BD＝1，AD+AC=8．
（1）找出图中的一对相似三角形并证明；
（2）求AC长．
【答案】（1）△BAD∽△BCA，理由见详解；（2）
【分析】（1）由题意易得，然后由∠B是公共角，问题可证；
（2）由（1）可得，再由AD+AC=8可求解．
【解析】解：（1）△BAD∽△BCA，理由如下：
AB＝2，BC＝4，BD＝1，
，
，
又∠B=∠B，
△BAD∽△BCA；
（2）由（1）得：，即，
AD+AC=8，
，解得：，
．
19．如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，且AC=，CD＝4，BD＝2，求证：△ACD∽△BCA．
【答案】证明见解析．
【分析】根据AC=，CD＝4，BD＝2，可得，根据∠C =∠C，即可证明结论．
【解析】解：∵AC=，CD＝4，BD＝2
∴，
∴
∵∠C =∠C
∴△ACD∽△BCA．
20．已知：如图，在中，D是AC上一点，联结BD，且∠ABD =∠ACB．
（1）求证：△ABD∽△ACB；
（2）若AD=5，AB= 7，求AC的长.
【答案】(1)见详解；（2）
【解析】（1）证明：∵∠A=∠A,∠ABD =∠ACB,
∴△ABD∽△ACB.
（2）解: ∵△ABD∽△ACB，
∴，
∴，
∴
21．【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB．
【尝试应用】（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长．
【答案】（1）见解析；（2）AD=．
【分析】（1）证明△ADC∽△ACB，即可得出结论；
（2）证明△BFE∽△BCF，得出BF2=BE•BC，求出BC，则可求出AD．
【解析】（1）证明：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，
∴△ADC∽△ACB，
∴，
∴AC2=AD•AB．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠A=∠C，
又∵∠BFE=∠A，
∴∠BFE=∠C，
又∵∠FBE=∠CBF，
∴△BFE∽△BCF，
∴，
∴BF2=BE•BC，
∴BC===，
∴AD=．
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且＝．
（1）求证 △ACD∽△ABC；
（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据相似三角形的判定两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可得出
（2）由得，，推出，由相似三角形的性质得，即可求出CD的长．
【解析】（1）∵，，
∴；
（2）∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
23．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，∠COB＝2∠PCB．
（1）求证：CP是⊙O的切线；
（2）若M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB＝6，求MC•MN的值．
【答案】（1）见解析；（2）18
【分析】（1）已知C在圆上，故只需证明OC与PC垂直即可，根据圆周角定理，易得∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP即可；
（2）连接MA，MB，由圆周角定理可得∠ABM＝∠BCM，进而可得△MBN∽△MCB，故BM2=MN•MC，根据锐角三角函数求出BM，代入数据可得MN•MC= BM2=18．
【解析】（1）证明：∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠ACO．
又∵∠COB＝2∠CAO，∠COB＝2∠PCB，
∴∠CAO＝∠ACO＝∠PCB．
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACO+∠OCB＝90°．
∴∠PCB+∠OCB＝90°．
即OC⊥CP，
∵OC是⊙O的半径．
∴PC是⊙O的切线；
（2）解：连接MA，MB，
∵点M是弧AB的中点，
∴，
∴∠ACM＝∠BCM．
∵∠ACM＝∠ABM，
∴∠BCM＝∠ABM．
∵∠BMN＝∠BMC，
∴△MBN∽△MCB．
∴，
∴BM2＝MN•MC．
∵AB是⊙O的直径，，
∴∠AMB＝90°，AM＝BM．
∴∠ABM=∠BAM=45°，
∵AB＝6，
∴BM＝ABsin45°==，
∴MN•MC＝BM2＝18．
24．如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA．
（1）求证：AC2＝BC•CD；
（2）若AD是△ABC的中线，求的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）首先利用相似三角形的判定得出，得，进而求出，再利用相似三角形的性质得出答案即可；
（2）由可证，进而得出，再由（1）可证，由此即可得出线段之间关系．
【解析】（1）证明：，，
，
，
，
，
，
．
（2）解：，
，
，
，
AD是△ABC的中线，
，
，即：，
∴．
25．（1）如图1，在中，为上一点，．求证：．
（2）如图2，在中，是上一点，连接，．已知，，．求证：．
（3）如图3，四边形内接于，、相交于点．已知的半径为2，，，，求四边形的面积．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）由化比例，与，可证∽即可；
（2）由，可得，AD=BC，根据线段比值计算，，可得，由∠EAC=∠CAB，可证∽即可；
（3）连接交于点，连接，根据，，可得AC=2AE，根据线段比值计算可得，由∠BAC=∠EAB，可证∽，可证∠ABD=∠ADB，可得BF=DF，根据勾股定理OF=，可求，可证，，可得S△BCD= 即可．
【解析】（1）证明：如图1，
∵，
∴，
又∵，
∴∽，
∴．
（2）证明：如图2，∵，
∴，AD=BC，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∵∠EAC=∠CAB，
∴∽，
∴，即，
∴．
∴；
（3）解：如图3，连接OA交于点，连接，
∵，，
∴AC=2AE，
∴，，
∴，
∵∠BAC=∠EAB，
∴∽，
∴，
∵∠ADB=∠ACB，
∴∠ABD=∠ADB，
∴点A是弧的中点，BD为弦，OA为半径，
∴，BF=DF，
∵，，
∴BF=DF= ，
在Rt△OBF中，
根据勾股定理OF=，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴S△BCD=S△BCE+S△DCE=，
∴．
26．如图1，四边形内接于是的直径，．延长交的延长线于点．
（1）证明：．
（2）当时，
①求的长度．
②如图2，作平分交于点，连结，求的面积．
【答案】（1）见详解；（2）①；②
【分析】（1）由题意易得∠BAD=∠ACD，由圆内接四边形的外角等于它的内对角得∠ECD=∠BAD，然后问题可求解；
（2）①由（1）及题意易得△CDE∽△ABE，则有，进而可得，然后设，最后根据勾股定理可求解；
②连接CF，过点F作FH⊥AE于点H，由题意易得∠ABF=∠ACF=∠ADF=45°，由①可得，，则有，进而可得，△FHD是等腰直角三角形，然后设DH=FH=x，则，由勾股定理可求解x的值，最后根据三角形面积计算公式可求解．
【解析】（1）证明：∵，
∴∠BAD=∠ACD，
∵四边形内接于，
∴∠ECD=∠BAD，
∴；
（2）解：①由（1）得：，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=∠CDE=90°，
∵CD=CD，
∴△ADC≌△EDC（ASA），
∴AD=DE，AC=CE，
∵∠E=∠E，
∴△CDE∽△ABE，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，在Rt△CDE中，，
∴，解得：，
∴；
②连接CF，过点F作FH⊥AE于点H，如图所示：
由①得：，，
∵平分，∠ABC=90°，
∴∠ABF=45°，
∴∠ACF=∠ADF=45°，
∵AC是是⊙O的直径，
∴∠AFC=90°，
∴△AFC和△FHD是等腰直角三角形，
∴AF=FC，FH=DH，
∴，
设DH=FH=x，则，
∴在Rt△AHF中，，
解得：（不符合题意，舍去）
∴，
∴．
27．如图1，在菱形ABCD中，AC是对角线，AB＝AC＝6，点E、F分别是边AB、BC上的动点，且满足AE＝BF，连接AF与CE相交于点G．
（1）求的度数．
（2）如图2，作交CE于点H，若CF＝4，，求GH的值．
（3）如图3，点O为线段CE中点，将线段EO绕点E顺时针旋转60°得到线段EM，当构成等腰三角形时，请直接写出AE的长．
【答案】（1）60°；（2）；（3）2或
【分析】（1）根据菱形的性质得到△ABC，△ACD是等边三角形，然后根据等边三角形的性质证明△ABF≌△CAE，得到∠BAF＝∠ACE，从而结合三角形的外角性质求解即可；
（2）延长GA至点K使得AK＝CG，首先结合（1）的结论推出△AFC∽△CFG，得到，从而求出GF，AG，CG，再证明△ADK≌△CDG，推出△DKG是等边三角形，从而求出DG，最后根据30°角的直角三角形的性质求解即可；
（3）分别根据等腰三角形的定义进行分类讨论，并结合相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质求解即可．
【解析】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，AB＝AC，
∴AB＝AC＝BC＝AD＝CD，
∴△ABC，△ACD是等边三角形．
∴∠ABC＝∠CAE，
在△ABF与△CAE中，
∴△ABF≌△CAE(SAS)，
∴∠BAF＝∠ACE，
∴∠CGF＝∠GAC＋∠ACG＝∠GAC＋∠BAF＝∠BAC＝60°；
（2）如图所示，延长GA至点K使得AK＝CG．
∵∠BAF＝∠ACE，
∴∠FAC＝∠GCF，
∵∠GFC＝∠AFC，
∴△AFC∽△CFG，
∴,
∵CF＝4，，AC＝6，
∴，，
∵∠FGC＝60°，∠ADC＝60°，
∴∠AGC＋∠ADC＝180°，
∴∠GAD＋∠GCD＝180°，
∵∠KAD＋∠GAD＝180°，
∴∠KAD＝∠GCD，
又∵DC=DA，
∴△ADK≌△CDG（SAS），
∴DK＝DG，∠KDA＝∠GDC，
∴∠KDG＝∠ADC ＝60°，
∴△DKG是等边三角形，
∴∠AGD＝∠DGH＝60°，DG＝KG＝AK＋AG＝AG＋CG＝，
∵，∠DGH＝60°，
∴ ；
（3）①若AM=MC，则△MAC为等腰三角形，
此时，取AC中点为点P，连接OP，OM，BM，
∵∠MEO=60°，EO=EM，
∴△OEM为等边三角形，
∵∠FGC=60°，
∴∠MEO=∠FGC，
∴ME∥AF，
∵O为CE的中点，P为AC的中点，
∴OP为△AEC的中位线，OP∥AB，
∵△ABC为等边三角形，△MAC为等腰三角形，P为AC的中点，
∴由“三线合一”知，B、M、P三点共线，
且BP⊥AC，AP=PC=AC=3，∠ABP=∠ABC=30°，
∵△OEM为等边三角形，
∴OE=OM，∠OEM=∠OME，
∵OE=OC，
∴OM=OC，∠OMC=∠OCM，
∴∠OEM+∠OCM=∠OME+∠OMC，
即：∠OEM+∠OCM=∠EMC，
∴∠EMC=90°，CM⊥EM，
∴在Rt△CEM中，∠ECM=90°-60°=30°，
此时，如图所示，将△AEC绕着C点逆时针旋转60°至△BNC，连接MN，
则∠ACE=∠BCN，∠NBC=60°，
∵∠ECM=30°，
∴∠ACE+∠MCB=30°，
∴∠BCN+∠MCB=∠MCN=30°，
∴∠MCN=∠MCE=30°，
∵CE=CN，∠MCN=∠MCE，CM=CM，
∴△MCE≌△MCN，
∴∠CMN=∠CME=90°，
∴E、M、N三点共线，
∴△ECN为等边三角形，
∵∠NBC=∠ACB=60°，
∴BN∥AC，
∵∠BPC=90°，
∴∠NBM=90°，
∵∠CMN=90°，
∴∠BMN+∠CMP=90°，
∵∠BMN+∠BNM=90°，
∴∠BNM=∠CMP，
∴△BMN∽△PCM，
∴，
∵，
∴，
∵PC=3，
∴BM=，
在Rt△ABP中，AP=3，∠ABP=30°，
∴BP=，
∴PM=BP-BM=，
∵∠MBC=30°，∠OMC=90°-∠OME=30°，
∴∠MBC+∠MCB=∠OMC+∠OMP，
∴∠MCB=∠OMP，
∵OP∥AB，
∴∠OPC=∠BAC=60°，
∴∠OPM=90°-60°=30°，
∴△OPM∽△MBC，
∴，
即：，
∴OP=1，
∵OP为△AEC的中位线，
∴AE=2OP=2；
②若AM=AC，则△AMC为等腰三角形，
如图所示，取AC中点P，连接OP，延长AO交MC于Q点，
由①可知，△EMC始终为直角三角形，∠EMC=90°，∠ECM=30°，
且EM与AF始终平行，
∴∠EMC=∠AQC=90°，AQ⊥MC于Q点，
∵OM=OC，
∴O点在AQ上，
∵∠COQ=60°，∠CGF=60°，
∴此时O点和G点重合，
∵∠CPO=∠CAB=60°，∠COQ=60°，
∴∠APO=∠AOC=120°，
∴△APO∽△AOC，
∴，
∵AC=6，AP=3，
∴，
∴AO=，
∵Rt△OCQ中，∠OCQ=30°，
∴设OQ=x，则CQ=x，
在Rt△CAQ中，，
即：，
解得：或（不合题意，舍去），
∴，，
∴由得：，
解得：，
∵OP是△AEC的中位线，
∴AE=2OP=；
③若AC=MC，则E点在AB的延长线上，此时与E点在边AB上运动矛盾，故该种情况舍去；
综上，AE＝2或．
28．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB上一点．
（1）如图1，若CD⊥AB，求证：AC2=AD·AB；
（2）如图2，若AC=BC，EF⊥CD交CD于H，交AC于F，且，求的值；
（3）如图3，若AC=BC，点H在CD上，∠AHD=45°，CH=3DH，则tan∠ACH的值为________．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【分析】（1）证出，证明∽，得出，即可得出结论；
（2）设，则（），同（1）得，则，在中，，过作于，易证，求出，再由平行线分线段成比例定理即可得出答案；
（3）过点作于，设，则（），，证明∽，得出，，求出，证明是等腰直角三角形，得出，由勾股定理得出，由三角函数定义即可得出答案．
【解析】（1）证明：∵，∴，
∵，
∴，
∴，
∴∽，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴设，则（），
∵，，
同（1）得：，
∴，
在中，，
过作于，如图2所示：
则，
在中，，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：过点作于，如图3所示：
∵，
∴设，则（），
∴，
∵，，
∴，
∴
又∵，
∴∽，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
29．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．
（1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？
（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）当时，四边形APNC的面积S有最小值，其最小值是．
【分析】根据勾股定理求得AB=5cm．
（1）分△AMP∽△ABC和△APM∽△ABC两种情况讨论：利用相似三角形的对应边成比例来求t的值．
（2）如图，过点P作PH⊥BC于点H，构造平行线PH∥AC，由平行线分线段成比例求得以t表示的PH的值；然后根据“S=S△ABC﹣S△BPH”列出S与t的关系式，则由二次函数最值的求法即可得到S的最小值．
【解析】解：∵如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．
∴根据勾股定理，得．
（1）以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况：
①当△AMP∽△ABC时，，即，解得；
②当△APM∽△ABC时，，即，解得t=0（不合题意，舍去）．
综上所述，当时，以A、P、M为顶点的三角形与△ABC相似．
（2）存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值．理由如下：
假设存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值．
如图，过点P作PH⊥BC于点H．则PH∥AC，
∴，
即．
∴．
∴
．
∵，
∴S有最小值．
当时，S最小值=．
答：当时，四边形APNC的面积S有最小值，其最小值是．
30．我们定义：对角线垂直的凸四边形叫做“准筝形”．如图 1，四边形 ABCD 中，AC⊥BD，则四边形 ABCD 是“准筝形”．
（1）“三条边相等的准筝形是菱形”是 命题；（填“真” 或“假”）
（2）如图 1，在准筝形 ABCD 中，AD＝3，AB＝2，BC＝4，求 CD的长．
（3）如图 2， 在准筝形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，点 P 在线段 AD 上，AP＝2，且 AD＝3， AO =，在 BD 上存在移动的线段EF，E 在 F 的左侧，且 EF＝1，使四边形 AEFP 周长最小，求此时OE 的长度．
【答案】（1）真；（2）；（3）
【分析】（1）先根据在准筝形ABCD中，AC⊥BD，BC=CD=AD，设AC与BD交于点O，得出OA=OC，OB=OD，推出四边形ABCD是平行四边形，再根据AD=CD，即可证明四边形ABCD是菱形，即可得出结论；
（2）设AC与BD交于点O，根据AC⊥BD，得到AB2=AO2+BO2，AD2=AO2+DO2，CD2=CO2+DO2，BC2=OB2+OC2，可得AB2+CD2=AD2+BC2=OA2+OB2+OC2+OD2，根据AD=3，АВ=2，BC=4，即可求出CD；
（3）过P作PG⊥AO于G，过A作AM//EF且AM=EF，作M点关于OD的对称点N，连接MN交OD于H，交PG于R，连接PN交OD于F，先证明四边形AEFM是平行四边形，得到AE=MF，根据M、N关于OD对称，得出MF=NF，推出当且仅当N、F、P三点共线时，AE+PF取得最小值，根据AP=2，EF=1，得出当AE+PE取得最小值时，四边形AEFP周长取得最小值，然后证明四边形AOHM是矩形，得出АМ=ОН=EF=1，OA=MН=HN=，根据在Rt△AOD中，OA=，AD=3，PG⊥OA，求出AG=AP=1，PG=AG=，PR=PG-GR=PG-AM=-1，RN=HN+HR=2，证明△NHF∽△NRP，得出==，求出HF=PR==，根据OF=ОН+HF=OE+EF，ОН=EF=1，即可得出OЕ．
【解析】解：（1）三条边相等的准筝形是菱形是真命题，
，
在准筝形ABCD中，AC⊥BD，BC=CD=AD，
设AC与BD交于点O，
∴OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD=CD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴三边相等的准筝形是菱形，
故答案为：真；
（2）设AC与BD交于点O，
∵AC⊥BD，
∴AB2=AO2+BO2，
AD2=AO2+DO2，
CD2=CO2+DO2，
BC2=OB2+OC2，
∴AB2+CD2=AD2+BC2=OA2+OB2+OC2+OD2，
∵AD=3，АВ=2，BC=4，
∴22+CD2=32+42，
∴CD=，
∴CD的长为；
（3）过P作PG⊥AO于G，
过A作AM//EF且AM=EF，
作M点关于OD的对称点N，连接MN交OD于H，
交PG于R，连接PN交OD于F，
∵AM//EF，AM=EF，
∴四边形AEFM是平行四边形，
∴AE=MF，
∵M、N关于OD对称，
∴MF=NF，
∴AE+PF=MF+PF=NF+PF≥PN，
∴当且仅当N、F、P三点共线时，AE+PF取得最小值，
∵AP=2，EF=1，
∴当AE+PE取得最小值时，四边形AEFP周长取得最小值，
∵AM//OD，ОA//MН，∠AOD=90°，
∴四边形AOHM是矩形，
∴АМ=ОН=EF=1，OA=MН=HN=，
在Rt△AOD中，OA=，AD=3，
∴∠ADO=30°，
∵PG⊥OA，
∴PG∥OD，
∴∠APG=∠ADO=30°，
∴AG=AP=1，PG=AG=，
∴PR=PG-GR=PG-AM=-1，
∵HR=-1=，
∴RN=HN+HR=2，
∵PG//OD，
∴△NHF∽△NRP，
∴==，
∴HF=PR==，
∵OF=ОН+HF=OE+EF，ОН=EF=1，
∴OЕ=HF=，
故四边形AEFP周长最小时，OE的长度为．