专题02 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质-2023-2024学年苏科版九年级数学下册常考压轴题

这是一份专题02 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质-2023-2024学年苏科版九年级数学下册常考压轴题，共42页。

姓名：_________ 班级：_________ 学号：_________
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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc18267" 【典型例题】 PAGEREF _Tc18267 \h 1
\l "_Tc27435" 【考点一把y=ax²+bx+c化成顶点式】 PAGEREF _Tc27435 \h 1
\l "_Tc29185" 【考点二画二次函数y=ax²+bx+c的图象】 PAGEREF _Tc29185 \h 2
\l "_Tc20515" 【考点三二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质】 PAGEREF _Tc20515 \h 8
\l "_Tc16764" 【考点四求二次函数与x轴的交点坐标】 PAGEREF _Tc16764 \h 12
\l "_Tc24353" 【考点五求二次函数与y轴的交点坐标】 PAGEREF _Tc24353 \h 13
\l "_Tc12887" 【考点六已知二次函数上对称的两点求对称轴】 PAGEREF _Tc12887 \h 14
\l "_Tc28855" 【考点七二次函数的平移】 PAGEREF _Tc28855 \h 15
\l "_Tc6207" 【考点八根据二次函数的增减性求最值】 PAGEREF _Tc6207 \h 17
\l "_Tc6561" 【过关检测】 PAGEREF _Tc6561 \h 21
【典型例题】
【考点一把y=ax²+bx+c化成顶点式】
例题：（2022秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）二次函数的顶点坐标为．
【变式训练】
1．（2022秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）抛物线的顶点坐标是．
2．（2023秋·九年级课时练习）把二次函数通过配方化成的形式为，所以其图象的开口向，对称轴为直线，顶点坐标为．
【考点二画二次函数y=ax²+bx+c的图象】
例题：（2023秋·辽宁大连·九年级统考期末）已知：二次函数．
(1)将函数关系式化为的形式，并指出函数图像的对称轴和顶点坐标；
(2)利用描点法画出所给函数的图像．
(3)当时，观察图像，直接写出函数值y的取值范围．
【变式训练】
1．（2023·全国·九年级假期作业）已知抛物线．
(1)该抛物线的对称轴是_______，顶点坐标_______；
(2)选取适当的数据填入下表，并在图中的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；
(3)若该抛物线上两点，的横坐标满足，试比较与的大小．
2．（2023·上海松江·统考一模）已知二次函数．
(1)用配方法求这个二次函数的顶点坐标；
(2)在所给的平面直角坐标系中（如图），画出这个二次函数的图像；
(3)请描述这个二次函数图像的变化趋势．
3．（2023秋·九年级统考期末）小明用描点法画抛物线．
(1)请帮小明完成下面的表格，并根据表中数据在所给的平面直角坐标系中描点，连线从而画出此抛物线；
(2)直接写出抛物线的对称轴，顶点坐标．
【考点三二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质】
例题：（2023·全国·九年级假期作业）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下B．顶点坐标是
C．对称轴是直线D．当时，有最大值是
【变式训练】
1．（2023春·广东惠州·九年级校考开学考试）表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
下列各选项中，正确的是（ ）
A．这个函数的最小值为B．这个函数的图象开口向下
C．这个函数的图象与x轴无交点D．当时，y的值随x值的增大而增大
2．（2023·江苏扬州·统考中考真题）已知二次函数（a为常数，且），下列结论：
①函数图像一定经过第一、二、四象限；②函数图像一定不经过第三象限；③当时，y随x的增大而减小；④当时，y随x的增大而增大．其中所有正确结论的序号是( )
A．①②B．②③C．②D．③④
3．（2023·浙江宁波·统考中考真题）已知二次函数，下列说法正确的是( )
A．点在该函数的图象上
B．当且时，
C．该函数的图象与x轴一定有交点
D．当时，该函数图象的对称轴一定在直线的左侧
【考点四求二次函数与x轴的交点坐标】
例题：（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨德强学校校考一模）抛物线与轴交点坐标为__________．
【变式训练】
1．（2023秋·浙江杭州·九年级统考期末）二次函数图象与轴的交点坐标为_________．
2．（2023·山东枣庄·校考模拟预测）二次函数的图象交x轴于点A，B．则点的距离为________．
3．（2023·全国·九年级假期作业）抛物线与轴的交点坐标是______ ，与轴的交点坐标是_______________ ．
【考点五求二次函数与y轴的交点坐标】
例题：（2023·上海·一模）抛物线与y轴交点的坐标为____．
【变式训练】
1．（2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）抛物线与y轴的交点坐标为______．
2．（2023春·湖南永州·九年级统考期中）二次函数的图象与轴交点坐标是________．
【考点六已知二次函数上对称的两点求对称轴】
例题：（2023春·江苏盐城·八年级校考期中）已知抛物线经过点、，那么此抛物线的对称轴是______．
【变式训练】
1．（2023春·北京西城·九年级北师大实验中学校考开学考试）若，在抛物线上，则m的值为_______________．
2．（2023秋·贵州黔东南·九年级统考期末）已知二次函数的x、y的部分对应值如下表所示：
则该二次函数图象的对称轴为直线___________．
【考点七二次函数的平移】
例题：（2023·广东江门·统考模拟预测）把函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度平移后图象的函数解析式为___________．
【变式训练】
1．（2023·广东佛山·校考三模）将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式是______．
2．（2023·黑龙江牡丹江·统考二模）将二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的新图象与y轴交点的纵坐标为_______．
3．（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）把抛物线先向左移动2个单位，在向下移动4个单位，所得到的新的抛物线的顶点坐标为____________．
【考点八根据二次函数的增减性求最值】
例题：（2023春·浙江杭州·九年级杭州市杭州中学校考阶段练习）二次函数的最大值是___________，最小值是___________．
【变式训练】
1．（2023春·江苏苏州·九年级专题练习）二次函数的最小值是______，最大值是______．
2．（2023·安徽合肥·合肥市第四十二中学校考一模）已知二次函数.
（1）当时，二次函数的最小值为________；
（2）当时，二次函数的最小值为1，则________.
3．（2023·安徽合肥·校考一模）已知二次函数，
（1）当时，二次函数的最大值为______．
（2）当时，二次函数的最大值为6，则的值为______．
x
···
0
1
2
3
···
y
···
···
…
…
…
…
x
…
0
1
2
3
4
5
…
…

0


…
x
…
0
1
3
…
y
…
6
…
x
…
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…
【过关检测】
一、单选题
1．（2023秋·山西大同·九年级校联考阶段练习）二次函数的对称轴为直线（ ）
A．B．C．D．
2．（安徽省合肥市部分学校2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题）将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的新抛物线的函数表达式为（ ）
A．B．
C．D．
3．抛物线经过三点，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023春·浙江温州·九年级校联考阶段练习）已知函数在上有最大值9，则常数a的值是（ ）
A．1B．C．或D．1或
5．（2022秋·陕西铜川·九年级校考期末）二次函数图象上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如表，下列结论错误的是（ ）
A．对称轴是直线B．这个函数的最大值大于6
C．抛物线开口向下D．当时，随的增大而增大
二、填空题
6．（2023秋·浙江嘉兴·九年级校考开学考试）抛物线的顶点坐标是．
7．（2023秋·山西大同·九年级校联考阶段练习）二次函数的图象与轴的交点坐标为．
8．（2023秋·福建莆田·九年级校考阶段练习）抛物线经过点，对称轴是直线，则．
9．（2023秋·安徽合肥·九年级校考阶段练习）已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值为．
10．（2023秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）抛物线的对称轴是，且它的最高点在直线上，则，.
三、解答题
11．（2023秋·安徽合肥·九年级校考阶段练习）已知二次函数．
(1)确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴方程；
(2)当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？
12．（2023秋·湖北武汉·九年级校考开学考试）如图，抛物线的对称轴为，抛物线与轴相交于、两点，与轴交于点，其中点的坐标为．

(1)求点的坐标；
(2)若点在抛物线上，，且，求点的坐标．
13．（2023秋·江西宜春·九年级校考阶段练习）已知抛物线与y轴的交点为A，点A与点B关于抛物线的对称轴对称，且过和两点．

(1)求二次函数的解析式；
(2)抛物线的对称轴是______；开口方向是______；
(3)已知点在抛物线上，设的面积为S，请在图中画出S与t的函数图象，并利用函数图象判断S是否存在最大值．
14．（2023春·浙江杭州·九年级校联考阶段练习）已知二次函数．
(1)若，求该函数图像的顶点坐标；
(2)若当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，求m的值；
(3)若函数，点，都在函数的图像上，且，求n的取值范围．（用含m的代数式表示）
15．（2023秋·九年级课时练习）已知二次函数．
（1）画出二次函数的图像；
（2）当取何值时，随的增大而增大？当取何值时，随的增大而减小？
（3）该函数图像是由函数的图像经过怎样的平移得到的？
（4）求出函数的最大值或最小值．
思维过程：
(1)二次函数的图像的对称轴为_________，在对称轴的两侧对称取值，如下表：
利用对称性描点、连线，画图如图所示．

(2)将化为顶点式为__________，所以当_______时，随的增大而增大；当_________时，随的增大而减小．
(3)函数的图像先向_________平移______个单位长度，再向平移______个单位长度，得到函数的图像．
(4)因为，所以由函数的顶点式可知函数有最小值_________．
16．（2023春·江西吉安·九年级校考阶段练习）定义：若直线与开口向下的抛物线有两个交点，则这两个交点之间的距离叫做这条抛物线的“反碟长”．如图，已知抛物线：与直线相交于P，Q两点．

(1)抛物线的“反碟长”______．
(2)抛物线随其顶点沿直线向上平移，得到抛物线．
①当抛物线的顶点平移到点时，抛物线的解析式是______，抛物线的“反碟长”是______；
②若抛物线的“反碟长”是一个偶数，则其顶点的纵坐标可能是______（填写所有正确的选项）；
A．15；B．16；C．24；D．25
③当抛物线的顶点A和抛物线与直线的两个交点B，C构成一个等边三角形时，求点A的坐标．…
0
1
2
…
…
0
4
6
6
4
…
…
0
1
2
3
…
…
…
参考答案
【典型例题】
【考点一 把y=ax²+bx+c化成顶点式】
例题：（2022秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）二次函数的顶点坐标为．
【答案】
【分析】将化为顶点式即可求解；
【详解】解：将化为顶点式为，
∴的顶点坐标为：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查根据函数表达式求顶点坐标，正确化出顶点式是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）抛物线的顶点坐标是
【答案】
【分析】用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式，直接写出顶点坐标．
【详解】解：
∴顶点坐标是．
【点睛】本题考查了抛物线解析式与二次函数性质的联系，用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式是解题的关键．
2．（2023秋·九年级课时练习）把二次函数通过配方化成的形式为，所以其图象的开口向，对称轴为直线，顶点坐标为．
【答案】上
【分析】根据配方法化为顶点式，再根据二次函数的性质求解即可．
【详解】解：二次函数可化为，
∵，
∴所以其图象的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
故答案为：，，．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解答的关键是熟练掌握二次函数的性质：顶点坐标为，对称轴为直线．
【考点二 画二次函数y=ax²+bx+c的图象】
例题：（2023秋·辽宁大连·九年级统考期末）已知：二次函数．
(1)将函数关系式化为的形式，并指出函数图像的对称轴和顶点坐标；
(2)利用描点法画出所给函数的图像．
(3)当时，观察图像，直接写出函数值y的取值范围．
【答案】(1)，对称轴为直线，顶点坐标为
(2)见解析
(3)
【分析】（1）利用配方法将二次函数解析式化为顶点式即可得到答案；
（2）先列表，然后描点，最后连线即可；
（3）根据函数图象求解即可．
【详解】（1）解：∵二次函数解析式为，
∴二次函数对称轴为直线，顶点坐标为；
（2）解：列表如下：
函数图象如下所示：
（3）解：由函数图象可知，当时，．
【点睛】本题主要考查了把二次函数解析式化为顶点式，画二次函数图象，图象法求函数值的取值范围等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·全国·九年级假期作业）已知抛物线．
(1)该抛物线的对称轴是_______，顶点坐标_______；
(2)选取适当的数据填入下表，并在图中的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；
(3)若该抛物线上两点，的横坐标满足，试比较与的大小．
【答案】(1)，
(2)填表见解析，画图见详解
(3)
【分析】（1）根据抛物线的对称轴，代入对称轴的值即可求解顶点坐标；
（2）根据抛物线自变量的取值范围，适当选取自变量的值，计算函数值，并在平面直角坐标系中描点，连线即可；
（3）根据函数图像的特点即可求解．
【详解】（1）解：抛物线中，，
∴对称轴为，顶点坐标公式中横坐标为，
∴顶点坐标的纵坐标的值为，
∴顶点坐标为，
故答案为：，．
（2）解：抛物线中自变量的取值范围为全体实数，自变量适当如图所示（答案不唯一），
描点、连线如图所示，
（3）解：由（2）可知，当时，函数值随自变量的增大而增大，
∴横坐标满足时，两点，中，
∴当时，．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合知识，掌握二次函数中对称轴的计算方法，顶点的计算方法，绘图的方法，二次函数图像的性质是解题的关键．
2．（2023·上海松江·统考一模）已知二次函数．
(1)用配方法求这个二次函数的顶点坐标；
(2)在所给的平面直角坐标系中（如图），画出这个二次函数的图像；
(3)请描述这个二次函数图像的变化趋势．
【答案】(1)顶点坐标
(2)见解析
(3)这个二次函数图像在对称轴直线左侧部分是下降的，右侧部分是上升的
【分析】（1）将函数解析式化为顶点式，即可得出答案；
（2）先求出几个特殊的点，然后描点连线即可；
（3）根据（2）函数图像，即可得出结果．
【详解】（1）解：（1）
∴二次函数的顶点坐标；
（2）解：当时，，
当时，，
经过点，，
顶点坐标为：
图像如图所示：
（3）解：这个二次函数图像在对称轴直线左侧部分是下降的，右侧部分是上升的．
【点睛】本题主要考查二次函数的基本性质及作图方法，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键．
3．（2023秋·九年级统考期末）小明用描点法画抛物线．
(1)请帮小明完成下面的表格，并根据表中数据在所给的平面直角坐标系中描点，连线从而画出此抛物线；
(2)直接写出抛物线的对称轴，顶点坐标．
【答案】(1)，1，0，绘图见解析
(2)抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为
【分析】（1）将分别代入函数解析式中，求出相应的y的值即可；
（2）根据（1）中的图象，可以直接写出抛物线的对称轴，顶点坐标．
【详解】（1）解：∵，
∴当时，；当时，；当时，；
补全表格如下∶
抛物线如图所示；
（2）解：由图象得，
该抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图形和性质，熟练掌握二次函数的图形和性质是解题的关键．
【考点三 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质】
例题：（2023·全国·九年级假期作业）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下B．顶点坐标是
C．对称轴是直线D．当时，有最大值是
【答案】B
【分析】将二次函数的一般式转化为二次函数的顶点式，再根据二次函数的性质即可解答．
【详解】解：∵，
∴由知抛物线开口向上，
故选项错误；
∵顶点坐标是，
故选项正确；
∵对称轴是直线，
故选项错误；
∵当时，取得最小值2，无最大值，
故选项错误；
故选：．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，学会将二次函数的一般式转化为二次函数的顶点式是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·广东惠州·九年级校考开学考试）表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
下列各选项中，正确的是（ ）
A．这个函数的最小值为B．这个函数的图象开口向下
C．这个函数的图象与x轴无交点D．当时，y的值随x值的增大而增大
【答案】D
【分析】利用表中的数据，求得二次函数的解析式，再配成顶点式，根据二次函数的性质逐一分析即可判断．
【详解】解：设二次函数的解析式为，
依题意得，解得，
∴二次函数的解析式为，
∵，
∴这个函数的图象开口向上，故B选项错误，不符合题意；
∵，
∴这个函数的图象与x轴有两个不同的交点，故C选项不正确，不符合题意；
∵，
∴当时，这个函数有最小值，故A选项不正确，不符合题意；
∵这个函数的图象的顶点坐标为，开口向上，
∴当时，y的值随x值的增大而增大，
∴当时，y的值随x值的增大而增大，
故D选项正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质，利用二次函数的性质解答是解题的关键．
2．（2023·江苏扬州·统考中考真题）已知二次函数（a为常数，且），下列结论：
①函数图像一定经过第一、二、四象限；②函数图像一定不经过第三象限；③当时，y随x的增大而减小；④当时，y随x的增大而增大．其中所有正确结论的序号是( )
A．①②B．②③C．②D．③④
【答案】B
【分析】根据二次函数的图象与性质进行逐一分析即可．
【详解】解：∵抛物线对称轴为，，
∴二次函数图象必经过第一、二象限，
又∵，
∵，
∴，
当时，抛物线与x轴无交点，二次函数图象只经过第一、二象限，
当时，抛物线与x轴有两个交点，二次函数图象经过第一、二、四象限，
故①错误；②正确；
∵抛物线对称轴为，，
∴抛物线开口向上，
∴当时，y随x的增大而减小，故③正确；
∴当时，y随x的增大而增大，故④错误，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象与各项系数符号之间的关系是解题的关键．
3．（2023·浙江宁波·统考中考真题）已知二次函数，下列说法正确的是( )
A．点在该函数的图象上
B．当且时，
C．该函数的图象与x轴一定有交点
D．当时，该函数图象的对称轴一定在直线的左侧
【答案】C
【分析】根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵，
当时：，
∵，
∴，
即：点不在该函数的图象上，故A选项错误；
当时，，
∴抛物线的开口向上，对称轴为，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵，，
∴当时，有最大值为，
当时，有最小值为，
∴，故B选项错误；
∵，
∴该函数的图象与x轴一定有交点，故选项C正确；
当时，抛物线的对称轴为：，
∴该函数图象的对称轴一定在直线的右侧，故选项D错误；
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．
【考点四 求二次函数与x轴的交点坐标】
例题：（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨德强学校校考一模）抛物线与轴交点坐标为__________．
【答案】
【分析】令，求出x的值，进而抛物线与x轴的交点坐标．
【详解】解：令，即，
解得
则抛物线与x轴的交点坐标为,
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，是基础题，掌握抛物线与坐标轴的交点的求法是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·浙江杭州·九年级统考期末）二次函数图象与轴的交点坐标为_________．
【答案】
【分析】令，解方程即可求解．
【详解】解：令，得，
解得：，
∴二次函数图象与轴的交点坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求二次函数图象与轴的交点，根据题意解方程是解题的关键．
2．（2023·山东枣庄·校考模拟预测）二次函数的图象交x轴于点A，B．则点的距离为________．
【答案】10
【分析】令，可得方程，解方程即可求解．
【详解】解：令，则，
解得，，
∴，，
∴．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了二次函数与x轴交点坐标的问题，掌握一元二次方程的求解方法是解答本题的关键．
3．（2023·全国·九年级假期作业）抛物线与轴的交点坐标是______ ，与轴的交点坐标是______________________ ．
【答案】，
【分析】根据题意，令，然后求出的值，即可以得到抛物线与轴的交点坐标；令，求出的值，即可求出抛物线与轴交点的坐标．
【详解】解：令，
得，
抛物线与轴的交点坐标是：，
令，
即，
解得，，
所以抛物线与轴交点的坐标是，．
故答案为：；，．
【点睛】本题主要考查了抛物线与坐标轴交点的知识，难度不大．
【考点五 求二次函数与y轴的交点坐标】
例题：（2023·上海·一模）抛物线与y轴交点的坐标为____．
【答案】
【分析】把代入抛物线，即得抛物线与轴的交点．
【详解】解：当时，抛物线与轴相交，
把代入，求得，
抛物线与轴的交点坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，比较简单，掌握轴上点的横坐标为0是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）抛物线与y轴的交点坐标为______．
【答案】
【分析】计算自变量为0所对应的函数值可得到抛物线与y轴的交点坐标．
【详解】解：当时，，
所以抛物线与y轴的交点坐标为．
故答案为．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
2．（2023春·湖南永州·九年级统考期中）二次函数的图象与轴交点坐标是________．
【答案】
【分析】令，求出对应的函数值y，即可解答．
【详解】解：当时，，
∴二次函数的图象与轴交点坐标是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了求二次函数图象与y轴的交点坐标．掌握求抛物线与y轴交点坐标的方法是解题的关键．
【考点六 已知二次函数上对称的两点求对称轴】
例题：（2023春·江苏盐城·八年级校考期中）已知抛物线经过点、，那么此抛物线的对称轴是______．
【答案】
【分析】先根据抛物线上两点的纵坐标相等可知两点关于对称轴对称，再根据中点坐标公式求出这两点横坐标的中点坐标即可．
【详解】解：∵点、的纵坐标都是6，
∴抛物线的对称轴为直线，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的性质，根据题意判断出抛物线上的两点坐标的关系是解答本题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·北京西城·九年级北师大实验中学校考开学考试）若，在抛物线上，则m的值为_______________．
【答案】1
【分析】根据抛物线的对称性即可求解．
【详解】解：因为点，的纵坐标相同，都是5
所以对称轴为直线
故m的值为1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数图象的对称性是解题的关键．
2．（2023秋·贵州黔东南·九年级统考期末）已知二次函数的x、y的部分对应值如下表所示：
则该二次函数图象的对称轴为直线___________．
【答案】
【分析】根据图表找出函数值相等时对应的自变量即可求出对称轴．
【详解】解：由图表可知：时，，时，，
二次函数的对称轴为，
故答案为：．
【点睛】题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练运用二次函数的性质，本题属于基础题型．
【考点七 二次函数的平移】
例题：（2023·广东江门·统考模拟预测）把函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度平移后图象的函数解析式为___________．
【答案】
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律进而求出即可．
【详解】的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，
得．
故答案为：．
【点睛】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．掌握此规律解题是本题的关键．
【变式训练】
1．（2023·广东佛山·校考三模）将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式是______．
【答案】
【分析】根据“左加右减、上加下减”的平移原则进行解答即可．
【详解】解：抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的平移，掌握函数平移规律是解题的关键．
2．（2023·黑龙江牡丹江·统考二模）将二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的新图象与y轴交点的纵坐标为_______．
【答案】12
【分析】先根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减得出平移后的抛物线的解析式，再求解新函数与y轴交点的纵坐标即可．
【详解】解：∵，
∴将此二次函数向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的新二次函数为，
当时，；
∴新函数图象与y轴交点的纵坐标为12；
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查了二次函数的平移，熟知抛物线的平移规律是解题的关键．
3．（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）把抛物线先向左移动2个单位，在向下移动4个单位，所得到的新的抛物线的顶点坐标为____________．
【答案】
【分析】根据上加下减，左加右减的规律即可求解．
【详解】解：抛物线平移后解析式为，
即，
所以新的抛物线的顶点坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了抛物线的平移与求顶点坐标，需掌握以下两点：1.抛物线的平移规律是上加下减，左加右减；2.抛物线的顶点式解析式为，其中顶点为．
【考点八 根据二次函数的增减性求最值】
例题：（2023春·浙江杭州·九年级杭州市杭州中学校考阶段练习）二次函数的最大值是___________，最小值是___________．
【答案】 5 1
【分析】先把解析式配成顶点式得到，由于，根据二次函数的性质得时，y的值最大；当时，y有最小值，然后分别计算对应的函数值．
【详解】解：，
当时，y有最小值1，
∵，
∴时，y的值最大，最大值为5；当时，y有最小值1，
故答案为：5；1．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的增减性，根据顶点式求出最小值．
【变式训练】
1．（2023春·江苏苏州·九年级专题练习）二次函数的最小值是______，最大值是______．
【答案】 1
【分析】根据二次函数图像与性质，在范围内求出最值即可得到答案．
【详解】解：，
抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为，
，
当时，，即二次函数的最小值是；
到的距离为；到的距离为，
当时，代入得，即二次函数的最大值是；
时，函数的最小值为，最大值为，
故答案为：，．
【点睛】本题考查二次函数图像与性质，熟练掌握二次函数最值求法是解决问题的关键．
2．（2023·安徽合肥·合肥市第四十二中学校考一模）已知二次函数.
（1）当时，二次函数的最小值为________；
（2）当时，二次函数的最小值为1，则________.
【答案】或
【分析】（1）将代入，再把解析式为变形为顶点式，即可求得二次函数最小值；
（2）先求抛物线的对称轴为：，分三种情况：当时，即时，此时在对称轴的右侧，当时，即时，此时对称轴在内，③当时，即时，此时在对称轴的左侧，分别讨论增减性，找何时取最小值，代入得关于的方程求解即可．
【详解】解：（1）当时，，
∵，则开口向上，
∴二次函数的最小值为，
故答案为：；
（2）二次函数，则对称轴为：，
分三种情况：
①当时，即时，此时在对称轴的右侧，随的增大而增大，
∴当时，有最小值，，解得：；
②当时，即时，此时对称轴在内，
当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，
∴当时，有最小值，，解得：；
∵，
∴，
③当时，即时，此时在对称轴的左侧，随的增大而减小，
∴当时，有最小值，，解得：（舍去）；
综上所述，或；
故答案为：或
【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，是常考题型；但本题比较复杂，运用了分类讨论的思想，做好此类题要掌握以下几点：形如二次函数：①当时，抛物线有最小值，当时，；②当时，对称轴右侧，随的增大而增大，对称轴的左侧，随的增大而减小；③如果自变量在某一范围内求最值，要看对称轴，开口方向及图象．
3．（2023·安徽合肥·校考一模）已知二次函数，
（1）当时，二次函数的最大值为______．
（2）当时，二次函数的最大值为6，则的值为______．
【答案】 1 8或
【分析】（1）将代入，再根据二次函数的性质求解即可；
（2）先求得抛物线的对称轴，再分情况讨论：①当时，②当时，当时，根据二次函数的性质，得到关于的方程，求解即可．
【详解】（1）解：将代入，
得：，
当时，函数有最大值1，
故答案为：1；
（2）解：，
抛物线开口向下，对称轴为直线，
①当时，即时，
，在对称轴右侧，随的增大而减小，
当时，有最大值为6，
，
解得：；
②当时，即时，
当时，有最大值为6，
，
解得：，
，
（不合题意，舍去），
③当时，即时，
，在对称轴左侧，随的增大而增大，
当时，有最大值为6，
，
解得：，
综上所述，的值为8或．
【点睛】本题考查了二次函数的最值，确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标，当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
【过关检测】
一、单选题
1．（2023秋·山西大同·九年级校联考阶段练习）二次函数的对称轴为直线（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由抛物线解析式可得，，再根据对称轴为直线，代入进行计算即可．
【详解】解：根据题意得：，，
对称轴为直线：，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握对称轴为直线是解题的关键．
2．（安徽省合肥市部分学校2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题）将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的新抛物线的函数表达式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据二次函数图象平移的规律：左加右减，上加下减，进行解答即可．
【详解】解：将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的新抛物线的函数表达式为，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握平移规律是解题的关键．
3．（2022秋·福建福州·九年级福建省福州第十九中学校考开学考试）抛物线经过三点，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据抛物线解析式得到抛物线开口向上，对称轴为直线，则离对称轴越远，函数值越大，由此即可得到答案．
【详解】解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴离对称轴越远，函数值越大，
∵，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，正确理解题意得到离对称轴越远，函数值越大是解题的关键．
4．（2023春·浙江温州·九年级校联考阶段练习）已知函数在上有最大值9，则常数a的值是（ ）
A．1B．C．或D．1或
【答案】D
【分析】由解析式可确定抛物线对称轴，对参数取值分类讨论，开口向上或开口向下，分别在自变量取值范围内确定极值列方程求解.
【详解】解：∵二次函数解析式，
∴二次函数对称轴为．
①当时，二次函数开口向下，时，函数有最大值9．
∴，解得．
②当时，二次函数开口向上，在上有最大值9，
∴当时，函数最大值为9，即，解得．
综上分析，a的值为或1．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，注意根据二次函数性质对待定参数分类讨论是解题的关键．
5．（2022秋·陕西铜川·九年级校考期末）二次函数图象上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如表，下列结论错误的是（ ）
A．对称轴是直线B．这个函数的最大值大于6
C．抛物线开口向下D．当时，随的增大而增大
【答案】D
【分析】根据表格信息，先确定出抛物线的对称轴，然后根据二次函数的性质对各选项一一判断即可．
【详解】解：由图可知，抛物线的对称轴为直线，故A选项不符合题意；
∵在对称轴左侧，y随x增大而增大，
∴抛物线的开口向下，则，抛物线开口方向向下，故C选项不符合题意；
∵抛物线开口方向向下，对称轴为直线，
∴当时，函数有最大值，可知最大值大于6，故B选项不符合题意；
∵抛物线开口方向向下，对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而减小，故D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，仔细分析图表数据，判断出抛物线的开口方向、对称轴以及与y轴的交点是解题的关键，也是本题的突破口．
二、填空题
6．（2023秋·浙江嘉兴·九年级校考开学考试）抛物线的顶点坐标是．
【答案】
【分析】首先把配方成为，然后即可确定抛物线的顶点坐标．
【详解】解：
，
抛物线的顶点坐标是．
故答案为：．
【点睛】此题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标为；此题也考查了配方法求顶点式．
7．（2023秋·山西大同·九年级校联考阶段练习）二次函数的图象与轴的交点坐标为．
【答案】
【分析】令，求出，即可得到二次函数的图象与轴的交点坐标．
【详解】解：把代入得：，
二次函数的图象与轴的交点坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与轴的交点的横坐标为0是解题的关键．
8．（2023秋·福建莆田·九年级校考阶段练习）抛物线经过点，对称轴是直线，则．
【答案】0
【分析】根据二次函数的对称性求出抛物线与轴的另一交点为，由此求出的值．
【详解】解：抛物线经过点，对称轴是直线，
与轴的另一交点为，
．
故答案为：0．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称性求出抛物线与轴的另一交点为是解题的关键．
9．（2023秋·安徽合肥·九年级校考阶段练习）已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值为．
【答案】
【分析】利用待定系数法以及整体代入的思想解决问题即可．
【详解】解：抛物线与x轴的一个交点为，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查抛物线与轴的交点，代数求值等知识，解题的关键是学会利用整体代入的思想解决问题．
10．（2023秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）抛物线的对称轴是，且它的最高点在直线上，则，.
【答案】 2
【分析】根据抛物线的对称轴是，且它的最高点在直线上，得到，解得，或，根据，得到；得到抛物线的解析式为，得到顶点为，代入，解得．
【详解】∵抛物线的对称轴是，且它的最高点在直线上，
∴，
∴，
∴，或，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴抛物线的顶点为，
代入，
得，，
∴．
故答案为：，2．
【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数，解决问题的关键是熟练掌握二次函数图象的开口方向，对称轴，顶点，点和直线的位置关系．
三、解答题
11．（2023秋·安徽合肥·九年级校考阶段练习）已知二次函数．
(1)确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴方程；
(2)当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？
【答案】(1)抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为；
(2)当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大．
【分析】（1）把二次函数解析式整理成顶点式形式，然后写出开口方向，顶点坐标和对称轴即可；
（2）根据二次函数的增减性解答即可．
【详解】（1）解：已知二次函数
得抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为；
（2）因为抛物线开口向上，故在对称轴左边单调递减，右边单调递增，
即当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的开口方向，顶点坐标，对称轴以及二次函数的增减性，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
12．（2023秋·湖北武汉·九年级校考开学考试）如图，抛物线的对称轴为，抛物线与轴相交于、两点，与轴交于点，其中点的坐标为．

(1)求点的坐标；
(2)若点在抛物线上，，且，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）根据抛物线的对称轴为，点，即可求得点的坐标；
（2）待定系数法求得抛物线解析式，进而求得的坐标，设，根据建立方程，解方程求得的值，即可求得点的坐标；
【详解】（1）∵抛物线的对称轴为，抛物线与轴相交于、两点，，
∴；
（2）∵抛物线，中，，，
∴抛物线解析式为，
令，得，
∴，
设，
∴
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴当时，，
当时，，
∴的坐标为：，；
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，面积问题，掌握二次函数的性质是解题的关键．
13．（2023秋·江西宜春·九年级校考阶段练习）已知抛物线与y轴的交点为A，点A与点B关于抛物线的对称轴对称，且过和两点．

(1)求二次函数的解析式；
(2)抛物线的对称轴是______；开口方向是______；
(3)已知点在抛物线上，设的面积为S，请在图中画出S与t的函数图象，并利用函数图象判断S是否存在最大值．
【答案】(1)
(2)直线，向上
(3)图象见解析，S不存在最大值，
【分析】（1）把和两点代入，解方程组即可得出结论；
（2）根据二次函数的性质健即可得到结论；
（3）当时，点M到的距离为，当或时，点M到直线的距离为，利用三角形面积得出S与t的函数关系式，利用图象得出S是否存在最大值．
【详解】（1）∵过和两点，
∴．
解得，
∴；
（2）抛物线的对称轴是直线；开口方向是向上，
故答案为：直线，向上；
（3）如图1，连接，
当时，，
∴．
∵轴，对称轴是直线，，
∴，
∴．

当时，点M到的距离为，
∴，
∵，
∴，
∴当或时，点M到直线的距离为，
∴，
∵，
∴，
，

故函数图象如图2（t轴上方部分）所示，S不存在最大值，从图象可知：当或时，S的值可以无限大．
【点睛】此题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，三角形面积等知识，利用数形结合是解题关键．
14．（2023春·浙江杭州·九年级校联考阶段练习）已知二次函数．
(1)若，求该函数图像的顶点坐标；
(2)若当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，求m的值；
(3)若函数，点，都在函数的图像上，且，求n的取值范围．（用含m的代数式表示）
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）把抛物线的解析式化成顶点式即可求解；
（2）根据二次函数的性质得出关于m的方程，解方程即可；
（3）先计算当时，x的值，画图象，根据图象可得结论．
【详解】（1）解：若，则，
∵，
∴该函数图象的顶点坐标为；
（2）解：∵中，
∴抛物线开口向上，
∵当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，
∴，
∴；
（3）解：∵，
当时，，
解得：，，
如图所示，

由图象得：n的取值范围是．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，二次图象上点的坐标特征，解答此类问题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
15．（2023秋·九年级课时练习）已知二次函数．
（1）画出二次函数的图像；
（2）当取何值时，随的增大而增大？当取何值时，随的增大而减小？
（3）该函数图像是由函数的图像经过怎样的平移得到的？
（4）求出函数的最大值或最小值．
思维过程：
(1)二次函数的图像的对称轴为_________，在对称轴的两侧对称取值，如下表：
利用对称性描点、连线，画图如图所示．

(2)将化为顶点式为__________________，所以当_________时，随的增大而增大；当_________时，随的增大而减小．
(3)函数的图像先向_________平移_________个单位长度，再向平移_________个单位长度，得到函数的图像．
(4)因为，所以由函数的顶点式可知函数有最小值_________．
【答案】(1)直线
(2)，，；
(3)右，1，下，（或下，，右，1）；
(4)
【分析】（1）根据对称轴公式即可确定对称轴；
（2）先用配方法将函数解析式化成顶点式，然后根据图像判定函数的增减性即可解答；
（3）根据函数图像解析式确定平移方式即可解答；
（4）根据二次函数的性质求最值即可解答．
【详解】（1）解：二次函数的图像的对称轴为直线，
故答案为：直线．
（2）解：，则二次函数的图像的对称轴为直线，
由二次函数的性质可得：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．
（3）解：由函数的图像先向右平移1个单位长度，再向下个单位长度，得到函数，即；或由函数的图像先向下个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到函数，即；
故答案为：右，1，下，（或下，，右，1）．
（4）解：因为，，
所以，当时，函数有最小值．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、把二次函数化成顶点式、二次函数的增减性等知识点，理解二次函数的性质是解答本题的关键．
16．（2023春·江西吉安·九年级校考阶段练习）定义：若直线与开口向下的抛物线有两个交点，则这两个交点之间的距离叫做这条抛物线的“反碟长”．如图，已知抛物线：与直线相交于P，Q两点．

(1)抛物线的“反碟长”______．
(2)抛物线随其顶点沿直线向上平移，得到抛物线．
①当抛物线的顶点平移到点时，抛物线的解析式是______，抛物线的“反碟长”是______；
②若抛物线的“反碟长”是一个偶数，则其顶点的纵坐标可能是______（填写所有正确的选项）；
A．15；B．16；C．24；D．25
③当抛物线的顶点A和抛物线与直线的两个交点B，C构成一个等边三角形时，求点A的坐标．
【答案】(1)2
(2)①，；②AC；③
【分析】（1）由，得，即得；
（2）①由抛物线的顶点平移到点，得抛物线的解析式是，由，得或，
，故抛物线的“反碟长”是；
②设抛物线的顶点坐标为，再求出“反碟长”，再根据“反碟长”是一个偶数判断即可；
③过A作于H，设，由,得，根据是等边三角形，可得，即可解得或，从而．
【详解】（1）解：在中，令得，解得或，
∴，
∴．
故答案为：2．
（2）解：①∵抛物线的顶点平移到点，
∴抛物线的解析式是，
在中，令得，解得：或，
∴抛物线与直线的交点为和，
∴抛物线的“反碟长”是；
故答案为：，；
②设抛物线的顶点坐标为，则抛物线．
令，解得或，
∴抛物线的“反碟长”为．
∵抛物线的“反碟长”是一个偶数，
∴是整数，
结合选项可知，当或24时符合题意，故A，C正确．
③如图：过A作于H，

设，则抛物线的解析式为,
在中，令得,
解得或，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
解得或（B，C重合，舍去）．
∴．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用、涉及新定义、平移变换、等边三角形等知识点，读懂题意，用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度是解题的关键．x
···
0
1
2
3
···
y
···
···
x
···
0
1
2
3
···
y
···
0
3
4
3
0
···
…
…
…
…
…
…
…
…
x
…
0
1
2
3
4
5
…
…

0


…
x
…
0
1
2
3
4
5
…
…
0
1
0
…
x
…
0
1
3
…
y
…
6
…
x
…
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…
…
0
1
2
…
…
0
4
6
6
4
…
…
0
1
2
3
…
…
…