专题03 解题技巧专题：二次函数的图象与系数-2023-2024学年苏科版九年级数学下册常考压轴题

这是一份专题03 解题技巧专题：二次函数的图象与系数-2023-2024学年苏科版九年级数学下册常考压轴题，共29页。

姓名：_________ 班级：_________ 学号：_________
【考点导航】
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc32076" 【典型例题】 PAGEREF _Tc32076 \h 1
\l "_Tc18393" 【考点一 二次函数与一次函数图象共存问题】 PAGEREF _Tc18393 \h 1
\l "_Tc26721" 【考点二 二次函数与反比例函数图象共存问题】 PAGEREF _Tc26721 \h 5
\l "_Tc28654" 【考点三 含字母参数的二次函数的图象和性质】 PAGEREF _Tc28654 \h 10
\l "_Tc8395" 【考点四 二次函数的图象和性质与系数a,b,c的问题】 PAGEREF _Tc8395 \h 15
\l "_Tc28376" 【考点五 二次函数的图象与几何动点问题】 PAGEREF _Tc28376 \h 20
【典型例题】
【考点一 二次函数与一次函数图象共存问题】
例题：（2023·山东济南·校考三模）一次函数与二次函数在同一个平面坐标系中图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2023秋·新疆阿克苏·九年级校考阶段练习）在同一平面直角坐标系中，函数和函数（m是常数，且）的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·全国·九年级专题练习）下列图象中，当时，函数与的图象是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023秋·广东汕头·九年级校考阶段练习）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023秋·江苏苏州·九年级苏州市平江中学校校考阶段练习）函数和（为常数，且），在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023春·四川内江·九年级校考阶段练习）在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ）

A． B． C． D．
【考点二 二次函数与反比例函数图象共存问题】
例题：（2023·湖北襄阳·统考一模）如图，二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2023春·山东日照·九年级校考期中）在同一直角坐标系中，反比例函数与二次函数的大致图像可能是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·安徽合肥·九年级校考阶段练习）若，函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·湖北襄阳·统考一模）如图，二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·贵州铜仁·校考一模）函数与在同一直角坐标系中的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）如图，一次函数和反比例函数图像，则二次函数的图像可能是（ ）

A． B． C． D．
6．（2023春·浙江杭州·八年级校考阶段练习）二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（ ）

A． B． C． D．
【考点三 含字母参数的二次函数的图象和性质】
例题：（2023·全国·九年级专题练习）已知二次函数，下列说法正确的是( )
A．点在该函数的图象上
B．当且时，
C．该函数的图象与x轴一定有交点
D．当时，该函数图象的对称轴一定在直线的左侧
【变式训练】
1．（2023·江苏扬州·统考中考真题）已知二次函数（a为常数，且），下列结论：
①函数图像一定经过第一、二、四象限；②函数图像一定不经过第三象限；③当时，y随x的增大而减小；④当时，y随x的增大而增大．其中所有正确结论的序号是( )
A．①②B．②③C．②D．③④
2．（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）抛物线（是常数且）经过点A（3，0）．下列四个结论：
①该抛物线一定经过；
②；
③点，在抛物线上，且，则；
④若是方程的两个根，其中，则．
其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．（2023·陕西西安·西安市第六中学校考模拟预测）已知是关于x的二次函数，当自变量x的取值范围为时，函数y有最大值，最大值为13，则下列结论不正确的是（ ）
A．抛物线与x轴有两个交点B．当抛物线开口向下时，
C．对称轴在y轴的左侧D．当抛物线开口向上时，
4．（2023·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）关于的二次函数的结论
①对于任意实数，都有对应的函数值与对应的函数值相等．
②若图象过点，点，点，则当时，．
③若，对应的的整数值有个，则或．
④当且时，，则．
其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．（2023·浙江嘉兴·统考二模）已知二次函数，下列说法中正确的个数是（ ）
（1）当时，此抛物线图象关于轴对称；
（2）若点，点在此函数图象上，则；
（3）若此抛物线与直线有且只有一个交点，则；
（4）无论为何值，此抛物线的顶点到直线的距离都等于．
A．1B．2C．3D．4
6．（2023·湖北武汉·统考一模）已知函数为实数，下列四个结论：
当时，图象与坐标轴所夹的锐角为；
若，则当时，随着的增大而减小；
不论为何值，若将函数图象向左平移个单位长度，则图象经过原点；
当时，抛物线顶点在第一象限．
其中正确的结论是（填写序号）
7．（2023春·福建福州·八年级福建省福州延安中学校考期末）对于二次函数．有下列说法：
①若，则二次函数的图象与y轴的负半轴相交；
②若，当时，y有最大值3；
③若a为整数，且二次函数的图象与x轴的两个公共点都为整数点，则a的值只能等于1；
④若，且为该函数图象上的三点，则．
其中正确的是．（只需填写序号）
【考点四 二次函数的图象和性质与系数a,b,c的问题】
例题：（2023春·湖南长沙·八年级校联考期末）某二次函数的部分图象如图所示，下列结论中一定成立的有（ ）
①；②；③；④．

A．个B．个C．个D．个
【变式训练】
1．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考三模）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线，结合图象给出下列结论：①；②；③；④方程的两根和为1；⑤若是方程的两根，则方程的两根满足；其中正确结论有（ ）

A．2个B．3个C．4个D．5个
2．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，二次函数图像的一部分与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图像给出下列结论：
①；②；③；
④关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根；
⑤若点，均在该二次函数图像上，则．其中正确结论的个数是（ ）

A．4B．3C．2D．1
3．（2023·全国·九年级假期作业）抛物线的对称轴是直线，且过点顶点位于第二象限，其部分图象如图所示给出以下判断：①，且；②；③；④；⑤直线与抛物线两个交点的横坐标分别为，，则．其中正确的个数为（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点五 二次函数的图象与几何动点问题】
例题：（2023·河南周口·河南省淮阳中学校考三模）如图，在中，．动点从点出发，沿线段以1单位长度/秒的速度运动，当点与点重合时，整个运动停止．以为一边向上作正方形，若设运动时间为秒，正方形与重合部分的面积为，则下列能大致反映与的函数关系的图象是（ ）

A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在正方形中，，动点M，N分别从点A，B同时出发，沿射线，射线的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接，，．设点M运动的路程为，的面积为，下列图像中能反映与之间函数关系的是（ ）

A． B． C． D．
2．（2023·安徽合肥·校考三模）如图，正方形中，，动点分别从同时出发，点以每秒的速度沿运动，点以每秒的速度沿运动，点到达点时运动停止．设点运动（秒）时，的面积，则关于的函数图象大致为：（ ）

A． B． C． D．
3．（2023·河南南阳·统考一模）如图，在矩形中，，动点P从A点出发，以的速度沿的方向运动，动点Q同时从A点出发，以的速度沿的方向运动，两动点到达C点停止运动．设运动的时间为，的面积为，则下列y关于x的函数图像正确的是（ ）

A． B．C． D．
参考答案
【典型例题】
【考点一二次函数与一次函数图象共存问题】
例题：B
【分析】根据一次函数、二次函数图象与系数的关系逐项判断即可．
【详解】解：由解析式可得：一次函数与二次函数的图象与y轴的交点都为，即交点重合，选项B，C，D满足，选项A不满足，排除A；
B选项，由一次函数图象可得，此时二次函数的图象应开口向下，有可能；
C选项，由一次函数图象可得，此时二次函数的图象应开口向上，不可能；
D选项，由一次函数图象可得，此时二次函数的图象应开口向下，不可能；
故选B．
【点睛】本题考查一次函数与二次函数图象的综合判断，解题的关键是掌握一次函数、二次函数图象与系数的关系．
【变式训练】
1．D
【分析】根据函数图象判断两个值，函数的图象是否正确即可得到答案．
【详解】解：A、根据函数图象可知：一次函数解析式中，二次函数解析式中，故该选项不符合题意；
B、根据函数图象可知：一次函数解析式中，二次函数解析式中，但对称轴，矛盾，故该选项不符合题意；
C、根据函数图象可知：一次函数解析式中，二次函数解析式中，故该选项不符合题意；
D、根据函数图象可知：一次函数解析式中，二次函数解析式中，两者符号相同，根据，得抛物线的对称轴应在轴的左侧，与图象相符，故该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查一次函数与二次函数的图象性质，根据图象判断函数解析式中字母的取值，正确理解函数图象是解题的关键．
2．D
【分析】分别根据四个选项中一次函数和二次函数的图象判断出a和b的正负，然后通过比较求解即可．
【详解】解：A、对于直线，得，，与矛盾，所以选项错误，不合题意；
B、由抛物线开口向上得到，而由直线经过第二、四象限得到，所以选项错误，不合题意；
C、由抛物线开口向下得到，而由直线经过第一、三象限得到，所以选项错误，不合题意；
D、由抛物线开口向下得到，则直线经过第二、四象限，由于，则，所以直线与y轴的交点在x轴下方，所以选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像和一次函数图像的性质，掌握函数关系式的系数与图像的位置之间的关系是解题的关键．
3．C
【分析】根据一次函数和二次函数的图象与性质分别进行判断即可
【详解】解：A．选项中一次函数的图象经过一、二、三象限，则，二次函数的图象与y轴负半轴相交，则，矛盾，故选项不符合题意；
B．选项中二次函数的图象开口向下，而的图象开口向上，矛盾，故选项不符合题意；
C．一次函数的图象经过一、二、四象限，则，与y轴正半轴相交，二次函数的图象与y轴负半轴相交，则，不矛盾，故选项符合题意；
D．一次函数的图象经过二、三、四象限，与一次函数的图象与y轴正半轴相交矛盾，故选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了一次函数和二次函数的图象与性质，熟练掌握两个函数的图象和性质是解题的关键．
4．D
【分析】由二次函数的解析式可得二次函数的图象的顶点为即可排除A、B，由一次函数的解析式可得一次函数的图象经过点即可排除C，从而得到答案．
【详解】解：，
二次函数的图象的顶点为，故A、B不符合题意；
在中，当时，，解得，
一次函数的图象经过点，故C不符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数、二次函数图象的综合判断，熟练掌握一次函数和二次函数的图象与性质是解题的关键．
5．D
【分析】根据二次函数与一次函数的图象，即可得出，，，由此即可得出：二次函数的图象开口向上，对称轴，与y轴的交点在y轴负半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论．
【详解】解：因为从二次函数与一次函数的图象得到，，，
所以二次函数的图象开口向上，
二次函数的对称轴，且其图象与y轴的交点在y轴负半轴，
四个选项中的图象符合上述要求的是D选项，
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数图象和一次函数图象经过的象限，找出，，是解题的关键．
【考点二二次函数与反比例函数图象共存问题】
例题：D
【分析】根据可知，二次函数图象与y轴交点为时，即二次函数图象过原点．再分两种情况即，时结合二次函数中a，b同号对称轴在y轴左侧，a，b异号对称轴在y轴右侧来判断出二次函数与反比例函数图象所在象限，找到符合题意的即为正确答案．
【详解】解：①当时，二次函数开口向上，过原点，对称轴在y轴左侧，故二次函数在一、二、三象限，反比例函数在一、三象限；
②当时，二次函数开口向下，过原点，对称轴在y轴左侧，故二次函数在二、三、四象限，反比例函数在二、四象限，
观察图象可知只有D符合，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象以及反比例函数图象的性质，解题的关键是根据二次函数中a的取值确定二次函数以及反比例函数的图象．
【变式训练】
1．B
【分析】根据的取值范围分当时和当时两种情况进行讨论，根据反比例函数的图像与性质以及二次函数的图像与性质进行判断即可．
【详解】解：当时，反比例函数的图像经过一、三象限，二次函数的图像开口向上，其对称轴在轴右侧，且与轴交于负半轴，故选项C、D不符合题意；
当时，反比例函数的图像经过二、四象限，二次函数的图像开口向上，其对称轴在轴左侧，且与轴交于正半轴，故选项A不符合题意，选项B符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图像与性质以及二次函数的图像与性质，解题关键是根据的取值范围分当时和当时两种情况进行讨论．
2．A
【分析】先由函数的图象所在象限判断的正负，得的正负，判断函数的图象开口方向是否符合；由，得，判断函数的图象与轴交点应在轴的正半轴上．据此逐项判断即可．
【详解】由，得，判断函数的图象与轴交点应在轴的正半轴上．
A、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得，则，抛物线开口方向应向下、抛物线与轴的交点应在轴的正半轴上，本图象符合，故选项A正确；
B、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得，则，抛物线与轴的交点应在轴的正半轴上，抛物线开口方向应向上，而本图象抛物线开口方向是向下，不符合，故选项B错误；
C、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得，则，抛物线开口方向应向下、抛物线与轴的交点应在轴的正半轴上，本图象抛物线开口方向、与轴的交点都不符合，故选项C错误；
D、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得，则，抛物线开口方向应向上、抛物线与轴的交点应在轴的正半轴上，而本图象抛物线与轴的交点在轴的负半轴上，不符合，故选项D错误．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数及反比例函数的图象和性质，解决此类问题方法步骤一般为：（1）先根据反比例函数图象所在象限与二次函数图象开口方向是否同时符合的正负；（2）根据二次函数图象判断抛物线与轴的交点是否符合要求．掌握解决此类问题的方法步骤是解题的关键．
3．D
【分析】根据可知，二次函数图象与y轴交点为时，即二次函数图象过原点．再分两种情况即，时结合二次函数中a，b同号对称轴在y轴左侧，a，b异号对称轴在y轴右侧来判断出二次函数与反比例函数图象所在象限，找到符合题意的即为正确答案．
【详解】解：①当时，二次函数开口向上，过原点，对称轴在y轴左侧，故二次函数在一、二、三象限，反比例函数在一、三象限；
②当时，二次函数开口向下，过原点，对称轴在y轴左侧，故二次函数在二、三、四象限，反比例函数在二、四象限，
观察图象可知只有D符合，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象以及反比例函数图象的性质，解题的关键是根据二次函数中a的取值确定二次函数以及反比例函数的图象．
4．A
【分析】根据，，结合两个函数的图象及其性质分类讨论．
【详解】解：分两种情况讨论：
①当时，反比例函数，在二、四象限，而二次函数开口向下，与y轴交点在原点上方，故选项B、C、D都不符合题意，选项A符合题意；
②当时，反比例函数，在一、三象限，而二次函数开口向上，与y轴交点在原点下方，故选项A、B、C、D都不符合题意，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数及反比例函数和图象，解决此类问题步骤一般为：（1）先根据图象的特点判断k取值是否矛盾；（2）根据二次函数图象判断抛物线与y轴的交点是否符合要求．
5．B
【分析】根据一次函数与反比例函数的图象位置，确定出的正负，进而利用二次函数图象与性质判断即可．
【详解】解：观察图象可得：，
二次函数图象开口向上，对称轴在轴右侧，与轴交点在负半轴，
则二次函数的图象可能是
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象，一次函数图象，以及二次函数的图象，熟练掌握各自图象的性质是解本题的关键．
6．C
【分析】由抛物线的图象可知，横坐标为1的点，即在第四象限可得，从而得到反比例函数的图象分布在二、四象限，由抛物线的开口方向和与的交点个数得到，从而得到一次函数的图象经过一、二、三象限，即可得到答案．
【详解】解：由抛物线的图象可知，横坐标为1的点，即在第四象限，
，
反比例函数的图象分布在二、四象限，
抛物线的开口向上，
，
抛物线与轴有两个交点，
，
一次函数的图象经过一、二、三象限，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握一次函数、反比例函数、二次函数的图象与系数的关系，采用数形结合的思想解题，是解此题的关键．
【考点三含字母参数的二次函数的图象和性质】
例题：C
【分析】根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵，
当时：，
∵，
∴，
即：点不在该函数的图象上，故A选项错误；
当时，，
∴抛物线的开口向上，对称轴为，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵，，
∴当时，有最大值为，
当时，有最小值为，
∴，故B选项错误；
∵，
∴该函数的图象与x轴一定有交点，故选项C正确；
当时，抛物线的对称轴为：，
∴该函数图象的对称轴一定在直线的右侧，故选项D错误；
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．
【变式训练】
1．B
【分析】根据二次函数的图象与性质进行逐一分析即可．
【详解】解：∵抛物线对称轴为，，
∴二次函数图象必经过第一、二象限，
又∵，
∵，
∴，
当时，抛物线与x轴无交点，二次函数图象只经过第一、二象限，
当时，抛物线与x轴有两个交点，二次函数图象经过第一、二、四象限，
故①错误；②正确；
∵抛物线对称轴为，，
∴抛物线开口向上，
∴当时，y随x的增大而减小，故③正确；
∴当时，y随x的增大而增大，故④错误，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象与各项系数符号之间的关系是解题的关键．
2．C
【分析】由函数解析式可得函数的对称轴为直线，再根据二次函数的图像和性质，逐一分析，判断对错即可解答．
【详解】解：①∵抛物线经过点，
，
，
当时，，
，
∴该抛物线一定经过，
故此项正确；
②由①得：，
，
，
，
，
，
，
故此项正确；
③抛物线的对称轴为直线，
当时，，
，
，
也符合题意与矛盾，
故此项错误．
④∵抛物线，对称轴为直线，抛物线对称轴为直线，
∴抛物线图象向左平移2个单位得到抛物线的图象，
∵抛物线经过点，
∴抛物线经过点，
是方程的两个根，
是抛物线与直线交点的横坐标，
，
，
故此项正确，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质和数形结合的思想，掌握二次函数的基本性质并会灵活应用是解题的关键．
3．D
【分析】先把抛物线的解析式化成顶点式，再根据二次函数的性质逐个判断即可．
【详解】解：由题意得，有最大值是13
∵，
∴，解得，
∴B选项正确．
抛物线解析式为：，即对称轴是：直线，
∴C选项正确，
又当时，，
，
∴有两个不等的实数根，
∴A选项正确，
∵，
∴当抛物线开口向上时，由时，得当时，
则，
解得，
∴D选项错误．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象、二次函数的性质和二次函数的最值，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．
4．B
【分析】先求出该函数对称轴为直线，再得出和关于直线对称，即可判断①；把代入，求出，则当时，y随x的增大而增大，得出，即可判断②；根据，然后进行分类讨论：当时，当时，即可判断③；根据当且时，得出y随x的增大而减小，根据时，，求出，则当时，，求出n的值，即可判断④．
【详解】解：①∵二次函数，
∴该函数的对称轴为直线，
∵，，
∴，即和关于直线对称，
∴对应的函数值与对应的函数值相等，故①正确，符合题意；
②把代入得：，
解得：，
∴二次函数表达式为，
∵，该函数的对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而增大，
∵，
∴，
∴，
∴，故②不正确，不符合题意；
③∵，
∴当时，，当时，，
当时，
∵，
∴y随x的增大而增大，
∵，对应的的整数值有个，
∴四个整数解为：，
∴，解得：，
当时，
∵，
∴y随x的增大而减小，
∵，对应的的整数值有个，
∴四个整数解为：，
∴，解得：，
综上：或，故③正确，符合题意；
④当且时，y随x的增大而减小，
∵，
∴当时，，解得：，
∴，
当时，，
解得：，故④不正确，不符合题意；
综上：正确的有①③，共2个，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握的对称轴为，顶点坐标为；时，函数开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，在对称轴右边，y随x的增大而增大，时，函数开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，在对称轴右边，y随x的增大而减小．
5．B
【分析】求得抛物线的对称轴即可判断①；求得两点到对称轴的距离即可判断②；令，根据，求得m的值即可判断③；求得抛物线顶点坐标得到抛物线的顶点在直线上，可知直线与直线平行，求得两直线的距离即可判断④．
【详解】解：（1）当时，，
∴抛物线的对称轴为y轴，
此抛物线图象关于y轴对称，故该项正确；
（2）∵，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∵点，点在此函数图象上，且，
∴，故该项错误；
（3）若此抛物线与直线有且只有一个交点，
则令，
整理得，
∴
解得，故该项错误；
（4）∵
∴顶点为，
∴抛物线的顶点在直线上，
∵直线与直线平行，
∴此抛物线的顶点到直线的距离都相等．

设直线交x轴于A，交y轴于B，点O到的距离为，
则，
∴
∵
∴
∴，
∴两直线间的距离为，故该项正确；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与方程的关系，熟知二次函数的性质是解题的关键．
6．
【分析】由一次函数即可判断；根据二次函数的性质即可判断；得到平移后的解析式即可判断；求得顶点坐标即可判断．
【详解】解：当时，函数为一次函数，由于系数为，所以图象与坐标轴所夹的锐角不为，故错误；
若，抛物线的对称轴为直线，则当时，随着的增大而减小，故正确；
当函数图象向左平移个单位时，解析式为，则其图象过原点，故正确；
当时，对称轴直线，顶点纵坐标为，故抛物线顶点在第一象限，故正确；
故答案为：．
【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
7．①②④
【分析】求出的取值即可判断①；由对称轴方程可判断出当时，函数在时，y有最大值3，故可判断②；根据二次函数的图象与x轴的两个公共点都为整数点可知对称轴也是整数，可求出a，进而判断③；分别求出A，B，C三点对应的函数值，再进行比较即可判断④．
【详解】解：①对于，令，得，由可得，即二次函数的图象与y轴的负半轴相交，故①正确；
②二次函数对称轴方程为直线，
∵，
∴
又抛物线的开口向上，
∴二次函数的图象在内，当时，y有最大值，最大值为：3；故②正确；
③∵二次函数的图象与x轴有两个交点，
∴，
∵a为整数，
∴，即a为任意整数；
又二次函数的图象与x轴的两个公共点都为整数点，
∴对称轴必为整数，此时a的值不只能等于1，也可以是，故③错误；
④∵为函数图象上的三点，
∴当时，；
当时，；
当时，；
∵，
∴，即．故④正确，
所以，正确的结论是①②④，
故答案为：①②④．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，利用数形结合，从开口方向、对称轴、与x轴（y轴）的交点进行判断是解题的关键．
【考点四二次函数的图象和性质与系数a,b,c的问题】
例题：B
【分析】由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：①函数的对称轴在轴右侧，则，抛物线与轴交于负半轴，则，则，故①正确；
②函数的对称轴为，函数和轴的一个交点是，则另外一个交点为，当时，，故②错误；
③函数的对称轴为，即，故③错误；
④由②③得，，，故，而抛物线开口向上，则，即，故，故④正确；
故选：B．
【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换是解题的关键．
【变式训练】
1．B
【分析】综合二次函数图象与各项系数之间的关系，以及二次函数与方程之间的联系进行逐项分析．
【详解】解：由题意，，对称轴为直线，
∴，，
抛物线与轴相交于正半轴，则，
∴，故①错误；
∵抛物线与轴有两个不同的交点，
∴，即：，故②正确；
∵由图象可得，当时，函数值，
∴，
∵，
∴，故③正确；
对于方程，
整理得：，
∴其两根之和，
∵，
∴
∴方程的两根和为2，故④错误；
∵是方程的两根，
∴函数图象与轴的两个交点的横坐标为，
∵方程的两根，
∴抛物线与直线的交点横坐标为，
∵抛物线开口向下，
∴，，
∴，，
∵，
∴，故⑤正确；
∴正确的有②③⑤，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数图象与性质，二次函数与一元二次方程之间的联系，掌握函数的基本性质，理解并熟练运用函数与方程之间的关系是解题关键．
2．B
【分析】根据抛物线的对称轴、开口方向、与y轴的交点确定a、b、c的正负，即可判定①和②；将点代入抛物线解析式并结合即可判定③；运用根的判别式并结合a、c的正负，判定判别式是否大于零即可判定④；判定点，的对称轴为，然后根据抛物线的对称性即可判定⑤．
【详解】解：抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，
，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，即，即②错误；
∴，即①正确，
二次函数图像的一部分与x轴的一个交点坐标为
，即，故③正确；
∵关于x的一元二次方程，，，
∴，，
∴无法判断的正负，即无法确定关于x的一元二次方程的根的情况，故④错误；
∵
∴点，关于直线对称
∵点，均在该二次函数图像上，
∴，即⑤正确；
综上，正确的为①③⑤，共3个
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的的性质及图像与系数的关系，能够从图像中准确的获取信息是解题的关键．
3．C
【分析】根据二次函数的图象和性质一一判断即可．
【详解】∵抛物线对称轴，经过点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴且，故①错误，
∵抛物线对称轴，经过，
∴和关于对称轴对称，
∴时，，
∴，故②正确，
∵抛物线与x轴交于，
∴时，，
∴，
∵，
∴，即，故③错误，
∵，，
∴，故④正确，
∵直线与抛物线两个交点的横坐标分别为，
∴方程的两个根分别为，
∴，，
∴，故⑤正确，正确的个数为3个．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数与系数的关系，二次函数图象上的点的特征，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【考点五二次函数的图象与几何动点问题】
例题：D
【分析】根据题目所给条件，分当时和当时，建立函数关系式，利用二次函数的性质，即可得到答案．
【详解】解；当时，正方形与重合部分的面积为正方形的面积，
∴，
∴此时函数图象为顶点在原点，开口向上的抛物线；
当时，设与相交于，与相交于，
，
此时正方形与重合部分的面积为正方形的面积减去三角形的面积，
∵是等腰直角三角形，，
，
，
∴，
∵，
∴二次函数的图象为开口向下的抛物线，
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次函数的解析式与图象的关系，正确列出函数关系式和判断二次函数的开口方向是解题的关键．
【变式训练】
1．A
【分析】先根据，求出与之间函数关系式，再判断即可得出结论．
【详解】解：，
，
，
，
故与之间函数关系为二次函数，图像开口向上，时，函数有最小值6，
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，二次函数的图像与性质，本题的关键是求出与之间函数关系式，再判断与之间函数类型．
2．B
【分析】分两种情况：当点在上，即时，此时，利用三角形面积公式得到关于的函数关系；当点在上，即时，此时，利用正方形和三角形面积公式得到关于的函数关系．进而可得关于的分段函数，根据函数解析式即可判断函数图象．
【详解】解：当点在上，即时，如图，

此时，，
；
当点在上，即时，如图，

此时，，，
，，
，
；．
综上，．
故选：B．
【点睛】本题主要考查动点问题的函数图象，学会利用分类讨论思想和数形结合思想解决问题是解题关键．
3．D
【分析】先找出运动轨迹几何运动的转折点，据此可分三段进行求解：①当点P在上运动，点Q在上运动，即时；②当点P在上运动，点Q在上运动，即时；③当点P在上运动，点Q在上运动，即时．再根据三角形的面积公式分段求出y关于t的函数关系式，最后根据关系判断函数图像即可．
【详解】解：①当点P在上运动，点Q在上运动，即时，此时，
∴；
②如图：当点P在上运动，点Q在上运动，即时，

∴；
③如图：当点P在上运动，点Q在上运动，即时，

∴，
∴
,
＝；
综上，．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图像，理解题意、分段求出函数解析式是解题关键．