专题06 难点探究专题：利用二次函数求面积、周长最值问题-2023-2024学年苏科版九年级数学下册常考压轴题

这是一份专题06 难点探究专题：利用二次函数求面积、周长最值问题-2023-2024学年苏科版九年级数学下册常考压轴题，共44页。

姓名：_________ 班级：_________ 学号：_________
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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc481" 【典型例题】 PAGEREF _Tc481 \h 1
\l "_Tc26552" 【考点一利用二次函数求面积最大值问题】 PAGEREF _Tc26552 \h 1
\l "_Tc28014" 【考点二利用二次函数求面积最小值问题】 PAGEREF _Tc28014 \h 10
\l "_Tc27215" 【考点三利用二次函数求周长最大值问题】 PAGEREF _Tc27215 \h 16
\l "_Tc28302" 【考点四利用二次函数求周长最小值问题】 PAGEREF _Tc28302 \h 26
【典型例题】
【考点一利用二次函数求面积最大值问题】
例题：（2023春·安徽合肥·九年级统考阶段练习）如图，二次函数的图象与x轴交于O（O为原点），A两点，已知二次函数图象经过点，且其对称轴为直线．

(1)试确定二次函数的表达式；
(2)已知y轴上一点，点P是二次函数图象上位于x轴下方的一点，连接．设点P的横坐标为t，的面积为S．
①求S与t之间的函数表达式（不要求写自变量的取值范围）；
②当S取最大值时，求点P的坐标．
【变式训练】
1．（2023春·山东日照·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点C，对称轴为直线，点的坐标为．

(1)求该抛物线的表达式及顶点坐标；
(2)在直线的下方的抛物线上存在一点M，使得的面积最大，请求出点M的坐标
(3)点F是抛物线上的动点，点D是抛物线顶点坐标，作交轴于点，是否存在点F，使得以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2023·黑龙江绥化·校联考三模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，点，与轴交于点，点在原点的左侧，点的坐标为，点是抛物线上一个动点，且在直线的上方．

(1)求这个二次函数的解析式；
(2)当点运动到什么位置时，的面积最大？请求出点的坐标和面积的最大值．
(3)连接，，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由；
3．（2023春·江西宜春·八年级校考期末）如图1，已知抛物线经过点，两点，且与y轴交于点C．

(1)求b，c的值．
(2)在第二象限的抛物线上，是否存在一点P，使得的面积最大？求出点P的坐标及的面积最大值．若不存在，请说明理由．
(3)如图2，点E为线段上一个动点（不与B，C重合），经过B、E、O三点的圆与过点B且垂直于的直线交于点F，当面积取得最小值时，求点E坐标．
【考点二利用二次函数求面积最小值问题】
例题：（2022秋·广东广州·九年级中山大学附属中学校考阶段练习）如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿AB边向点B以1个单位每秒的速度移动，同时点Q从点B出发沿边向点C以2个单位每秒的速度移动．如果P，Q两点在分别到达B，C两点后就停止移动，设运动时间为t秒，回答下列问题：

(1)运动开始后第几秒时的面积等于．
(2)设五边形的面积为S，写出S与t的函数关系式，当t为何值时S最小？求S的最小值．
【变式训练】
1．（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考模拟预测）已知抛物线交x轴于，，与y轴交于点C．

(1)求b，c的值；
(2)已知P为抛物线一点（不与点B重合），若点P关于x轴对称的点恰好在直线上，求点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，平移抛物线，使其顶点始终在直线上，且与相交于点Q，求面积的最小值．
2．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与坐标轴相交于A，B，C三点，其中A点坐标为，B点坐标为，连接，．动点P从A点出发，在线段上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从B点出发，在线段上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为t秒．
(1)_______，_______；
(2)在P，Q运动的过程中，当t为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？
(3)已知点M是该抛物线对称轴上一点，当点P运动1秒时，若要使得线段的值最小，则试求出点M的坐标．
【考点三利用二次函数求周长最大值问题】
例题：（2023·山东东营·统考中考真题）如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上，设，当时，．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？
(3)保持时的矩形不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．
【变式训练】
1．（2023春·湖南长沙·八年级校考期末）已知抛物线（a为常数，）的图象经过原点，点A在抛物线上运动．

(1)求a的值．
(2)若点和点都是这个抛物线上的点，且有，求t的取值范围．
(3)设点A位于x轴的下方且在这个抛物线的对称轴的左侧运动，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，过点A作轴，垂足为点B，过点D作轴，垂足于点C，试问四边形的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值和对应的x值，如果不存在，请说明理由．
2．（2023·安徽合肥·合肥寿春中学校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于、两点，点的横坐标为．
(1)求直线和抛物线的解析式；
(2)点是直线下方的抛物线上一动点不与点、重合，过点作轴的平行线，与直线交于点，连接，设点的横坐标为．
①若点在轴上方，当为何值时，是等腰三角形；
②若点在轴下方，设的周长为，求关于的函数关系式，当为何值时，的周长最大，最大值是多少？
3．（2023春·内蒙古赤峰·九年级统考阶段练习）如图，已知二次函数图象与坐标轴分别交于、、三点．

(1)求二次函数的解析式；
(2)在二次函数图象位于轴上方部分有两个动点、，且点在点的左侧，过、作轴的垂线交轴于点、两点，当四边形为矩形时，求该矩形周长的最大值；
(3)当矩形的周长最大时，在二次函数图象上是否存在点，使的面积是矩形面积的？若存在，直接写出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．
【考点四利用二次函数求周长最小值问题】
例题：（2023·天津·校联考一模）抛物线与轴交于点，点，与轴交于点．
(1)求抛物线的顶点坐标；
(2)点在拋物线对称轴上，当的周长最小时，求点的坐标；
(3)是拋物线对称轴上的一点，是对称轴右侧拋物线上的一点，当是以为腰的等腰直角三角形时，求出符合条件的所有点的坐标．
【变式训练】
1．（2023秋·云南临沧·九年级统考期末）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴为直线，点坐标为，为抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)为该抛物线对称轴上一动点，当的周长最小时，求点的坐标．
(3)当函数的自变量满足时，函数的最小值为3，求的值．
2．（2023春·广东湛江·九年级湛江市第二中学校考阶段练习）如图，已知抛物线与y轴交于点C，与x轴交于，两点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)连接，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得的周长最小？若存在，求出点P的坐标和的周长的最小值，若不存在，请说明理由．
(3)点M为抛物线上一动点，点N为x轴上一动点，当以A，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点M的横坐标．
3．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为线段上的一动点．

(1)求二次函数的表达式；
(2)如图1，求周长的最小值；
(3)如图2，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．
4．（2023春·山东东营·九年级校考阶段练习）如图，已知抛物线与一直线相交于、两点，与轴交于点，其顶点为．
(1)求抛物线及直线的函数关系式；
(2)在对称轴上是否存在一点，使的周长最小．若存在，请求出点的坐标和周长的最小值；若不存在，请说明理由．
(3)若是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值及此时点的坐标．参考答案
【典型例题】
【考点一利用二次函数求面积最大值问题】
例题：（2023春·安徽合肥·九年级统考阶段练习）如图，二次函数的图象与x轴交于O（O为原点），A两点，已知二次函数图象经过点，且其对称轴为直线．

(1)试确定二次函数的表达式；
(2)已知y轴上一点，点P是二次函数图象上位于x轴下方的一点，连接．设点P的横坐标为t，的面积为S．
①求S与t之间的函数表达式（不要求写自变量的取值范围）；
②当S取最大值时，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)①，②
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）①由，即可求解；
②由，即可求解．
【详解】（1）抛物线过点O，则，则抛物线的表达式为：，
∵抛物线对称轴为，则点，
将和点A的坐标代入抛物线表达式得：
，解得：，
故抛物线的表达式为：；
（2）①设直线的表达式为：，
将点A的坐标代入上式得：，
解得：，
即直线AB的表达式为：，
过点P作轴交于点H，

∵点P的横坐标为t，则点，则点，
则，
即；
②∵，
即S有最大值，此时，，
则点P的坐标为：．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，函数的最值，求出三角形的面积表达式是关键．
【变式训练】
1．（2023春·山东日照·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点C，对称轴为直线，点的坐标为．

(1)求该抛物线的表达式及顶点坐标；
(2)在直线的下方的抛物线上存在一点M，使得的面积最大，请求出点M的坐标
(3)点F是抛物线上的动点，点D是抛物线顶点坐标，作交轴于点，是否存在点F，使得以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的表达式为，顶点坐标
(2)
(3)存在，理由见详解，或
【分析】（1）根据对称轴公式及待定系数法即可；
（2）过点作轴交于点，连接，待定系数法求出解析式，设，再根据列式即可得答案；
（3）设对称轴与轴交于点，连接，过点于点，设，则，，当时，以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，再证明，得，再列方程即可得答案．
【详解】（1）解：抛物线对称轴为直线，点的坐标为，
得，解得，
故该抛物线的表达式为，顶点坐标；
（2）解：如图，过点作轴交于点，连接，设，

抛物线的表达式为，
当时，，即，
当时，或，，
设直线的解析式为，代入，，
得，解得：，
∴直线的解析式为，
，，，
，抛物线开口向下，
∴时，最大，此时；
（3）解：存在，理由如下：
设对称轴与轴交于点，连接，过点F作于点，

设，则，，
，，
，
当时，以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
，
，
抛物线的表达式为，
，
，解得或，
当时，与点重合，不符合题意，舍去，
．
故或．
【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、函数图象上点坐标的特征、全等三角形判定与性质等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标和相关线段的长度．
2．（2023·黑龙江绥化·校联考三模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，点，与轴交于点，点在原点的左侧，点的坐标为，点是抛物线上一个动点，且在直线的上方．

(1)求这个二次函数的解析式；
(2)当点运动到什么位置时，的面积最大？请求出点的坐标和面积的最大值．
(3)连接，，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由；
【答案】(1)；
(2)点的坐标为，，的面积的最大值为．
(3)存在，点的坐标为，；
【分析】（1）利用待定系数法可直接求出二次函数的解析式；
（2）先设出点的坐标，然后作平行轴交与点，将三角形和三角形的面积表示出来，再求出最大值的条件和最大值；
（3）先设出点的坐标，再求出的坐标，利用菱形的对角线互相垂直且邻边相等即可求出点的坐标．
【详解】（1）把点，点的坐标代入解析式，
得：，
解得：，
二次函数得表达式为；
（2）过点作轴的平行线与交于点，

设，
设直线的函数关系式为，则
，解得：
得直线的解析式为，
则，
，
当时，的面积最大，
此时，点的坐标为，，的面积的最大值为．
（3）存在点，使四边形为菱形，如图，

设，交于点，
若四边形是菱形，则，
连接，则，，
，
解得，（不合题意，舍去），
点的坐标为，；
【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，关键是要会用待定系数法求抛物线的解析式，还要牢记菱形的性质：菱形的对角线互相垂直，菱形的四条边都相等，对于求三角形面积最大值的问题，一般是将三角形分割成两个三角形，即作轴的平行线或轴的平行线，然后再利用面积公式得出一个二次函数，求出顶点的纵坐标即是最大值．
3．（2023春·江西宜春·八年级校考期末）如图1，已知抛物线经过点，两点，且与y轴交于点C．

(1)求b，c的值．
(2)在第二象限的抛物线上，是否存在一点P，使得的面积最大？求出点P的坐标及的面积最大值．若不存在，请说明理由．
(3)如图2，点E为线段上一个动点（不与B，C重合），经过B、E、O三点的圆与过点B且垂直于的直线交于点F，当面积取得最小值时，求点E坐标．
【答案】(1)
(2)存在，点P坐标为，的面积最大值是
(3)
【分析】（1）将A、B两点坐标代入即可求出；
（2）由（1）得到抛物线的解析式为，求出点，设点，，连接，作轴交于M，利用待定系数法求出直线的解析式为，则，得到，得到，从而可求出的面积最大值及点P的坐标；
（3）连接，证明，则，是等腰直角三角形，当最小时，面积取得最小值.由点E在线段上，则当时，最小. 此时点E是中点，由中点坐标公式即可得到点E坐标．
【详解】（1）将，两点坐标代入得：
，
解得：；
（2）存在．理由如下：
由（1）得到抛物线的解析式为，
当时，
∴点，
设点，，
连接，作轴交于M，

设直线的解析式为，
由，可得
,
解得，
∴直线的解析式为，则，
，
∵，
当时，
∴的面积最大值为；
当时，，
∴点P坐标为；
（3）连接，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，是等腰直角三角形，
∴当最小时，面积取得最小值.
∵点E在线段上，
∴当时，最小.
∵是等腰直角三角形，
∴此时点E是中点，
∵，，
∴.
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质、圆周角定理、待定系数法求二次函数的解析式和一次函数解析式、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定和性质等知识，数形结合和准确计算是解答此题的关键．
【考点二利用二次函数求面积最小值问题】
例题：（2022秋·广东广州·九年级中山大学附属中学校考阶段练习）如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿AB边向点B以1个单位每秒的速度移动，同时点Q从点B出发沿边向点C以2个单位每秒的速度移动．如果P，Q两点在分别到达B，C两点后就停止移动，设运动时间为t秒，回答下列问题：

(1)运动开始后第几秒时的面积等于．
(2)设五边形的面积为S，写出S与t的函数关系式，当t为何值时S最小？求S的最小值．
【答案】(1)秒或秒
(2)，当时，
【分析】（1）设运动开始后第秒时的面积等于，由三角形面积公式即可求解；
（2）由即可求解．
【详解】（1）解：设运动开始后第秒时的面积等于，由题意得
，
整理得：，
解得：，，
答：运动开始后第秒或秒时的面积等于．
（2）解：
，
，
，，
当时，；
答：，当时，．
【点睛】本题考查了一元二次方程及二次函数的应用，根据图形找出等量关系式，掌握二次函数最值的求法是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考模拟预测）已知抛物线交x轴于，，与y轴交于点C．

(1)求b，c的值；
(2)已知P为抛物线一点（不与点B重合），若点P关于x轴对称的点恰好在直线上，求点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，平移抛物线，使其顶点始终在直线上，且与相交于点Q，求面积的最小值．
【答案】(1)；
(2)；
(3)的最小值为．
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）求得直线的解析式为，设，则，解方程，即可求解；
（3）由顶点始终在直线上，推出，由三角形面积公式得，当取最小值时，取最小值，求得关于b的二次函数，利用二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于，，
∴，解得；
（2）解：由（1）得抛物线解析式为，
令，则，
∴，设直线的解析式为，
则，解得，
∴直线的解析式为，
∵点P关于x轴对称的点恰好在直线上，
∴设，则，即点在抛物线上，
∴，整理得，
解得，
∵点P不与点B重合，
∴，；
（3）解：抛物线的顶点坐标为，
∵顶点始终在直线上，
∴，即，
由（2）知直线的方程为，
∵抛物线与相交于点Q，

∵，
∴当取最小值时，取最小值，
∵
，
∵，
∴当即时，的最小值为，
∴的最小值为．
【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
2．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与坐标轴相交于A，B，C三点，其中A点坐标为，B点坐标为，连接，．动点P从A点出发，在线段上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从B点出发，在线段上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为t秒．
(1) ， ；
(2)在P，Q运动的过程中，当t为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？
(3)已知点M是该抛物线对称轴上一点，当点P运动1秒时，若要使得线段的值最小，则试求出点M的坐标．
【答案】(1)2，3
(2)当时，四边形的面积最小，最小值为4
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）过点P作轴，垂足为E，利用表示出四边形的面积，求出t的范围，利用二次函数的性质求出最值即可；
（3）直接利用对称点的性质得出M点位置，进而得出答案．
【详解】（1）∵二次函数的图象经过点A，B，
则，
解得：；
故答案为：2；3；
（2）令，则有，即有；
∵，，，
∴，，即，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
由点P、Q的运动可知：，，
结合，可得：，
即：，
过点P作轴，垂足为H，如图，
∴，即，
∴
，
∵当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，且，
∴即，，
∴当时，四边形的面积最小，最小值为4；
（3）由（2）可知，当时，可得点P的坐标为（2，1），
根据抛物线的对称性可知，点A，B关于对称轴：对称，
连接，与抛物线对称轴交于点M，点M即为所求，
∵，，
∴利用待定系数法可得直线的解析式为：，
当时，．
即点M的坐标为．
【点睛】本题考查了二次函数综合，涉及到全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，轴对称最值问题，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
【考点三利用二次函数求周长最大值问题】
例题：（2023·山东东营·统考中考真题）如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上，设，当时，．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？
(3)保持时的矩形不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．
【答案】(1)
(2)当时，矩形的周长有最大值，最大值为
(3)4
【分析】（1）设抛物线的函数表达式为，求出点C的坐标，将点C的坐标代入即可求出该抛物线的函数表达式；
（2）由抛物线的对称性得，则，再得出，根据矩形的周长公式，列出矩形周长的表达式，并将其化为顶点式，即可求解；
（3）连接A，相交于点P，连接，取的中点Q，连接，根据矩形的性质和平移的性质推出四边形是平行四边形，则，．求出时，点A的坐标为，则，即可得出结论．
【详解】（1）解：设抛物线的函数表达式为．
∵当时，，
∴点C的坐标为．
将点C坐标代入表达式，得，
解得．
∴抛物线的函数表达式为．
（2）解：由抛物线的对称性得：，
∴．
当时，．
∴矩形的周长为
．
∵，
∴当时，矩形的周长有最大值，最大值为．
（3）解：连接，相交于点P，连接，取的中点Q，连接．

∵直线平分矩形的面积，
∴直线过点P．．
由平移的性质可知，四边形是平行四边形，
∴．
∵四边形是矩形，
∴P是的中点．
∴．
当时，点A的坐标为，
∴．
∴抛物线平移的距离是4．
【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，矩形的性质，平移的性质，解题的关键是掌握用待定系数法求解二次函数表达式的方法和步骤，二次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，以及平移的性质．
【变式训练】
1．（2023春·湖南长沙·八年级校考期末）已知抛物线（a为常数，）的图象经过原点，点A在抛物线上运动．

(1)求a的值．
(2)若点和点都是这个抛物线上的点，且有，求t的取值范围．
(3)设点A位于x轴的下方且在这个抛物线的对称轴的左侧运动，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，过点A作轴，垂足为点B，过点D作轴，垂足于点C，试问四边形的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值和对应的x值，如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)存在，当时，四边形ABCD的周长最大为．
【分析】（1）将坐标代入抛物线计算求值即可；
（2）由的值可得抛物线解析式，从而可得，的表达式，再根据解不等式即可；
（3）由可得函数的对称轴，根据、两点的对称性设，，再由两点的中点坐标在对称轴上可得的表达式；根据坐标的定义求得四边形周长的表达式再配方即可解答；
【详解】（1）解：将原点坐标代入抛物线可得：
，
，
∵，
∴；
（2）解：把代入抛物线可得：
，
点P和点Q代入抛物线解析式可得：
，
，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：由抛物线解析式可得对称轴为，
平行于轴，设且，，
由抛物线的对称性可知、两点的中点坐标在对称轴上，
∴，
∴，
∵和都和轴垂直，平行于轴，
∴四边形是矩形，
由函数图象可知点纵坐标，
∴四边形的周长为：，
∴当时四边形周长有最大值；
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，不等式的性质，矩形的性质，坐标的定义等知识；掌握二次函数的对称性是解题关键．
2．（2023·安徽合肥·合肥寿春中学校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于、两点，点的横坐标为．
(1)求直线和抛物线的解析式；
(2)点是直线下方的抛物线上一动点不与点、重合，过点作轴的平行线，与直线交于点，连接，设点的横坐标为．
①若点在轴上方，当为何值时，是等腰三角形；
②若点在轴下方，设的周长为，求关于的函数关系式，当为何值时，的周长最大，最大值是多少？
【答案】(1)，
(2)①当时，是等腰三角形；②当时，的周长最大，最大值为9
【分析】（1）利用待定系数法求解析式；
（2）①当是等腰三角形时，判断出只有，设出点P的坐标，用建立方程组求解即可；②先表示出，然后建立的周长关于的函数关系式，确定出最大值．
【详解】（1）解：将点代入，得，
解得，
∴直线的解析式为；
当时，，
∴
将点，代入，得
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）①设，则，
∵过点P作x轴的平行线，与直线交于点C，
∴，
∴，
当点P在x轴上方时，，是钝角，
∴，
∵是等腰三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴或（舍去），
∴当时，是等腰三角形；
②当点在轴下方时，，
∴
∵，则，点,
∴，，
∵，，
∴
，
∴当时，p最大，最大值为9，
∴当时，的周长最大，最大值为9．
【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，平面内两点之间的距离公式，等腰三角形的性质，三角形的周长，极值的确定，解本题的关键是表示出的长度．
3．（2023春·内蒙古赤峰·九年级统考阶段练习）如图，已知二次函数图象与坐标轴分别交于、、三点．

(1)求二次函数的解析式；
(2)在二次函数图象位于轴上方部分有两个动点、，且点在点的左侧，过、作轴的垂线交轴于点、两点，当四边形为矩形时，求该矩形周长的最大值；
(3)当矩形的周长最大时，在二次函数图象上是否存在点，使的面积是矩形面积的？若存在，直接写出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)10
(3)存在；，，
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）设点M的坐标为，则点，利用m的代数式分别表示出矩形的边长，利用矩形的周长的公式求得矩形的周长，利用配方法解答即可得出结论；
（3）利用（2）的结论求得点N的坐标，可得点N与点A重合，设点P的坐标为，过点P作轴于点D，交于点E，利用含n的代数式表示出，利用，求得的面积，利用已知条件得到关于n的方程，解方程即可求得n值；再利用平行线的距离相等，当直线向下平移个单位长度时，该直线与抛物线的交点也满足条件，求得平移后的直线解析式，与抛物线的解析式联立，解方程组即可得出结论．
【详解】（1）设二次函数解析式为，
∵二次函数图象过、、三点，
∴，
解得，
即二次函数解析式为．
（2）设点的坐标为，则点，
∴，，
矩形的周长，
，
∵
∴当，有最大值，最大值为10．
即矩形周长的最大值为10．
（3）由（2）知：当时，矩形的周长有最大值，
∴，
∴当矩形的周长最大时，点N与点A重合，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为．
设当矩形的周长最大时，在二次函数图象上存在点P，使的面积是矩形面积的，点P的坐标为，过点P作轴于点D，交于点E，如图，

则，
∴，
∴
∵
当矩形的周长最大时，，
∴矩形面积为，
∴的面积为．
∴，
解得：，
∴点P的横坐标为；
此时，
∵平行线之间的距离相等，
∴当直线向下平移个单位长度时，该直线与抛物线的交点也满足条件．
平移后的直线的解析式为．
联立：，
解得：或．
∴点P的横坐标为或．
综上，当矩形的周长最大时，在二次函数图象上存在点P，使的面积是矩形面积的，点P的横坐标为或或．
【点睛】本题主要考查了抛物线的有关性质，待定系数法，抛物线上点的坐标的特征，函数的极值，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，矩形的性质，平行线的性质，三角形的面积，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
【考点四利用二次函数求周长最小值问题】
例题：（2023·天津·校联考一模）抛物线与轴交于点，点，与轴交于点．
(1)求抛物线的顶点坐标；
(2)点在拋物线对称轴上，当的周长最小时，求点的坐标；
(3)是拋物线对称轴上的一点，是对称轴右侧拋物线上的一点，当是以为腰的等腰直角三角形时，求出符合条件的所有点的坐标．
【答案】(1)抛物线顶点坐标为
(2)点的坐标为
(3)点M的坐标为或或
【分析】（1）把点A、B的坐标分别代入解析式，得方程组，解方程组即可求解；
（2）由题意可知长为定值，当最小时，的周长最小，连接，与抛物线对称轴的交点即为点，再求出直线的解析及与抛物线对称轴的交点，即可求解；
（3）分三种情况，利用抛物线的对称性及全等三角形的判定与性质，即可分别求解．
【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，点，
抛物线解析式为．
，
抛物线顶点坐标为．
（2）解：连接，与抛物线对称轴的交点即为点．
点A、B关于抛物线的对称轴对称，
，
当点A、Q、C在一条直线上时，的周长最小，
抛物线与轴的交点的坐标为
设直线的解析式为．
把点代入，得，
．
直线的解析式为．
当时，，
点的坐标为．
（3）解：①当时，．
点M与点B重合，
点M的坐标为．
②当时，．
当点P在x轴上方时，如图：过点A作x轴垂线EF，过点P作于E，过点M作于F，
设点P的坐标为．
由，
，
．
．
，．
，，
点M的坐标为．
点M在抛物线上，
，
，
解得或（舍去），
点的坐标为．
当点P在x轴下方时，如图：
同理可以求得点M的坐标为；
综上所述，当是以为腰的等腰直角三角形时，点M的坐标为或或．
【点睛】本题考查了求二次函数及一次函数的解析式，二次函数的图象及性质，最短路径问题，全等三角形的判定与性质，画出图形，采用分类讨论的思想是解决本题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·云南临沧·九年级统考期末）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴为直线，点坐标为，为抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)为该抛物线对称轴上一动点，当的周长最小时，求点的坐标．
(3)当函数的自变量满足时，函数的最小值为3，求的值．
【答案】(1)
(2)当的周长最小时，点的坐标为
(3)满足条件的的值为或4
【分析】（1）根据点和抛物线的对称轴求出点的坐标，再把，两点的坐标代入求解即可；
（2）连接交直线于点，此时的周长最小，根据，两点求出直线的解析式，再把代入求解，即可得出点的坐标；
（3）分三种情况：①当时；②当时；③当时；分别进行求解即可．
【详解】（1）∵点与点关于直线对称，
∴点的坐标为，
把点，代入，得
，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）∵点，关于直线对称，
∴如图，连接交直线于点，此时的周长最小，
令，得，
∴，
设直线的解析式为，代入，，得
，解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
∴当的周长最小时，点的坐标为；
（3）①当时，即，此时y随着x的增大而减小，
当时，有最小值，
即，解得或（舍去）；
②当时，此时y随着x的增大而增大，
此时当时，有最小值，
即，解得或（舍去）；
③当时，此时当时，有最小值为，不符合题意，舍去．
综上所述，满足条件的的值为或4．
【点睛】本题考查了二次函数的综合，熟练掌握数形结合的解题方法是解题的关键．
2．（2023春·广东湛江·九年级湛江市第二中学校考阶段练习）如图，已知抛物线与y轴交于点C，与x轴交于，两点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)连接，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得的周长最小？若存在，求出点P的坐标和的周长的最小值，若不存在，请说明理由．
(3)点M为抛物线上一动点，点N为x轴上一动点，当以A，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点M的横坐标．
【答案】(1)
(2)，
(3)2或或
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）当三点共线时，的周长有最小值，直线与对称轴的交点为点，又由，可得的周长的最小值为；
（3）设，，根据平行四边形的对角线分三种情况讨论，利用中点坐标公式建立方程求出M点的横坐标即可．
【详解】（1）将代入，
∴，
解得，
∴；
（2）抛物线的对称轴上存在点P，使得的周长最小，理由如下：
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵A、B点关于直线对称，
∴，
∴的周长，
∴当B、C、P三点共线时，的周长有最小值，
当时，，
∴，
∴，
∴的周长的最小值为；
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴，
∴，
（3）设，
当为平行四边形的对角线时，
∴，
解得（舍）或，
∴；
当为平行四边形的对角线时，
∴，
解得（舍）或，
∴；
当为平行四边形的对角线时，
∴，
解得或，
∴或；
综上所述：M点横坐标为2或或．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称的性质，平行四边形的性质是解题的关键．
3．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为线段上的一动点．

(1)求二次函数的表达式；
(2)如图1，求周长的最小值；
(3)如图2，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)，
【分析】（1）根据题意设抛物线的表达式为，将代入求解即可；
（2）作点O关于直线的对称点E，连接，根据点坐特点及正方形的判定得出四边形为正方形，，连接AE，交于点D，由对称性，此时有最小值为AE的长，再由勾股定理求解即可；
（3）由待定系数法确定直线的表达式为，直线的表达式为，设，然后结合图形及面积之间的关系求解即可．
【详解】（1）解：由题意可知，设抛物线的表达式为，
将代入上式得：，
所以抛物线的表达式为；
（2）作点O关于直线的对称点E，连接，
∵，，，
∴，
∵O、E关于直线对称，
∴四边形为正方形，
∴，
连接，交于点D，由对称性，
此时有最小值为的长，
∵的周长为，
，的最小值为10，
∴的周长的最小值为；

（3）由已知点，，，
设直线的表达式为，
将，代入中，，解得，
∴直线的表达式为，
同理可得：直线的表达式为，
∵，
∴设直线表达式为，
由（1）设，代入直线的表达式
得：，
∴直线的表达式为：，
由，得，
∴，
∵P，D都在第一象限，
∴
，
∴当时，此时P点为.
．

【点睛】题目主要考查二次函数的综合应用，包括待定系数法确定函数解析式，周长最短问题及面积问题，理解题意，熟练掌握运用二次函数的综合性质是解题关键．
4．（2023春·山东东营·九年级校考阶段练习）如图，已知抛物线与一直线相交于、两点，与轴交于点，其顶点为．
(1)求抛物线及直线的函数关系式；
(2)在对称轴上是否存在一点，使的周长最小．若存在，请求出点的坐标和周长的最小值；若不存在，请说明理由．
(3)若是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值及此时点的坐标．
【答案】(1)，
(2)在对称轴上存在一点，周长的最小值为
(3)最大值为，此时点P的坐标为
【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数和一次函数关系式即可；
（2）首先确定点的坐标为，再结合题意可知点，关于抛物线的对称轴对称；令直线与抛物线的对称轴的交点为点，由“最短路径”的性质即可求出的坐标，并确定周长取最小值；
（3）过点作轴交轴于点，交直线于点，过点作轴交轴于点．设点的坐标为，则点，点，易得，，根据，并结合二次函数的性质即可求得的面积取最大值以及此时点的坐标．
【详解】（1）解：将、代入，
可得，解得，
∴抛物线的函数关系式为；
设直线的函数关系式为，
将、代入，
可得，解得，
∴直线的函数关系式为；
（2）当时，，
∴点的坐标为，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点的坐标为，
∴点，关于抛物线的对称轴对称，
令直线与抛物线的对称轴的交点为点，如图所示，
∵点，关于抛物线的对称轴对称，
∴，
∴，
∴此时周长取最小值，
当时，，
∴此时点的坐标为，
∵，，，
∴，，
∴，
∴在对称轴上存在一点，使的周长最小，周长的最小值为；
（3）过点作轴交轴于点，交直线于点，过点作轴交轴于点，如图所示，
设点的坐标为，则点，点，
∴，，
∴，
∵点，
∴点，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的面积取最大值，最大值为，此时点的坐标为．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数和一次函数解析式、二次函数的图像与性质、最短路径、勾股定理等知识，解题关键是熟练掌握相关知识，并运用含字母的代数式表示相关点的坐标及相关线段的长度．