专题07 难点探究专题：新定义型二次函数的综合探究问题-2023-2024学年苏科版九年级数学下册常考压轴题

这是一份专题07 难点探究专题：新定义型二次函数的综合探究问题-2023-2024学年苏科版九年级数学下册常考压轴题，共39页。

姓名：_________ 班级：_________ 学号：_________
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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc29529" 【典型例题】 PAGEREF _Tc29529 \h 1
\l "_Tc7687" 【考点一 新定义型二次函数——关联抛物线】 PAGEREF _Tc7687 \h 1
\l "_Tc30043" 【考点二 新定义型二次函数——友好同轴二次函数】 PAGEREF _Tc30043 \h 6
\l "_Tc28916" 【考点三 新定义型二次函数——衍生抛物线】 PAGEREF _Tc28916 \h 10
\l "_Tc8792" 【考点四 新定义型二次函数——旋转函数】 PAGEREF _Tc8792 \h 14
\l "_Tc26319" 【考点五 新定义型二次函数——同轴对称抛物线】 PAGEREF _Tc26319 \h 15
\l "_Tc32759" 【考点六 新定义型二次函数——孔像抛物线】 PAGEREF _Tc32759 \h 18
\l "_Tc28554" 【考点七 新定义型二次函数——反碟长抛物线】 PAGEREF _Tc28554 \h 21
\l "_Tc25501" 【考点八 新定义型二次函数——月牙线抛物线】 PAGEREF _Tc25501 \h 23
\l "_Tc9010" 【考点九 新定义型二次函数——系列平移抛物线】 PAGEREF _Tc9010 \h 28
【典型例题】
【考点一 新定义型二次函数——关联抛物线】
例题：（2023·黑龙江大庆·统考三模）新定义：我们把抛物线（其中与抛物线称为“关联抛物线”，例如，抛物线的“关联抛物线”为已知抛物线：的“关联抛物线”为，与y轴交于点E．
(1)若点E的坐标为，求的解析式；
(2)设的顶点为F，若△OEF是以OF为底的等腰三角形，求点E的坐标；
(3)过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线，，于点M，N．
①当MN=6时，求点P的坐标；
②当时，的最大值与最小值的差为2a，求a的值．
【变式训练】
1．（2023春·福建福州·九年级福建省福州格致中学校考期中）新定义：我们把抛物线（其中）与抛物线称为“关联抛物线”．例如：抛物线的“关联抛物线”为：．已知抛物线的“关联抛物线”为．
(1)写出的解析式（用含的式子表示）及顶点坐标；
(2)若，过轴上一点，作轴的垂线分别交抛物线，于点，．
①当时，求点的坐标；
②当时，的最大值与最小值的差为，求的值．
【考点二 新定义型二次函数——友好同轴二次函数】
例题：（2023·贵州遵义·统考三模）定义：二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y轴交点也相同的两个二次函数互为友好同轴二次函数．例如：的友好同轴二次函数为．
(1)函数的对称轴为__________．其友好同轴二次函数为__________．
(2)已知二次函数（其中且且），其友好同轴二次函数记为．
①若函数的图象与函数的图象交于A、B两点（点A的横坐标小于点B的横坐标），求线段的长；
②当时，函数的最大值与最小值的差为8，求a的值．
【变式训练】
1．【信息提取】
新定义：在平面直角坐标系中，如果两条抛物线关于坐标原点对称，则一条抛物线叫另一条抛物线的“友好抛物线”．
新知识：对于直线和．若，则直线与互相垂直；若直线与互相垂直，则．
【感知理解】
（1）若抛物线的“友好抛物线”为．则h，k的值分别是；
（2）若抛物线与互为“友好抛物线”．则b与n的数量关系为，c与q的数量关系为．
【综合应用】
（3）如图，抛物线的顶点为E，的“友好抛物线”的顶点为F，过点O的直线与抛物线交于点A，B（点A在B的左侧），与抛物线交于点C，D（点C在D的左侧）．若四边形AFDE为菱形，求AB的长；
【考点三 新定义型二次函数——衍生抛物线】
例题：（2023秋·江西南昌·九年级南昌市第十七中学校考期末）小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：
求解体验：
(1)已知抛物线经过点，则b＝_______，顶点坐标为_______，该抛物线关于点成中心对称的抛物线表达式是_______．
抽象感悟：
我们定义：对于抛物线，以y轴上的点为中心，作该抛物线关于点M对称的抛物线，则我们又称抛物线为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”．
(2)已知抛物线关于点的衍生抛物线为，若这两条抛物线有交点，求m的取值范围．
问题解决：
(3)已知抛物线．
①若抛物线y的衍生抛物线为，两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求a，b的值及衍生中心的坐标；
②若抛物线y关于点的衍生抛物线为，其顶点为；关于点的衍生抛物线为，其顶点为；…；关于点的衍生抛物线为，其顶点为，…（为正整数）．求的长（用含n的式子表示）．
【考点四 新定义型二次函数——旋转函数】
例题：（2023·全国·九年级专题练习）定义：如果二次函数，（，、、是常数）与，、、是常数）满足，，，则这两个函致互为“旋转函数”．例如：求函数的“旋转函数”，由函数可知，，，．根据，，求出、、就能确定这个函数的“旋转函数”．
请思考并解决下面问题：
(1)写出函数的“旋转函数”；
(2)若函数与互为“旋转函数”，求的值；
(3)已知函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是、、，试求证：经过点、、的二次函数与互为“旋转函数”．
【考点五 新定义型二次函数——同轴对称抛物线】
例题：定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．
例如：的“同轴对称抛物线”为．
(1)请写出抛物线的顶点坐标_______；及其“同轴对称抛物线”的顶点坐标_______；写出抛物线的“同轴对称抛物线”为_______．
(2)如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L：上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点、，连接、、、，设四边形的面积为．
①当四边形为正方形时，求a的值．
②当抛物线L与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的点时，请求出a的取值范围．
【考点六 新定义型二次函数——孔像抛物线】
例题：二次函数的图象交轴于原点及点．
感知特例
（1）当时，如图1，抛物线上的点，，，，分别关于点中心对称的点为，，，，，如下表：
①补全表格；
②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为．
形成概念
我们发现形如（1）中的图象上的点和抛物线上的点关于点中心对称，则称是的“孔像抛物线”．例如，当时，图2中的抛物线是抛物线的“孔像抛物线”．
探究问题
（2）①当时，若抛物线与它的“孔像抛物线”的函数值都随着的增大而减小，则的取值范围为_______；
②在同一平面直角坐标系中，当取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数的所有“孔像抛物线”，都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是______．（填“”或“”或“”或“”，其中）；
③若二次函数及它的“孔像抛物线”与直线有且只有三个交点，求的值．
【考点七 新定义型二次函数——反碟长抛物线】
例题：定义：若直线与开口向下的抛物线有两个交点，则这两个交点之间的距离叫做这条抛物线的“反碟长”．如图，已知抛物线：与直线相交于P，Q两点．

(1)抛物线的“反碟长”______．
(2)抛物线随其顶点沿直线向上平移，得到抛物线．
①当抛物线的顶点平移到点时，抛物线的解析式是______，抛物线的“反碟长”是______；
②若抛物线的“反碟长”是一个偶数，则其顶点的纵坐标可能是______（填写所有正确的选项）；
A．15；B．16；C．24；D．25
③当抛物线的顶点A和抛物线与直线的两个交点B，C构成一个等边三角形时，求点A的坐标．
【考点八 新定义型二次函数——月牙线抛物线】
例题：定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．如图①，抛物线与抛物线组成一个开口向下的“月牙线”，抛物线与抛物线与x轴有相同的交点M，N（点M在点N左侧），与y轴的交点分别为点，．

(1)求出点M，N的坐标和抛物线的解析式；
(2)点P是x轴上方抛物线上的点，过点P作轴于点E，交抛物线于点Q，试证明：的值为定值，并求出该定值；
(3)如图②，点D是点B关于抛物线对称轴的对称点，连接，在x轴上是否存在点F，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练】
1．定义：由两条与轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．

(1)【概念理解】抛物线与抛物线________（填“能”或“不能”）围成“月牙线”．
(2)【尝试应用】如图，抛物线与抛物线组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线与抛物线与轴有相同的交点，（点在点的左侧），与轴的交点分别为，，抛物线的解析式为，抛物线的解析式为．
①求的长和的值；
②将抛物线与抛物线所围成的“月牙线”向左或向右平移，平移后的“月牙线”与轴的交点记为，，与轴的交点记为，，当时，求平移的方向及相应的距离．
【考点九 新定义型二次函数——系列平移抛物线】
例题：【特例感知】
（1）如图1，对于抛物线，，，下列结论正确的序号是_______；
①抛物线都经过点；
②抛物线的对称轴由抛物线的对称轴依次向左平移个单位得到；
③抛物线与直线的交点中，相邻两点之间的距离相等．
【形成概念】
（2）把满足（为正整数）的抛物线称为“系列平移抛物线”．
【知识应用】
在（2）中，如图2．
①“系列平移抛物线”的顶点依次为，用含的代数式表示顶点的坐标，并写出该顶点纵坐标与横坐标之间的关系式；
②“系列平移抛物线”存在“系列整数点（横、纵坐标均为整数的点）”：，其横坐标分别为（为正整数），判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由．
③在②中，直线分别交“系列平移抛物线”于点连接，判断是否平行？并说明理由．…
（___，___）
…
…
…
参考答案
【典型例题】
【考点一 新定义型二次函数——关联抛物线】
例题：（2023·黑龙江大庆·统考三模）新定义：我们把抛物线（其中与抛物线称为“关联抛物线”，例如，抛物线的“关联抛物线”为已知抛物线：的“关联抛物线”为，与y轴交于点E．
(1)若点E的坐标为，求的解析式；
(2)设的顶点为F，若△OEF是以OF为底的等腰三角形，求点E的坐标；
(3)过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线，，于点M，N．
①当MN=6时，求点P的坐标；
②当时，的最大值与最小值的差为2a，求a的值．
【答案】(1)
(2)
(3)①或，②或
【分析】（1）根据“关联抛物线”的定义可直接得出的解析式，再将该解析式化成顶点式，可得出的顶点坐标；
（2）根据“关联抛物线”的定义可得的解析式，之后得到函数的顶点，过点作轴于点，连接，进而得到，，，于是根据即可得到结论；
（3）①设点的横坐标为，则可表达点和点的坐标，根据两点间距离公式可表达的长，列出方程，可求出点的坐标；
②当时得出的最大值和最小值，进而列出方程，可求出的值．
【详解】（1）解：∵C1与y轴交点的坐标为E（0，-1），
∴，解得．
∴C1的解析式为；
（2）解：根据“关联抛物线”的定义可得的解析式为，
∵，
∴的顶点的坐标为
易得点E，
过点作轴于点，连接．

∴，，，
∵，
∴，即．
解得，
∴点E的坐标为；
（3）解：①设点P的横坐标为m，
∵过点P作x轴的垂线分别交抛物线，于点，
∴，，
∴，
∵，
∴，解得或，
∴或；
②∵的解析式为，
∴当时，，
当时，；
当时，．
根据题意可知，需要分三种情况讨论：
Ⅰ．当时，，且当时，函数的最大值为；函数的最小值为-3．
∴，解得或（舍）或（舍）；
当时，函数的最大值为，函数的最小值为-3．
∴，解得或（舍）或（舍）；
Ⅱ．当时，，函数的最大值为；函数的最小值为，
∴，解得（舍）或（舍）；
Ⅲ．当时，，不符合题意，舍去．
综上，a的值为或
【点睛】本题属于二次函数背景下新定义类问题，涉及等腰三角形以及两点间距离公式，二次函数的图象及性质，由“关联抛物线”的定义得出的解析式，掌握二次函数图象的性质是解题关键．
【变式训练】
1．（2023春·福建福州·九年级福建省福州格致中学校考期中）新定义：我们把抛物线（其中）与抛物线称为“关联抛物线”．例如：抛物线的“关联抛物线”为：．已知抛物线的“关联抛物线”为．
(1)写出的解析式（用含的式子表示）及顶点坐标；
(2)若，过轴上一点，作轴的垂线分别交抛物线，于点，．
①当时，求点的坐标；
②当时，的最大值与最小值的差为，求的值．
【答案】(1)，顶点为
(2)①或；②或．
【分析】（1）根据定义将一次项系数与二次项系数互换即可求得解析式，化为顶点式即可求得顶点坐标；
（2）①设，则，，根据题意建立方程解方程即可求解；
②根据题意，分三种情形讨论，根据点距离对称轴的远近确定最值，然后建立方程，解方程求解即可．
【详解】（1）解：抛物线的“关联抛物线”为，
根据题意可得，的解析式
顶点为
（2）解：①设，则，
∴
当时，
解得，
当时，方程无解
或
②的解析式
顶点为，对称轴为
，
当时，即时，
函数的最大值为，最小值为
的最大值与最小值的差为
解得（，舍去）
当时，且即时，
函数的最大值为，最小值为
的最大值与最小值的差为
解得（，舍去）
当时，即时，抛物线开向上，对称轴右侧随的增大而增大，
函数的最大值为，最小值为
的最大值与最小值的差为
即
即
解得（舍去）
综上所述，或．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，求顶点式，二次函数的最值问题，分类讨论是解题的关键．
【考点二 新定义型二次函数——友好同轴二次函数】
例题：（2023·贵州遵义·统考三模）定义：二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y轴交点也相同的两个二次函数互为友好同轴二次函数．例如：的友好同轴二次函数为．
(1)函数的对称轴为__________．其友好同轴二次函数为__________．
(2)已知二次函数（其中且且），其友好同轴二次函数记为．
①若函数的图象与函数的图象交于A、B两点（点A的横坐标小于点B的横坐标），求线段的长；
②当时，函数的最大值与最小值的差为8，求a的值．
【答案】(1)直线，
(2)①4；②或3
【分析】（1）将函数画出顶点式即可得函数的对称轴，再根据友好同轴二次函数的定义求解即可得；
（2）①根据友好同轴二次函数的定义求出函数，联立函数，，解方程可求出点的坐标，由此即可得；
②分且且、两种情况，利用二次函数的性质求解即可得．
【详解】（1）解：函数的对称轴为直线，
因为，
所以设函数的友好同轴二次函数为，
所以，解得，
所以函数的友好同轴二次函数为，
故答案为：直线，．
（2）解：①二次函数，
则设，
所以，解得，
所以，
联立得：，
解得或，
当时，；当时，，
所以，
所以；
②函数的对称轴为直线，
（Ⅰ）当且且时，抛物线的开口向上，
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，
则当时，取得最小值，最小值为，
当时，取得最大值，最大值为4，
所以，
解得，符合题设；
（Ⅱ）当时，抛物线开口向下，
当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，
则当时，取得最大值，最大值为，
当时，取得最小值，最小值为4，
所以，
解得，符合题设；
综上，的值为或3．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，掌握理解友好同轴二次函数的定义是解题关键．
【变式训练】
1．【信息提取】
新定义：在平面直角坐标系中，如果两条抛物线关于坐标原点对称，则一条抛物线叫另一条抛物线的“友好抛物线”．
新知识：对于直线和．若，则直线与互相垂直；若直线与互相垂直，则．
【感知理解】
（1）若抛物线的“友好抛物线”为．则h，k的值分别是；
（2）若抛物线与互为“友好抛物线”．则b与n的数量关系为，c与q的数量关系为．
【综合应用】
（3）如图，抛物线的顶点为E，的“友好抛物线”的顶点为F，过点O的直线与抛物线交于点A，B（点A在B的左侧），与抛物线交于点C，D（点C在D的左侧）．若四边形AFDE为菱形，求AB的长；
【答案】（1）3，；（2），；（3）
【分析】（1）根据题目中的新定义可知“友好抛物线”关于坐标原点对称，根据关于坐标原点对称的抛物线的特征即可得出答案；
（2）根据互为友好抛物线”的图像关于坐标原点对称即可得出答案；
（3）由（2）的规律易得的解析式，由、的解析式先求出E、F点的坐标，进而可得直线EF的解析式，当四边形AFDE为菱形时，EF⊥AD，直线AD经过原点O，则可求得AD解析式，设点A（x1,2x1），点B（x2,2x2），进而根据根与系数的关系以及两点间距离公式即可求解．
【详解】解：（1）由题意可知“友好抛物线”的图像关于坐标原点对称，
∴和的顶点坐标关于原点对称，
又∵的顶点为（-3,1），
∴的顶点为（3,-1），
∴h=3，k=-1；
（2）∵和图像关于坐标原点对称，
抛物线的对称轴为：，
关于原点对称可得抛物线的对称轴为：，
又∵，
∴，
∵a=-m，
∴，
∵抛物线经过定点（0，c），
（0，c）关于原点的对称点为（0，-c），
抛物线经过定点（0，q），
∴-c=q，即；
（3）由（2）结论可得：，
∴点，点，
设直线EF的解析式为，
将点E代入可得直线EF的解析式为.
∵四边形AFDE为菱形时，，
所以直线AD的解析式为，
由题意可设点A（x1,2x1），点B（x2,2x2），
时，x1+x2=6，x1x2=3，
．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质以及两点间距离公式是解题的关键．
【考点三 新定义型二次函数——衍生抛物线】
例题：（2023秋·江西南昌·九年级南昌市第十七中学校考期末）小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：
求解体验：
(1)已知抛物线经过点，则b＝，顶点坐标为，该抛物线关于点成中心对称的抛物线表达式是．
抽象感悟：
我们定义：对于抛物线，以y轴上的点为中心，作该抛物线关于点M对称的抛物线，则我们又称抛物线为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”．
(2)已知抛物线关于点的衍生抛物线为，若这两条抛物线有交点，求m的取值范围．
问题解决：
(3)已知抛物线．
①若抛物线y的衍生抛物线为，两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求a，b的值及衍生中心的坐标；
②若抛物线y关于点的衍生抛物线为，其顶点为；关于点的衍生抛物线为，其顶点为；…；关于点的衍生抛物线为，其顶点为，…（为正整数）．求的长（用含n的式子表示）．
【答案】(1)；；；
(2)
(3)①；衍生中心的坐标为；②
【分析】（1）把代入即可求出，然后把抛物线解析式变为顶点式即可求得抛物线的顶点坐标，继而可得顶点关于的对称点，从而可写出原抛物线关于点成中心对称的抛物线的表达式；
（2）先求出抛物线的顶点是，从而求出关于的对称点是，得，根据两抛物线有交点，可以确定方程有解，继而求得的取值范围即可；
（3）①先求出抛物线以及抛物线的衍生抛物线为，的顶点坐标，根据两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求的值及再根据中点坐标公式即可求出衍生中心的坐标；
②根据中心对称，由题意得出， … 分别是， …的中位线，继而可得，，… ，再根据点的坐标即可求得的长，即可求解．
【详解】（1）解：把代入，得，
∴，
∴顶点坐标是，
∵关于的对称点，
∴成中心对称的抛物线表达式是：，
即，
故答案为：，，；
（2）∵，
∴顶点是
∵关于的对称点是，
∴，
∵两抛物线有交点，
∴有解，
∴有解，
∴，
∴；
（3）①∵，
∴顶点，
代入得：①
∵，
∴顶点，
代入得：②
由①②得，
∵，，
∴，
∴两顶点坐标分别是，，
由中点坐标公式得“衍生中心”的坐标是；
②如图，设，…，与轴分别相于，… ，，
则，，…，分别关于，…，中心对称，
∴， … 分别是， …的中位线，
∴，，… ，
∵，，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，理解题意，画出符合题意的图形借助数形结合思想解决问题是关键．
【考点四 新定义型二次函数——旋转函数】
例题：（2023·全国·九年级专题练习）定义：如果二次函数，（，、、是常数）与，、、是常数）满足，，，则这两个函致互为“旋转函数”．例如：求函数的“旋转函数”，由函数可知，，，．根据，，求出、、就能确定这个函数的“旋转函数”．
请思考并解决下面问题：
(1)写出函数的“旋转函数”；
(2)若函数与互为“旋转函数”，求的值；
(3)已知函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是、、，试求证：经过点、、的二次函数与互为“旋转函数”．
【答案】(1)；
(2)1；
(3)见解析．
【分析】（1）根据“旋转函数”的定义求出另一个函数的、、的值，从而得出函数解析式；
（2）根据定义得出和的二元一次方程组，从而得出答案；
（3）首先求出、、三点的坐标，然后得出对称点的坐标，从而求出函数解析式，然后根据新定义进行判定．
【详解】（1）根据题意得，
解得
故解析式为：．
（2）根据题意得
∴
∴．
（3）根据题意得，，
∴，，
又
且经过点，，的二次函数为
∵
∴两个函数互为“旋转函数”．
【点睛】本题考查了二次函数，新定义型；涉及了待定系数法，关于原点对称的点的坐标等知识，正确理解题意，熟练运用相关知识是解题的关键．
【考点五 新定义型二次函数——同轴对称抛物线】
例题：定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．
例如：的“同轴对称抛物线”为．
(1)请写出抛物线的顶点坐标 ；及其“同轴对称抛物线”的顶点坐标 ；写出抛物线的“同轴对称抛物线”为 ．
(2)如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L：上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点、，连接、、、，设四边形的面积为．
①当四边形为正方形时，求a的值．
②当抛物线L与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的点时，请求出a的取值范围．
【答案】(1)，，
(2)①a；②或
【分析】（1）根据顶点式的顶点坐标为；先化成顶点式，再求“同轴对称抛物线”的解析式；
（2）①写出点B的坐标，再由对称轴求出点，然后结合正方形的性质列出方程求a；②先由对称性分析得到封闭区域内在x轴上整点的个数，然后针对抛物线L开口的不同进行分类讨论．
【详解】（1）解：由知顶点坐标为，由知顶点坐标为，
∴抛物线的“同轴对称抛物线”为；
故答案为：，，．
（2）①当时，，
∴，
∴，
∴，
∵抛物线L的对称轴为直线，
∴点，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，即，
解得：（舍）或．
②抛物线L的对称轴为直线，顶点坐标为，
∵L与“同轴对称抛物线”关于x轴对称，
∴整点数也是关于x轴对称出现的，
∴封闭区域内在x轴上的整点可以是3个或5个，L与x轴围成的区域内整点个数为4个或3个，
（i）当时，
∵L开口向上，与y轴交于点，
∴封闭区域内在x轴上只可能有3个整点，两个区域内各有4个整点，
∴当时，，当时，，
解得：；
（ii）当时，
∵L开口向下，与y轴交于点，
∴封闭区域内在x轴上只可能有5个整点，两个区域内各有3个整点，
∴当时，，当时，，
解得：，
综上所述：或．
【点睛】此题借助二次函数考查正方形的性质，根据二次函数顶点式找顶点坐标，及新定义“同轴对称抛物线”．
【考点六 新定义型二次函数——孔像抛物线】
例题：二次函数的图象交轴于原点及点．
感知特例
（1）当时，如图1，抛物线上的点，，，，分别关于点中心对称的点为，，，，，如下表：
①补全表格；
②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为．
形成概念
我们发现形如（1）中的图象上的点和抛物线上的点关于点中心对称，则称是的“孔像抛物线”．例如，当时，图2中的抛物线是抛物线的“孔像抛物线”．
探究问题
（2）①当时，若抛物线与它的“孔像抛物线”的函数值都随着的增大而减小，则的取值范围为_______；
②在同一平面直角坐标系中，当取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数的所有“孔像抛物线”，都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是______．（填“”或“”或“”或“”，其中）；
③若二次函数及它的“孔像抛物线”与直线有且只有三个交点，求的值．
【答案】（1）①2，0；②见解析；（2）①；②；③m=1．
【分析】（1）①根据中心对称的定义求解即可；②根据表格，描点，连线即可；
（2）①画出草图，利用数形结合思想即可求解；②结合（1）②的图象以及（2）①的图象即可回答；③根据“孔像抛物线”的性质求得图象L的顶点为，则图象L′的顶点为 (3m，)，再根据题意即可求解．
【详解】（1）∵点B(-1，3)与点B′(5，-3)关于点A中心对称，
∴点A的坐标为(，)，即A(2，0)，
故答案为：2，0；
②描点，连线，得到的图象如图所示：
（2）①当m=−1时，抛物线L为，对称轴为，
它的“孔像抛物线”L′的解析式为，对称轴为，
画出草图如图所示：
∴抛物线L与它的“孔像抛物线”L′的函数值都随着x的增大而减小，
则x的取值范围为：；
②画出草图，
由图象知，这条抛物线的解析式只能是；
故答案为：；
③L：，设顶点为，过点P作PM⊥轴于点M，“孔像抛物线”的顶点为，过点作⊥x轴于点，
由题意可知△PMA≌△A，
得 (3m，0)，所以 (3m，)，
∵抛物线L及“孔像抛物线”与直线y=m有且只有三个交点，
∴=m或=m，
解得m=1或0，
当m=0时，与只有一个交点，不合题意，舍去，
∴m=1．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的图象与性质，数形结合并熟练掌握二次函数的相关性质是解题的关键．
【考点七 新定义型二次函数——反碟长抛物线】
例题：定义：若直线与开口向下的抛物线有两个交点，则这两个交点之间的距离叫做这条抛物线的“反碟长”．如图，已知抛物线：与直线相交于P，Q两点．

(1)抛物线的“反碟长”______．
(2)抛物线随其顶点沿直线向上平移，得到抛物线．
①当抛物线的顶点平移到点时，抛物线的解析式是______，抛物线的“反碟长”是______；
②若抛物线的“反碟长”是一个偶数，则其顶点的纵坐标可能是______（填写所有正确的选项）；
A．15；B．16；C．24；D．25
③当抛物线的顶点A和抛物线与直线的两个交点B，C构成一个等边三角形时，求点A的坐标．
【答案】(1)2
(2)①，；②AC；③
【分析】（1）由，得，即得；
（2）①由抛物线的顶点平移到点，得抛物线的解析式是，由，得或，
，故抛物线的“反碟长”是；
②设抛物线的顶点坐标为，再求出“反碟长”，再根据“反碟长”是一个偶数判断即可；
③过A作于H，设，由,得，根据是等边三角形，可得，即可解得或，从而．
【详解】（1）解：在中，令得，解得或，
∴，
∴．
故答案为：2．
（2）解：①∵抛物线的顶点平移到点，
∴抛物线的解析式是，
在中，令得，解得：或，
∴抛物线与直线的交点为和，
∴抛物线的“反碟长”是；
故答案为：，；
②设抛物线的顶点坐标为，则抛物线．
令，解得或，
∴抛物线的“反碟长”为．
∵抛物线的“反碟长”是一个偶数，
∴是整数，
结合选项可知，当或24时符合题意，故A，C正确．
③如图：过A作于H，

设，则抛物线的解析式为,
在中，令得,
解得或，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
解得或（B，C重合，舍去）．
∴．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用、涉及新定义、平移变换、等边三角形等知识点，读懂题意，用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度是解题的关键．
【考点八 新定义型二次函数——月牙线抛物线】
例题：定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．如图①，抛物线与抛物线组成一个开口向下的“月牙线”，抛物线与抛物线与x轴有相同的交点M，N（点M在点N左侧），与y轴的交点分别为点，．

(1)求出点M，N的坐标和抛物线的解析式；
(2)点P是x轴上方抛物线上的点，过点P作轴于点E，交抛物线于点Q，试证明：的值为定值，并求出该定值；
(3)如图②，点D是点B关于抛物线对称轴的对称点，连接，在x轴上是否存在点F，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，；
(2)证明见解析，该定值为2
(3)在x轴上存在点F，使得是以为腰的等腰三角形，点F的坐标为或
【分析】（1）先由求得，，可得点M，N的坐标，将点，代入抛物线，利用待定系数法即可求抛物线的解析式；
（2）设，则，可得，，进而可得，即可证得结论；
（3）由抛物线：可得点，两条抛物线的对称轴均为直线，进而求得，连接，由于等腰直角三角形可知，分两种情况讨论：当时，，当时，，分别进行讨论即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点M、N，且当时，
解得，，
∴，；
将点，代入抛物线，
得，解得
∴抛物线的解析式为； 3分
（2）证明：设，则，
∴，
，
∴，
∴的值为定值，该定值为2；
（3）存在．
由抛物线：可得点，两条抛物线的对称轴均为直线，
∵点D是点B关于抛物线对称轴的对称点，，
∴，
如解图，连接，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
假设存在，设点，分两种情况讨论：
①当时，，如解图①，过点D作轴于点C，连接，，
则，，由勾股定理可知，
∴，解得：，，
∴，；

②当时，，如解图②，由勾股定理可得，
∴，此方程无解
，∴此种情况不存在．
综上所述，在x轴上存在点F，使得是以为腰的等腰三角形，点F的坐标为
或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，对称变换等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．
【变式训练】
1．定义：由两条与轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．

(1)【概念理解】抛物线与抛物线________（填“能”或“不能”）围成“月牙线”．
(2)【尝试应用】如图，抛物线与抛物线组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线与抛物线与轴有相同的交点，（点在点的左侧），与轴的交点分别为，，抛物线的解析式为，抛物线的解析式为．
①求的长和的值；
②将抛物线与抛物线所围成的“月牙线”向左或向右平移，平移后的“月牙线”与轴的交点记为，，与轴的交点记为，，当时，求平移的方向及相应的距离．
【答案】(1)能，
(2)①，，②抛物线与抛物线所围成的“月牙线”向右平移，或抛物线与抛物线所围成的“月牙线”向右平移个单位长度．
【分析】（1）分别求解两条抛物线与x轴的交点坐标，再根据交点坐标与开口方向进行判断即可；
（2）①根据先求解M，N的坐标，再求解，再把代入，可得c的值；②当抛物线与抛物线所围成的“月牙线”向右平移个单位长度，可得平移后的分别解析式为，，求解的纵坐标为，的纵坐标为，而，当抛物线与抛物线所围成的“月牙线”向左平移个单位长度，同理可得：，再建立方程求解即可．
【详解】（1）解：当，解得：，，
交点坐标为：，；
当，解得：，，
交点坐标为：，；
而两条抛物线的开口方向都向上，
∴抛物线与抛物线能围成“月牙线”
（2）解：当时，
解得：，，
∴，，
∴，
把代入可得：．
∴，
②∵，
，
当抛物线与抛物线所围成的“月牙线”向右平移个单位长度，
∴平移后的分别解析式为，，
当时，
，
，

∴的纵坐标为，的纵坐标为，
而，
∴，
解得：（负根舍去），
∴此时抛物线与抛物线所围成的“月牙线”向右平移个单位长度；
当抛物线与抛物线所围成的“月牙线”向左平移个单位长度，
同理可得：，
解得：（负根舍去），
∴此时抛物线与抛物线所围成的“月牙线”向左平移个单位长度．
【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标，抛物线的平移，二次函数与一元二次方程的关系，理解题意，建立方程求解是解本题的关键．
【考点九 新定义型二次函数——系列平移抛物线】
例题：【特例感知】
（1）如图1，对于抛物线，，，下列结论正确的序号是_______；
①抛物线都经过点；
②抛物线的对称轴由抛物线的对称轴依次向左平移个单位得到；
③抛物线与直线的交点中，相邻两点之间的距离相等．
【形成概念】
（2）把满足（为正整数）的抛物线称为“系列平移抛物线”．
【知识应用】
在（2）中，如图2．
①“系列平移抛物线”的顶点依次为，用含的代数式表示顶点的坐标，并写出该顶点纵坐标与横坐标之间的关系式；
②“系列平移抛物线”存在“系列整数点（横、纵坐标均为整数的点）”：，其横坐标分别为（为正整数），判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由．
③在②中，直线分别交“系列平移抛物线”于点连接，判断是否平行？并说明理由．
【答案】（1）①②③；（2）①，，②相邻两点之间的距离都相等，理由见解析；③与不平行,理由见解析
【分析】（1）①当时，分别代入抛物线，，，即可得；
②，的对称轴分别为，，的对称轴，
③当时，则，可得或；，可得或；，可得或；所以相邻两点之间的距离都是1，
（2）①的顶点为，，可得；
②横坐标分别为，，，，为正整数），当时，，纵坐标分别为，，，，，相邻两点间距离分别为；
③由题可知，，，．比较，即可得出结论与不平行．.
【详解】解：解：（1）①当时，分别代入抛物线，，，即可得；①正确；
②，的对称轴分别为，，
的对称轴，
由向左移动得到，再向左移动得到，
②正确；
③当时，则，
或；
，
或；
，
或；
相邻两点之间的距离都是1，
③正确；
故答案为①②③；
（2）①的顶点为，，
令，，
；
②相邻两点之间的距离都相等．
理由：根据题意得：，．
∴两点之间的铅直高度．
两点之间的水平距离．
∴由勾股定理得．
∴．
③与不平行．
理由：
根据题意得：，，，．
过分别作直线的垂线，垂足为，，
所以，．
在中，
．
在中，
．
∵，
∴．
∴，
∴与不平行．
【点睛】本题考查二次函数图象及性质，平行线的性质；能够结合题意，分别求出抛物线与定直线的交点，抛物线上点的横坐标求出相应的纵坐标，结合勾股定理，直线的解析式进行综合求解是关键．…
（___，___）
…
…
…