专题10 难点探究专题：相似三角形中动点问题-2023-2024学年苏科版九年级数学下册常考压轴题

这是一份专题10 难点探究专题：相似三角形中动点问题-2023-2024学年苏科版九年级数学下册常考压轴题，共51页。

姓名：_________ 班级：_________ 学号：_________
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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc21495" 【典型例题】 PAGEREF _Tc21495 \h 1
\l "_Tc19210" 【考点一 相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想）】 PAGEREF _Tc19210 \h 1
\l "_Tc32449" 【考点二 相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想）】 PAGEREF _Tc32449 \h 6
\l "_Tc11384" 【考点三 相似三角形动点中求线段及线段和最值问题】 PAGEREF _Tc11384 \h 15
\l "_Tc19886" 【考点四 相似三角形中的动点问题与函数图像问题】 PAGEREF _Tc19886 \h 21
\l "_Tc7212" 【考点五 相似三角形中的动点问题与几何综合问题】 PAGEREF _Tc7212 \h 26
\l "_Tc18112" 【考点六 相似三角形中的动点探究应用问题】 PAGEREF _Tc18112 \h 34
【典型例题】
【类型一 相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想）】
例题：如图，在中，，，，若点是边上的一个动点，以每秒3个单位的速度按照从运动，同时点从以每秒1个单位的速度运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，在运动过程中，设运动时间为，若△BPQ与相似，则的值为．
【变式训练】
1．（2023春·山东烟台·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，．点从点开始沿边向终点以的速度移动；点从点开始沿边向终点以的速度移动．有一点到达终点，另一点也停止运动．若、同时出发，运动时间为．

（1）用含t的代数式分别表示线段和的长；
（2）当t为何值时，与相似？
2．（2023秋·广东佛山·九年级校考阶段练习）在中，，，，现有动点从点出发，沿向点方向运动，动点从点出发，沿线段也向点方向运动，如果点的速度是，点的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为秒．

（1）求为多少秒时，的面积为为
（2）当为多少时，以点为顶点的三角形与相似.
3．如图，矩形中，，点E为的中点，动点F从点A出发沿射线方向以每秒2个单位的速度运动，连接．过点作的平行线交射线于点H，设点F的运动时间为t（不考虑、、在一条直线上的情况）．

（1）填空：当___________时，，此时___________；
（2）当与相似时，求t的值．
【类型二 相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想）】
例题：（2023·河南洛阳·统考一模）矩形中，，，点E是的动点，若，则的长为．
【变式训练】
1．（2023春·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）在中，，，，点D在边AC上，若是以为腰的等腰三角形，则的长为．
2．（2023春·浙江绍兴·九年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边分别在x轴、y轴的正半轴上，点A的坐标为，点P在矩形的内部，点E在边上，且满足，当△是等腰三角形时，点P的坐标为．
3．（2023·安徽蚌埠·校考一模）如图，在中，，，，，分别为边，上的动点，且，作，垂足为，连接．当是直角三角形时，的长为．

4．（2023·江苏徐州·统考三模）如图，在中，分别为上的点，沿直线将折叠，使点B恰好落在上的D处，当恰好为直角三角形时，的长为．
5．（2023·江苏盐城·校考一模）如图，在中，，，，点是边上一动点，过点作交边于点，将沿直线翻折，点落在线段上的处，连接，当为等腰三角形时，的长为 ．
【类型三 相似三角形动点中求线段及线段和最值问题】
例题：（2023·江苏扬州·统考二模）如图，在直角中，，，，点P是边上的动点，过点P作交于点H，则的最小值为．

【变式训练】
1．（2023春·湖北孝感·八年级统考期中）如图，中，，，，D是的中点，P是边上的一动点，则的最小值为．
2．（2023秋·江苏泰州·九年级统考期末）如图，矩形中，，，点在边上从向点运动，速度为，同时点在边上从向点运动，速度为．连接、，设、交于点，取的中点，则的最小值为．
3．（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）如图，矩形中，，，E是BC中点，CD上有一动点M，连接、，将沿着翻折得到，连接，，则的最小值为．

【类型四 相似三角形中的动点问题与函数图像问题】
例题：（2023春·河南安阳·九年级统考期末）如图，正方形一边在直线l上，P是直线l上点A左侧的一点，，E为边上一动点，过点P，E的直线与正方形的边交于点F，连接，若设，的面积为S，则能反映S与x之间函数关系的图象是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2023·河南焦作·统考二模）如图，在中，，点P为边上一动点，过点P作直线，交折线于点Q．设，则y关于x的函数图象大致是（ ）

A． B． C． D．
2．（2023·安徽合肥·校联考二模）如图，在正方形中，，动点从点出发沿方向在和上匀速移动，连接交或的延长线于，记点移动的距离为，为，则关于的函数图像大致是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·黑龙江·模拟预测）如图，已知直线是线段的中垂线，与相交于点C，D是位于直线下方的上的一动点（点D不与点C重合），连接，过点A作，过点B作于点E，若，设，，则y关于x的函数关系用图像可以大致表示为（ ）．

A． B． C．D．
【类型五 相似三角形中的动点问题与几何综合问题】
例题：（2023春·山东济宁·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，矩形的两边分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，现有两动点P，Q，点P以每秒3个单位的速度从点O出发向终点A运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从点A出发向终点B运动，连接，，．设运动时间为t秒．

（1）点P的坐标为______，点Q的坐标为______（用含t的代数式表示）；
（2）请判断四边形的面积是否会随时间t的变化而变化，并说明理由；
（3）若A，P，Q为顶点的三角形与相似时，请求出t的值．
【变式训练】
1．（2023春·江苏苏州·八年级统考期末）（1）如图1，四边形是正方形，点E是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接，，则与的数量关系是______．
（2）如图2，四边形是矩形，，，点E是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接，．判断线段与，有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，点E是从点A运动D点，则点G的运动路径长度为______；
（4）如图3，在（2）的条件下，连接BG，则的最小值为______．

2．（2023春·江西鹰潭·九年级校考阶段练习）综合与探究
问题提出：
数学课上，老师提出了一个问题：在中，，于点D，E为上的一动点，与相交于点G，点F在上，于点E，试探究与的数量关系，并加以证明．

特例故知：
（1）勤奋小组从特殊情况入手：如图1，，E为的中点，则与的数量关系为______．
变式探究
（2）希望小组受此启发，作了如下改变：如图2，将（1）中“”改为“”，其他条件不变，试探究与的数量关系，并加以证明．
拓展提高
（3）经过前两个小组的探究，智慧小组将该问题的条件更一般化：如图3，，，试探究与的数量关系，并加以证明．
【类型六 相似三角形中的动点探究应用问题】
例题：（2023·辽宁锦州·统考一模）探究完成以下问题：
【初步认识】
（1）如图1，在四边形中，，连接，，过点作交的延长线于点．求证：；
【特例研究】
（2）如图2，若四边形中，，（1）中的其它条件不变，取，的中点M，F，连接．
①求证：；
②N为的中点，连接，猜想与的位置关系，并证明你的猜想；
【拓展应用】
（3）如图3，在矩形中，对角线，相交于点O，E是射线上一动点，过点作交射线于点，当，，时，请直接写出的长．

【变式训练】
1．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）一次数学综合实践活动课上．小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，是的角平分线，可以证明
【基础巩固】
（1）参照小慧提供时思路，利用图（2）请证明上述结论；
（2）A、B、C、是同一直线l上从左到右顺次的点，点P是直线外一动点，平分；
【尝试应用】①若，，延长至D，使，若的长为定值，请求出这个值；
【拓展提高】②拓展：若，，，P点在l外运动时，使为定值，直接写出的长为 ___________（用含m、n的式子表示）．
2．（2023·河南安阳·统考一模）在数学活动课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．

（1）操作推断
如图1，点P是正方形纸片的边的中点，沿折叠，使点A落在点M处，延长交于点 F，连接． 则______．
（2）迁移探究
小华在（1）的条件下，继续探究：如图2，延长交于点E，连接．
①______；
②小华用大小不同的正方形纸片重复几次以上操作，总发现，请判断该发现是否正确？并说明理由．
（3）拓展应用
将边长为1的两个相同正方形拼成矩形，如图3，点P是上一动点，沿折叠，使点A落在点M处，射线交射线于点 F．当时，直接写出的长．参考答案
【典型例题】
【类型一 相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想）】
例题：【答案】或或
【分析】根据题意可知，分和两种情形讨论即可求解．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
①当时，，，
若，∴
则，∴，解得：；
若，
∴则∴，解得：
②当时，，，
同理可得或
解得：（舍去）或
综上所述，或或，故答案为：或或．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键．
【变式训练】
1．（1）； （2）
【分析】（1）利用勾股定理列式求出，再表示出和；
（2）分和是直角两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．
【详解】（1）解：，，
，
点的速度是每秒1个单位，点的速度是每秒1个单位，
，；
（2）①是直角时，，
，
即，
解得，舍去；
②是直角时，，
，
即，
解得，
综上所述，时，与相似．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，根据对应边成比例两相似三角形的判定分类讨论是解题的关键．
2．（1）当为或秒时，的面积为为.
（2）或时，以点、、为顶点的三角形与相似
【分析】（1）根据路程速度时间可知，，，再根据三角形的面积公式列方程即可解答；
（2）根据根据路程速度时间可知，，，再根据相似三角形的性质列方程即可解答．
【详解】（1）解：设运动时间为t秒，
∵点P的速度是，点Q的速度是，
∴，，
∵，
∴，
∴的面积为，
即，
解得： ，,
∴当为或秒时，的面积为为；
（2）解：设运动时间为秒，
∵点的速度是，点的速度是，
∴，，
∵，
∴，
①当时，
∴，
即，
解得；
②当时，
∴，
即，
解得．
∴或时，以点、、为顶点的三角形与相似．
【点睛】本题考查了三角形的面积公式，路程速度时间，相似三角形的性质，一元二次方程与几何图形，一元一次方程与几何图形，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
3．（1）2；2；（2）t的值为2或4或．
【分析】（1）证明，利用相似三角形的性质解决问题即可；
（2）由，利用相似三角形的性质求得，分当点F在点B的左边和点F在点B的右边时，利用相似三角形的性质列式计算即可求解．
【详解】（1）解：∵，点E为的中点，∴，
∵，
即：，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
解得：；
故答案为：2；2；
（2）解：由得，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
当点F在点B的左边时，
即时，，
当时：，即，
解得：，；
当时：有，即，
解得：；
当点F在点B的右边时，即时，，

当时：，
即，
解得：（负值已舍）；
综上，t的值为2或4或．
【点睛】此题考查了相似图形，掌握相似三角形的判定和性质等相关知识是解题的关键．
【类型二 相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想）】
例题：【答案】2或8
【分析】由矩形的性质，垂直的定义推出，即可证明，得到，设，列出关于x的方程，求出x的值即可．
【详解】解：设，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
整理得，
∴或8，
∴的长是2或8．
故答案为：2或8．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，关键是由条件证明，并注意有两个答案．
【变式训练】
1．（2023春·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）在中，，，，点D在边AC上，若是以为腰的等腰三角形，则的长为．
【答案】或
【分析】先求出，再根据是以为腰的等腰三角形分情况讨论即可．
【详解】中，，，，
∴，
当时，如图，过作于，此时

∴，
∴，
解得，，
∴，
∴；
当时，，
∵，
∴，
∴，
∴，
综上，当是以为腰的等腰三角形，则的长为或；
故答案为：或．
【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的定义，正确地作出辅助线是解题的关键．
2．（2023春·浙江绍兴·九年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边分别在x轴、y轴的正半轴上，点A的坐标为，点P在矩形的内部，点E在边上，且满足，当△是等腰三角形时，点P的坐标为．
【答案】或
【分析】由题意知，，点P在线段上，分两种情况：当时，点P是线段的垂直平分线与的交点，即点P是的中点；当时，利用相似三角形的性质即可求得点P的坐标．
【详解】解：∵，
∴，
∴，点P在线段上．
∵A点的坐标为，
∴，由勾股定理得：；
如图1所示，当时，点P是线段的垂直平分线与的交点，即点P是的中点，
∴点P是的中点，
∴点P的坐标为；
如图2所示，当时，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴点P的坐标为；
综上所述，或．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，等腰三角形的性质，坐标与图形，勾股定理，矩形的性质等知识，注意分类讨论思想的运用．
3．（2023·安徽蚌埠·校考一模）如图，在中，，，，，分别为边，上的动点，且，作，垂足为，连接．当是直角三角形时，的长为．

【答案】或
【分析】说明只能为锐角，根据直角三角形的性质求出，，然后分或两种情况求解即可．
【详解】解：∵，分别为边，上的动点，，
当时，，此时不存在；
当时，，
∵，，
∴为直角三角形，，
∴，
∴为锐角，
当时，
如图，设，
∵，
∴，
在中，，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，

当时，
如图，设，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
综上所述，的长为或，
故答案为：或．

【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，运用了分类讨论的思想．理解题意并运用分类讨论是解题的关键．
4．（2023·江苏徐州·统考三模）如图，在中，分别为上的点，沿直线将折叠，使点B恰好落在上的D处，当恰好为直角三角形时，的长为．
【答案】或
【分析】先在中利用勾股定理求出，再根据折叠的性质得到，直线将折叠，使点B恰好落在上的D处，恰好为直角三角形，有两种可能：①，②，设，运用三角形相似列比例式解方程即可得解．
【详解】解：∵在中，，
∴．
根据折叠的性质可知，
设，则．
分类讨论：①当时，则，
∴，
∴，即，
解得：；
②当时，则，
∴，即，
解得：；
故所求的长度为：或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理以及相似三角形的判定和性质．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．
5．（2023·江苏盐城·校考一模）如图，在中，，，，点是边上一动点，过点作交边于点，将沿直线翻折，点落在线段上的处，连接，当为等腰三角形时，的长为 ．
【答案】或或
【分析】由翻折变换的性质得：，设，则；分三种情况讨论：①时，②当时，在的垂直平分线上，③当时，作于，得出，根据的性质即可求解．
【详解】解：由翻折变换的性质得：，
，，，
∴，
设，则；
分三种情况讨论：①时，，
解得：，
；
②当时，在的垂直平分线上，
为的中点，
，
，
解得：，
；
③当时，作于，如图所示：
则，
，
又，
，
，
，
即，
解得：
；
综上所述：当为等腰三角形时，的长为：或或；
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
【类型三 相似三角形动点中求线段及线段和最值问题】
例题：（2023·江苏扬州·统考二模）如图，在直角中，，，，点P是边上的动点，过点P作交于点H，则的最小值为．

【答案】
【分析】作点C关于的对称点，与交于点D，则垂直平分，，由勾股定理可求得，根据三角形的面积可求得解得，，过点作，交于点H，交于点P，则，，可知此时有最小值，最小值为，再根据相似三角形的判定，可证得，据此即可求解．
【详解】解：如图：作点C关于的对称点，与交于点D，
则垂直平分，，
由勾股定理得：，
，
，，
解得，
，
过点作，交于点H，交于点P，

则，
，
，
此时，，有最小值，最小值为，
，
，
又，
，
，
得，
解得，
故的最小值为．
【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，作出辅助线是解决本题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·湖北孝感·八年级统考期中）如图，中，，，，D是的中点，P是边上的一动点，则的最小值为．
【答案】
【分析】作点D关于直线的对称点，连接，交于点P，点P即为所求作的点，交于点E，首先根据相似三角形的判定与性质，即可求得，，，再根据勾股定理即可求解．
【详解】解：如图：作点D关于直线的对称点，连接，交于点P，点P即为所求作的点，交于点E，
，，
是的中点，
，
，，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
解得，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了最短路径问题，轴对称图形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，准确找到点P的位置是解决本题的关键．
2．（2023秋·江苏泰州·九年级统考期末）如图，矩形中，，，点在边上从向点运动，速度为，同时点在边上从向点运动，速度为．连接、，设、交于点，取的中点，则的最小值为．
【答案】
【分析】证明，从而说明，则点在以为直径的半圆上运动，设圆心为，利用勾股定理求出，然后分、、三点共线与、、三点不共线两种情况讨论即可．
【详解】解：矩形中，，，
∴，，
设运动时间为，则，，
∴，
又∵，
∴且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点在以为直径的半圆上运动，设圆心为，连接，
∴，
又∵点为的中点，
∴，
在中，，
当、、三点共线时，，
∴，
当、、三点不共线时，点为半圆上任意一点，
∴，
∴，
∴，
综上所述，，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分相等成比例，勾股定理，角所对的弦是直径，三角形三边关系定理等知识点．掌握相似三角形的性质，平行线分线段成比例是解题的关键．
3．（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）如图，矩形中，，，E是BC中点，CD上有一动点M，连接、，将沿着翻折得到，连接，，则的最小值为．

【答案】
【分析】取的中点，连接和，沿着翻折得到，，为的中点，，可得到，可证明，可得，故，从而得到，当点三点共线时，有最小值为．
【详解】解：取的中点，连接和，如图所示：

∵沿着翻折得到，
∴，
∵，E是BC中点，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵，,
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
当点三点共线时，有最小值为，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
在中，
，
∴，
则的最小值为．
故填：．
【点睛】本题考查了矩形和相似三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和相似三角形的判定定理是解题的关键．
【类型四 相似三角形中的动点问题与函数图像问题】
例题：（2023春·河南安阳·九年级统考期末）如图，正方形一边在直线l上，P是直线l上点A左侧的一点，，E为边上一动点，过点P，E的直线与正方形的边交于点F，连接，若设，的面积为S，则能反映S与x之间函数关系的图象是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分别求出点F在边上时，点F与点C重合时时，点F在边上时，S与x之间的函数关系式，即可求解．
【详解】解：，
∴
∵四边形是正方形，
∴
点F在边上时，，
∴，
点F与点C重合时时，
，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，解得x＝，
点F在边上时，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴当时，，当时，，当时，，
∴能反映S与x之间函数关系的图象是B，
故选：B．
【点睛】本题考查的是动点图象问题，涉及到一次函数、平行线分线段成比例定理，正方形的性质，分类思想的利用是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·河南焦作·统考二模）如图，在中，，点P为边上一动点，过点P作直线，交折线于点Q．设，则y关于x的函数图象大致是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分两种情况：当点Q在时，当点Q在时，结合相似三角形的判定和性质，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
当点Q在时，
∵直线，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：；
当点Q在时，如图，

∵直线，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：；
综上所述，y关于x的函数图象大致是：

故选：B．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
2．（2023·安徽合肥·校联考二模）如图，在正方形中，，动点从点出发沿方向在和上匀速移动，连接交或的延长线于，记点移动的距离为，为，则关于的函数图像大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分三种情况讨论得出关于的函数关系式即可得出答案．
【详解】解：①当点与点重合时，
在正方形中，，
∴与或的延长线没有交点，不符合题意；
②当点在线段之间（点不与点、点重合），
∵四边形是正方形，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵点移动的距离为，为，
∴，，，
∴，
∴，它的图像是反比例函数图像的一部分；
②当点在线段之间（点可与点、点重合），此时点与点重合，
∵，，
又∵，
∴，它的图像是一条线段；
∴动点从点出发沿方向在和上匀速移动时所对应函数关系式为：，
故选：C．
【点睛】本题考查动点问题函数图像，考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，反比例函数及一次函数的图像．解题的关键和难点在于根据点的位置分情况讨论．
3．（2023·黑龙江·模拟预测）如图，已知直线是线段的中垂线，与相交于点C，D是位于直线下方的上的一动点（点D不与点C重合），连接，过点A作，过点B作于点E，若，设，，则y关于x的函数关系用图像可以大致表示为（ ）．

A． B． C．D．
【答案】B
【分析】根据得，根据直线是线段的中垂线可得，，再证，然后根据相似三角形列比例式化简可得，再结合确定函数图像即可即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵直线是线段的中垂线，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，即，可得，即函数图像为B选项．
故选B．
【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图像，证得得到是解答本题的关键．
【类型五 相似三角形中的动点问题与几何综合问题】
例题：（2023春·山东济宁·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，矩形的两边分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，现有两动点P，Q，点P以每秒3个单位的速度从点O出发向终点A运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从点A出发向终点B运动，连接，，．设运动时间为t秒．

（1）点P的坐标为______，点Q的坐标为______（用含t的代数式表示）；
（2）请判断四边形的面积是否会随时间t的变化而变化，并说明理由；
（3）若A，P，Q为顶点的三角形与相似时，请求出t的值．
【答案】（1），
（2）四边形的面积不会随时间t的变化而变化，理由见解析
（3）或
【分析】（1）根据题意和坐标与图形性质直接求解即可；
（2）根据求解即可；
（3）分和两种情况，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，，，又点B的坐标为，
则点P坐标为，点Q坐标为，
故答案为：，；
（2）解：四边形的面积不会随时间t的变化而变化，
理由：∵点B坐标为，四边形是矩形，
∴，，
则四边形的面积
；
（3）解：当时，
∴，即，
解得：，
当时，
∴，即，
解得：或（不合题意，舍去），
综上所述：或．
【点睛】本题考查坐标与图形、相似三角形的判定与性质、矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，分类讨论是解答的关键．
【变式训练】
1．（2023春·江苏苏州·八年级统考期末）（1）如图1，四边形是正方形，点E是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接，，则与的数量关系是______．
（2）如图2，四边形是矩形，，，点E是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接，．判断线段与，有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，点E是从点A运动D点，则点G的运动路径长度为______；
（4）如图3，在（2）的条件下，连接BG，则的最小值为______．

【答案】（1）；（2）．理由见解析；（3）2；（4）
【分析】（1）通过证明全等，得到；
（2）通过证明得到，，延长相交于点H．可以证明；
（3）作于点N，交的延长线于点M，交的延长线于点J，证明，得出，求出，得出点G的运动轨迹是直线，当点E从点A运动到点D的过程中，点G从点J运动到点M，求出结果即可；
（4）作点D关于直线的对称点，连接交于G，根据两点之间线段最短，得出此时的值最小，最小值为，根据，得出，即，从而得出的最小值就是的最小值．
【详解】（1）解：∵正方形，
∴，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）解：．理由如下：
延长相交于点H．

∵矩形、矩形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵矩形，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（3）解：作于点N，交的延长线于点M，交的延长线于点J，如图所示：

则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∴点G的运动轨迹是直线，当点E从点A运动到点D的过程中，点G从点J运动到点M，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴点G的运动路径长度为2，
故答案为：2．
（4）解：作点D关于直线的对称点，连接交于G，如图所示：

根据解析（3）可知，点G的运动轨迹是直线，
∵，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴此时的值最小，最小值为，
由（2）知，，
∴，
∴，
∴的最小值就是的最小值，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质．在判断全等和相似时出现“手拉手”模型证角相等．这里注意利用三边关系来转化线段的数量关系求出最小值．
2．（2023春·江西鹰潭·九年级校考阶段练习）综合与探究
问题提出：
数学课上，老师提出了一个问题：在中，，于点D，E为上的一动点，与相交于点G，点F在上，于点E，试探究与的数量关系，并加以证明．

特例故知：
（1）勤奋小组从特殊情况入手：如图1，，E为的中点，则与的数量关系为______．
变式探究
（2）希望小组受此启发，作了如下改变：如图2，将（1）中“”改为“”，其他条件不变，试探究与的数量关系，并加以证明．
拓展提高
（3）经过前两个小组的探究，智慧小组将该问题的条件更一般化：如图3，，，试探究与的数量关系，并加以证明．
【答案】（1）；（2），证明见解析；（3），证明见解析
【分析】（1）过点E作，垂足分别为，证明，即可得出结论；
（2）过点E作，垂足分别为，证明，结合解直角三角形的知识进行解答即可；
（3）过点E作，垂足分别为，证明，结合解直角三角形的知识进行解答即可．
【详解】解：（1）过点E作，垂足分别为，

∵，，，
∴，
∵，
∴和为等腰直角三角形，
∵E为的中点，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）过点E作，垂足分别为，

同理可得四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵E为的中点，
∴，
∴，
即；
（3）过点E作，垂足分别为，

同（2）可得，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识点，运用类比的方法解题是本题的关键．
【类型六 相似三角形中的动点探究应用问题】
例题：（2023·辽宁锦州·统考一模）探究完成以下问题：
【初步认识】
（1）如图1，在四边形中，，连接，，过点作交的延长线于点．求证：；
【特例研究】
（2）如图2，若四边形中，，（1）中的其它条件不变，取，的中点M，F，连接．
①求证：；
②N为的中点，连接，猜想与的位置关系，并证明你的猜想；
【拓展应用】
（3）如图3，在矩形中，对角线，相交于点O，E是射线上一动点，过点作交射线于点，当，，时，请直接写出的长．

【答案】（1）证明见解析；
（2）①证明见解析；②，理由见解析；
（3）或4．
【分析】（1）根据题可得、，然后根据同角的余角相等即可证明结论；
（2）①先证明可得，再说明是的中位线可得，再结合即可证明结论；②先说明和都是等腰直角三角形，进而得到，再说明可得可得、，即可得，进而得到即可证明结论；
（3）当点E在线段的延长线上时，过点O作于点F，于点H，与交于点K，证明，由相似三角形的性质得即可求出的长，进而求得的长；当点E在线段上时，过点O作于点F，于点H，同理解答即可
【详解】（1）证明： ，
．
．
，
．
．

（2）①．
，即．
，由（1）知，
．
．
∵M，F分别是，的中点，
是的中位线．
．
．
②，理由如下：
连接，，
由①知，，
．
，，
∴和都是等腰直角三角形．
，．
．
又为中点，M为中点，
，．
．
．
，．
，．
．
．
．
．
．

（3）解：①如图：当点E在线段的延长线上时，过点O作于点F，于点H，与交于点K，

,
∴
∵四边形是矩形，
∴，
∴
∴四边形是矩形，
,
∵，O为的中点，
∴，
同理：
，，
，
又，
∴，
∴，即，解得：
∴；
②如图：当点E在线段上时，过点O作于点F，于点H，

同理可得，即，解得：，
∴．
综上，的长为或4．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识点，灵活应用相关判定和性质定理是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）一次数学综合实践活动课上．小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，是的角平分线，可以证明
【基础巩固】
（1）参照小慧提供时思路，利用图（2）请证明上述结论；
（2）A、B、C、是同一直线l上从左到右顺次的点，点P是直线外一动点，平分；
【尝试应用】①若，，延长至D，使，若的长为定值，请求出这个值；
【拓展提高】②拓展：若，，，P点在l外运动时，使为定值，直接写出的长为 ___________（用含m、n的式子表示）．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；【尝试应用】①2，【拓展提高】②
【分析】（1）作，交的延长线于E，可证得，因此，再证，从而得出；
（2）延长至T，使，连接，可证得，，进而证得，进而证得，进一步得出结果；
（3）延长至Q，使，连接，作，交的延长线于D，由得出，由平分得出，不妨设，，则，由得出，进而得出．
【详解】（1）证明：如图1，
作，交的延长线于E，
，，
，
平分，
，
，
，
；
（2）解：如图2，

延长至T，使，连接，，
，
，
∴四边形是平行四边形，
，
平分，
，，
，
，
，
，
，
；
（3）如图3，

延长至Q，使，作，
，
，
平分，
，
不妨设，，
由上知：，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．
2．（2023·河南安阳·统考一模）在数学活动课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．

（1）操作推断
如图1，点P是正方形纸片的边的中点，沿折叠，使点A落在点M处，延长交于点 F，连接． 则．
（2）迁移探究
小华在（1）的条件下，继续探究：如图2，延长交于点E，连接．
①；
②小华用大小不同的正方形纸片重复几次以上操作，总发现，请判断该发现是否正确？并说明理由．
（3）拓展应用
将边长为1的两个相同正方形拼成矩形，如图3，点P是上一动点，沿折叠，使点A落在点M处，射线交射线于点 F．当时，直接写出的长．
【答案】（1）90
（2）①45；②正确，理由见解析
（3）AP长为或
【分析】（1）根据正方形的性质得到，根据折叠的性质得到，根据全等三角形的性质即可解答；
（2）①根据正方形的性质得到，进而得到，根据折叠的性质得到，根据全等三角形的性质得到，进而完成解答；②根据相似三角形的判定和性质定理即可解答；
（3）根据矩形的性质得到，再分点F在的延长线上和上两种情况，分别运用正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质定理解答即可．
【详解】（1）解：∵四边形是正方形，
∴，
∵点P是正方形纸片的边的中点，
∴，
∵沿折叠，使点A落在点M处，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：90．
（2）解：①∵四边形是正方形，
∴，
∵点P是正方形纸片的边的中点，
∴，
∵沿折叠，使点A落在点M处，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：45；
②判断正确，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即．
（3）解：∵将边长为1的两个相同正方形拼成矩形，
∴，
∴，
∵沿折叠，使点A落在点M处，
∵,
①当点F在的延长线上时，
∴，

设与交于E，
∵，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，即，解得： ，
∴．
②当点F在上时，

∵，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴,
∴
∵，
∴，
∴，
∵沿折叠，使点A落在点M处，
∵,
∴，解得：．
∴．
【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了正方形的性质、矩形的性质、勾股定理、折叠的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握正方形的性质、相似三角形的判定和性质是解题的关键．