专题10 双曲线中的最值问题-备战2024年新高考数学之圆锥曲线专项高分突破（新高考专用）

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一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知，分别是双曲线的左、右焦点，动点在双曲线的右支上，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【解析】因为动点在双曲线的右支上，由双曲线定义可得：，
所以，因为，，所以，，
所以，将代入得：
.故选：B．
2．过椭圆右焦点F的圆与圆外切，该圆直径的端点Q的轨迹记为曲线C，若P为曲线C上的一动点，则长度最小值为（ ）
A．0B．C．1D．2
【解析】椭圆，，所以.
设以为直径的圆圆心为，如图所示：
因为圆与圆外切，所以，因为，，
所以，
所以的轨迹为：以为焦点，的双曲线的右支.
即，曲线.
所以为曲线上的一动点，则长度最小值为.故选：C
3．已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【解析】由题意得，故， 如图所示：
到渐近线的距离,
则，当且仅当，，三点共线时取等号，
∴的最小值为.故选：D
4．已知点A在双曲线C：（b>0）上，且双曲线C的上､下焦点分别为F1，F2，点B在∠F1AF2的平分线上，BF2⊥AB，若点D在直线l：，则|BD|的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【解析】作出图形如图所示，
设A为双曲线C下支上的一点，延长F2B与AF1交于点M，连接OB，
由BF2⊥AB，且∠F1AB=∠F2AB，可得，
故，故，则点B落在圆上,
因为点O到直线l：的距离为，故的最小值为，故选：D
5．已知双曲线的右焦点为F，，直线MF与y轴交于点N，点P为双曲线上一动点，且，直线MP与以MN为直径的圆交于点M､Q，则的最大值为（ ）
A．48B．49C．50D．42
【解析】由双曲线方程知：右焦点，在双曲线上，
直线方程为，令，解得：，；
以为直径的圆的圆心为，且．连接，
在以为直径的圆上，，，
；
为双曲线上一点，且，，；故选：A
6．已知直线与双曲线相交于两点，为坐标原点，若，则的最小值为（ ）
A．20B．22C．24D．25
【解析】依题意得直线与的斜率都存在且不为0，
不妨设直线的方程为，则直线的方程为．
设，，联立，得，则，，
，
同理可得，
，
所以
即，当且仅当时等号成立．故选：C
7．双曲线右焦点为，离心率为，，以为圆心，长为半径的圆与双曲线有公共点，则最小值为（ ）
A．B．C．D．
【解析】由题意，右焦点，又，则，，
以为圆心，为半径的圆的方程为，
联立方程组，得，
由圆与双曲线有公共点，所以，
即，结合，
化简为，
由方程两根为：，，
所以不等式的解为，或，由已知，得
所以，当时，取得最小值.故选：A
8．设双曲线：的离心率为，过左焦点作倾斜角为的直线依次交的左右两支于，，则有．若，为的中点，则直线斜率的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【解析】因为，所以，又，
所以，则，所以，
设，，则，，
所以，即，
所以，即，
所以
，
当且仅当，即时取等号，即直线斜率的最小值是.

故选：C
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．已知双曲线C的方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线C的渐近线方程为
B．双曲线C的实轴长为8
C．双曲线C的焦点到渐近线的距离为3
D．双曲线C上的点到焦点的距离的最小值为
【解析】由双曲线C的方程为，得：，，
对于A：双曲线C的渐近线方程为，故A正确；
对于B：双曲线C的实轴长为，故B正确；
对于C：取焦点，则焦点到渐近线的距离，故C正确；
对于D：双曲线C上的点到焦点距离的最小值为，故D错误；
故选：ABC.
10．已知双曲线，过其右焦点的直线与双曲线交于两点，，则（ ）
A．若在双曲线右支上，则的最短长度为1
B．若，同在双曲线右支上，则的斜率大于
C．的最短长度为6
D．满足的直线有4条
【解析】由双曲线可得，，所以，
对于A：若在双曲线右支上，则的最短长度为，故选项A正确；
对于B：双曲线的渐近线方程为：，若，同在双曲线右支上，则的斜率大于或小于，故选项B不正确；
对于C：当，同在双曲线右支上时，轴时，最短，将代入可得，此时，当，在双曲线两支上时，最短为实轴长，所以的最短长度为，故选项C不正确；
对于D：当，同在双曲线右支上时，，当，在双曲线两支上时，，根据双曲线对称性可知：满足的直线有4条，故选项D正确；
故选：AD.
11．已知为坐标原点，双曲线（，）的左、右焦点分别为，，离心率为2，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且的最小值为6，则（ ）
A．该双曲线的方程为B．若，则直线的斜率为
C．的最小值为25D．面积的最小值为12
【解析】对于A，依题意可知，，，结合，得，，所以双曲线的方程为，故A正确；
对于B，易知，抛物线渐近线的斜率为，设，，
直线，由直线与双曲线的右支交于两点，所以，从而，
联立，得，则，，，
若，则，即，解得，不满足，故B错误；
对于C，由，则，，
所以
因为，所以，故C正确；
对于D，，
设，则，，令，函数在上单调递减，因此，故D正确，
故选：ACD．
12．已知动点是双曲线上的点，点是的左、右焦点，是双曲线的左、右顶点，下列结论正确的是（ ）
A．双曲线的离心率为
B．点在双曲线的左支时，的最大值为
C．点到两渐近线的距离之积为定值
D．若是△的面积，则为定值
【解析】对A：因为双曲线，故可得，则离心率，故A正确；
对B：因为，故可得，
则，因为，则，
令，故，，故当时，取得最大值.故B错误；
对C：设点，则，又双曲线渐近线为，
故到两渐近线的距离之积为.故C正确；
对D：不妨设点在轴上方，则，
则，
又，，
故，又，
故；当点在轴下方时，同理可得.故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．已知双曲线C的方程为，，，双曲线C上存在一点P，使得，则实数a的最大值为 .
【解析】设点 ，由得：，
所以，化简得：，
即满足条件的点在圆上运动，
又点存在于上，故双曲线与圆有交点，
则 ,即实数a的最大值为2，
14．双曲线：的左，右顶点分别是，，是上任意一点，直线，分别与直线：交于，，则的最小值是 ．
【解析】由双曲线的对称性可知，只需研究在右支上时，取最小值的情况.
由上可得，，根据双曲线方程可得，
所以设直线的斜率分别为，则．
的方程为，令，解得，
的方程为，令，解得，
所以，(当且仅当，即，时等号成立)．
故答案为：.
15．已知点，若双曲线的右支上存在两动点，，使得，则的最小值为 .
【解析】设，则，即.
因为，所以，则
.
因为，所以，当且仅当时等号成立，即的最小值是.
16．已知双曲线，过双曲线C上任意一点P作两条渐近线的垂线，垂足分别为M，N，则的最小值为 .
【解析】因为双曲线，所以双曲线的渐近线方程为，
设是双曲线上任意一点，则，
所以，则，
由点线距离公式得，
两边平方得
，
所以，即的最小值为.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知双曲线的实轴长为，离心率为.动点P是双曲线C上任意一点.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)已知点，求线段的中点Q的轨迹方程；
(3)已知点，求的最小值.
【解析】（1）依题意，，
又离心率为，即，则.所以，
双曲线C的标准方程.
（2）设动点，点，由线段的中点为Q，
则，代入双曲线C的方程得，所以Q的轨迹方程.
（3）动点P是双曲线C上任意一点，设，则，
则，，或，
，
当时，取最小值，最小值为.
18．在平面内，动点M（x，y）与定点F（2，0）的距离和它到定直线的距离比是常数2.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)若直线与动点的轨迹交于P，Q两点，且（为坐标原点），求的最小值.
【解析】（1）由已知可得：，整理化简可得：，即,
所以动点的轨迹方程为：；
（2）由可设直线OP的方程为，直线OQ的方程为，
由，可得，所以，同理可得，
又由且，可得，所以，
所以，
所以，
当且仅当时等号成立，所以的最小值为6.
19．已知双曲线过点，左､右顶点分别是，右焦点到渐近线的距离为，动直线与以为直径的圆相切，且与的左､右两支分别交于两点.
(1)求双曲线C的方程；
(2)记直线的斜率分别为，求的最小值.
【解析】（1）因为点在双曲线上，故，即，
而双曲线的渐近线方程为，到一条渐近线的距离为，
所以，解得，又， 所以，故所求双曲线的方程为；
（2）因为双曲线的方程为，所以，故以为直径的圆为
，而直线是其切线，所以应满足，得，
而坐标满足，消去得，
求得，而，故，由此可得（*），
由于分别在的左､右两支，故，因此，
所以，将代入整理得，
又，故，显然，
由题意得，故，
所以，
将及代入，求得，而，
故，又，故，
即.
20．设双曲线的左、右焦点分别为，，且E的渐近线方程为．
(1)求E的方程；
(2)过作两条相互垂直的直线和，与E的右支分别交于A，C两点和B，D两点，求四边形ABCD面积的最小值．
【解析】（1）由题意，得的渐近线方程为，
因为双曲线的渐近线方程为，所以，即，
又因为，所以，则，故的方程为．
（2）根据题意，直线，的斜率都存在且不为0，
设直线，，其中，
因为，均与的右支有两个交点，所以，，所以，
将的方程与联立，可得，
设，则，，
所以
，
用替换，可得，
所以．
令，所以，
则，当，即时，等号成立，
故四边形面积的最小值为．

21．已知双曲线，（，）的实轴长为2，且过点，其中为双曲线的离心率．
(1)求的标准方程；
(2)过点且斜率不为0的直线与的左、右两支分别交于点，点在线段上，且，为线段的中点，记直线，（为坐标原点）的斜率分别为，，求的最小值．
【解析】（1）因为双曲线的实轴长为2，则，
由双曲线过点，且，则，即，解得，
故双曲线的标准方程为．
（2）设直线，，，
由题意可知，联立方程，整理得，
由题意可得，解得或，
则，．可得，，
则，所以．
因为，则，整理得，
则，即，则．
所以，即．
∴，当且仅当，即或时，等号成立，
此时或，均满足与的左、右两支分别相交．∴的最小值为6．
22．已知双曲线Γ：经过点，且其中一焦点到一条渐近线的距离为1.
(1)求双曲线Γ的方程；
(2)过点P作两条相互垂直的直线PA，PB分别交双曲线Γ于A，B两点，求点P到直线AB距离的最大值.
【解析】（1）不妨设，到双曲线的一条渐近线的距离为.
双曲线过，所以，所以双曲线方程为.
（2）当直线的斜率不存在时，设，则，
，依题意，
，即，
由解得或（舍去），
所以，此时到直线的距离为.
当直线的斜率存在时，设，设直线的方程为.
由消去并化简得：，
①，
，依题意，
所以
，
整理得，
即，由于直线，，所以，
函数的开口向上，
判别式为，故①成立.
所以直线的方程为，即，
所以到的距离，，
当时，；当时，
当且仅当时等号成立.所以.
综上所述，点到直线的距离的最大值为.