专题22 圆锥曲线与重心问题-备战2024年新高考数学之圆锥曲线专项高分突破（新高考专用）

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一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆E上一动点，G点是三角形的重心，则点G的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【解析】分别为椭圆的左、右焦点，
设，G点是三角形的重心，则，得，
又是椭圆E上一动点，，即，
又G点是三角形的重心，，所以点G的轨迹方程为，故选：B
2．已知是抛物线上三个动点，且的重心为抛物线的焦点，若，两点均在轴上方，则的斜率的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
【解析】依题意，设，，，由，在轴上方，故，，

因为抛物线为，所以，
则，所以，则，
注意到，故，即，
又，代入可得，
故，即，解得，
当且仅当时，等号成立，因而.故选：B.
3．已知点为双曲线的虚轴的上顶点，为双曲线的右焦点，存在斜率为的直线交双曲线于点两点，且的重心为点，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【解析】，设，设斜率为的直线为，
联立，消去并整理得，
，，即，
设，，则，
，
因为的重心为点，所以，，
所以，，所以，，
消去得，得，得，
得，得，得，
得，.故选：A
4．已知椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上异于长轴端点的动点，，分别为的重心和内心，则（ ）
A．B．C．2D．
【解析】
由椭圆可得，，
如图，设的内切圆与三边分别相切与，，，
，分别为的重心和内心．则，，，
所以，
所以
，故选：D
5．椭圆的右焦点为，上顶点为，若存在直线与椭圆交于不同两点，重心为，直线的斜率取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解析】设椭圆的半焦距为，由已知，，设，
因为重心为，所以，所以，
又，所以，所以，
所以直线的斜率，当且仅当时等号成立，
又，所以直线的斜率取值范围是，故选：B.
6．设双曲线的右焦点为，，若直线与的右支交于两点，且为的重心，则的离心率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【解析】由题意，双曲线的右焦点为，且，
设点为的中点，因为为的重心，所以，
即，解得，即，
因为直线与的右支交于两点，则满足，
整理得，解得或（舍去），
当离心率为时，即时，可得，此时，
设，可得，
又由，两式相减可得，
即直线的斜率为，
又因为，所以，此时四点共线，此时不满足题意，
综上可得，双曲线 的离心率的取值范围为.故选：A.
7．已知F为抛物线的焦点，A，B，C为该抛物线上的三点，O为坐标原点，，，面积分别为 ，若F为的重心，且，则该抛物线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【解析】设、、三点的坐标分别为，，，，，，
抛物线的焦点的坐标为,，，
，
、、在抛物线上，，，，
由此可得：，点是的重心，
，可得,
因此，,解得 （负值舍去），
故该抛物线的方程为，故选：．
8．抛物线的焦点为，点、、在上，且的重心为，则的取值范围为
A．B．C．D．
【解析】由题意知，抛物线的焦点为，设点、、，
由重心的坐标公式得，，，
设直线的方程为，由，消去得，
，由韦达定理得，，
所以，，
故，，
将点的坐标代入抛物线的方程得，得，
则，得，
则.
不在直线上，则，此时，，则.
因此，的取值范围是.故选：A.
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．椭圆的左、右焦点分别是，是椭圆第一象限上的一点（不包括轴上的点），的重心是，的角平分线交x轴于点（m，0），下列说法正确的有（ ）
A．G的轨迹是椭圆的一部分B．的长度范围是
C．取值范围是D．
【解析】设重心，又，
∴ ，即，又是椭圆上一点，
∴，即，故A正确；
∵G的轨迹是椭圆的一部分，长半轴长为，短半轴长为，∴，故B错误；
根据内角平分线定理可知，，
又，∴，故C正确；
同样利用内角平分线定理与焦半径公式，由可知，，
∴，故D正确.
故选：ACD.
10．已知为抛物线上的三个点，焦点F是的重心．记直线AB，AC，BC的斜率分别为，则（ ）
A．线段BC的中点坐标为
B．直线BC的方程为
C．
D．
【解析】设，因为F为重心，
所以，设BC中点，则，
，由重心分中线得，即，
又因为A在抛物线上，所以，所以，即，故A正确；
，
直线，故B正确；
因为，所以，所以，故C错误；
，同理，
所以，故D正确．
故选：ABD
11．设双曲线的右焦点为，若直线与的右支交于两点，且为的重心，则（ ）
A．的离心率的取值范围为
B．的离心率的取值范围为
C．直线斜率的取值范围为
D．直线斜率的取值范围为
【解析】设为的中点，根据重心性质可得，
因为，则，
因为直线与的右支交于两点，所以点在双曲线右支内部，
故有，解得，
当直线斜率不存在时，的中点在轴上，故三点不共线，不符合题意舍，
设直线斜率为，设，所以，，
因为在双曲线上，所以，两式相减可得：，
即，即有成立，
即有，因为不共线，即，即，即，
所以的离心率的取值范围为，
因为，
因为，即，所以，
所以.故选：AC
12．若双曲线， 分别为左、右焦点，设点在双曲线上且在第一象限的动点，点为的内心，点为的重心，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的离心率为
B．点的运动轨迹为双曲线的一部分
C．若，，则.
D．存在点，使得
【解析】由题意，双曲线，可得，
则离心率为，所以A正确；
设，的内切圆与边切于点，与边切于点，
与边切于点，可得，
由双曲线的定义可得，即，
又由，解得，则的横坐标为，
由与的横坐标相同，可得的横坐标为，可得在定直线上运动，所以B不正确；
由且，解得，
则，可得，
所以，同理可得，
设直线，直线，联立方程组，求得，
设的内切圆的半径为，则，
解得，即有，可得，
由，可得，解得，可得，所以C正确；
设，则，
设的内切圆的半径为，则，
于是，可得，
若，可得，即，又由，联立可得，
因此，解得，即存在点，使得，所以D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．已知的顶点，，顶点A在抛物线上运动，则的重心G的轨迹方程为 ．
【解析】设，．由点G为的重心，得，所以．
又在抛物线上，所以，即．
又点A不在直线BC上，所以，即，所以所求轨迹方程为．
14．已知抛物线上三点满足： 的重心是，则直线的斜率之和为 ．
【解析】设抛物线上三点，
由的重心是，得，即有，
直线的斜率分别为，，
所以直线的斜率之和.
15．已知，是双曲线的左，右焦点，点M是双曲线C在第一象限上一点，设I，G分别为的内心和重心，若IG与y轴平行，则 ．
【解析】由题意知.
如图，为的内切圆，切点分别为A、B、C，设，
则，由双曲线的定义知，
，即，
又，所以，
得，即.
又的重心G与内心I的连线平行与y轴，即轴于点A，所以.
因为，所以，
代入双曲线方程，得，解得，即，
又，所以，
所以.
16．已知抛物线，过定点的动直线与抛物线交于两点，是坐标平面内的动点，且的重心为坐标原点.若的最小值为1，则 .
【解析】设，则，，
因为共线，则，化简得，
因为是的重心，于是得，
因此，，
即，当且仅当a+b=0时取“=”，即，
而的最小值为1，则，即，所以.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知抛物线上的任意一点到的距离比到x轴的距离大1．
(1)求抛物线的方程；
(2)若过点的直线l与抛物线交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线的切线，两条切线交于点Q，求重心G的轨迹方程．
【解析】（1）由抛物线的定义可得，∴抛物线的方程为；
（2）由题意可得直线的斜率存在，设其为k，设，则直线的方程为；
代入抛物线方程得，则有，
∵，∴，∴，即①
同理可得②，①-②有，得，∴．∴
又，设，则，
消k得，所以G的轨迹方程为．
18．已知曲线在轴上方，它上面的每一点到点的距离减去到轴的距离的差都是2.若点分别在该曲线上，且点在轴右侧，点在轴左侧，的重心在轴上，直线交轴于点且满足，直线交轴于点.记的面积分别为
(1)求曲线方程；
(2)求的取值范围.
【解析】（1）曲线上每一点到点的距离减去到轴的距离的差都是2，即曲线上每一点到点的距离与到直线的距离相等，所以曲线为抛物线，；
（2）设点，
为的重心，，
由相似三角形可知且，
可得，
令，
因为，所以，故，
，.
19．已知，为的两个顶点，为的重心，边，上的两条中线长度之和为6.
(1)求点的轨迹的方程；
(2)若直线与曲线相交于点、，若线段的中点是，求直线的方程；
(3)已知点，，，直线与曲线的另一个公共点为，直线与交于点，求证：当点变化时，点恒在一条定直线上.
【解析】（1）因为为的重心，且边，上的两条中线长度之和为6，
所以，
故由椭圆的定义可知的轨迹是以，为焦点的椭圆（不包括长轴的端点），
故设点的轨迹的方程为，所以，，所以，
所以的轨迹的方程为；
（2）设，，
若直线的斜率不存在，根据椭圆的对称性可得线段的中点在轴上，不满足题意；
故设直线：，与：联立，整理得：，
由整理得：，故，，
由题意知，解得：，，满足，故直线：
（3）设直线的方程为：，，，
联立方程得：，
由整理得：，即或，
则，，所以，
又直线的方程为：，
又直线的方程为：，
联立方程得：，
把代入上式得：，
所以当点运动时，点恒在定直线上
20．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的焦点为F，A，B为E上两点，且点A的纵坐标为，F恰好是的重心.
(1)求E的方程；
(2)若，P，Q为抛物线上相异的两个动点，且，求的最小值.
【解析】（1）由已知可得，，设
F恰好是的重心，，解得，
将代入，得，，解得，E的方程为；
（2）设直线PQ的方程为，，，
由方程组，得
，即，且，，
，，
，，
，即，
，，
，或，
若，直线PQ过N点，不合题意，舍去，
，此时，，
则，
当时，有最小值为11.
21．已知双曲线C：的渐近线方程为，其左右焦点为，，点D为双曲线上一点，且的重心G点坐标为.
(1)求该双曲线的标准方程；
(2)过x轴上一动点作直线l交双曲线的左支于A，B两点，A点关于x轴的对称点为（与B不重合），连接并延长交x轴于点Q，问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由.
【解析】（1）因为双曲线的渐近线方程为，故可设双曲线的方程为，
设，因为的重心点的坐标为，
所以，解得，所以，则代入得，
所以双曲线的标准方程为
（2）由题意知直线的斜率必存在，设的方程为，
，则，联立，
化简得，
则，且，
由韦达定理得，，
则直线的方程为：，
令，则
，故.
.
22．已知O是平面直角坐标系的原点，F是抛物线的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B两点，且的重心G在曲线上.
(1)求抛物线C的方程；
(2)记曲线与y轴的交点为D，且直线AB与x轴相交于点E，弦AB的中点为M，求四边形DEMG面积的最小值.
【解析】（1）由题知，焦点，显然直线的斜率存在，
设直线，，，，
联立消去得，则△，
则，所以，
所以且，故，
即，整理得对任意的恒成立，故，
故所求抛物线的方程为．
（2）由题知，，，，，，则.
又弦AB的中点为M，的重心为G，则，故，所以.

点D到直线AB的距离，
，
所以四边形DEMG的面积
当且仅当，即时取等号，
此时四边形DEMG面积的最小值为.