专题25 圆锥曲线与垂心问题-备战2024年新高考数学之圆锥曲线专项高分突破（新高考专用）

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一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知是抛物线上的两个点，O为坐标原点，若且的垂心恰是抛物线的焦点，则直线的方程是（ ）
A．B．C．D．
【解析】由点是抛物线上的两点，且，
根据抛物线的对称性，可得关于轴对称，
设直线的方程为，则，
因为的垂心恰好是抛物线的焦点，
所以，可得，即，
解得，即直线的方程为.故选：C.

2．已知抛物线上有三点，，，的垂心在轴上，，两点的纵坐标分别为，，则点的纵坐标为（ ）
A．B．C．D．
【解析】点在抛物线上，纵坐标为，则，同理可得，设点，垂心，则，，即，化简得：，消去可得，解得或(舍)，故选：B
3．平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点O，A，B，若的垂心为的焦点，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【解析】如图所示：
双曲线的渐近线方程为，与抛物线联立，
解得或，所以，，
因为的垂心为的焦点，所以，
即，即，所以，故选：A
4．在平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线C2：x2＝2py(p>0)交于点O，A，B，若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【解析】抛物线的焦点的坐标为，
设所在的直线方程为所在的直线方程为，
由得∴点的坐标为，
∵是的垂心，∴，∴
∴﹒故选：C﹒
5．设抛物线的焦点为，为抛物线上异于顶点的一点，且在直线上的射影为，若的垂心在抛物线上，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【解析】设点，则点，设点在第一象限，
抛物线的焦点为，设的垂心为，
由于，则点的横坐标为，可得点，
，则，，，
，解得，
所以，点的坐标为，所以，，.故选：B.
6．设双曲线：的左顶点与右焦点分别为，，以线段为底边作一个等腰，且边上的高.若的垂心恰好在的一条渐近线上，且的离心率为，则下列判断正确的是（ ）
A．存在唯一的，且
B．存在两个不同的，且一个在区间内，另一个在区间内
C．存在唯一的，且
D．存在两个不同的，且一个在区间内，另一个在区间内
【解析】由题意可设，设的垂心，则，，由可得，解得，故.
因为的垂心恰好在的一条渐近线上，所以，即，化简可得，设，则.
作出与的图象，因为当时，，当时，，故存在唯一的，且，使得当.
即存在唯一的，且，使得.故选：A.
7．已知双曲线 的右焦点为，以坐标原点为圆心、为 半径作圆与双曲线的渐近线在第一象限交于点，设为的垂心，恰有，则双曲线的离心率应满足（ ）
A．B．
C．D．
【解析】
连接交于，由题意知，，，，，，
在中，，，，所以，，
因为，，所以，
，，所以，整理得，
即，整理得，
设，，则，对称轴为，所以在单调递增，又，所以当时，，即在上单调递增，又，，所以.故选：B.
8．记椭圆：的左右焦点为，，过的直线交椭圆于，，，处的切线交于点，设的垂心为，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【解析】椭圆的左右焦点为，，
由题意，易知直线的斜率存在，（若斜率不存在，则三点共线，不能构成三角形），设直线的方程为，，，
对两边同时求关于的导数，得，则，
则椭圆在点处的切线斜率为，
则椭圆在点处的切线方程为，
即，即；
同理，椭圆在点处的切线方程为，
由得，
则，
所以，即；
又的垂心为，则，，
即轴，则的横坐标也为，记的纵坐标为，
由得，所以，则，
因此，因为过点，所以直线与椭圆必有两个交点，故且，
则，
当且仅当，即时，等号成立.故选：D.
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．已知抛物线的焦点为，点，，为抛物线上不与重合的动点，为坐标原点，则下列说法中，正确的有（ ）
A．若中点纵坐标为2，则的斜率为2
B．若点恰为的垂心，则的周长为
C．若与的倾斜角互补，则的斜率恒为
D．若，则点纵坐标的取值范围是
【解析】对于选项A，设，，则由，在抛物线上可得，，
所以，当中点纵坐标为2时，，所以，A错误；
对于选项B，若点恰为的垂心，则由，可得，关于轴对称，所以，
则，，又由可得，所以，
则，，所以，，则的周长为，B正确；
对于选项C，若与倾斜角互补，则，即，
所以，则，故C错误；
对于选项D，若，由可得，即，
即（，与2互不相等），
将看作关于的一元二次方程，令，解得，
又当时，，当时，方程无解，所以点纵坐标，故D正确，
故选：BD.
10．设抛物线的焦点为，为抛物线上异于顶点的一点，且在准线上的射影为，则下列结论正确的有（ ）
A．点的中点在轴上
B．的重心、垂心、外心、内心都可能在抛物线上
C．当的垂心在抛物线上时，
D．当的垂心在抛物线上时，为等边三角形
【解析】对于A选项，抛物线的焦点为，准线方程为，
设点，则点，所以，线段的中点为，A对；
对于B选项，由抛物线的定义可知，则为等腰三角形，
因为为的中点，则，所以，的重心、垂心、外心、内心都在直线上，
，则直线的方程为，
联立可得，则，
所以，直线与抛物线相切，B错；
对于C选项，设点为第一象限内的点，
若的垂心在抛物线上时，设点，其中，
将点的坐标代入抛物线方程可得，可得，即点，
由题意可知，、、三点共线，，，
由可得，整理可得，解得，
所以，，即点，所以，，，C对；
对于D选项，当的垂心在抛物线上时，点，则轴，则，
此时，为直角三角形，D错.
故选：AC.
11．双曲线的虚轴长为2，为其左右焦点，是双曲线上的三点，过作的切线交其渐近线于两点.已知的内心到轴的距离为1.下列说法正确的是（ ）
A．外心的轨迹是一条直线
B．当变化时，外心的轨迹方程为
C．当变化时，存在使得的垂心在的渐近线上
D．若分别是中点，则的外接圆过定点
【解析】因为已知的内心到轴的距离为1，双曲线的虚轴长为2，
所以的内心横坐标，双曲线方程：，，渐近线.
设.
当点在双曲线上时：
设直线与双曲线交两点

当直线与双曲线相切时，此时切点满足：
切线
设直线与渐近线交两点

切点正是线段的中点，
∴；线段中垂线是.
中垂线与轴交于点，且.
可设
一方面，；另一方面，线段中点是
考虑到
∴
，点 确系之外心！其轨迹是直线.选项A正确！
依（1）设
线段中点是
线段中垂线是，即
线段中垂线是，即
∴
，即外心的轨迹方程为.故选项B错！
（3）对来讲，若垂心在渐近线上可设坐标是，进而
化简得
∴
把代入并化简得：
考虑到不在渐近线上得，故
∴，这不可能！垂心不能在上，同理不能在上，选项C错误；
（4）设
共圆！
的外接圆过定点原点，选项D对.
故选：AD
12．瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理“三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半”，后人称这条直线为“欧拉线”.直线与轴及双曲线的两条渐近线的三个不同交点构成集合，且恰为某三角形的外心，重心，垂心所成集合.若的斜率为1，则该双曲线的离心率可以是（ ）
A．B．C．D．
【解析】设，由，得，得，
由，得，得，
由，得，得，
，
，
，
若为重心、为外心、为垂心，则，
所以，化简得，此时双曲线的离心率，
若为重心、为垂心、为外心，则，
所以，化简得不成立；
若为重心、为垂心、为外心，则，
所以，化简得，此时双曲线的离心率，
若为重心，为垂心、为外心，则，
，化简得，此时双曲线的离心率；
若为重心、为垂心、为外心，则，
所以，化简得或，
此时双曲线的离心率或，
若为重心，为垂心、为外心，则，
所以，化简得或都不成立.
综上所述：或或或.
故选：ABD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．若曲线：上一点，是否存在直线与抛物线相交于两不同的点，使的垂心为．则直线的方程为 ．
【解析】把代入中，得，即，
假设存在直线与抛物线相交于两不同的点，使的垂心为，
设，显然直线的斜率为，
则直线的斜率为，设直线的方程是，由，消去化简得：
，即∵的垂心为，
∴即
，或
当时，直线的方程是，过点，不合题意，舍去，
∴存在这样的直线，其方程是
14．已知抛物线方程为，直线与抛物线交于A、B两点，抛物线的焦点F为（O为坐标原点）的垂心，则实数的值为 ．
【解析】由题意知， ,设，，则 ，
故 ，则，∴
15．已知点在椭圆C：上， 过点作直线交椭圆C于点的垂心为，若垂心在y轴上．则实数的取值范围是 ．
【解析】（1）当直线斜率不存在时，设，
此时，则，∴，
又，联立解得或（舍去），∴.
（2）当直线斜率存在时，设，，设直线方程为：，
直线QT的斜率为，∵AB⊥QT，∴，即，
又∵BT⊥AQ，∴，即，（*）
联立化为，则，，
，∴，
，
代入（*）可得．
∴，解得，
综上可知：实数m的取值范围为．
16．已知椭圆的上顶点为，右焦点为，直线与椭圆交于，两点，若椭圆的右焦点恰好为的垂心，则直线的方程为 ．
【解析】易知，，直线的斜率为，因椭圆的右焦点恰好为的垂心，则，从而直线的斜率为2．设直线的方程为，将直线方程与椭圆方程联立有，
消去y得：．
由，得，设，，
由韦达定理有：，．右焦点恰好为的垂心，故．
又，则
.解得或．
当时，点即为直线与椭圆的交点，不合题意；
当时，经检验知和椭圆相交，符合题意．故直线的方程为．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知椭圆的右焦点为F，上顶点为M，O为坐标原点，若的面积为，且椭圆的离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F点恰为的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
【解析】（1）依题意得，，即，则，
又，则，所以所求椭圆的方程为．
（2）由（1）知，故直线MF的斜率为．
若符合题意的直线l存在，可设直线，
由，消去y整理得，
则，即．
又，
则，
由F点恰为的垂心等价于，即．
由于，故
，
所以或．
当时，直线PQ经过点M，此时不构成三角形，故舍去．
故直线l的方程为．
18．若两个椭圆的离心率相等，则称它们为“相似椭圆”．如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：，A1，A2分别为椭圆C1的左，右顶点．椭圆C2以线段A1A2为短轴且与椭圆C1为“相似椭圆”．
（1）求椭圆C2的方程；
（2）设P为椭圆C2上异于A1，A2的任意一点，过P作PQ⊥x轴，垂足为Q，线段PQ交椭圆C1于点H．求证：H为△PA1A2的垂心．(垂心为三角形三条高的交点)
【解析】（1） 由题意可知，椭圆C1的离心率，
设椭圆C2的方程为，则，，
解得，所以椭圆C2的方程为.
（2） 证明：设，则由得 ，
把带入椭圆，得，
因为在轴的同侧，所以，所以，
所以,
所以，又，所以H为△PA1A2的垂心．
19．如图，已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，动点P满足PAB的垂心为原点O.当直线l的倾斜角为30°时，.

(1)求抛物线C的标准方程；
(2)求证：点P在定直线上.
【解析】（1）设直线l的方程为，，.
由得.
所以，.由抛物线定义，得
.
当直线l的倾斜角为30°时，，.
所以，即抛物线C的标准方程为.
（2）由（1），得，.
因为的垂心为原点O，所以，.
因为，所以.
所以直线AP的方程为，即.
同理可得，直线BP的方程为.
联立方程解得
即.所以点P在定直线上.
20．已知分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且的垂心为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线（斜率为）交椭圆于，两点，在轴上是否存在定点，使得射线平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）设，由的垂心为，得，
所以，则，解得，所以.
由点在椭圆上，得，解得，
故椭圆的方程为.
（2）假设存在定点满足题意，其坐标为，
易知直线的方程为，代入，
消去，得，，
设则，
所以
，
由已知得对任意的恒成立，
所以，解得，此时点的坐标为.
所以存在定点满足题意，其坐标为.
21．已知双曲线：的离心率为，直线：与双曲线C仅有一个公共点.
(1)求双曲线的方程
(2)设双曲线的左顶点为，直线平行于，且交双曲线C于M，N两点，求证：的垂心在双曲线C上.
【解析】（1）因为双曲线的离心率为，所以，即，
所以双曲线的方程为，
联立直线与双曲线的方程，消去得，
即，因为与双曲线C仅有一个公共点，
所以，解得,
故双曲线的方程为.
（2）设，，则满足
消去得，
所以，，
如图所示，过A引的垂线交C于另一点H，
则AH的方程为.
代入得，即（舍去）或.
所以点H为.
所以
，
，所以，故为的垂心，得证.
22．已知抛物线：过点，为其焦点，过且不垂直于轴的直线交抛物线于，两点，动点满足的垂心为原点.
（1）求抛物线的方程；
（2）求证：动点在定直线上，并求的最小值.
【解析】（1）由题意，将点代入，即，解得，
所以，抛物线的方程为.
（2）解析1：（巧设直线）
证明：设：，，，联立，可得，则有，可设：，即，同理：，解得，即动点在定直线：上.
，当且仅当时取等号.其中，分别为点和点到直线的距离.
（2）解析2：（利用向量以及同构式）
证明：设：，，，联立，可得，则有.，，又为的垂心，从而，代入化简得：，同理：，从而可知，，是方程的两根，所以，所以动点在定直线：上.
，当且仅当时取等号.其中，分别为点和点到直线的距离.